Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen

Fachschaft Informatik
Informatik 11
Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen
Michael Steinhuber
König-Karlmann-Gymnasium Altötting
15. Januar 2016
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Inhaltsverzeichnis I
1
2
3
4
5
6
7
8
Datenstruktur Schlange
Warteschlange als Feld
Warteschlange als Liste
Die Methode ”einfuegen()”
Die Methode ”informationenAusgeben()”
Die Methode ”entfernen()”
Trennung von Struktur und Inhalt
Modellierungsaufgabe
Datenstruktur Liste
Entwurfsmuster Kompositum
Datenstruktur Stapel
Datenstruktur Schlange
Die rekursive Datenstruktur Baum
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Inhaltsverzeichnis II
Suchen in Binärbäumen
Einfügen in Binärbäume
Baum und Kompositum
Baumdurchlauf
Exkurs 1 - Knoten löschen
Exkurs 2 - B-Baum
9
Die Datenstruktur Graph
Eigenschaften von Graphen
Adjazenzmatrix
Breitensuche
Tiefensuche
Adjazenzliste
Dijkstra-Alorithmus
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2.1 Datenstruktur Schlange
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2.1.1 Warteschlange als Feld
Übung Warteschlange mit Datenstruktur Feld
Implementiere eine Warteschlange mit Hilfe der Datenstruktur
Feld, die die abgebildeten Attribute und Methoden besitzt.
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Nachteile dieser Implementierung
• Die Warteschlange besitzt immer eine maximale Anzahl
an Elementen (selbst bei sehr hoher Feldgröße).
• Im Feld gibt es fast immer freie Plätze (Verschwendung
von Speicherplatz).
• Beim Entfernen von Elementen müssen die übrigen
Elemente aufrücken (sehr umständlich).
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2.1.2 Warteschlange als Liste
Objektdiagramm einer Warteschlange
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Klassendiagramm der Warteschlange
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Erweitertes Klassendiagramm der
Warteschlange
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2.1.3 Die Methode ”einfuegen()”
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2.1.4 Die Methode
”informationenAusgeben()”
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2.1.5 Die Methode ”entfernen()”
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Kundenwarteschlange
Plane eine Warteschlange Kunden. An welchen Stellen unserer
Implementierung müssen wir Änderungen vornehmen?
Probleme bei dieser Art der Implementierung
• Die Klasse Patient hat zwei Aufgaben:
• (A) Verwaltung der Daten (Patientenname)
• (B) Verwaltung der Referenzen auf die Nachfolger
• Dies stört bei der Wiederverwendung der
WARTESCHLANGE für andere Zwecke (z.B.
Druckaufträge).
Lösung/Ziel ist es, die Aufgabe (B) in eine eigene Klasse
KNOTEN auszulagern.
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2.2 Trennung von Struktur und Inhalt
Objektdiagramm der Warteschlange
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2.2 Trennung von Struktur und Inhalt
Klassendiagramm der Warteschlange
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2.2 Trennung von Struktur und Inhalt
Probleme bei dieser Art der Implementierung
• Die Klassen WARTESCHLANGE und KNOTEN müssen
immer noch wissen, welche Elemente (der Typ der
Elemente) sie verwalten.
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2.2 Trennung von Struktur und Inhalt
Klassendiagramm der Warteschlange
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Warteschlange mit Java API
import java . util . LinkedList ;
public class WARTESCHLANGE
{
private LinkedList < DATENELEMENT > Warteschlange ;
public WARTESCHLANGE ()
{
Warteschlange = new LinkedList < DATENELEMENT >() ;
}
public void einfuegen ( DATENELEMENT n e u e s D a t e n e l e m e n t )
{
Warteschlange . add ( n e u e s D a t e n e l e m e n t ) ;
}
public DATENELEMENT entfernen ()
{
return Warteschlange . remove () ;
}
public void i n f o r m a t i o n e n A u s g e b e n ()
{
for ( int i = 0; i < Warteschlange . size () ; i ++)
{
System . out . print ( Warteschlange . get ( i ) . i n f o r m a t i o n e n A u s g e b e n () + " "
);
}
System . out . println () ;
}
}
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2.3 Modellierungsaufgabe
1
1
Quelle: Abitur Informatik Bayern 2011
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2.3 Modellierungsaufgabe
2
2
Quelle: Abitur Informatik Bayern 2011
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2.3 Modellierungsaufgabe
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Erweiterte Anforderungen an die Datenstruktur
Wir wollen unsere Datenstruktur erweitern:
• Elemente sollen an bestimmten Stellen der Warteschlange
angefügt und entfernt werden könnten. Dies gilt auch für
ganz vorne.
• Die Warteschlange soll Informationen darüber ausgeben,
wie viele Knoten sie beinhaltet.
• Es soll überprüft werden können, ob sich ein
Datenelement in der Warteschlange befindet.
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2.4 Datenstruktur Liste
Liste
Da diese Anforderungen über die an eine Warteschlange
hinausgehen, bezeichnen wir die Datenstruktur als einfach
verkettete Liste.
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2.4 Datenstruktur Liste
Operationen auf Zeichenketten
Um Zeichenketten (und andere Objekte) miteinander
vergleichen zu können gibt es verschiedene Methoden:
• equals(vergleichswert):boolean: Gibt true zurück, falls
Zeichenketten identisch, sonst false (Beispiel:
variable.equals(”Test”);)
• compareTo(vergleichswert):int: Gibt eine ganze Zahl
zurück. Dabei entspricht bei [StringA] compareTo
[StringB]:
• =0: Beide Strings sind identisch.
• <0: [StringA] kommt lexikographisch vor [StringB].
• >0: [StringB] kommt lexikographisch vor [StringA].
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2.5 Entwurfsmuster Kompositum
In fast allen Methoden der Klasse KNOTEN wird eine
Fallunterscheidung bezüglich des Nachfolgers (für letzten
Knoten) benötigt.
Um diese zu umgehen, hat es sich bewährt, eine eigene Klasse
ABSCHLUSS zu definieren, die kein Datenelement
referenziert, sondern nur das Ende der Liste verwaltet.
ABSCHLUSS und KNOTEN sind Unterklassen der Klasse
LISTENELEMENT, welche nur die Signaturen der Methoden
beinhaltet.
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2.5 Entwurfsmuster Kompositum
Entwurfsmuster Kompositum
Kompositum ist ein Entwurfsmuster (engl. Design Pattern) in
der Softwareentwicklung.
Diese Entwurfsmuster sind bewährte Lösungsschablonen für
wiederkehrende Entwurfsprobleme.
In allgemeiner Form sieht dieses Entwurfsmuster so aus:
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2.6 Datenstruktur Stapel
Prinzip:
Last in First out
LiFo (oder wer zuletzt kommt, darf als erster gehen“)
”
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2.6 Datenstruktur Stapel
Definition:
Eine Datenstruktur heißt Stapel, wenn Elemente nur an einem
Ende, der Stapelspitze (top), hinzugefügt oder entfernt
werden können.
Für Stapel sind die folgenden Operationen definiert:
• Erzeugen eines leeren Stapels (init)
• Hinzufügen eines Elements (push)
• Prüfung, ob ein gegebener Stapel leer ist (isempty)
• Inspizieren der Stapelspitze (top)
• Entfernen der Stapelspitze (pop)
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2.6 Datenstruktur Stapel
Anwendungen:
Auswerten von Rechenausdrücken, syntaktische Analyse von
Programmen, Bau von Übersetzern, Undo, Aufrufen von
Unterprogrammen, Tiefensuche in Graphen,...
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2.7 Datenstruktur Schlange
Prinzip:
First in First out, FiFo (oder wer zuerst kommt, mahlt
”
zuerst“)
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Datenstruktur Schlange
Definition:
Eine Datenstruktur heißt Schlange, wenn Elemente nur an
einem Ende (dem Ende der Schlange) angefügt und nur am
anderen Ende (dem Kopf der Schlange) entfernt werden
können.
Für Schlangen sind die folgenden fünf Operationen definiert:
• Erzeugen einer neuen leeren Schlange (init)
• Hintenanfügen eines Elements an eine gegebene Schlange
(enqueue oder enter bzw. put)
• Prüfung, ob die Schlange leer ist (isempty)
• Inspizieren des Schlangenkopfes (front)
• Entfernen des Schlangenkopfes (dequeue oder remove
bzw. get)
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Datenstruktur Schlange
Anwendungen:
Druckaufträge (Druckerwarteschlange), Verwaltung von
Prozessaufrufen im Betriebssystem, Hardwareschnittstellen zur
seriellen Ein-/Ausgabe (Pufferspeicher z.B. Tastatur), ...
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2.8 Die rekursive Datenstruktur Baum
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2.8 Die rekursive Datenstruktur Baum
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2.8 Die rekursive Datenstruktur Baum
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2.8 Die rekursive Datenstruktur Baum
Baum
Aus einer einfach verketteten Liste entsteht ein Baum, indem
die Knoten jeweils mehrere Nachfolger haben können und
zusätzlich gilt:
• Genau ein Knoten wird nicht von einem anderen Knoten
referenziert. Diesen nennt man Wurzel des Baumes.
• Alle anderen Knoten werden genau einmal referenziert.
Man unterscheidet zwischen inneren Knoten und
Blättern. Jeder Knoten lässt sich von der Wurzel aus auf
genau einem Weg (über Kanten) erreichen.
Ein spezieller Baum ist der Binärbaum. Dieser besitzt Knoten
mit höchstens zwei Nachfolgern.
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2.8 Die rekursive Datenstruktur Baum
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2.8 Die rekursive Datenstruktur Baum
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2.8 Die rekursive Datenstruktur Baum
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2.8.1 Suchen in Binärbäumen
Klasse BINBAUM
public DATENELEMENT suchen ( String wert )
{
if ( Wurzel != null ) return Wurzel . suchen ( wert ) ;
else return null ;
}
Klasse KNOTEN
public DATENELEMENT suchen ( String wert )
{
if ( Daten . s c h l u e s s e l I s t G l e i c h ( wert ) ) return Daten ;
else if ( Daten . s c h l u e s s e l I s t G r o e s s e r A l s ( wert ) )
{
if ( L i n k e r N ac h f o l g e r != null ) return L i n k e r N a c h f o l g er . suchen ( wert ) ;
else return null ;
}
else
{
if ( R e c h t e r N a c h f o l g e r != null ) return R e c h t e r N a c h f o l g e r . suchen ( wert ) ;
else return null ;
}
}
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2.8.2 Einfügen in Binärbäume
Klasse BINBAUM
public void einfuegen ( DATENELEMENT daten )
{
if ( Wurzel != null ) Wurzel . einfuegen ( daten ) ;
else Wurzel = new KNOTEN ( daten ) ;
}
Klasse KNOTEN
public void einfuegen ( DATENELEMENT daten )
{
if ( Daten . istGleich ( daten ) ) {}
else if ( Daten . i stGroess erAls ( daten ) )
{
if ( L i n k e r N ac h f o l g e r != null ) L i n k e r N a c h f o l g e r . einfuegen ( daten ) ;
else L i n k e r N a c h f o l g e r = new KNOTEN ( daten ) ;
}
else
{
if ( R e c h t e r N a c h f o l g e r != null ) R e c h t e r N a c h f o l g e r . einfuegen ( daten ) ;
else R e c h t e r N a c h f o l g e r = new KNOTEN ( daten ) ;
}
}
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2.8.3 Baum und Kompositum
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2.8.3 Baum und Kompositum
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2.8.3 Baum und Kompositum
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Klasse
BINBAUM
2.8.3 Baum
und Kompositum
public DATENELEMENT suchen ( String wert )
{
return Wurzel . suchen ( wert ) ;
}
Klasse KNOTEN
public DATENELEMENT suchen ( String wert )
{
if ( Daten . s c h l u e s s e l I s t G l e i c h ( wert ) ) return Daten ;
else if ( Daten . s c h l u e s s e l I s t G r o e s s e r A l s ( wert ) )
return L i n k er N a c h f o l g e r . suchen ( wert ) ;
else return R e c h t e r N a c h f o l g e r . suchen ( wert ) ;
}
Klasse ABSCHLUSS
public DATENELEMENT suchen ( String wert )
{
return null ;
}
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Klasse
BINBAUM
2.8.3 Baum
und Kompositum
public void einfuegen ( DATENELEMENT daten )
{
Wurzel = Wurzel . einfuegen ( daten ) ;
}
Klasse KNOTEN
public void einfuegen ( DATENELEMENT daten )
{
if ( Daten . istGleich ( daten ) ) {}
else if ( Daten . i stGroess erAls ( daten ) )
L i n k e r N a c h f o l g er = L i n k e rN a c h f o l g e r . einfuegen ( daten ) ;
else
R e c h t e r N a c h f o l g e r = R e c h t e r N a c h f o l g e r . einfuegen ( daten ) ;
}
Klasse ABSCHLUSS
public BAUMELEMENT einfuegen ( DATENELEMENT daten )
{
return new KNOTEN ( daten ) ;
}
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2.8.4 Baumdurchlauf
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2.8.4 Baumdurchlauf
Definition
Wenn man alle Elemente eines Baumes ausgeben möchte,
muss man sich Strategien überlegen, in welcher Reihenfolge
der Baum durchlaufen wird.
Der Zugriff auf die einzelnen Knoten eines Baumes ist nur
über die Wurzel möglich. Deshalb sind Algorithmen
notwendig, die beim Durchlaufen eines Baumes jeden Knoten
genau einmal besuchen und Informationen über dessen
Datenelement ausgeben. Folgende drei (rekursive)
Algorithmen leisten das Gewünschte:
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2.8.4 Baumdurchlauf
inoder Baumdurchlauf
inorder-Durchlauf (Reihenfolge: L K R )
• Beauftrage den linken Teilbaum des Knotens k mit
inorder-Durchlauf
• Besuche den Knoten k selbst
• Beauftrage den rechten Teilbaum des Knotens k mit
inorder-Durchlauf
Beispiel: 1-3-4-5-7-8-9-10-14-15-17-18-19
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Klasse
BINBAUM
2.8.4 Baumdurchlauf
(Implementierung)
public void in or d er Au sg e be n ()
{
Wurzel . i no rd e rA us ge b en () ;
}
Klasse KNOTEN
public void in or d er Au sg e be n ()
{
L i n k e r N a c h f o lg e r . i no rd e rA us ge b en () ;
Daten . i n f o r m a t i o n A u s g e b e n () ;
R e c h t e r N a c h f o l g e r . i no rd e rA us ge b en () ;
}
Klasse ABSCHLUSS
public void in or d er Au sg e be n ()
{ }
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2.8.4 Baumdurchlauf
preorder Baumdurchlauf
preorder-Durchlauf (Reihenfolge: K L R)
• Besuche den Knoten k selbst
• Beauftrage den linken Teilbaum des Knotens k mit
preorder-Durchlauf
• Beauftrage den rechten Teilbaum des Knotens k mit
preorder-Durchlauf
Beispiel: 9-5-3-1-4-7-8-17-14-10-15-18-19
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2.8.4 Baumdurchlauf
postorder Baumdurchlauf
postorder-Durchlauf (Reihenfolge: L R K )
• Beauftrage den linken Teilbaum des Knotens k mit
postorder-Durchlauf
• Beauftrage den rechten Teilbaum des Knotens k mit
postorder-Durchlauf
• Besuche den Knoten k selbst
Beispiel: 1-4-3-8-7-5-10-15-14-19-18-17-9
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2.8.5 Exkurs 1 - Knoten löschen
Vorgehen beim Löschen - 1
Es gibt drei Fälle, die beim Löschen eines Datenelements
eintreten können:
• Das DATENELEMENT wird von einem Knoten k
referenziert, der keine Kinder hat (Nur Abschlüsse als
Nachfolger): k wird gelöscht, ein beliebiger Nachfolger
(ABSCHLUSS) wird zurückgegeben.
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2.8.5 Exkurs 1 - Knoten löschen
Vorgehen beim Löschen - 2
• Das DATENELEMENT wird von einem Knoten k
referenziert, der ein Kind hat: k wird durch das Kind
ersetzt.
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2.8.5 Exkurs 1 - Knoten löschen
Vorgehen beim Löschen - 3
• Das DATENELEMENT wird von einem Knoten k
referenziert, der zwei Kinder hat: Dann bleibt Knoten k
erhalten. Das DATENELEMENT in k wird durch das
kleinste DATENELEMENT des rechten Teilbaums (bzw.
größte DATENELEMENT des linken Teilbaums) von k
ersetzt . Jedes dieser beiden DATENELEMENTe wird von
einem Knoten referenziert, der höchstens ein Kind besitzt
und daher wie in Fall 1 oder 2 entfernt werden kann.
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2.8.6 Exkurs 2 - B-Baum
3
3
Quelle: Haui/My Images:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:B-tree-aggregated-example.png
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2.9 Die Datenstruktur Graph
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2.9.1 Eigenschaften von Graphen
Unterschied Baum - Graph
• Ein Knoten in einem Baum hat höchstens einen
Vorgänger - in einem Graphen kann er mehr als einen
haben.
• In einem Baum gibt es keine Zyklen (Pfad, bei dem der
Start- und Zielknoten identisch sind).
• Ein Baum ist ein spezieller Graph.
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2.9.1 Eigenschaften von Graphen
Definition
Ein Graph G = (V , E ) besteht aus einer nichtleeren Menge
von Knoten V und einer endlichen Menge von Kanten E . Eine
Kante verbindet zwei Knoten.
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2.9.1 Eigenschaften von Graphen
Definition Gerichtung
• Bei gerichteten Graphen gibt es eine eindeutige Richtung
der Kante von einem Startknoten zu einem Zielknoten.
• Bei ungerichteten Graphen gilt die Verbindung für beide
Richtungen.
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2.9.1 Eigenschaften von Graphen
Definition Gewichtung
• Bei einem gewichteten Graph wird jeder Kante ein Wert
zugeordnet
• Bei einem ungewichteten Graph besitzen die Kanten
keine Werte.
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2.9.1 Eigenschaften von Graphen
Definition Zusammenhängend 1
• Ungerichteter Graph: Ein ungerichteter Graph ist
zusammenhängend, wenn von jedem Knoten zu jeden
anderen Knoten mindestens ein Pfad existiert.
Dieser Graph ist zusammenhängend. Ohne Kante zwischen A
und D ist er nicht zusammenhängend!
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2.9.1 Eigenschaften von Graphen
Definition Zusammenhängend 2
• Gerichteter Graph: Ein gerichteter Graph ist (stark)
zusammenhängend, falls es von jedem Knoten aus einen
gerichteten Weg zu jeden anderen Knoten im Graph gibt.
Dieser Graph ist (stark) zusammenhängend. Ohne Kante zwischen E und C ist er nicht (stark)
zusammenhängend! Da dieser Graph aber als ungerichteter Graph zusammenhängend wäre, ist er
(schwach) zusammenhängend.
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2.9.1 Eigenschaften von Graphen
Teiler
Ein Graph hat die Zahlenwerte 1 bis 9 als Knoten. Über die
Beziehung ist echter Teiler von“ sind diese gerichtet
”
miteinander verbunden.
1 Wie viele Kanten gibt es? Zeichne den Graphen
2 Welcher Knoten muss entfernt werden, damit der Graph
nicht mehr zusammenhängend ist?
3 Wie ändert sich der Graph, wenn die Beziehung ist
”
Teiler von“ lautet?
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2.9.1 Eigenschaften von Graphen
Klassendiagramm
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2.9.2 Adjazenzmatrix
Definition
Für die weitere Betrachtung von Algorithmen auf der
Datenstruktur Graph bietet sich die “einfachere“ Umsetzung
mittels Adjazenzmaritx an. Dabei werden die
Kanteninformationen in der GRAPH-Klasse belassen und nur
die Knoten-Informationen in der Klasse KNOTEN ausgelagert.
In Java kann man die Kanteninformationen über ein
zweidimensionales Feld definieren.
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2.9.2 Adjazenzmatrix
nach
von
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A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
10
2
12
12
E
F
5
8
3
8
10
2
5
8
G
6
6
3
8
12
12
2.9.2 Adjazenzmatrix
nach
von
A
B
C
D
E
F
Folie 71/77
A
B
C
D
9
3
E
F
5
4
8
1
5
2
2.9.2 Adjazenzmatrix
Klassendiagramm
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2.9.2 Adjazenzmatrix
Folie 73/77
2.9.3 Breitensuche
Siehe Folien - Breitensuche Warteschlange.pdf
Folie 74/77
2.9.4 Tiefenensuche
Siehe Folien - Tiefensuche Rekursiver Aufruf.pdf und
Tiefensuche Stack.pdf
Folie 75/77
2.9.5 Adjazenzliste
Folie 76/77
2.9.6 Dijkstra-Alorithmus
Siehe Folien - Dijkstra Prioritätswarteschlange.pdf
Folie 77/77