Casio fx-CG20 Binomialverteilung, Intervallwahrscheinlichkeit

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
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21.02.2014
Casio fx-CG20
Binomialverteilung, Intervallwahrscheinlichkeit, Normalverteilung und Grenzen
Intervallwahrscheinlichkeit
Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p, wird durch eine
Binomialverteilung dargestellt. Der Erwartungswert, ist die Anzahl der Erfolge mit der
größten Wahrscheinlichkeit. Wird beispielsweise ein Würfel n = 600 mal geworfen, so
erwartet man k = 100 mal die Zahl 6. Die Zahl 6 kann bei 600 Versuchen auch k = 0
mal oder k = 600 mal auftreten. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind verschwindend
gering.
Ein Würfel wird n = 600 mal geworfen, die Zahl 6 zählt als Erfolg mit der
Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen genau k = 100
mal die 6 geworfen wird?
Berechne
P ( X = 100 )
MENU 1 OPTN
Anzeige auf dem Display:
BinomialPD(100,600,1/6)
{STAT} {DIST} {BINOMIAL}{Bpd}
0.04366432132
100 , 600 , 1 ab c 6 → )
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei
600 Würfen genau 100 mal die Zahl 6
geworfen wird, beträgt etwa 0,043...
EXE
Allgemein gilt für [ 0 ====== ][ k ][ ====== n ] :
P ( X = k ) ⇒ BinomialPD ( k,n,p )
wobei k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die
Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen höchstens
k = 100 mal die 6 geworfen wird?
Berechne
P ( X ≤ 100 )
MENU 1 OPTN
Anzeige auf dem Display:
BinomialCD(100,600,1/6)
{STAT} {DIST} {BINOMIAL}{Bcd}
0.5266726941
100 , 600 , 1 ab c 6 → )
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei
600 Würfen höchstens 100 mal die Zahl 6
geworfen wird, beträgt etwa 0,526...
EXE
Allgemein gilt für [ 0 ====== k ][ ====== n ] :
P ( X ≤ k ) ⇒ BinomialCD ( k,n,p )
wobei k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die
Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt. Hierbei handelt es sich um die kumulierte
Wahrscheinlichkeit.
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen mindestens
k = 100 mal die 6 geworfen wird?
Anzeige auf dem Display:
Berechne
P ( X ≥ 100 )
1 - BinomialCD(99,600,1/6)
MENU 1 OPTN
0.5169916272
{STAT} {DIST} {BINOMIAL} 1 − {Bcd}
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei
600 Würfen mindestens 100 mal die Zahl
6 geworfen wird, beträgt etwa 0,516...
99 , 600 , 1 ab c 6 → ) EXE
Allgemein gilt für [ 0 ====== ][ k ====== n ] :
P ( X ≥ k ) = 1 − P ( X ≤ k − 1) ⇒ 1 − BinomialCD ( k − 1,n,p )
wobei k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die
Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 600 Würfen die Anzahl der
6-er zwischen 90 und 110 (einschließlich) liegen?
Berechne
P ( 90 ≤ X ≤ 110 )
Anzeige auf dem Display:
MENU 1 OPTN
BinomialCD(110,600,1/6)
- BinomialCD(89,600,1/6)
{STAT} {DIST} {BINOMIAL}
{Bcd} 110
0.7501249252
, 600 , 1 ab c 6 → )
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei
600 Würfen die Anzahl der 6-er, zwischen
90 und 110 liegen, beträgt etwa 0,750...
− {Bcd} 89 , 600 , 1 ab c 6 → )
EXE
Allgemein gilt für [ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ] :
P ( k1 ≤ X ≤ k 2 ) = P ( X ≤ k 2 ) − P ( X ≤ k1 − 1)
⇒ BinomialCD ( k 2 ,n,p ) − BinomialCD ( k1 − 1,n,p )
wobei k die Anzahl der Erfolge, n die Anzahl der Versuche und p die
Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.
Intervallgrenzen werden berechnet
Statt der Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge eines Bernoulliversuchs in
einem bestimmten Intervall, kann man bei Vorgabe einer Intervallwahrscheinlichkeit
die Intervallgrenzen k bestimmen. Das wird bei Hypothesentests zur Bestimmung
von Annahme- bzw. Ablehnungsbereich benötigt.
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n= 600 Würfen eines Würfels höchstens k
Erfolge auftreten soll höchstens α ≤ 5% betragen.
Das bedeutet, für welches k ist die Forderung erfüllt.
P ( X ≤ k ) ≤ 0,05 ⇒ k = ?
Berechne
P ( X ≤ k ) ≤ 0,05
Anzeige auf dem Display:
InvBinomialCD(0.05,600,1/6) - 1
MENU 1 OPTN
{STAT} {DIST} {BINOMIAL}{InvB}
0.05 , 600 , 1 a
bc
6→ ) − 1
EXE
84
P ( X ≤ 84 ) ≤ 0,05 ≈ 0,0424...
Der linke untere 5%-Bereich gilt für [ 0 ... k ... 84 ]
oder
die Wahrscheinlichkeit dafür, das höchstens k = 84 Erfolge auftreten ist
kleiner als 5%.
Allgemein gilt: (Linksseitiger Hypothesentest)
P ( X ≤ k ) ≤ α ⇒ k = InvBinomialCD ( α ,n,p ) − 1
A = {k + 1... n}
A = {0 ... k}
[ 0 === ≤α === k ][ k + 1 === n ]
Das Ergebnis kann mit
P ( X ≤ k ) ⇒ BinomialCD ( k,n,p )
überprüft werden.
Diese Rechnung ist für den linksseitigen Hypothesentest nötig.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n= 600 Würfen eines Würfels mindestens k
Erfolge auftreten soll höchstens α ≤ 5% betragen.
Das bedeutet, für welches k ist die Forderung erfüllt.
P ( X ≥ k ) ≤ 0,05 ⇒ k = ?
Diese Bedingung ermöglicht es die Anzahl der Erfolge zu finden, die sich in dem
rechten oberen 5%-Bereich befinden.
Berechne
P ( X ≥ k ) ≤ 0,05
Anzeige auf dem Display:
InvBinomialCD(0.95,600,1/6) + 1
MENU 1 OPTN
{STAT} {DIST} {BINOMIAL}{InvB}
0.95 , 600 , 1 a
bc
6→ ) + 1
EXE
116
P ( X ≥ 116 ) = 1 − P ( X ≤ 115 ) ≈ 0,0467... < 0,05
Allgemein gilt: (Rechtsseitiger Hypothesentest)
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P ( X ≥ k ) ≤ α ⇒ k = InvBinomialCD (1 − α ,n,p ) + 1
A = {0 ... k − 1}
A = {k ... n}
[ 0 === k - 1 ][ k === ≤α === n ]
Das Ergebnis kann mit
P ( X ≥ k ) = 1 − P ( X ≤ k − 1) ⇒ 1 − BinomialCD (k − 1,n,p )
überprüft werden.
Diese Rechnung ist für den rechtsseitigen Hypothesentest nötig.
Bei n= 600 Würfen eines Würfels soll die Anzahl der Erfolge in einer symmetrischen
95%-Umgebung vom Erwartungswert liegen. Zu bestimmen sind die Intervallgrenzen
k1 und k2.
Das bedeutet, für welche Werte von k1 und k2 ist folgende Forderung erfüllt.
P ( k1 ≤ X ≤ k 2 ) ≥ 1 − 0,05 ⇒ k1 ; k 2 = ?
{ x% }{
≥ 95%
}{ y% }
mit x% + y% ≤ 5%
Berechne
P ( X ≤ k1 ) ≤ 0,025
Anzeige auf dem Display:
InvBinomialCD(0.025,600,1/6) - 1
MENU 1 OPTN
{STAT} {DIST} {BINOMIAL}{InvB}
0.025 , 600 , 1 a
bc
81 = k1
6→ ) − 1
P ( X ≤ 81) ≈ 0,01929...
EXE
Berechne
P ( X ≥ k 2 ) ≤ 0,025
Anzeige auf dem Display:
InvBinomialCD(0.975,600,1/6) +1
MENU 1 OPTN
{STAT} {DIST} {BINOMIAL}{InvB}
0.975 , 600 , 1 a
bc
119 = k2
6→ ) + 1
P ( X ≥ 119 ) ≈ 0,02318...
EXE
P ( X ≤ 81) + P ( X ≥ 119 ) ≈ 0,01929 + 0,02318 = 0,04247
Allgemein gilt: (Beidseitiger Hypothesentest)
P ( X ≤ k1 ) ≤
α
⎛α
⎞
⇒ k1 = InvBinomialCD ⎜ ,n,p ⎟ − 1
2
⎝2
⎠
P ( X ≥ k2 ) ≤
α
⎛ α
⎞
⇒ k 2 = InvBinomialCD ⎜ 1 − ,n,p ⎟ + 1
2
2
⎝
⎠
A = {k1 + 1... k 2 − 1}
A = {0 ... k1} ∪ {k 2 ... n}
[ 0 === ≤α/2 === k1 ][ k1 + 1 === k2 - 1 ][ k2 === ≤α/2 === n ]
Die Ergebnisse können mit
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P ( X ≤ k1 ) ⇒ BinomialCD ( k1 ,n,p )
P ( X ≥ k 2 ) = 1 − P ( X ≤ k 2 − 1) ⇒ 1 − BinomialCD ( k 2 − 1,n,p )
überprüft werden.
Diese Rechnung ist für den beidseitigen Hypothesentest nötig.
Zusammenfassung Binomialverteilung
P ( X = k ) ⇒ BinomialPD ( k,n,p )
[ 0 ====== ][ k ][ ====== n ]
P ( X ≤ k ) ⇒ BinomialCD ( k,n,p )
[ 0 ====== k ][ ====== n ]
P ( X ≥ k ) = 1 − P ( X ≤ k − 1) ⇒ 1 − BinomialCD ( k − 1,n,p )
[ 0 ====== ][ k ====== n ]
P ( k1 ≤ X ≤ k 2 ) = P ( X ≤ k 2 ) − P ( X ≤ k1 − 1)
⇒ BinomialCD ( k 2 ,n,p ) − BinomialCD ( k1 − 1,n,p )
[ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ]
Linksseitiger Hypothesentest
P ( X ≤ k ) ≤ α ⇒ k = InvBinomialCD ( α ,n,p ) − 1
A = {k + 1... n}
A = {0 ... k}
[ 0 === ≤α === k ][ k + 1 === n ]
Rechtsseitiger Hypothesentest
P ( X ≥ k ) ≤ α ⇒ k = InvBinomialCD (1 − α ,n,p ) + 1
A = {0 ... k − 1}
A = {k ... n}
[ 0 === k - 1 ][ k === ≤α === n ]
Beidseitiger Hypothesentest)
P ( X ≤ k1 ) ≤
α
⎛α
⎞
⇒ k1 = InvBinomialCD ⎜ ,n,p ⎟ − 1
2
⎝2
⎠
P ( X ≥ k2 ) ≤
α
⎛ α
⎞
⇒ k 2 = InvBinomialCD ⎜ 1 − ,n,p ⎟ + 1
2
2
⎠
⎝
A = {k1 + 1... k 2 − 1}
A = {0 ... k1} ∪ {k 2 ... n}
[ 0 === ≤α/2 === k1 ][ K1 + 1 === k2 - 1 ][ k2 === ≤α/2 === n ]
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Normalverteilung und Intervalle
Um mit der Normalverteilung zu rechnen, geht man ähnlich vor, wie bei der
Binomialverteilung.
[MENU] 1 [OPTN] {STAT} {DIST} {NORM}
{Npd} berechnet einen einzelnen Wert.
{NcD} berechnet die kumulative Normalverteilung.
{InvN} ermittelt die Umkehrform der kumulativen Normalverteilung.
μ : Erwartungswert der Zufallsvariablen k.
σ : Standardabweichung.
Falls die Standardabweichung größer 3 ist, kann die Binomialverteilung durch die
Normalverteilung hinreichend genau approximiert werden.
Bei Intervallberechnungen ist zu berücksichtigen, das die Binomialverteilung für
diskrete Werte, die Normalverteilung aber für kontinuierliche Werte bestimmt ist.
P ( X = k ) ⇒ NormPD ( k, σ , μ )
[ 0 ====== ][ k ][ ====== n ]
1⎞
1
⎛
⎛
⎞
P ( X ≤ k ) = P ⎜ X ≤ k + ⎟ ⇒ NormCD ⎜ 0,k + , σ , μ ⎟
2⎠
2
⎝
⎝
⎠
[ 0 ====== k ][ ====== n ]
1⎞
1
⎛
⎛
⎞
P ( X ≥ k ) = 1 − P ⎜ X ≤ k − ⎟ ⇒ 1 − NormCD ⎜ 0,k − , σ , μ ⎟
2⎠
2
⎝
⎝
⎠
[ 0 ====== ][ k ====== n ]
1⎞
1⎞
⎛
⎛
P ( k1 ≤ X ≤ k 2 ) = P ⎜ X ≤ k 2 + ⎟ − P ⎜ X ≤ k 1 − ⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
⇒ NormCD ⎜ 0,k 2 + , σ , μ ⎟ − NormCD ⎜ 0,k1 − , σ , μ ⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
[ 0 === ][ k1 === k2 ][ === n ]
Linksseitiger Hypothesentest
P ( X ≤ k ) ≤ α ⇒ k = InvNormCD ( α , σ , μ )
k auf ganze Zahl abrunden
A = {k + 1... n}
A = {0 ... k}
[ 0 === ≤α === k ][ k + 1 === n ]
Rechtsseitiger Hypothesentest
P ( X ≥ k ) ≤ α ⇒ k = InvNormCD (1 − α , σ , μ )
k auf ganze Zahl aufrunden
A = {0 ... k − 1}
A = {k ... n}
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[ 0 === k - 1 ][ k === ≤α === n ]
Beidseitiger Hypothesentest
P ( X ≤ k1 ) ≤
α
⎛α
⎞
⇒ k1 = InvNormCD ⎜ , σ , μ ⎟
2
⎝2
⎠
k1 auf ganze Zahl abrunden
P ( X ≥ k2 ) ≤
α
⎛ α
⎞
⇒ k 2 = InvNormCD ⎜ 1 − , σ , μ ⎟
2
2
⎝
⎠
k 2 auf ganze Zahl aufrunden
A = {k1 + 1... k 2 − 1}
A = {0 ... k1} ∪ {k 2 ... n}
[ 0 === ≤α/2 === k1 ][ k1 + 1=== μ === k2 - 1 ][ k2 === ≤α/2 === n ]
Beim beidseitigem Hypothesentest sollten die Grenzen des Ablehnungsbereichs
symmetrisch zum Erwartungswert sein.
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