Wahlthema – Maxwellsche Gleichungen

Björn Schulz
S. 1 / 5
Über die Maxwell-Gleichungen
Berlin, den 18.09.2003
— Wahlthema – Maxwellsche Gleichungen —
Es gibt 5 Gleichungen: Sie beischreiben das elektromagnetische Feld, seine Erzeugung,
Eigenschaften und Wirkungen und geben uns Auskunft über die gesamten
Gesetzmäßigkeiten der Elektrodynamik.
Es sind die 4 Maxwell-Gleichungen und die Lorentz-Kraft:
— Lorentz–Kraft —
Elektrostat. Kraft:
Magnet. Kraft:
Fe = Q ⋅ E
Fm = Q ⋅ v × B
Gesamtkraft
Fges = Fe + Fm = Q (E + v × B )
— Maxwell–Gleichungen —
Integrale Form
Differentielle Form
Gaußsches Gesetz
I
∫ DdA = Qinnen
S
⇒ ∫ EdA =
S
1
⋅ Qinnen
ε0
divD = ρ ⇒ divE =
ρ
ε0
∇⋅D = ρ ⇒ ∇⋅E =
ρ
ε0
Eine ruhende elektrische Ladung
Q erzeugt um sich herum ein
elektrisches Feld, die Feldlinien
münden in der Ladung.
elektrisches Quellenfeld
Gaußsches Gesetz des Magnetismus
Magnetfelder sind quellenfrei, es
gibt nur magnetische
Wirbelfelder, es gibt keine:
- magn. Monopole,
divB = 0 ⇒ ∇ ⋅ B = 0
- magn. Ströme,
- magn. Ladungen
magn. u. elektr. Erscheinungen
sind nicht symmetrisch
Faradaysches Induktionsgesetz
II
∫ BdA = 0
S
III
d
dΦ
∫ Edl = − dt ∫ BdA = − dt
C
S
∂B
∂t
∂B
∇×E = −
∂t
rotE = −
Zeitl. veränderte Magnetfelder sind
von elektrischen Wirbelfelder
umgeben.
Ampèresches Gesetz
IV
d
∫ Bdl = µ0I + µ0ε 0 dt ∫ EdA
C
S
d
∫ Hdl = dt ∫ DdA + I
C
Physikalische Bedeutung
S
∇ × B = µ 0 j + µ 0ε 0
rotH =
dD
+j
dt
∂E
∂t
Ströme und zeitl. veränderte
Felder sind von magnet.
Wirbelfeldern umgeben.
Materialgleichungen
Symbole / Einheiten / Konstanten
D=ε·E
B=µ·H
1
c=
µ 0ε 0
D – elektr. Flussdichte, elektr. Verschiebung
t – Zeit
B – magn. Flussdichte, magn. Induktion
ρ - Raumladungsdichte
E – elektr. Feldstärke
I – elektr. Stromstärke
j – elektr. Stromdichte
H – magn. Feldstärke
dA – (vektorielles) Flächenelement
Q – Ladung
dl – (vektorielles) Längenelement
ε – Permittivität
ε0 – elektr. Feldkonstante = 8,85 · 10–12 F/m
µ – Permeabilität
µ0 – magn. Feldkonstante = 1,26 · 10–6 H/m
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Über die Maxwell-Gleichungen
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Erläuterung der einzelnen Maxwell–Gleichungen
I. Gaußsches Gesetz
1. Definition der Raumladungsdichte ρ:
Raumladungsdichte r gibt das Verhältnis von Ladung zu Volumen an:
ρ=
dq
dV
A = ∫ dA
U = ∫ dA
s
c
2. Definition des elektrischen Flusses:
q
Φ ges = ∫ EdA = innen
ε0
S
Der Gesamtfluss durch eine beliebige Oberfläche beträgt 1/ε0 multipliziert mit der
Gesamtladung, die die Oberfläche umschließt.
Es ist dabei völlig egal, wie groß die Fläche A der umrandenden Kurve C gewählt wird, es wird
immer die gleiche Anzahl an Feldlinien gezählt ( ∞).
Das Gaußsches Gesetzt gilt für
beliebige Oberflächen,
beliebige Ladungsverteilungen,
es kann insbesondere bei symmetrischen Sonderfällen zur Vereinfachung herangezogen
werden.
3. Berechnung des elektrischen Feldes mit dem Gaußschen Gesetz
a. Elektrisches Feld nahe einer Punktladung
Φ ges = ∫ E ⋅ n da = ∫ E r dA = E r ∫ dA
vereinfachend durch die Symmetrie der Kugel mit der Oberfläche: O =
-
radiales E-Feld
Kugeloberfläche mit Radius r („Igelgleichung“)
radialer Anteil des E-Feldes: En = E · n = Er.
Daraus folgt: E r 4πr
2
=
q
ε0
⇒
Er =
∫ dA = 4πr
1 q
.
4πε 0 r 2
Herleitung des Coulombschen Gesetzes mit F = Q · Er.
b. Herleitung der differentiellen Form des Gaußschen Gesetzes:
E=
r3 =
1
4πε 0
1 r
V
ρ
1
V
3V
4π
1
E=
4πε 0
ρ r
1
dq
∫ r 2 r dq = E = 4πε 0 ∫ r 2 r dV = 4πε 0 ∫ r 3 r dV , da ρ = dV
V
Einheitsvektor
ρ ∫ dV
V
3V
4π
r=
1 ρ
r
ε0 3
, da
∫ dV = V
V
1 ρ
1 ρ
1 ρ
r =
∇⋅r =
ε0 3
ε0 3
ε0 3
1 ρ  ∂x ∂y ∂z  1 ρ
1
=
⋅  , ,  =
⋅ (1 + 1 + 1) =
ε 0 3  ∂x ∂y ∂z  ε 0 3
ε0
divE = ∇ ⋅ E = ∇ ⋅
 ∂ ∂ ∂ 
⋅  , ,  ⋅ (x, y , z )
 ∂x ∂y ∂z 
ρ
ρ
ρ
⋅3 =
⇒ divE =
3
ε0
ε0
In dieser Form wird diese Gleichung auch Poisson-Gleichung genannt wird.
.
2
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II. Gaußsches Gesetz
Viel kann man dazu nicht sagen.
Das Gaußsche Gesetz des Magnetismus geht auf die Eigenschaft von magnetischen Feldern
ein.
-
Es gibt keine magnetischen Ladungen.
Es gibt keine magnetischen Ströme
Es gibt keine magnetischen Monopole
Die magnetischen Feldlinien sind stets geschlossen.
III. Faradaysches Induktionsgesetz
Die Änderung des magnetischen Flusses erzeugt („induziert“) eine Spannung, die
Induktionsspannung: U ind = −
dΦ m
dt
mit
Φ m = ∫ B dA
Dabei wirkt die Regel von Lenz, die das Voreichen erklärt:
Die induzierten Ströme sind stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken.
dB/dt
Ändert sich der magnetische Fluss, der eine
Leiterschleife durchsetzt, dann erzeugt das ein
elektrisches Feld, welches seinerseits Ursache
einer Spannung ist. Durch die Lenzsche Regel
ergibt sich die linke Hand Regel (Linksschraube).
Eradial
Allgemeine Formulierung des Faradayschen Gesetzes:
U ind = ∫ E dl = −
C
dΦ m
dt
Das Elektrische Feld verläuft tangential zum Leiter es ist daher nicht konservativ.
Beispiel: Leitender Stab mit der Länge l, der sich senkrecht zum Magnetfeld B bewegt
induziert eine Spannung mit dem Betrag:
d m
U = Φ =Blv
dt
Wird in einem elektrischen Leiter ein Kreisstrom induziert, der aufgrund einer magnetischen
Flussänderung erzeugt wird, dann bezeichnet man diese als Wirbelströme.
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IV. Ampèresches Gesetz (Ampèresches Verkettungsgesetz, Durchflutungsgesetz)
Für eine beliebige geschlossene Kurve gilt:
∫ B dl = µ0IC .
C
Dabei seien die Ströme IC stetig, sie beginnen oder enden nicht an einem bestimmten
Raumpunkt.
Unendlich langer, gerader, stromdurchflossener Leiter:
∫ B dl = B ∫ dl = µ0IC
dl
B
C
C
B (2πr ) = µ 0I
µ I
B= 0
2π r
r
IC
Feldberechnung für eine Zylinderspule (Solenoid)
Iaus
n
d
c
l
B
a
b
Iein x x x x x x x x x x x x x x x x
∫ B dl = µ0IC
C


 b

c
d
a

∫ B dI = l  ∫ B dI + ∫ B dI + ∫ B dI + ∫ B dI  = µ0 ⋅ n ⋅ IC ⋅ l
C
b
c
d
 a

dl ⊥ B
H =0
dl ⊥ B 

B = µ 0 ⋅ n ⋅ IC
Außerhalb der Spule ist das magnetische Feld inhomogen, da l
∞ geht H(B)
0.
Zu dem gleichen Ergebnis gelangt man mit Hilfe des Biot-Savartschen Gesetzes, welches das
magnetische Feld von Strömen beschreibt:
µ
dB = 0
4π
r
r = µ 0 I dl × r ⇒ B = µ 0 I dl × r .
∫ 4π r 3
4π r 3
r2
I dl ×
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Maxwellscher Verschiebungsstrom
Kondensatorplatten
A2
A1
C
Das Ampèresche Gesetzt gilt nur für nichtunterbrochene Ströme.
Es wird dabei keine Aussage gemacht über die Form der Fläche A, die von der Kurve C
umrandet wird.
Die Fläche A1 und A2 sind beide von C umrandet, A2 ist jedoch nicht eben. Die Fläche A1 wird
vom Ladestrom I durchflossen, jedoch nicht die Fläche A2. Demnach wäre für das Kurvenintegral für A1 der Wert µ0I, für A2 wäre es 0.
Die Mehrdeutigkeit für den Wert des Kurvenintegrals ist problematisch.
Daher muss das Ampèresche Gesetz dahingehend verallgemeinert werden, dass es dieser
Problematik genügt.
Maxwell ersetzt I aus µ0I durch die Summe aus Leitungsstrom I und dem Maxwellschen
Verschiebungsstrom IV:
IV = ε 0
dΦ e
.
dt
Der Maxwellsche Verschiebungsstrom wird so genannt, weil Ladungen verschoben werden
(z.B. von den Kondensatorplatten).
Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz:
∫ B dl = µ0 (I + IV ) = µ0I + µ0ε 0
dΦ e
.
dt
C
Die Summe aus I + IV stellt dann einen verallgemeinerten Strom dar. Die Mehrdeutigkeit wird
nun darum behebt, dass um die Flächen jeweils der gleiche verallgemeinerte Strom fließen
muss.
Falls in das Volumen ein Nettoleitungsstrom von I herausfließt, dann muss aus dem zweiten
Volumen ein Netto-Verschiebungsstrom IV wieder herausfließen!
Elektrische Stromdichte:
j :=
dI
dA
Differentielle Form der IV. Maxwellgleichung (genaue Herleitung siehe Tipler):
∇ × B = µ 0 ⋅ j + µ 0ε 0
∂E
= I + IV
∂t
Björn Schulz, Berlin, 180903, Ausarbeitung zum Wahlthema „Maxwell-Gleichungen“ im Physik-Vordiplom