05 Elektrisches Potenzial
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Elektrostatik 1. Ladungen Phänomenologie 2. Eigenschaften von Ladungen 3. Kräfte zwischen Ladungen, quantitativ 4. Elektrisches Feld 5. Der Satz von Gauß 6. Potenzial und Potenzialdifferenz i. Arbeit im elektrischen Feld ii. Potenzial iii. Potenzialdifferenz iv. Gradient und Poissongleichung 7. Feldberechnungen an ausgewählten Ladungsverteilungen Arbeit und potenzielle Energie Betrachtung der Energie bzw. Arbeit Wiederholung rr Arbeit W = Kraft mal Weg W = F s r r Durch Arbeit wird bei Schwerkraft W = m g h die potenzielle Energie geändert Coulombkraft ortsabhängig F(r) Arbeit zum Verschieben δW nur für kleine (differenzielles) Stück δr einfach berechenbar r r δW = F(r ) δ r r r δW = q E(r ) δ r 1 Arbeit im elektrischen Feld Wie groß ist die Arbeit um eine Ladung in einem elektrischen Feld von 1 nach 2 zu verschieben? r r E (r ) Weg 2 r dr Gesamte Arbeit durch Aufsummieren der Anteile in den Teilstücken berechenbar Für unendlich kleine Teilstücke geht Summation in Integration über (exakte Berechnung) q2 Weg 1 r r2 q2 r v r W = ∫ F (r )dr $ r r2 r r1 r r1 r r2 r v r = q ∫ E (r )dr 0 r r1 Arbeit im Coulombfeld Arbeit W um Ladung q im Zentralfeld von Q von r1 nach r2 zu verschieben: Q r r2 r2 r r2 r v r r v r W = ∫ F (r )dr = q ∫ E (r )dr r1 r r1 q = r r1 r r2 qQ dr qQ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ = 2 ∫ r 4π ε 0 r1 r 4π ε 0 ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ Entfernung gleichnamiger Ladungen r2 > r1: W > 0 Energie gewonnen Annäherung gleichnamiger Ladungen r2 < r1: W < 0 Energie muss aufgewendet werden 2 Wiederholung: Konservative Kraftfelder Beispiel: schiefe Ebene ohne Reibung (konstante Kraft) r r2 r ∆s r F r r1 Wenn die verrichtete Arbeit vom Verlauf des Weges zwischen r unabhängig r r zwei beliebigen Punkten 1 und r2 ist, nennt man das Kraftfeld konservativ. Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn die verrichtete Arbeit entlang jeder geschlossenen Kurve gleich Null ist. r r ∫ F ⋅ ds = 0 (Linienin tegral) Elektrostatisches Feld In einem elektrostatischen Feld (alle Ladungen in Ruhe) gilt: r r r r ∫ F ds = q ∫ Eds = 0 Elektrostatisches Kraftfeld = konservatives Kraftfeld In konservativen Feldern gilt: r r W = q ∫ E ds = U (r2 ) − U (r1 ) r2 r1 Arbeit ist wegunabhängig Arbeit ist die Differenz der potenziellen Energie am Ende minus am Anfang 3 Das Potenzial Arbeit in einem konservativen Kraftfeld ( z. B. elektrostatischen Feld) hängt nur von der potenziellen Energie der beiden Endpunkten ab = Differenz zweier Zahlen Bezugspunkt (frei wählbar) im Raum P0 Das kenne ich: Arbeit um Ladung Q von P0 nach A und von P0 nach B zu verschieben B A W(P0 →B)=UB W(P0 →A)=UA Bezugspunkt P0 Wie groß ist die Arbeit um eine Ladung von A nach B zu verschieben? Wegunabhängigkeit: Gehe von A über P0 nach B: W(A →B)= -W(P0 →A)+ W(P0 →B)=UB - UA Wenn ich die skalare Größe U für jeden Raumpunkt kenne (Skalarfeld), dann kann ich die Arbeit zwischen allen Punkten ganz einfach berechnen Elektrisches Potenzial Wähle Bezugspunkt im Unendlichen Wie viel Arbeit muss ich aufwenden um eine Ladung vom Unendlichen zu einem Punkt r zu bringen? r r W (∞ → r ) = ∫ q E(r ) δ r r ∞ Frage: Kann ich ein Größe definieren, die mir ladungsunabhänig den Zustand in einem Punkt beschreibt? Ja das elektrische Potenzial elektrisches Potenzial = ϕ(r ) = potenzielle Energie Ladung r r r W (∞ → r ) = ∫ E(r ) δ r q ∞ Potenzial für Referenzpunkt frei wählbar: ϕ(∞) := 0 Einheit des Potenzials [ϕ]=[W]/[Q]= J/C Joule/Coulomb bzw. Nm/As Neue Einheit Nm/As = V Volt 4 Potenzial von Punktladung Arbeit um eine Ladung q im Zentralfeld von Q von ∞nach r zu verschieben r r r W(∞ → r) = ∫ q E(r) dr Q ∞ r r = q ϕ (r ) = q Q dr qQ 1 =− 2 ∫ 4π ε 0 ∞ r 4π ε 0 r W Q = q 4π ε 0 r Potenzial mehrerer Ladungen: es gilt das Superpositionsprinzip n ϕ = ∑ϕi = i =1 1 4π ε 0 n Qi ∑r i =1 Potenzialdifferenz Potenzialdifferenz U zwischen zwei beliebigen Punkten 1 und 2 in einem elektrischen Feld U12 = ϕ(1) - ϕ(2) elektrische Spannung Ladung q, die eine Potenzialdifferenz U durchläuft ∆Wpot = - q U Energieerhaltung ∆Wkin = - ∆Wpot = q U Einheit der Spannung [U] = V Volt Energieeinheit im atomaren Bereich eV „Elektronenvolt“, Energie die Elektron gewinnt, wenn es U = 1V durchläuft 5 Elektrisches Potenzial Das elektrische Potenzial gibt an, welche potenzielle Energie eine Probeladung in einem Punkt hat, nachdem sie in einem vorgegebenen elektrischen Feld vom Unendlichen zu einem Punkt gebracht wurde. Die Potenzialdifferenz ist ein Maß für die Arbeit die aufgewendet werden muss, um eine Ladung in einem elektrischen Feld von einem Punkt zum anderen zu bringen Potenzialgleichung Jedem Raumpunkt ist ein Potenzial zugeordnet: Skalarfeld ϕ(x,y,z) Aus Umkehrung der Berechnung der potenziellen Energie folgt Elektrische Feldstärke = „minus“ Gradient des Potenzials r E = − grad (ϕ ( x , y , z )) Gradient in kartesischen Koordinaten: ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ϕ ( x , y , z ) ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ∂ ∂x x ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ r ∂ ⎟ ∂ϕ ( x , y , z ) ⎟ ϕ (x , y , z ) = ⎜ grad ϕ ( x , y , z ) = ∇ϕ ( x , y , z ) = ⎜ ⎜ ∂y ⎟ ⎜ ⎟ ∂y ⎜ ∂ ⎟ ⎜ ∂ϕ ( x , y , z ) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂z Elektrostatisches Feld in Punkt P(x,y,z) beschreibbar durch eine Zahl, dem skalaren Potenzial ϕ(x,y,z), oder dem Vektor E(x,y,z) 6 Poisson Gleichung r ρ divE = Einsetzen für Feldstärke E = -grad(ϕ) ε0 div (− grad (ϕ )) = − ∆ϕ = −∇ 2ϕ ∆ bzw. ∇2 Laplace Operator ∆ϕ = ∂ 2ϕ ( x , y , z ) ∂ 2ϕ ( x , y , z ) ∂ 2ϕ ( x , y , z ) + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∆ϕ = − ρ ε0 ∆ϕ = 0 Poisson Gleichung Poisson Gleichung für ladungsfreien Raum: Laplace Gleichung Wenn die Ladungsverteilung bekannt ist, kann man das Potenzial und die Feldstärke (zumindest numerisch) berechnen Integrationskonstanten durch Randbedingungen gegeben Wozu das Potenzial? Kräfte auf Ladungen sind im Prinzip durch E gegeben E lässt sich aber sehr leicht aus ϕ herleiten (Ableiten) Für Feldberechnungen von Ladungsverteilungen einfacher ϕ zu berechnen, da ein Skalar (nur eine Komponente) im Vergleich zu E (drei Komponenten). Für ϕ muss Integral in Form 1/r gelöst werden, während für E in der Form x *(x2 + y2+ z2) -3/2 Lösungen berechnet werden müssen 7 Äquipotenzialflächen Flächen (Linien) auf denen das Potenzial ϕ(r) konstant ist heißen Äquipotenzialflächen (-linien) r E (r ) r r E = − grad ϕ (r ) Gradient: Richtung des maximalen Anstiegs des Potenzials •Elektrisches Feld immer normal auf Äquipotenzialfläche •Aber wegen „ - „ Richtung der maximalen Abnahme des Potenzials Äqui potential flächen Anschaulich: Aquipotenziallinien entsprechen Höhenlinien Höhenlinien: Punkte gleicher Höhe, gleicher potenzieller Energie Arbeit für Verschiebung von A nach B längs Äquipotenziallinie (fläche) B r r W = ∫ Fds = 0 A B r r r r r W = q ∫ Eds = 0 weil E ⊥ Äquipotenziallinie ⇒ E ⊥ ds&& A W = q (ϕ ( A) − ϕ (B )) = 0 weil ϕ ( A) = ϕ (B ) Um eine Ladung auf einer Äquipotenzialfläche zu verschieben, muss keine Arbeit verrichtet werden 8 Feld- und Äquipotenziallinien Äquipotenziallinien Feldlinien Punktladung Zwei geladene Platten Elektrisches Potenzial •Das elektrostatische Kraftfeld ist ein konservatives Kraftfeld, d.h. die Arbeit ist wegunabhängig • Das elektrische Potenzial gibt an, welche potenzielle Energie (normiert auf Ladung) eine Probeladung in einem Punkt hat, nachdem sie in einem vorgegebenen elektrischen Feld vom Unendlichen zu einem Punkt gebracht wurde. • Die Potenzialdifferenz ist ein Maß für die Arbeit die aufgewendet werden muss, um eine Ladung in einem elektrischen Feld von einem Punkt zum anderen zu bringen • Aus dem skalaren Potenzialfeld kann durch Gradientenbildung das Feld bestimmt werden. • Das Potenzial einer vorgegebenen Ladungsverteilung kann mit Hilfe der Poisson-gleichung berechnet werden • Punkte mit gleichem Potenzial liegen auf Äquipotenzialflächen, und Feldlinien stehen immer normal dazu. • Für eine Bewegung auf einer Äquipotenzialfläche muss keine Arbeit aufgewendet werden. 9
