Potentielle Energie Zusammenfassung, Ergänzung siehe Ergänzung im Skript 2.11.09 eingeführt über die Arbeit W12, die ein Kraftfeld an einem Massepunkt/Teilchen auf einem Weg Γ von nach verrichtet, wenn diese Arbeit unabhängig vom Weg ist, d.h., wenn das Kraftfeld konservativ ist: Konservative Kräfte Wann ist ein Kraftfeld konservativ? Wir haben 5 Kriterien kennengelernt: 1) Wegintegrale (Arbeit) unabhängig von Form des Weges, nur abhängig von Endpunkten (Definition konservativ) 2) Es existiert Potentialfunktion mit (Æ Definition des Potentials) 3) Es existiert eine Potentialfunktion mit Konservative Kräfte Wann ist ein Kraftfeld konservativ? Wir haben 5 Kriterien kennengelernt: 4) Wegintegral=0 für alle geschlossenen Wege 5) Kraftfeld ist rotationsfrei (auf einfach zusammenhängendem Gebiet, keine Löcher) Die letzten beiden Kriterien hängen direkt über den Stokesschen Integralsatz zusammen: Konservative Kräfte Außerdem: Zentralfelder sind immer konservativ! folgt aus 3) oder 5) (siehe Vorlesung) Wichtige Beispiele: Gravitationskraftfeld: Coulombkraftfeld: Potentielle Energie Wenn groß, kann das Kraftfeld viel Arbeit am Teilchen verrichten. ÆPotentielle Energie misst die Arbeit, die das Teilchen aufgrund seiner Lage im Kraftfeld “gespeichert” hat ÆPotentielle Energie wird deshalb auch Lageenergie genannt Potentielle Energie Die potentielle Energie nimmt zu, wenn man gegen die Richtung der Kraftfeldlinien läuft 1 2 in Erdnähe: 1 2 z Potentielle Energie Äquipotentiallinien ┴ Gradient=-Kraft z Potentialbestimmung 1) Testen, ob Kraft konservativ mit Rotationskriterium 2) Wenn Kraft konservativ, kann Potential am Ort r als Wegintegral berechnet werden mit beliebigem Weg von r0 nach r Energienullpunkt beliebig wählbar Energieerhaltung Potentielle Energie misst die Arbeit, die das Teilchen aufgrund seiner Lage im Kraftfeld “gespeichert” hat •Wird im Laufe einer Bewegung umgewandelt in kinetische Energie, oder geht verloren durch dissipative Kräfte (Reibung) •ohne dissipative Kräfte (Reibung) gilt Energieerhaltung Beispiel freier Fall homogenes Schwerefeld Für große Anfangshöhe z0 hat Teilchen viel potentielle Energie/Lageenergie gespeichert. Bewegungsgleichung: wenn also Beispiel freier Fall während des Falls wird potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt: 1 Ekin 0.8 E 0.6 0.4 Epot 0.2 0.2 0.4 t 0.6 0.8 1 E Beispiel Federpendel Bewegungsgleichung wenn potentielle Energie: Epot 1 m 0.8 0.6 E 0.4 0.2 Umkehrpunkt x=x0 Umkehrpunkt x=-x0 -1 -0.5 x 0.5 1 Beispiel Federpendel Bewegungsgleichung wenn kinetische Energie: potentielle Energie: Gesamtenergie: Beispiel Federpendel E 1 Ekin 0.8 E 0.6 0.4 Epot 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 t 3 pot. Energie max. kin. Energie=0 pot. Energie max. kin. Energie=0 pot. Energie min. kin. Energie max. Beispiel Fadenpendel großes Pendel Beispiel Fadenpendel großes Fadenpendel pot. Energie max. kin. Energie=0 pot. Energie min. kin. Energie max. pot. Energie max. kin. Energie=0 Beispiel Fadenpendel Bewegungsgleichung wenn kinetische Energie: potentielle Energie: Gesamtenergie: Beispiel Fadenpendel die Gesamtenergie bleibt auch ohne Kleinwinkelnäherung konstant (zum Glück, siehe Experiment), aber sowohl Ekin als auch Epot sehen dann wesentlich komplizierter aus (…elliptische Funktionen) 1 E Ekin 0.8 E 0.6 0.4 Epot 0.2 0.5 pot. Energie max. kin. Energie=0 1 1.5 2 2.5 pot. Energie min. kin. Energie max. 3 t pot. Energie max. kin. Energie=0