Der Transformator

Der Transformator
Datum: 14. 07. 2006
Vortragender: Dr. Frank Morherr
Inhaltsübersicht:
Geschichtliche Entwicklung
Aufbau des Transformators
Funktionsweise des Transformators
Maxwellgleichungen
Induktion und Selbstinduktion
Transformatorgleichungen
Die Impedanzvierpolmatrix
Kopplungskonstante und Übersetzungsverhältnis
Magnetfeld einer langen Spule
Spannungsverhältnis im Leerlauf
Stromverhältnis bei Belastung
Messung der Leerlaufkennlinie
Messung der Belastungskennlinie
Leistungsübertragung
Verluste beim realen Transformator
Bestimmung der Eisenverluste
Kapitel 1
Der Transformator
1
Der Transformator
Geschichtliche Entwicklung
1.1
1.1 Geschichtliche Entwicklung
1831
1870
1880
1883
1885
1886
Michael Faraday (1791-1867) Entdeckt die magnetische Induktion, also den
Zusammenhang zwischen Strom und Magnetismus. Nachdem Oerstedt gezeigt,
hatte, dass Strom ein Magnetfeld hervorruft, erzeugt Faraday mithilfe von sich
ändernden Magnetfeldern Strom.
James Clerk Maxwell (1831-1879) stellt die Maxwellschen Gleichungen auf,
welche die gesamte Elektrodynamik und Elektrostatik beschreiben und mit der
Relativitätstheorie kompatibel sind.
John Dixon Gibbs und Lucien Gaulard fügen alles zum Transformatorprinzip
zusammen. Bei dem Versuch, dies 1882 patentieren zu lassen, scheiterten sie,
da Ihnen ein Perpetuum Mobile unterstellt wurde.
Gibbs und Gaulard übertragen in London erstmals eine 2000 Volt Wechselspannung mit Transformatoren auf stabförmigem Kern über eine Distanz von 40 km.
Patent der Ungarn Károly Zipernowsky, Miksa Déri und Ottó Titusz Bláthy auf
einen Transformator.
Westinghouse installiert in Great Barrington, Massachusetts, einen Wechselspannungsgenerator, dessen 500 V zur Verteilung auf 3000 V hochtransformiert und
dann zum Betrieb der elektrischen Beleuchtung an den Anschlussstellen auf 100 V
heruntertransformiert werden.
Der zunehmende Einsatz von Transformatoren drängte den von Edison favorisierten Gleichstrom zurück und entschied den Stromversorgungskrieg zugunsten des Wechselstroms, da nur
dieser, geeignet transformiert, sich für den Energietransport durch Hochspannungsleitungen
über große Entfernungen ohne allzugroße Energieverluste eignet.
2
Der Transformator
Aufbau des Transformators
1.2
1.2 Aufbau des Transformators
Ein Transformator ist eine ruhende elektrische Maschine und besteht im wesentlichen besteht ein Transformator aus drei Teilen: dem Kern, der Primär- und der Sekundärwicklung.
Hinzu kommen bei entsprechender Größe der Transformatoren Gehäuse, Kühlkörper und Kühlanlagen.
Mit Transformatoren lassen sich elektrische Wechselspannungen herauf- oder herunter transformieren, um sie den technischen Erfordernissen des Gebrauchs anzupassen.
Schaltbildzeichen:
3
Der Transformator
Aufbau des Transformators
1.2
Beispiele:
4
Funktionsweise des Transformators
Der Transformator
1.3
1.3 Funktionsweise des Transformators
Maxwellgleichungen
Die Maxwellgleichungen enthalten die gesamte Elektrostatik und Elektrodynamik. Sie sind
noch dazu mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich und nehmen hier eine besonders
schöne Gestalt an. Klassisch lauten sie:
(Coulomb)
div D = ρ
·
rot E = − B (Faraday)
rot H = j
(Ampère)
div B = 0
Dabei sind:
E : elektrische Feldstärke
D : elektrische Verschiebungsdichte
H : magnetische Feldstärke
B : magnetische Flussdichte
ρ : elektrische Ladungsdichte
j : Stromdichte
Induktion und Selbsinduktion
Ein elektrischer Strom I in einem Draht erzeugt Magnetfeld H . Dieses führt im Vakuum
bzw. in Luft zu einer magnetischen Induktion B = µ0 H .
Dabei ist µ0 = 1, 2566 · 10−6 AVms die Induktionskonstante.
Die magnetische Induktion, die durch eine geschlossene Leiterschleife hindurchtritt, ist der
magnetische Fluss
φ = B dA .
Seien mit i = 1, 2
Ni
Li
Mij
φij
Ii
=
=
=
=
=
Zahl der Windungen in der Drahtschleife i ,
Selbstinduktivität der Schleife,
Gegeninduktivität der Schleife
magnetischer Fluss durch Schleife i , erzeugt von j
Strom durch Schleife i
so gilt
•
Für den magnetischen Fluss, den Strom I1 in Schleife 1 erzeugt, gilt
N1 · φ11 = L1 · I1 .
•
(∗)
Für den magnetischen Fluss, den Strom I2 in Schleife 2 erzeugt, gilt
N2 · φ21 = M21 · I1 .
5
Funktionsweise des Transformators
Der Transformator
•
1.3
Ein Strom in Schleife 2 liefert eine Eigeninduktivität von
N2 · φ22 = L2 · I2
und eine Gegeninduktivität von
N1 · φ12 = M12 · I2 .
Das Induktionsgesetz (zweite der obigen Maxwellgleichungen) besagt: Ein sich zeitlich
ändernder magnetischer Fluss in einer Drahtschleife induziert eine Spannung, für die gilt
dφ
.
dt
Das Minuszeichen repräsentiert die Lenzsche Regel. Bei mehreren Windungen ist der gekoppelte
Fluss entscheidend. Die induzierte Spannung erhöht sich entsprechend der Windungszahl
−uind =
−uind = N ·
dφ
.
dt
Mit (∗) ergibt sich
dI1
, (∗∗)
dt
sowie analoges für die anderen Gleichungen. Bei einem Transformator werden nun die magnetischen Flüsse in zwei Spulen miteinander verkettet:
−uind = L1 ·
Durch ein hochpermeables Material, welches den magnetischen Fluss führt, wird ein großer Teil
des magnetischen Flusses, der in der Primärspule erzeugt wird, in die Sekundärspule geleitet
und umgekehrt. Das Problem der Flussverkettung ist folgendes
I1 erzeugt φ11 −→ führt zu φ21 −→
dφ21
bewirkt U2 −→ U2 bewirkt I2 −→
dt
dφ12
verändert U1 −→ U1 verändert I1 −→ . . .
dt
Im Leerlauf ist die Sache noch relativ einfach, da wegen I2 = 0 die Sekundärspule selbst keinen
Fluss erzeugt.
−→ I2 erzeugt φ22 −→ führt zu φ12 −→
6
Transformatorgleichungen
Der Transformator
1.4
1.4 Transformatorgleichungen
Die Impedanzvierpolmatrix
Mit den obigen Bezeichnung und zusätzlich
φσ1 = Streufluss, der von φ11 verloren geht
φσ2 = Streufluss, der von φ22 verloren geht.
Damit haben wir
φ11 = φσ1 + φ21
und φ22 = φσ2 + φ12 ,
wie folgendes Bild verdeutlicht:
Und für die Gesamtflüsse erhalten wir
φ1 = φ11 + φ12
φ2 = φ21 + φ22
gesamter Fluss in der Primärspule
gesamter Fluss in der Sekundärspule
Aus dem Induktionsgesetz und den obigen Formeln folgt
U1 = N1
dφ1
dφ
dφ
dI1
dI2
= N1 11 + N1 12 = L1
+ M12
dt
dt
dt
dt
dt
dφ1
dφ
dφ
dI1
dI2
= N2 21 + N2 22 = M21
+ L2
.
dt
dt
dt
dt
dt
Aus Symmetriegründen kann man mit dem Energieierhaltungssatz zeigen, dass M := M12 =
M21 . Mit dem Ansatz I1 = eiωt , I2 = ei(ωt+ϕ) ergibt sich ein lineares System
U2 = n2
U1 = iωL1 I1 + iωMI2
U2 = iωMI1 + iωL2 I2 .
Berücksichtigen wir noch die ohmschen Widerstände R1 und R2 der Spulen, so müssen wir
primär- und Sekundärseitig die ohmschen Widerstände in Reihe schalten und erhalten
U1 = (R1 + iωL1 ) I1 + iωMI2
U2 = iωM I1 + (R2 + iωL2 ) I2
7
Transformatorgleichungen
Der Transformator
oder in Matrixschreibweise
U1
R1 + iωL1
I1
iωM
=
.
U2
iωM I1
R2 + iωL2
I2
1.4
(∗ ∗ ∗)
Kopplungskonstante und Übersetzungsverhältnis
Die Kopplungskonstante k ist definiert durch
k2 =
M2
.
L1 L2
Benutzt man (∗) und die analogen Beziehungen, so ergibt sich
2
k =
•
n2 φ21
I1
n1 φ11
I1
·
·
n1 φ12
I2
n2 φ22
I2
=
φ21 φ12
(φ − φσ1 ) (φ22 − φσ2 )
= 11
.
φ11 φ22
φ11 φ22
Für vernachlässigbar kleine Streuflüsse gilt
φσ1 = 0 und φσ2 = 0 =⇒ k = 1 perfekte Kopplung
Kommt von der Primärseite kein Fluss mehr zur Sekundärseite, dann gilt
φσ1 = φ11 und φσ2 = φ22 =⇒ k = 0 keine Kopplung.
Typische Werte für k liegen bei 0, 95 , aber auch 0, 99 ist realisierbar.
Das Übersetzungsverhältnis u ist definiert durch
u2 =
L1
.
L2
Magnetfeld einer langen Spule
Im Spezialfall einer langen Spule l ≫ R (l Länge der Spule, R Querschnittsradius) mit
Windungsdichte n ergibt sich mit dem Ansatz für die magnetische Induktion in Zylinderkoordinaten
B = B (ρ) ez
nach Maxwell mit der Stromdichte j
rot B ≈ µr µ0 j
8
Transformatorgleichungen
Der Transformator
1.4
und dem Gaußschen Intergralsatz
C
B · dr = µr µ0 I (FC ) ,
wobei I (FC ) Gesamtstrom durch Fläche FC . Die Beiträge auf Ca und Cc verschwinden und
wir erhalten
B · dr +
B · dr = n
lµr µ0 I .
Cb
Cd
B ist offensichtlich im Innern der Spule homogen und im Unendlichen wieder Null. Daher gilt
dann Innerhalb der Spule
Bl =
B · dr = n
lµr µ0 I ,
Cb
und somit mit n =
N
l
, N = Windungsanzahl
µr µ0 IN
ez .
l
Da das Feld innerhalb der langen Spule homogen ist, folgt für den magnetischen Fluß durch
den Querschnitt F
B=
φ = BF =
µr µ0 IN
F .
l
Damit gilt
dφ
µ µ N 2 F dI
= r 0
,
dt
l
dt
woraus sich nach Vergleich mit (∗∗) die Eigeninduktivität zu
Uind = −N
µr µ0 N 2 F
L=
l
ergibt. In diesem Fall ergibt sich das Übersetzungsverhältnis also bei gleichem F und l einfach
zu
N1
u=
.
N2
Spannungsverhältnis im Leerlauf
Beim verlustlosen Transformator (R1 = 0 , R2 = 0) mit perfekter Kopplung (k = 1) und
sekundärseitigem Leerlauf (I2 = 0) ergibt sich aus (∗ ∗ ∗)
U1 = iωL1 I1
und U2 = iωM I1
und somit
√
U1
L1
1 L1
L1
N1
=
=√ √ =
=u=
,
U2
M
L2
N2
k L2
also die erste Transformatorgleichung
N1
U1
=
.
U2
N2
9
Transformatorgleichungen
Der Transformator
1.4
Vereinfacht kann man dies so herleiten: Da bei einem verlustlosen Transformator ist der Fluss
φ durch die Primärspule und die Sekundärspule gleich. Nach dem Induktionsgesetz gilt also
U1 = N1
dφ
dt
und U2 = N2
dφ
dt
und somit
N1 dφ
U1
N1
dt
=
=
.
U2
N
N2 dφ
2
dt
Stromverhältnis bei Belastung
Beim idealen verlustlosen Transformator geht keine Leistung bzw. Energie verloren. Es gilt
also
U1 I1 = L1 = L2 = U2 I2 ,
und somit heuristisch
I2
U1
N1
=
=
.
I1
U2
N2
Dies ist allerdings nur eine Näherung. In Wirklichkeit folgt aus der Impedanzmatrix
U1 = (R1 + iωL1 ) I1 + iωMI2
und U2 = iωM I1 + (R2 + iωL2 ) I2 .
Mit der Impedanz ZL = − UI22 erhält man
I2
iωM
=−
.
I1
R2 + iωL2 + ZL
Im Fall der Kurzschluss-Stromübersetzung, also ZL = 0, erhalten wir
iωM
I2
=−
.
I1
R2 + iωL2
Beim verlustlosen Transformator ist R2 = 0 und somit mit der Näherung oben
I2
M
N1
=−
=−
.
I1
L2
N2
10
Messung der Leerlaufkennlinie
Der Transformator
1.5
1.5 Messung der Leerlaufkennlinie
Bei offenen Sekundärklemmen wird die Spannung auf der Primärseite erhöht und die Primärspannung gegenüber dem Primärstrom aufgetragen. Es sollte sich ein Diagramm der folgenden Art ergeben:
Versuch
1.5.1.1 Aufbau
1.5.1.2 Messung N1 = 125 , N2 = 1000 =⇒
Up /V
Ip /A
Us /V
Us /Up
2, 5
0, 12
16
6, 4
5
0, 19
32
6, 4
7, 5
0, 235
49
6, 53
10
0, 275
67
6, 7
N2
N1
12, 5
0, 31
83, 5
6, 68
=8
15
0, 34
99, 5
6, 63
17, 5
0, 38
116
6, 63
20
0, 41
132
6, 6
22, 5
0, 45
148
6, 58
25
0, 49
165
6, 6
11
Messung der Leerlaufkennlinie
Der Transformator
1.5
L e e rlau fke n n lin ie m it N 1=1 25 ,N 2=10 0 0
30
25
Up/V
20
15
10
5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Ip /A
N1 = 125 , N2 = 5000 =⇒
N2
N1
Up /V
Ip /A
Us /V
Us /Up
= 40
2, 5
0, 12
80
32
5
0, 2
174
34, 8
7, 5
0, 26
263
35, 1
10
0, 28
340
34
12, 5
0, 33
435
34, 8
15
0, 37
520
34, 7
Up/V
Leerlaufkennlinie mit N1=125,N2=5000
20
15
10
5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Ip/A
Zur Illustration der ersten Transformatorgleichung haben wir noch Up gegen Us aufgetragen
und die Ausgleichsgeraden eingezeichnet.
S p a n n u n g s v e r h ä ltn is b e i N 1 = 1 2 5
1000
900
800
y = 34,9 71x - 4
700
N 2= 1000
Us/V
600
N 2= 5000
500
L in e a r (N 2 = 1 0 0 0 )
400
L in e a r (N 2 = 5 0 0 0 )
300
y = 6,620 6x - 0 ,2333
200
100
0
0
10
20
30
U p /V
12
Messung der Leerlaufkennlinie
Der Transformator
N1 = 250 , N2 = 5000 =⇒
Up /V
Ip /A
Us /V
Us /Up
2, 5
0, 05
25
10
N2
N1
1.5
= 20
5
0, 1
72
14, 4
7, 5
0, 15
152
20, 3
10
0, 2
256
25, 6
12, 5
0, 25
440
35, 2
15
0, 26
465
31
17, 5
0, 27
490
28
20
0, 28
530
26, 5
22, 5
0, 29
530
23, 5
13
Messung der Belastungskennlinie
Der Transformator
1.6
1.6 Messung der Belastungskennlinie
Ist der Transformator sekundärseitig belastet, so bewirkt der Sekundärstrom im Eisen ein
zusätzliches magnetisches Wechselfeld. Nach Lenz muss die durch den Sekundärstrom verursachte Magnetfeldänderung derjenigen, die durch den Primärstrom verursacht wird, entgegengerichtet sein. Die effektive Magnetfeldänderung ist bei Belastung somit in der Primärspule
geringer als im unbelasteten Fall. Als Folge davon wächst der Primärstrom.
Versuch
1.6.1.1 Aufbau
2
1.6.1.2 Messung N1 = 125 , N2 = 1000 =⇒ N
=8
N1
Wir stellen die Primärspannung auf konstant 14 V ein und erhöhen die Belastung mittels
der in Reihe geschalteten Schiebewiderstände von 1000 Ω und 1540 Ω . Es ergibt sich folgende
Tabelle, in der wir noch die Spannungs- und Stromquotienten, sowie die Primär- und Sekundärleistungen ausgerechnet haben
Ip /A
Us /V
Is /A
Ip /Is
Us /Up
Pp /W
Ps /W
Ip /A
Us /V
Is /A
Ip /Is
Us /Up
Pp /W
Ps /W
5
4, 8
9
16
0, 63 0, 6
7, 9
8
0, 64 1, 14
70 67, 2
5, 67 9, 6
2, 5
59
0, 3
8, 3
4, 21
35
17, 7
4, 6
4, 4
22
27
0, 575 0, 55
8
8
1, 57 1, 93
64, 4 61, 6
12, 65 14, 85
2, 3
2, 1
61
63, 5
0, 275 0, 25
8, 4
8, 4
4, 36 4, 54
32, 2 29, 4
16, 78 15, 88
1, 9
65, 5
0, 225
8, 5
4, 68
26, 6
14, 74
4, 2
4
32, 5 36
0, 52 0, 5
8, 1 8, 8
2, 32 2, 57
58, 8 56
16, 9 18
1, 7
67, 5
0, 2
8, 5
4, 82
23, 8
13, 5
3, 8 3, 5 3, 3
40
45
49
0, 47 0, 44 0, 4
8, 1
8
8, 3
2, 86 3, 21 3, 5
53, 2 49 46, 2
18, 8 19, 8 19, 6
1, 5
1, 3
69
70, 5
0, 175 0, 15
8, 6
8, 7
4, 93 5, 04
21
18, 2
12, 08 10, 58
1, 1
72
0, 125
8, 8
5, 14
15, 4
9
3
2, 7
53
57
0, 37 0, 33
8, 1
8, 2
3, 79 4, 07
42
37, 8
19, 61 18, 81
0, 95
72, 5
0, 1
9, 5
5, 18
13, 3
7, 25
0, 8
0, 6
74
75
0, 075 0, 05
10, 7
12
5, 29 5, 36
11, 2 8, 4
5, 55 3, 75
14
Messung der Belastungskennlinie
Der Transformator
1.6
Wir tragen nun für die Belastungskennlinie Us gegen Is auf.
B e la s tu n g s k e n n lin ie
80
70
60
Us/V
50
40
30
20
10
0
0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
0 ,7
I s/A
Zur Illustration der zweiten Transformatorgleichung, tragen wir noch Ip gegen Is an und legen
eine Ausgleichsgerade hindurch.
Illu s tra tio n v o n Is /Ip = N p /N s = c o n s t.
6
5
y = 7 ,6 7 28 x + 0 ,1 8 0 1
Ip/A
4
3
2
1
0
0
0, 1
0, 2
0,3
0 ,4
0,5
0,6
0 ,7
Is/A
15
Leistungsübertragung
Der Transformator
1.7
1.7 Leistungsübertragung
Hier haben wir die Primärleistung Pp = Up Ip und die Sekundärleistung Ps = Us Is gegen
den Sekundärstrom Is aufgetragen:
L e istun g
80
70
P rim ä rle is tu n g
60
S e ku n d ä rle is tu n g
P/W
50
40
30
20
10
0
0
0,2
0,4
Is/A
0,6
0,8
Wie man sieht, wird die meiste Leistung ungefär bei Is = 0, 4 A übertragen.
16
Verluste beim realen Transformator
Der Transformator
1.8
1.8 Verluste beim realen Transformator
Die oben abgeleiteten Transformatorgleichungen sind nur Näherungsbeziehungen, welche
für einen idealen verlustfreien Transformator gelten. Im realen Transformator treten jedoch
immer Verluste auf, welche sich im wesentlichen zusammensetzen aus:
•
Hysteresis- bzw. Ummagnetisierungsverlusten:
Bei zunehmender Feldstärke H kommt es im Eisenkern zu einer Sättigung der
Kraftflussdichte B , wenn sich alle ”Elementarmagnete” ausgerichtet haben.
Geht der Wechselstrom durch seinen Nullpunkt, wird H null, aber das Eisen bleibt
aufgrund der Ausrichtung der Elementarmagnete magnetisch (Remanenz).
Kehrt sich die Richtung der Feldstärke um, dauert es, bis die Ausrichtung der
Elementarmagnete aufgehoben ist, um dann wieder in umgekehrter Richtung zur Sättigung zu
gelangen.
Wird H wieder Null, bleibt das Eisen magnetisch, dann aber in umgekehrter Richtung.
Der Kern des Transformators wird durch die Wechselspannung ständig ummagnetisiert.
Bei der Magnetisierung eines Stoffes wird bei der Frequenz f des Wechselstroms die
Energiedichte
w (f ) =
B
H dB
0
aufgenommmen. Während einer Periode werden alle Punkte der statischen Hystereseschleife
durchlaufen. Es ergibt sich eine Differenz zwischen aufgenommener und abgegebener Energie,
welche der Arbeit entspricht, die während einer Periode im Eisen in Wärme umgewandelt
17
Verluste beim realen Transformator
Der Transformator
1.8
wird.
Aus der räumlichen Dichte der Hystereseverlustleistung f · w ergibt sich mit dem
Gesamtvolumen V des Eisenkerns die Hystereseverlustleistung zu
PH = V · f · w (f ) = KH · f ,
mit der Hystereseverlustkonstanten KH .
Damit:
• Fläche der Hysteresisschleife entspricht nötiger Ummagnetisierungsarbeit und ist
Verlustwärme (Verlustleistung).
Um Verluste klein zu halten, wird magnetisch weiches Eisen verwendet (kleine
Hysteresisfläche)
•
Wirbelstromverluste:
Diese entstehen durch die in den Kern induzierten Ströme. Sie erhöhen durch Ihre Wärme
die Verlustleistung des Kernes
Zur Vermeidung wird Kern nicht aus massivem Eisenstück, sondern aus vielen dünnen
Blechen hergestellt, welche gegeneinander elektrisch isoliert sind. Dadurch steht den
Wirbelströmen ein möglichst kleiner Leitungsquerschnitt zur Verfügung.
Als Ansatz für die Frequenzabhängigkeit der Wirbelstromverlustleistung gilt bei
konstanter Maximalinduktion mit der Wirbelstromverlustkonstanten Kw
Pw = Kw · f 2
•
Streuverluste
Das magnetische Feld beschränkt sich nicht allein auf den Transformatorkern, sondern
auch auf die Umgebung, wo dann in magnetischen Gegenständen Wirbelströme induziert
werden.
•
-
Wicklungsverluste
Verluste, die durch die ohmschen Widerstände der Wicklungen entstehen.
18
Verluste beim realen Transformator
Der Transformator
1.8
Bestimmung der Eisenverluste
Eisenverluste = Hystereseverluste + Wirbelstromverluste
PF e = KH · f + Kw · f 2
Ermittelt man bei unterschiedlichen Frequenzen die Gesamtverluste, so kann man den Hystereseanteil der Gesamtverluste folgendermaßen bestimmen:
PF e (f1 ) = P1 = KH · f1 + Kw · f12
=⇒ KH =
mit y =
f2
f1
.
und PF e (f2 ) = P2 = KH · f2 + Kw · f22
y (P2 − yP1 )
f22 (y − 1)
und KW =
y 2 P1 − P2
f2 (y − 1)
19