05 Elektrisches Potenzial

Elektrostatik
1. Ladungen Phänomenologie
2. Eigenschaften von Ladungen
3. Kräfte zwischen Ladungen, quantitativ
4. Elektrisches Feld
5. Der Satz von Gauß
6. Potenzial und Potenzialdifferenz
i. Arbeit im elektrischen Feld
ii. Potenzial
iii. Potenzialdifferenz
iv. Gradient und Poissongleichung
7. Feldberechnungen an ausgewählten
Ladungsverteilungen
Arbeit und potenzielle Energie
Betrachtung der Energie bzw. Arbeit
Wiederholung
rr
Arbeit W = Kraft mal Weg W = F s
r r Durch Arbeit wird
bei Schwerkraft W = m g h die potenzielle
Energie
geändert
Coulombkraft ortsabhängig F(r)
Arbeit zum Verschieben δW nur für kleine (differenzielles)
Stück δr einfach berechenbar
r
r
δW = F(r ) δ r
r
r
δW = q E(r ) δ r
1
Arbeit im elektrischen Feld
Wie groß ist die Arbeit um eine Ladung in einem elektrischen
Feld von 1 nach 2 zu verschieben?
r r
E (r )
Weg 2
r
dr
Gesamte Arbeit durch
Aufsummieren der Anteile
in den Teilstücken berechenbar
Für unendlich kleine Teilstücke
geht Summation in Integration
über (exakte Berechnung)
q2
Weg 1
r
r2
q2
r v r
W = ∫ F (r )dr $
r
r2
r
r1
r
r1
r
r2
r v r
= q ∫ E (r )dr
0
r
r1
Arbeit im Coulombfeld
Arbeit W um Ladung q im Zentralfeld
von Q von r1 nach r2 zu verschieben:
Q
r
r2
r2
r
r2
r v r
r v r
W = ∫ F (r )dr = q ∫ E (r )dr
r1
r
r1
q
=
r
r1
r
r2
qQ dr
qQ ⎛ 1 1 ⎞
⎜ − ⎟
=
2
∫
r
4π ε 0 r1 r
4π ε 0 ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠
Entfernung gleichnamiger Ladungen r2 > r1:
W > 0 Energie gewonnen
Annäherung gleichnamiger Ladungen r2 < r1:
W < 0 Energie muss aufgewendet werden
2
Wiederholung: Konservative Kraftfelder
Beispiel: schiefe Ebene ohne Reibung (konstante Kraft)
r
r2
r
∆s
r
F
r
r1
Wenn die verrichtete Arbeit
vom Verlauf des Weges zwischen
r unabhängig
r
r
zwei beliebigen Punkten 1 und r2 ist, nennt man das Kraftfeld konservativ.
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn die verrichtete Arbeit entlang jeder
geschlossenen Kurve gleich Null ist.
r
r
∫ F ⋅ ds = 0
(Linienin tegral)
Elektrostatisches Feld
In einem elektrostatischen Feld (alle Ladungen in Ruhe) gilt:
r r
r r
∫ F ds = q ∫ Eds = 0
Elektrostatisches Kraftfeld = konservatives Kraftfeld
In konservativen Feldern gilt:
r r
W = q ∫ E ds = U (r2 ) − U (r1 )
r2
r1
Arbeit ist wegunabhängig
Arbeit ist die Differenz der potenziellen Energie am Ende minus am Anfang
3
Das Potenzial
Arbeit in einem konservativen Kraftfeld ( z. B. elektrostatischen Feld) hängt nur von
der potenziellen Energie der beiden Endpunkten ab = Differenz zweier Zahlen
Bezugspunkt (frei wählbar) im Raum P0
Das kenne ich: Arbeit um Ladung Q von P0 nach A und von P0 nach B zu verschieben
B
A
W(P0 →B)=UB
W(P0 →A)=UA
Bezugspunkt P0
Wie groß ist die Arbeit um eine Ladung von A nach B zu verschieben?
Wegunabhängigkeit: Gehe von A über P0 nach B:
W(A →B)= -W(P0 →A)+ W(P0 →B)=UB - UA
Wenn ich die skalare Größe U für jeden Raumpunkt kenne (Skalarfeld), dann kann
ich die Arbeit zwischen allen Punkten ganz einfach berechnen
Elektrisches Potenzial
Wähle Bezugspunkt im Unendlichen
Wie viel Arbeit muss ich aufwenden um eine Ladung vom
Unendlichen zu einem Punkt r zu bringen?
r
r
W (∞ → r ) = ∫ q E(r ) δ r
r
∞
Frage: Kann ich ein Größe definieren, die mir ladungsunabhänig den
Zustand in einem Punkt beschreibt? Ja das elektrische Potenzial
elektrisches Potenzial =
ϕ(r ) =
potenzielle Energie
Ladung
r r
r
W (∞ → r )
= ∫ E(r ) δ r
q
∞
Potenzial für Referenzpunkt frei wählbar: ϕ(∞) := 0
Einheit des Potenzials
[ϕ]=[W]/[Q]= J/C Joule/Coulomb bzw. Nm/As
Neue Einheit Nm/As = V Volt
4
Potenzial von Punktladung
Arbeit um eine Ladung q im
Zentralfeld von Q von ∞nach r zu
verschieben
r
r
r
W(∞ → r) = ∫ q E(r) dr
Q
∞
r
r
=
q
ϕ (r ) =
q Q dr
qQ 1
=−
2
∫
4π ε 0 ∞ r
4π ε 0 r
W
Q
=
q 4π ε 0 r
Potenzial mehrerer Ladungen: es gilt das Superpositionsprinzip
n
ϕ = ∑ϕi =
i =1
1
4π ε 0
n
Qi
∑r
i =1
Potenzialdifferenz
Potenzialdifferenz U zwischen zwei beliebigen Punkten 1
und 2 in einem elektrischen Feld
U12 = ϕ(1) - ϕ(2) elektrische Spannung
Ladung q, die eine Potenzialdifferenz U durchläuft
∆Wpot = - q U
Energieerhaltung
∆Wkin = - ∆Wpot = q U
Einheit der Spannung [U] = V Volt
Energieeinheit im atomaren Bereich eV „Elektronenvolt“,
Energie die Elektron gewinnt, wenn es U = 1V durchläuft
5
Elektrisches Potenzial
Das elektrische Potenzial gibt an, welche potenzielle
Energie eine Probeladung in einem Punkt hat,
nachdem sie in einem vorgegebenen elektrischen
Feld vom Unendlichen zu einem Punkt gebracht
wurde.
Die Potenzialdifferenz ist ein Maß für die Arbeit die
aufgewendet werden muss, um eine Ladung in einem
elektrischen Feld von einem Punkt zum anderen zu
bringen
Potenzialgleichung
Jedem Raumpunkt ist ein Potenzial zugeordnet: Skalarfeld ϕ(x,y,z)
Aus Umkehrung der Berechnung der potenziellen Energie folgt
Elektrische Feldstärke = „minus“ Gradient des Potenzials
r
E = − grad (ϕ ( x , y , z ))
Gradient in kartesischen Koordinaten:
⎛ ∂ ⎞
⎛ ∂ϕ ( x , y , z ) ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
∂
∂x
x
⎜
⎜
⎟
⎟
r
∂ ⎟
∂ϕ ( x , y , z ) ⎟
ϕ (x , y , z ) = ⎜
grad ϕ ( x , y , z ) = ∇ϕ ( x , y , z ) = ⎜
⎜ ∂y ⎟
⎜
⎟
∂y
⎜ ∂ ⎟
⎜ ∂ϕ ( x , y , z ) ⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎠
⎝ ∂z ⎠
⎝
∂z
Elektrostatisches Feld in Punkt P(x,y,z) beschreibbar durch eine Zahl,
dem skalaren Potenzial ϕ(x,y,z), oder dem Vektor E(x,y,z)
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Poisson Gleichung
r ρ
divE =
Einsetzen für Feldstärke E = -grad(ϕ)
ε0
div (− grad (ϕ )) = − ∆ϕ = −∇ 2ϕ ∆ bzw. ∇2 Laplace Operator
∆ϕ =
∂ 2ϕ ( x , y , z ) ∂ 2ϕ ( x , y , z ) ∂ 2ϕ ( x , y , z )
+
+
∂x 2
∂y 2
∂z 2
∆ϕ = −
ρ
ε0
∆ϕ = 0
Poisson Gleichung
Poisson Gleichung für ladungsfreien Raum:
Laplace Gleichung
Wenn die Ladungsverteilung bekannt ist, kann man das Potenzial
und die Feldstärke (zumindest numerisch) berechnen
Integrationskonstanten durch Randbedingungen gegeben
Wozu das Potenzial?
Kräfte auf Ladungen sind im Prinzip durch E gegeben
E lässt sich aber sehr leicht aus ϕ herleiten (Ableiten)
Für Feldberechnungen von Ladungsverteilungen einfacher ϕ zu
berechnen, da ein Skalar (nur eine Komponente) im Vergleich zu E
(drei Komponenten).
Für ϕ muss Integral in Form 1/r gelöst werden, während für E in der
Form x *(x2 + y2+ z2) -3/2 Lösungen berechnet werden müssen
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Äquipotenzialflächen
Flächen (Linien) auf denen das Potenzial ϕ(r) konstant ist
heißen Äquipotenzialflächen (-linien)
r
E (r )
r
r
E = − grad ϕ (r )
Gradient:
Richtung des maximalen Anstiegs
des Potenzials
•Elektrisches Feld immer normal
auf Äquipotenzialfläche
•Aber wegen „ - „ Richtung der
maximalen Abnahme des
Potenzials
Äqui potential flächen
Anschaulich: Aquipotenziallinien entsprechen Höhenlinien
Höhenlinien: Punkte gleicher Höhe, gleicher potenzieller Energie
Arbeit für Verschiebung von A nach B längs Äquipotenziallinie (fläche)
B
r r
W = ∫ Fds = 0
A
B
r r
r
r
r
W = q ∫ Eds = 0 weil E ⊥ Äquipotenziallinie ⇒ E ⊥ ds&&
A
W = q (ϕ ( A) − ϕ (B )) = 0 weil ϕ ( A) = ϕ (B )
Um eine Ladung auf einer Äquipotenzialfläche zu
verschieben, muss keine Arbeit verrichtet werden
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Feld- und Äquipotenziallinien
Äquipotenziallinien
Feldlinien
Punktladung
Zwei geladene Platten
Elektrisches Potenzial
•Das elektrostatische Kraftfeld ist ein konservatives Kraftfeld, d.h. die
Arbeit ist wegunabhängig
• Das elektrische Potenzial gibt an, welche potenzielle Energie (normiert
auf Ladung) eine Probeladung in einem Punkt hat, nachdem sie in
einem vorgegebenen elektrischen Feld vom Unendlichen zu einem
Punkt gebracht wurde.
• Die Potenzialdifferenz ist ein Maß für die Arbeit die aufgewendet
werden muss, um eine Ladung in einem elektrischen Feld von einem
Punkt zum anderen zu bringen
• Aus dem skalaren Potenzialfeld kann durch Gradientenbildung das
Feld bestimmt werden.
• Das Potenzial einer vorgegebenen Ladungsverteilung kann mit Hilfe
der Poisson-gleichung berechnet werden
• Punkte mit gleichem Potenzial liegen auf Äquipotenzialflächen, und
Feldlinien stehen immer normal dazu.
• Für eine Bewegung auf einer Äquipotenzialfläche muss keine Arbeit
aufgewendet werden.
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