4.5 Kraftfelder

4.5 Kraftfelder
Die Kraft auf eine Masse kann an verschiedenen Orten unterschiedlich sein.
Zur vollständigen Angabe muss für jeden Ort
angegeben werden.
→
Kraftfeld
Kraftlinien verlaufen so, dass in jedem Punkt
der Tangente an die Kraftlinie hat.
r
r = ( x, y , z )
der Kraftvektor
rr
r
r die Kraft F(r) die Richtung
r
F = ( Fx , Fy , Fz )
r r
F (r ) = ( Fx ( x, y, z), Fy ( x, y, z), Fz ( x, y, z))
Kraftfelder sind etwas Reales.
In einem Gravitationsfeld bzw. einem
elektromagnetischen Feld ist Energie gespeichert.
Mit dem Aktionsprinzip kann man die
r
Beschleunigung
r r einer Masse am Ort r in einem
Kraftfeld F (r ) direkt berechnen.
4.5 Konservative Kraftfelder
Beispiel: schiefe Ebene ohne Reibung (konstante Kraft)
r
r2
r
∆s
r
F
r
r1
Wenn die verrichtete Arbeit unabhängig vom Verlauf des Weges
r
r
zwischen zwei beliebigen Punkten r1 und r2 ist, nennt man das
Kraftfeld konservativ.
Hier zählt nur die Aufwärtskomponente des Weges, d.h. die
Komponente der Verschiebung in Richtung der Kraft.
1
4.5 Konservative Kraftfelder
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn die verrichtete Arbeit entlang jeder
geschlossenen Kurve gleich Null ist.
r r
F
∫ ⋅ ds = 0
(Linienin tegral)
Auch folgende Formulierung ist äquivalent:
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn in jedem
Punkt die Wirbelstärke gleich Null ist.
(Wirbelstärke wird
r dem
r mit
r mathematischen
Operator rot F = ∇ × F berechnet.)
r
In einem Wirbelfeld (rot F ≠ 0 ) wird auf einer
geschlossenen Bahn Arbeit verrichtet.
4.5 Dissipative Kraftfelder
Beispiel: schiefe Ebene mit Reibung
r
r2
r
F
r
∆s
r
r1
Die verrichtete Arbeit ist wegabhängig !
Ein Teil der Arbeit wird in Reibungswärme umgewandelt und liegt nicht
mehr als mechanische Energie vor.
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4.5 Potentielle Energie
Voraussetzung: konservatives Kraftfeld
Verrichtete Arbeit hängt nur von Startpunkt
nicht vom Wegverlauf dazwischen.
Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um den
Körper vom Startpunkt zum Endpunkt im
Kraftfeld (z.B. Schwerefeld) zu verschieben
Hier ist eine Haltekraft
r
r
r1 und Endpunkt r2
ab,
r
r2
r r
r
W = − ∫ F (r ) ⋅ d s
r
r1
r r
r r
− F (r ) auf den Körper wirksam, die F (r )
kompensiert, damit Körper nicht beschleunigt wird.
Vorzeichen: So gewählt, dass dem Körper zugeführte Arbeit positiv ist.
r
Wählt man den Startpunkt als Referenzpunkt rRef , kann man jedem Ort
r
eine potentielle Energie zuordnen.
r
r r
r
E pot (r ) = − ∫ F ⋅ ds
r
rRe f
4.5 Bestimmung der Kraft aus dem Potential
Umkehrung zur Berechnung der potentiellen Energie
→ Ableitung des Potentials
r
r r
r
r
F (r ) = − grad E pot (r ) = −∇ E pot (r )
Gradient in kartesischen Koordinaten
r
grad ϕ ( x,y,z ) = ∇ϕ ( x,y,z )
 ∂ϕ 
 ∂ϕ ( x,y,z ) 




∂x
 ∂x 


∂ϕ 
∂ϕ ( x,y,z ) 


=
ϕ ( x,y,z ) =
 ∂y 


∂y
 ∂ϕ 
 ∂ϕ ( x,y,z ) 




∂z
 ∂z 


Der Gradient gibt Richtung und Betrag der Steigung eines Skalarfeldes an.
Anschauliche Vorstellung:
Potentielle Energie = Berglandschaft
→ Gradient zeigt bergauf r
Kraft wirkt bergab =
r
− ∇ E pot (r )
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4.5 Energieerhaltung
Mechanische Gesamtenergie eines Massenpunktes am Ort
r
r
r
E ges (r ) = E pot (r ) + E kin (r )
r
r
Energieerhaltung:
In einem konservativen Kraftfeld ist an jedem Raumpunkt die Summe
aus potentieller und kinetischer Energie eines Massenpunktes konstant
Erhaltung der Energie ist von grundlegender Bedeutung in der Physik.
Wenn das Kraftfeld nicht konservativ ist, geht mechanische Energie bei
Bewegung verloren. Reibungskräfte z.B. verwandeln kinetische Energie
in Wärmeenergie, d.h. in Bewegungsenergie einzelner Gasmoleküle
oder in Schwingungsenergie von atomaren Bausteinen in Festkörpern.
Energiebilanz stimmt nur, wenn alle Energieformen betrachtet
werden.
Zusammenfassung 4.11.2004
4. Punktmechanik
4.1 Kinematik eines Massenpunktes
4.2 Dynamik eines Massenpunktes
4.3 Kräfte
4.4 Impuls
4.5 Arbeit, Energie, Potential
4.5 Kraftfelder
Konservative Kraftfelder
Vektorrechnung: Kreuzprodukt
Vektoranalysis: Rotation
Dissipative Kraftfelder
Potentielle Energie
Beispiel: Zweidimensionales Federpendel
Potential des 2D-Federpendels
Bestimmung der Kraft aus dem Potential
Vektoranalysis: Gradient
Energieerhaltung
Versuch: Energieerhaltung
Erhaltungssätze in der Physik
Prinzipien der Mechanik
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