10 Üben 1 Harmonie 10 Lösung 1
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Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben XX Anwendungsaufgaben 1 Harmonie Bei einer Tonleiter hat der höchste Ton einer Oktave eine doppelt so große Schwingungszahl wie ihr Grundton. Bei der “gleichmäßig temperierten” Tonleiter werden zwischen diesen beiden Tönen 11 weitere Töne so eingeschaltet, dass die Schwingungszahlen von je zwei aufeinanderfolgenden der insgesamt 13 Töne denselben Quotienten haben. Wie groß ist dieser Quotient (auf 2 Dezimalen genau). Ermittle die Schwingungszahlen aller Töne einer Oktave, deren Grundton A die Schwingungszahl 440 Hz hat. Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung XX Anwendungsaufgaben 1 Bei dreizehn Tönen wird die Oktave in insgesamt 12 Intervalle eingeteilt. Je zwei aufeinanderfolgende Töne haben denselben Quotienten x. Alle 12 Intervalle zusammen haben den Quotient 2. Es gilt dann 1 x12 = 2 ⇔ x = 12 2 = 2 12 f A = 440Hz 1 f B = 440 ⋅ 2 12 Hz 2 f H = 440 ⋅ 2 12 Hz # 12 f A` = 440 ⋅ 2 12 Hz = 440 ⋅ 2Hz = 880Hz 440,00 466,16 493,88 523,25 554,37 587,33 622,25 659,26 698,46 739,99 783,99 830,61 880,00 Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz 900 800 f in Hz A B H C Cis D Es E F Fis G Gis A' 700 600 500 400 300 A B H C D Cis Es E F G Fis A' Gis Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben XX Anwendungsaufgaben 2 Rätselhaftes Als De Morgan, ein im 19. Jahrhundert lebender englischer Mathematiker, nach seinem Alter gefragt wurde, antwortete er: “Als ich x Jahre alt war, schrieb man das Jahr x 2 ”. Wann wurde De Morgan geboren? Augustus De Morgan 18?? - 1871 Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung XX Anwendungsaufgaben 2 De Morgan lebte im 19. Jahrhundert, also zwischen 1800 und 1899 n.Chr. x 2 muss demnach eine Zahl in diesem Bereich sein. Wenn du etwas mit den Zahlen rumprobierst, stellst du fest: 42 2 = 1764 432 = 1849 44 2 = 1936 Es muss demnach x = 43 sein. Also war De Morgan im Jahr 1849 n.Chr. 43 Jahre alt. Er wurde im Jahr 1806 n.Chr. geboren. Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben XX Anwendungsaufgaben 3 Zinsen II Ein Bankguthaben von 1000€ ist in 10 Jahren mit Zinseszins auf 1628,89€ angewachsen. Wie hoch war der (jährliche) Zinssatz? Hinweis: Aufgabe 5 behandelt auch das Thema Zinsen. Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung XX Anwendungsaufgaben 3 1000€ ⋅ x10 = 1628,89€ 1628,89€ x10 = 1000€ 10 x = 1,62889 x = 10 1,62889 ≈ 1,050 Der Zinssatz beträgt 5,0% Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben X Anwendungsaufgaben 4 Das Weltall – unendliche Weite Astronomen ermittelten die folgenden Größen: Durchmesser Volumen Sonne 1, 392 ⋅ 10 km 1, 411 ⋅ 10 km Erde 1, 275 ⋅ 104 km 1,084 ⋅ 1012 km 3 6 Masse 18 3 1,990 ⋅ 1030 kg 5,974 ⋅ 1024 kg Gib den Durchmesser, Volumen und Masse der Sonne als Vielfaches der entsprechenden Größen der Erde an. Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung X Anwendungsaufgaben 4 Der Sonnendurchmesser ist das 1, 392 ⋅ 106 km :1, 275 ⋅ 104 km ≈ 109, 2 -fache des Erddurchmessers. Das Sonnenvolumen ist das 1, 411 ⋅ 1018 km 3 :1,084 ⋅ 1012 km 3 ≈ 1,3 ⋅ 106 -fache des Erdvolumens. Die Sonnenmasse ist das 1,990 ⋅ 1030 kg : 5,974 ⋅ 1024 kg ≈ 3,3 ⋅ 105 -fache der Erdmasse Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben X Anwendungsaufgaben 5 Zinsen I Auf welchen Betrag ist ein Bankguthaben von 1000€ nach 4 Jahren mit Zins und Zinseszins angewachsen, wenn es jährlich mit 2,25% verzinst wurde? Hinweis: Aufgabe 3 behandelt auch das Thema Zinsen. Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung X Anwendungsaufgaben 5 Nach einem Jahr hat man 1000€ + 1000€ ⋅ 2, 25% = 1000€ ⋅ (1 + 2, 25% ) = 1000€ ⋅ (1 + 0,0225) = 1000€ ⋅ 1, 0225 = 1022,5€ . Nach zwei Jahren: 1022,5€ + 1022,5€ ⋅ 2, 25% = 1022,5€ ⋅ 1,0225 = 1000€ ⋅ 1,02252 = 1045,51€ Nach drei Jahren: 1045,51€ + 1045,51€ ⋅ 2, 25% = 1045,51€ ⋅ 1, 0225 = 1000€ ⋅ 1,02253 = 1069,03€ Nach vier Jahren: 1069, 03€ ⋅ 1, 0225€ = 1000€ ⋅ 1, 02254 = 1093,08€ Nach n Jahren hat man 1000€ ⋅ 1, 0225n . Merke dir, wie die Zahl 1,0225 gebildet wird: 100% + 2, 25% = 102, 25% = 1,0225 Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben X Anwendungsaufgaben 6 Der schizophrene Schweizer Maler Adolf Wölfli (1864-1930) erfand eigene Namen für Zehnerpotenzen, z.B.: Regoniff Ysanteron Corrant Horatif Miriaade für für für für für 1030 1051 1053 1078 und 1090 . Drücke Ysanteron durch jede der anderen “Einheiten” aus. Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung X Anwendungsaufgaben 6 Ysanteron = Regoniff ⋅1021 oder =Regoniff 2 ⋅10−9 Ysanteron = Corrant ⋅10−2 Ysanteron = Horatif ⋅10−27 oder = Horatif ⋅ 1012 Ysanteron = Miriaade ⋅10−39 oder = Miriaade ⋅ 106 Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben XXX Anwendungsaufgaben 7 Wie entstanden die Ringe um die Planeten Saturn? Für die Stabilität der Bahn eines Mondes nahe seinem Planeten sind bedeutsam: die Schwerkraft auf dem Mond, die Anziehungskraft des Planeten und die bei der Bewegung auftretende Fliehkraft. Unter Einwirkung dieser Kräfte zerfällt ein Mond, sofern er nicht wie ein riesiger Stein durch Molekularkräfte zusammengehalten wird, wenn für seinen Abstand a vom Planetenmittelpunkt gilt: a ≤ 2, 44 ⋅ rp 3 ρp ρM dabei ist ρ M ( ρ P ) die Dichte des Mondes (Planeten) und rp der Planetenradius. Dieser Satz wurde durch den französichen Mathematiker E. Roche um 1850 aufgestellt. Berechne den kritischen Abstand a und vergleiche ihn mit dem tatsächlichen Abstand d für unseren Erdmond: Erde: ρ P = 5,517g/cm3 , rP = 6368km Mond: ρ M = 3,341g/cm3 , d = 384000km Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung XXX Anwendungsaufgaben 7 a ≤ 2, 44 ⋅ rp 3 ρp 5,517g/cm3 = 2, 44 ⋅ 6368km 3 3,341g/cm3 ρM = 1,84 ⋅ 104 km Dies ist sehr viel kleiner als 384000km, also liegt unser Erdmond weit außerhalb der Roche-Grenze. Die Satelliten, die innerhalb ihrer Rochegrenze die Erde umkreisen, werden nicht zerrissen, denn sie bestehen aus Metall und sind deshalb elastisch. Ein Mond ähnelt in der Konsistenz eher einem getrockneten Batzen Lehm. Nun zur Entstehung der Ringe um den Saturn: Die Ringe um den Saturn (übrigens hat auch Jupiter ein sehr schwach ausgeprägtes Ringsystem) entstanden, weil ein kleiner Mond aus Eis und Staub innerhalb der Rochegrenzen kam und daraufhin zerrissen wurde. Die Überreste wurden so weit zerkleinert, bis nur noch kleinste Eis- und Staubpartikel übrig blieben. Diese umkreisen (in 4 bis 14 Stunden) so den Saturn, dass sie aussehen wie Ringe. Es fällt auf, dass das Ringsystem zweigeteilt ist. Die Lücke zwischen den beiden Ringsystemen kommt vom Mond Mimas, der auf seiner Bahn um den Saturn die Ringe schneidet. Dabei verdrängt er die Eis- und Staubteilchen. Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben X Anwendungsaufgaben 8 Wo die Mathematik ihren Ursprung nahm … Aus dem “Papyrus Rhind”, einem altägyptischen Rechenbuch (um 1700 v. Chr.): 7 Leute besitzen je 7 Katzen, jede Katze vertilgt 7 Mäuse, jede Maus frisst 7 Ähren, aus jeder Ähre können 7 Maß Körner wachsen. Wie viel Maß Gerste sind also den Katzen zu verdanken? Papyrus Rhind Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung X Anwendungsaufgaben 8 N = 7Leute = 7 ⋅ 7Katzen = 7 ⋅ 7 ⋅ 7Mäuse = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7Ähren = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7Maß Körner =75 = 16807 Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben XXX Anwendungsaufgaben 9 Keplergesetze Johannes Kepler hat das nach ihm benannte Gesetz gefunden: Die Planeten bewegen sich annähernd auf einer Kreisbahn um die Sonne. Für jeden Planeten in unserem Sonnensystem ist das Verhältnis aus dem Quadrat der Umlaufzeit und der dritten Potenz des Bahnradius gleich. T2 = konstant r3 a) Ergänzen Sie die fehlenden Werte in der folgenden Tabelle: Himmelskörper Relativer Relative Bahnradius* Umlaufzeit** Erde 1,00 1,00 Jupiter 5,20 Uranus 84,0 * als Vielfaches des Bahnradius der Erde ** als Vielfaches eines Erdjahres b) Wenn bekannt ist, dass der Jupiter einen Bahnradius von 7, 78 ⋅ 108 km hat, welche Strecke legt dann die Erde im Lauf eines Jahres auf ihrem Weg um die Sonne zurück? Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung XXX Anwendungsaufgaben 9 a) T2 1,002 C = =1 , aus der Tabelle entnimmt man den Daten für die Erde: = C 1,003 r3 Jupiter: Uranus: b) 3 T2 = 1 ⇒ T 2 = 5, 23 ⇒ T = 5, 2 2 ≈ 11, 9 ; ein Jupiterjahr entspricht also 11,9 Erdjahren. 3 5, 2 2 84,02 = 1 ⇒ r 3 = 84,02 ⇒ r = 84,0 3 ≈ 19, 2 ; er ist also 19,2 mal so weit von der Sonne 3 r entfernt wie die Erde. Die Erde bewegt sich annähernd auf einer Kreisbahn. Den Weg, den sie im Lauf eines Jahres zurücklegt, ist der Umfang des Kreises. 7,78 ⋅ 108 km = 2π = 9, 4 ⋅ 108 km U = 2π rE = 2π 5,20 5, 20 rJupiter Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben X Anwendungsaufgaben 10 Homöopathie Teil I In homöopathischen Arzneimitteln (Globuli) liegen die Wirkstoffe in verschiedenen Verdünnungen vor. Mischt man 1 Teil einer Wirksubstanz mit 9 Teilen des Verdünnungsmittels (z.B. Weingeist oder Milchzucker), so erhält man die erste Verdünnungsstufe D1 (D von decem, lat. Zehn). Die Wirksubstanz ist dann also der zehnte Teil der Mischung. Mischt man wieder 1 Teil der Stufe D1 mit 9 Teilen Verdünnungsmittel, so erhält man die Verdünnung D2. Jetzt ist die Wirksubstanz der hundertste Teil der Mischung. Setzt man dieses Verfahren fort, so erhält man D3, D4, … a) In welcher Verdünnung liegt der Wirkstoff in einem Medikament mit der Angabe D9 vor? b) Auf einem Medikament steht u.a. „Euphorbium D4, Pulsatilla D2, …, Argentum nitricum D10“. Gib jeweils den Anteil der Wirkstoffe in Zehnerpotenzen an! Wie viel g sind das jeweils, wenn für das Präparat 20g angegeben sind? Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung X Anwendungsaufgaben 10 a) 1:109 = 1:1000000000 b) D4 1:104 , D2 1:102 , D10 1:1010 In 20g Präparat sind dann enthalten: 20g = 0, 2g 102 20g = 0,002g Bei D4: 104 20g Bei D10: 10 = 2,0 ⋅ 10−9 g 10 Bei D2: Potenzierung als Verdünnung in Dezimalschritten Das entspricht einem Tropfen Potenz Verdünnung auf... D1 1: 10 ...das Volumen einer Erbse D2 1: 100 ...einen halben Esslöffel D3 1: 1000 ...zweieinhalb Schnapsgläser D6 1: 1 Million ...den Inhalt einer kleinen Mülltonne D9 1: 1 Milliarde ...einen Öltanklaster samt Anhänger D12 1: 1 Billion ...25 olympische Schwimmbecken D20 1: 100 Trillionen ...den Michigansee in den USA D23 1: 100 Trilliarden ...das Mittelmeer D30 1: 1 Quintillion ...50-mal das Volumen der Erde Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Üben XX Anwendungsaufgaben 11 Homöopathie Teil II c) Man kann davon ausgehen, dass ein Molekül des Wirkstoffes eine Masse in der Größenordnung 10−23 g besitzt. Wie viele Moleküle der Wirksubstanz sind dann in 20g eines Präparates bei der Verdünnung D24? Wie viele Moleküle sind das pro Tablette, wenn es 80 Tabletten sind? d) Es gibt auch Verdünnungsstufen der Reihe C (centum, lat. Hundert). Dabei werden von einer Stufe zur nächsten Verdünnungen im Verhältnis 1:100 durchgeführt. Rechne C7 in eine D-Potenz um! Rechne D10 in eine C-Potenz um! Klasse Art Schwierigkeit Thema Nr. 10 Lösung XX Anwendungsaufgaben 11 20g c) Masse des Wirkstoffes 24 Anzahl der Wirkstoffmoleküle = = 10−23 = 2 Masse eines Wirkstoffmoleküls 10 g 2 = 0,025 Wirkstoffmoleküle Wenn 80 Tabletten in der 20g-Packung sind, sind rein rechnerisch 80 pro Tablette. Dies ist einer der Kritikpunkte an der Homöopathischen Medizin. Wie soll ein Medikament heilen, obwohl es zu 100% aus Zucker besteht? Zu dem wird behauptet, dass die Wirksamkeit des Medikaments zunimmt, je größer der Verdünnungsgrad ist. Medizinische Studien konnten bisher keine – über den Plazeboeffekt hinausgehende – Wirkung von homöopathischen Arzneimitteln feststellen. d) C7 1:1007 = 1:1014 D14 D10 1:1010 = 1:1005 C5
