Potentielle Energie

Potentielle Energie
Zusammenfassung, Ergänzung
siehe Ergänzung im Skript 2.11.09
eingeführt über die Arbeit W12, die ein Kraftfeld
an einem
Massepunkt/Teilchen auf einem Weg Γ von nach
verrichtet,
wenn diese Arbeit unabhängig vom Weg ist, d.h., wenn
das Kraftfeld konservativ ist:
Konservative Kräfte
Wann ist ein Kraftfeld konservativ?
Wir haben 5 Kriterien kennengelernt:
1) Wegintegrale (Arbeit) unabhängig von Form des Weges,
nur abhängig von Endpunkten (Definition konservativ)
2) Es existiert Potentialfunktion mit
(Æ Definition des Potentials)
3) Es existiert eine Potentialfunktion mit
Konservative Kräfte
Wann ist ein Kraftfeld konservativ?
Wir haben 5 Kriterien kennengelernt:
4) Wegintegral=0 für alle geschlossenen Wege
5) Kraftfeld ist rotationsfrei
(auf einfach zusammenhängendem
Gebiet, keine Löcher)
Die letzten beiden Kriterien hängen direkt über den
Stokesschen Integralsatz zusammen:
Konservative Kräfte
Außerdem:
Zentralfelder sind immer konservativ!
folgt aus 3) oder 5) (siehe Vorlesung)
Wichtige Beispiele:
Gravitationskraftfeld:
Coulombkraftfeld:
Potentielle Energie
Wenn
groß, kann das Kraftfeld viel Arbeit
am Teilchen verrichten.
ÆPotentielle Energie
misst die Arbeit, die
das Teilchen aufgrund seiner Lage im Kraftfeld
“gespeichert” hat
ÆPotentielle Energie wird deshalb auch Lageenergie
genannt
Potentielle Energie
Die potentielle Energie
nimmt
zu, wenn man gegen die Richtung der Kraftfeldlinien läuft
1
2
in Erdnähe:
1
2
z
Potentielle Energie
Äquipotentiallinien ┴ Gradient=-Kraft
z
Potentialbestimmung
1) Testen, ob Kraft konservativ mit
Rotationskriterium
2) Wenn Kraft konservativ, kann Potential am
Ort r als Wegintegral berechnet werden mit
beliebigem Weg von r0 nach r
Energienullpunkt
beliebig wählbar
Energieerhaltung
Potentielle Energie
misst die Arbeit, die
das Teilchen aufgrund seiner Lage im Kraftfeld
“gespeichert” hat
•Wird im Laufe einer Bewegung umgewandelt in
kinetische Energie, oder geht verloren durch
dissipative Kräfte (Reibung)
•ohne dissipative Kräfte (Reibung) gilt Energieerhaltung
Beispiel freier Fall
homogenes Schwerefeld
Für große Anfangshöhe z0 hat Teilchen viel
potentielle Energie/Lageenergie gespeichert.
Bewegungsgleichung:
wenn
also
Beispiel freier Fall
während des Falls wird potentielle Energie in
kinetische Energie umgewandelt:
1
Ekin
0.8
E
0.6
0.4
Epot
0.2
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1
E
Beispiel Federpendel
Bewegungsgleichung
wenn
potentielle Energie:
Epot
1
m
0.8
0.6
E
0.4
0.2
Umkehrpunkt x=x0
Umkehrpunkt x=-x0
-1
-0.5
x
0.5
1
Beispiel Federpendel
Bewegungsgleichung
wenn
kinetische Energie:
potentielle Energie:
Gesamtenergie:
Beispiel Federpendel
E
1
Ekin
0.8
E
0.6
0.4
Epot
0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
pot. Energie max.
kin. Energie=0
pot. Energie max.
kin. Energie=0
pot. Energie min.
kin. Energie max.
Beispiel Fadenpendel
großes Pendel
Beispiel Fadenpendel
großes Fadenpendel
pot. Energie max.
kin. Energie=0
pot. Energie min.
kin. Energie max.
pot. Energie max.
kin. Energie=0
Beispiel Fadenpendel
Bewegungsgleichung
wenn
kinetische Energie:
potentielle Energie:
Gesamtenergie:
Beispiel Fadenpendel
die Gesamtenergie bleibt auch ohne Kleinwinkelnäherung konstant
(zum Glück, siehe Experiment), aber sowohl Ekin als auch Epot sehen
dann wesentlich komplizierter aus (…elliptische Funktionen)
1
E
Ekin
0.8
E
0.6
0.4
Epot
0.2
0.5
pot. Energie max.
kin. Energie=0
1
1.5
2
2.5
pot. Energie min.
kin. Energie max.
3
t
pot. Energie max.
kin. Energie=0