12 2. Die Newtonsche Mechanik daher nie universellen Charakter haben wie die Kräfte, die von Körpern auf andere Körper ausgeübt werden. Letztere sind aufzählbar, sie sind je nach physikalischem Problem in einem Inertialsystem wirksam und in die Bewegungsgleichung aufzunehmen. Scheinkräfte sind je nach der Abweichung von einem InertialSystemvon komplizierter Art. Eine Formulierung der Newtonschen Gesetze in einem beliebigen Nichtinertialsystem würde voraussetzen, daß man diese Scheinkräfte klassifizieren könnte und sie nach der Nichtinertialität des Bezugssystems einsetzte. Das impliziert aber, daß man ein Inertialsystem kennt und somit ist man wieder auf das Newtonsche Konzept zurückgeführt, nämlich in einem Inertialsystem die Bewegungsgleichung zu formulieren und nur Kräfte zuzulassen, die von Körpern auf andere Körper wirken. Dieses Gesetz hat die gleiche Struktur wie das Gravitationsgesetz. Betrachtet man zwei Protonen, so ziehen sich diese an auf Grund der Gravitationskraft, und sie stoßen sich ab auf Grund der Coulomb-Kraft. Die Coulomb-Kraft ist dabei w 1O36mal stärker als die Gravitationskraft. Daß sich elektrische Kräfte in der Alltagswelt so wenig bemerkbar machen, liegt daran, daß es sowohl positive als auch negative Ladungen gibt. Gerade wegen der Stärke der elektromagnetischen Kräfte werden sich positive und negative Ladungen nach Möglichkeit kompensieren. Massen sind andererseits immer positiv, und Gravitationskräfte können nicht wie elektrische Kräfte abgeschirmt werden. Dies ist der Grund dafür, daß sie trotz ihrer relativen Schwäche leichter zu beobachten sind. iv) Auch geschwindigkeitsabhängige Kraftgesetze spielen in der Physik eine Rolle. Ein fundamentales Gesetz ist das folgende, das in Situationen gilt, in denen Teilchen eine elektrische Ladung e tragen. Befindet sich solch ein Teilchen in einem elektrischen Feld E(v, t) und einem magnetischen Induktionsfeld B(r, t), so wirkt auf das Teilchen die Kraft vi) Zum Schluß sei noch ein weiteres geschwindigkeitsabhängiges Kraftgesetz angegeben. Auch durch Reibung kann eine Bewegung beeinflußt werden. Man stellt experimentell fest, daß diese Reibungskraft für kleine Geschwindigkeiten proportional der Geschwindigkeit und der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist : K&Y,t)=e[E(r,t)+YxB(r,t)] l (2.3.13) & nennt man auch die Lorentz-Kraft. Diese Kraft hängt also auch noch von der Geschwindigkeit des Massenpunktes ab, sie kann sogar zusätzlich explizit von der Zeit abhängen, wenn E und B dieses tun. Die Lorentz-Kraft ist also die Kraft auf ein Teilchen mit einer elektrischen Ladung -e in einem elektromagnetischen Feld. Die Felder E und B sollen hier von anderen geladenen Teilchen verursacht werden. v) Die Kraft, die zwei ruhende Ladungen ql, q2, die sich am Orte Pl bzw. P2 befinden, aufeinander ausüben, wird beschrieben durch das Coulomb-Gesetz’l K 12=--- 1 w72 47rEO r3 Y mit -lci $ #>O . (2.3.15) Für den freien Fall mit Berücksichtigung der Reibung wäre so mY=mg-Ici (2.3.16) die Bewegungsgleichung, die es zu lösen gilt. 2.4 Der Energiesatz für einen Massenpunkt in einem Kraftfeld 2.4.1 Wegintegrale r=PT2,, (2.3.14) 47r&()= IJ126 x 10s10 CV1 m-l KR = . l1 Coulomb, Charles Auguste de (* 1736 Angouleme, t 1806 Paris). In den Jahren 17844789 entscheidende Abhandlungen über Elektrizitätslehre und Magnetismus. Die von ihm erfundene Drehwaage ermöglichte ihm die Entdeckung des Kraftgesetzes zwischen ruhenden Ladungen. Wir wollen einen Massenpunkt der Masse m betrachten, der unter dem Einfluß eines zeitunabhängigen Kraftfeldes steht. Es sei also K(t) = F (r(t)) . Dann lautet die Bewegungsgleichung mv(t) = F (r(t)) . (2.4.1) 13 2.4 Der Energiesatz für einen Massenpunkt in einem Kraftfeld Multipliziert man nun diese Gleichung skalar mit +: (2.4.2) mW=K(r)*Y und integriert man beide Seiten über t von l1 nach tz , so erhält man für die linke Seite 22 m s dtP+=?m 1 t1 t2 1 d 1 dt dt (p)=2m+2 t2 t1 t1 1 2 Ehe wir auf die physikalische Bedeutung dieses Wegintegrals Al2 (C) eingehen, müssen wir uns über einige Eigenschaften von allgemeinen Wegintegralen über Vektorfelder informieren. i) Allgemein nennt man ein Vektorfeld =T(t2) - T(t,)mit T =-mf2 a) Anfangs- und Endpunkt des Weges, b) den Weg selbst zwischen den Punkten, c) den Integranden, d.h. ein Vektorfeld. . (2.4.3) .Tc F(r, t) l dr = j F(r(a’), , Für die rechte Seite erhält man das Integral ; F@(t))-% (2.4.4) dt . Dabei ist r(t) in K@(t)) eine Lösung der Bewegungsgleichung. Sei r (tl) = rl, r(t2) = y2 und sei C das Stück der Bahn zwischen y1 und r2, so schreiben wir auch s P@(t))-y dt= 7 P(r)& . (2.4.5) ri,C t1 Der Ausdruck qJ2; C,O=42(C) W2) dz dt . l da’ (2.4.8) ii) Ein Vektorfeld F(r, t) ist konservativ genau dann, wenn das Wegintegral über einen jeden geschlossenen Weg verschwindet. Das ist offensichtlich, denn seien C1 und C2 zwei Wege von y1 nach r2 (Abb. 2.4.1). Ist F konservativ, so ist Il r2 s ,Cl F*dr= Fl 1 F*dr=Pl $2 s F-du, (2.4.9) r29-c2 also ist s ClU-c2 Fedr=O. (2.4.10) Ist umgekehrt jedes Wegintegral über einen geschlossenen Weg gleich Null, so betrachte man alle geschlossenen Wege, auf denen r1 und r2 liegen. Diese beiden Punkte teilen den Weg in zwei Teile, und die obige Rechnung ergibt, in umgekehrter Reihenfolge gelesen, die Aussage, daß das Integral unabhängig vom Weg ist. Cl =s F@(t))-@$ t) F unabhängig vom Weg C= (v(a’) (0 5 0’ 5 o> zwischen y1 und r2 ist, also nur noch von v(O) = y1 und v(a> = r2 abhängt. Man beachte, daß t hier die Rolle eines (oder mehrerer) Parameter spielt und bei der Integration entlang des Weges festgehalten wird. (2.4.6) stellt, mathematisch betrachtet, ein Wegintegral dar. Wir stellen ausdrücklich fest, daß das Wegintegral nur von dem Stück der Bahn zwischen y1 und r, abhängen kann und von der Durchlaufrichtung dieses Bahnstücks, nicht aber von der Bahnkurue r(t) zwischen tl und t2. Ersetzt man nämlich die Zeit t durch einen anderen Parameter z mit t = t(z), so ist J F(*(f(T)))-drdr(t)) 701) t) 0 r2 7 F(r)odr=A12( F(v, konservativ, wenn das Wegintegral - t2 (2.4.7) t1 Zur Charakterisierung eines Wegintegrals muß man also angeben : Ac3 5 c2 Abb. 2.4.1. Zwei Wege von r1 nach r2 2. Die Newtonsche Mechanik 14 iii) Ein Vektorfeld F ist konservativ genau dann, wenn es ein skalares Feld U(v, t> gibt mit F = -VU(r, (2.4.11) t) = -grad U(v, t) . ist also U(r)= U@(a))= -j F@(d)) l Der Gradient ist hierbei ein Vektorfeld, definiert durch und so (2.4.12) VU(r,t)= $ wenn q, x2, x3 die Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis sind. (Das Minuszeichen ist Konvention.) U ist dadurch bis auf eine Konstante bestimmt. Beweis a) ES gebe ein U(v, t). Wir wollen zeigen, daß U(r(o)) unabhängig vom Wege ist. Sei C irgendein Weg mit C=(Y(b’)~oIdI~},r(O)=r~,r(cr)=r, =fy 7 F* d Y= -i VU(r(o’), t)- 9 0 WC = - d 0’ dO’ U(r(O, [U(yz) - WJI l 2 . (F+VU)- T=o . Da aber dr(a)/dc beliebig ist wegen der Beliebigkeit des Weges C, so ist vu . Wählt man statt rl einen anderen Punkt V; als Anfangswert bei dem Wegintegral, so ist u= j Pdr=i ri Sd 0 -F@(O)) vu= ) dann ist cr l oder F --- --- da’ , (2.4.15) F 0 r1 Fedr+S Fdr=u+c . Fl’ Andererseits ist du’ VU=V(U+c)=VU. 0 (2.4.13) l Offensichtlich ist das Ergebnis nicht vom Weg C abhängig. b) Ist umgekehrt U ist durch F so nur bis auf eine Konstante bestimmt. Man nennt U ein zu F gehörendes Po ten tialfeld oder auch Potential. iv) Ist F konservativ, so gilt: (2.4.16) VxF=O, V x F (sprich Rotation F) ist hierbei ein Vektorfeld, das wie folgt definiert ist: unabhängig vom Wege, so definiere man u( Y) :=- j aF, --- 7aX3 axl 9ax, dX2 (2.4.14) F=dr aF3 i3F2 dF ---2 (2.4.17) oder auch o,c mit C beliebig und y1 beliebig, aber fest. Mit C=(v(a’)(OIo’Io},v(O)=v,,v(a)=v ) (V X F)i = Eijk 2 j (2.4.18) 2.4 Der Energiesatz für einen Massenpunkt in einem Kraftfeld in einem rechtshändigen Orthonormalsystem. Wenn F = -VU, so ist au und axk ah aFj -- a2u ---= Fk= dxj -- axk dxkdxj aw + -= dxjdxk o wegen der Symmetrie der zweiten Ableitungen und damit wirklich 15 Die Energie eines Punktteilchens ist so im Rahmen der Newtonschen Mechanik im Falle eines konservativen Kraftfeldes eine erhaltene Größe; während der Bewegung dieses Punktteilchens wird weder Energie abgegebennoch aufgenommen. Den festen Wert dieser Größe kann man z. B. für t = 0 aus den Anfangsbedingungen bestimmen : E =& rni2 (0) + U@(O)). Allgemein nennt man - auch für nichtkonservative Kräfte - das Integral r2 A = J Fedr VxF=O. v) Umgekehrt gilt natürlich : Ist V x F + 0, so ist auch F nicht konservativ und Si; F dr nicht unabhängig vom Wege. l die von der Kraft am Punktteilchen längs der Bahn C zwischen y1 und r2 geleistete Arbeit. Bei einer konservativen Kraft ist A gleich dem Negativen der Änderung der potentiellen Energie des Punktteilchens. vi) Man kann weiter zeigen: Ist VxF=O Für die Lorentz-Kraft KL(f) = e [E@(t)) + i(f) x B@(t))] ist KL(t) 3(t) =ei(t) E@(t)). Das Magnetfeld leistet also niemals Arbeit. Wenn das Feld E(r) konservativ ist, läßt sich auch die von der Lorentz-Kraft geleistete Arbeit als Differenz der potentiellen Energien ausdrücken. l in einem einfach zusammenhängenden Gebiet des E3, so ist dort auch (vgl. Anhang F) l F =-vu. Beispiele 2.4.2 Arbeit und Energiesatz i) Das homogene Kraftfeld ist konservativ. Das Potential zu Kehren wir zurück zu unseren Wegintegralen über das Kraftfeld F (r). Ist das Kraftfeld ein konservatives Vektorfeld, so ist also F (r) = -V U(v) 7 F(r)&= und U(q)- (2.4.19) F=A ist U= -Aeu+const Das ist klar, da V(A*r)= (&h&A-r,&l*r 1 U(r,) , r1 . 2 =(Al,A2,A3)=A 3 ist . > (2.4.22) und somit ist Mit A =mg ist so U= -mgv, W2) + U(v(t2)) = T(h) + W(tl)) . Das bedeutet, daß die Größe E=$G2(t)+ U(r(t)) und wenn man die (2.4.20) (2.4.21) eine zeitliche Konstante ist, wenn die Bahnkurve v(t) Lösung der Bewegungsgleichung ist. Man nennt E die Energie, T die kinetische Energie12, U(r) die potentielle Energie12 des Teilchens am Orte Y. l2 Energie (griech.) Tatkraft, Wirksamkeit ; ursprünglich philosophischer Begriff, bei Aristoteles synonym mit Entelechie, später als physikalischer Terminus : innewohnende Arbeit, Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Kinetische Energie : Bewegungsenergie, von griech. kinein : bewegen. Potentielle Energie : etwa ,,Energie der Möglichkeit“ von lat. potentia: Macht, Möglichkeit. Ein höher gelegenes Gewicht hat im Vergleich zu einem tiefer gelegenendie größere Möglichkeit, Arbeit zu verrichten. 16 2. Die Newtonsche Mechanik z-Achse in -g-Richtung U=+mgz legt, ist so 7 (2.4.23) . Abb. 2.4.2. Ein nicht rotationsfreies Vektorfeld A \ ii) Ist F(v) = f(Y) r/r, r = 1y 1, so ist U(r) = - j f(r’)dr’= U(r), d.h. r0 u I -- (2.4.24) f() r 9 denn so ist -VU(r)= -fg*Vr=f(r)Vr . (2.4.25) Es ist aber Vr = r/r. Insbesondere sind so Gravitationskraft und harmonische Kraft konservativ mit den Potentialfeldern Y MA42 U(r) - -- (2.4.26) r für die Gravitationskraft und D U(r)=- 2 Zeichnet man an einigen Punkten den zugehörigen Vektor F ein, ergibt sich Abb. 2.4.2. Man sieht unmittelbar, daß EFmdr A abhängig vom Wege ist, da beim rechten Halbkreis F meistens parallel zu dr, auf dem linken Halbkreis F meistens antiparallel zu dv ist. iv) Für eindimensionale Bewegungen ist F(X) immer konservativ, man kann immer ein U(x) angeben, mit F(x)=(-d/dx) r2 (2.4.27) für die harmonische Kraft F (r) = - Dr. Ein Kraftfeld der Form (2.4.3 1) nämlich die Stammfunktion von - F(x). Dann gilt $-rn2 + U(x) = E = const. , und so (2.4.32) 2 = + 1/(2/m) [E - U@(t))] oder (2.4.33) (2.4.28) F (4 = f w +- heißt rotationssymmetrischesZentralkraftfeld. Allgemein nennt man ein Kraftfeld, bei dem die Kraft stets in der Verbindungslinie mit einem Zentrum 0 liegt, ein Zentralkraftfeld. Ein allgemeines Zentralkraftfeld hat also die Gestalt (2.4.29) F (4 = g w 4 r Für rotationssymmetrische Zentralkraftfelder, die, wie wir gesehen haben, stets konservativ sind, hängt der Betrag der Kraft nur vom Abstand r vom Zentrum ab. Man überlegt sich leicht, daß nicht rotationssymmetrische Zentralkraftfelder nicht konservativ sein können, da sich in diesem Fall sofort ein geschlossenerWeg angeben läßt, längs dessen das Arbeitsintegral nicht verschwindet. iii) Ein nichtkonservatives Feld wäre P=(y, -x,O) U(x) , mit v=(x,y,z) Es ist (V x F) = (0, 0, -2), rotationsfrei. . (2.4.30) dx I x t - dt I =t-t,, s s x. 1/(2/m) [E- U(x’)] - t0 - (2.4.34) wobei x. = x(to), x = x(t) sei. Die Bewegungsgleichung ist also sofort lösbar, indem man ausnutzt, daß E eine erhaltene Größe ist. Man erhält so als Lösung x=x(t; E, xo) . Die beiden Parameter E, xo, die die Lösung charakterisieren, stehen für die beiden Anfangsbedingungen x(O)=&), X(O)=v,. Der Zusammenhang zwischen E und v. ergibt sich aus das Vektorfeld ist nicht uo = 1/(W) [E - Wo)1 l (2.4.35) 2.5 Mehrere Punktteilchen in Wechselwirkung m 17 Sei diese Kraft auf dem i-ten Massenpunkt von der Form dann stellen die Bewegungsgleichungen Abb. 2.4.3. Ein Beispiel einer Potentialfunktion für eine eindimensionale Bewegung mit den erlaubten Aufenthaltsbereichen für verschiedene Energien Da die kinetische Energie T nie negativ ist, gilt E = T+ U 2 U, die Gesamtenergie ist also nie kleiner als die potentielle Energie, und Gleichheit kann nur gelten, wenn X =O. Wenn man die Funktion U(X) aufträgt, so kann man die Bereiche, in denen sich bei gegebener Energie E das Teilchen aufhalten kann, sofort ablesen (Abb. 2.4.3). Man erkennt insbesondere: Wenn x. ein Minimum von Uist und Eo = U(x,) + ICIetwas größer als U(x,), so bleibt die Bahnkurve stets in der Nähe der Ruhelage xo. Wenn andererseits x1 ein Maximum von U ist, so wird sich bei einer kleinen Änderung der Energie U(q) zu El = U(q) + E die Bahn weit von x1 entfernen. Minima des Potentials entsprechen stabilen Gleichgewichtslagen, Maxima labilen Gleichgewichtslagen. Diese Überlegung gilt sinngemäß auch für mehrdimensionale. Bewegungen. Eine Gleichgewichtslage ist genau dann stabil, wenn sie zu einem Minimum des Potentials gehört. 2.5 Mehrere Punktteilchen in Wechselwirkung Im vorigen Kapitel hatten wir nur einen Massenpunkt betrachtet, die Bewegungsgleichung für diesen studiert und die Energie als erhaltene Größe diskutiert. Betrachten wir nun N Massenpunkte, so müssen wir analog verfahren. Die Bewegungsgleichung für den iten Massenpunkt lautet dann : l?ZiFi(t)=Ki(t) 7 i=l,. . ,N , l (2.5.1) wobei mi die Masse des i-ten Teilchens ist und K,(t) die Kraft ist, die auf das Teilchen i wirkt. ein System von 3N Differentialgleichungen dar; als Anfangsbedingungen wären z. B. Vi(O)und ri(O) vorzugeben. Das sind 6N Anfangsbedingungen, durch welche eine Lösung der Bewegungsgleichung eindeutig bestimmt ist. Multiplikation mit Yi und Summation über i von 1 bis N ergibt so, nach einer Integration von t1 nach t2 : oder auch T(t,) - T(t,) = idt 5 Fi(r, (t), . . . 9 % (01 dvio - -&- dt i =zz1 t2 (2.5.4) mit 1 N T(t) =-2 1 C AVZiif (t) (2.5.5) l i= T(t) nennt man die kinetische Energie des Systems von IV Punktteilchen. Interessant wäre nun, wenn auch in diesem allgemeinen N-Teilchen-Fall die Kräfte aus einem einzigen Potential ableitbar wären. Um diese Möglichkeit diskutieren zu können, betrachten wir den 3 N-dimensionalen Vektorraum aller 3 N Vektorkoordinaten Z=V30...@ V3 (Nmal) Z={z=(r,,...,r,)(riE - v”) . (2.5.6) Die Lagen aller N Teilchen können dann also durch Punkte in Z beschrieben werden, indem man die Ortsvektoren pl,. . . , YN zu einem Vektor Y ) aus Z zusammenfaßt. . %?&r ’ ‘Rtum Z v 3N der möglichen Lagen des N-Teilchensystem; heißt Konfigurationsraum des Systems.