Das pascalsche Dreieck

Das pascalsche Dreieck
Laura Heß
09.01.2014
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Bildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Entdeckung der Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
2 Folgen und Muster
2.1 Diagonalen . . .
2.2 Fibonacci-Zahlen
2.3 Zeilen . . . . . .
2.4 Muster . . . . . .
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4
4
6
6
7
3 Implementierung
3.1 Binomialkoeffizienten . . . .
3.2 Summenbildung . . . . . . .
3.3 Summenbildung optimieren
3.4 Vergleich . . . . . . . . . . .
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4 Anwendungen
4.1 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . .
4.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . .
4.3 Abzählbarkeit . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Anzahl von Elementen von Polytopen
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5 Erweiterungen
5.1 Trinomial Triangle . . .
5.2 Pascalsche Pyramide . .
5.3 Trinomialkoeffizienten .
5.4 Multinomialkoeffizienten
5.5 Matrixexponential . . .
5.6 negative Erweiterung . .
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6 Fazit
21
1
1
Einleitung
Eine der frühesten Aufzeichnungen des Pascalschen Dreiecks stammt aus dem 10. Jahrhundert aus Indien.
Ebenfalls gibt es Dokumente aus China, Italien und dem Iran. Damals war es allgemein unter anderen
Namen bekannt, denn den Namen bekam es erst im 18. Jahrhundert von Pierre Raymond de Morntmort
und Abraham de Moivre verliehen. Er geht auf Blaise Pascal zurück, der 1655 sein Buch Traité du triangle
”
arithmetique“ (Abhandlungen über das arithmetische Dreieck) veröffentlichte, welches hauptsächlich von
Wahrscheinlichkeitstheorie handelte. Im Folgenden werde ich das Pascalsche Dreieck näher beschreiben
und auf Anwendungen und Erweiterungen eingehen.
Abbildung 1: Blaise Pascal, 19.06.1623 - 19.08.1662
[1]
1.1
Bildung
Die Einträge im Pascalschen Dreieck entstehen durch Bildung der Summe der zwei darüber liegenden
Einträge.
Abbildung 2: Pascalsches Dreieck
[2]
Des Weiteren ist es eine grafische Darstellung der Binomialkoeffzienten.
Die Formel
n+1
n
n
=
+
k+1
k
k+1
veranschaulicht die Summenbildung und den Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten. (n steht
hierbei für die n-te Zeile und k für das k-te Element1 ) Somit folgt aus der Formel, dass das k-te Element
der nächsten((n + 1)-ten) Zeile aus der Summe des k-ten Elements der n-ten Zeile sowie dessen Nachbar,
dem (k + 1)-ten Element besteht. Auf den Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten werde ich später
genauer eingehen.
1 man
beginnt immer bei k=0
2
Abbildung 3: Pascalsches Dreieck
[3]
Mithilfe dieses einfachen Aufbauschemas kann man das Anzeigen des Pascalschen
Dreiecks sehr einfach
n!
, benötigt man als
Programmieren. Da der Binomialkoeffizient wie folgt aufgebaut ist, nk = (n−k)!·k!
erste Funktion die Fakultät.
1
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5
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11
12
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long double f a k u l t a e t ( long double n , i n t ∗
zaehler )
{
i f ( n==0)
{ ( ∗ z a e h l e r ) ++;
return 1;}
e l s e i f ( n==1)
{ ( ∗ z a e h l e r )++;
return 1;
}
else
{ ( ∗ z a e h l e r )++;
r e t u r n n∗ f a k u l t a e t ( n −1 , z a e h l e r ) ;
}
}
Die Funktion fakultaet ist rekursiv, das bedeutet, dass sie sich selbst aufruft. Um die Häufitgkeit der
Aufrufe zu zählen, ist die zaehler-Variable als Zeiger vorhanden. Der Programmcode für die Anzeige des
Dreiecks ist nicht aufwändiger.
1
2
3
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5
6
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8
9
10
for ( int
{
i =0; i <=n ;
i ++)
f o r ( i n t j =0; j<=i ; j ++)
{ b i n k o e f f=f a k u l t a e t ( i , z e i g e r z a h l ) /
( f a k u l t a e t ( i −j , z e i g e r z a h l ) ∗
fakultaet ( j , zeiger zahl ));
c o ut<<b i n k o e f f <<”
”;
}
c o u t<<e n d l ;
c o u t<<e n d l ;
}
Man hat zwei for-Schleifen. Die erste erzeugt die Zeilen (1 bis n), die zweite erzeugt dann den Inhalt der
jeweiligen Zeile durch Berechnung des Binomialkoeffizienten.
Die Ausgabe sieht dann wie folgt aus:
3
Abbildung 4: Anzeige
Die Abbildungen 2 und 3 zeigen das symmetrische Dreieck. Der oben abgebildete Programmcode erzeugt
das Dreieck in asymmetrischer Form.
1.2
Entdeckung der Binomialkoeffizienten
Die Vorgehensweise ist die folgende: Man betrachte eine beliebige Zeile und überlegt sich mit welcher
Zahl man eine Zahl dieser Zeile multiplizieren muss, um die rechts danebenstehende zu erhalten.
Ein Beispiel: Betrachtet man die 6. Zeile: 1 6 15 20 15 1
Um die linke 6 zu erhalten muss man die 1 mit 16 multiplizieren. Um die linke 15 zu erhalten, muss man
die 6 mit 52 multiplizieren. Wenn man jetzt also direkt die 15 erhalten will, gilt folgendes:
6
6
5
6!
6∗5
1 ∗ 2 = 15 = 2 = 4!∗2! = 2∗1
Dies gilt für jede Zahl in jeder Zeile.
2
Folgen und Muster
In dem Pacsalschen Dreiecks können viele Folgen und Muster entdeckt werden.
2.1
Diagonalen
Wenn im Folgenden von Diagonalen die Rede ist, ist immer die Betrachtungsweise von rechts-oben nach
links-unter gemeint. Dies kann man im Allgemeinen so betrachten, da die Diagonalen von links-oben nach
rechts-unten analog zu denen sind, die von rechts-oben nach links-unten verlaufen.
Wie man sehr einfach erkennen kann, stehen in der ersten Diagonalen nur Einsen. Es entspricht n0 , was
,unabhängig von n, immer 1 beträgt.
In der zweiten Diagonalen kann man die natürlichen Zahlen entdecken, welche gleichbedeutend zu
sind.
Die dritte Diagonale enthält die Dreieckszahlen.
4
n
1
Abbildung 5: Dreieckszahlen
[4]
Dreieckszahlen sind die Zahlen, die der Summe von 1 bis zu einer Grenze n entsprechen. Wie man auf
obiger Abbildung sehen kann, ist 1 die erste Dreieckszahl, 1 + 2 = 3 die zweite Dreieckszahl, 1 + 2 + 3 = 6
die dritte Dreieckszahl, usw. Sie veranschaulichen die Bildung eines Dreiecks, da man mit ihrer Anzahl an,
ist eine einfache Formel für die direkte Berechnung
zum Beispiel Steinen, ein Dreieck legen kann. n·(n−1)
2
der Dreieckszahlen. Bei ihr gilt allerdings, dass die erste Dreieckszahl mit n=2 ausgerechnet werden kann.
Somit gilt dafür allgemein n ≥ 2.
In der vierten Diagonalen stehen die Tetraederzahlen. Sie werden analog zum Prinzip der Bildung der
Dreieckszahlen konstruiert. Hier bildet man anstatt eines Dreiecks einen Tetraeder.
Dieses Prinzip wird analog in höhere Dimensionen fortgesetzt. Man nennt solche Zahlen figurierte Zahlen.
Daraus folgt, dass man in der n-ten Diagonalen die n-te figurierten Zahlen enthält.
Eine weitere Auffälligkeit an den Diagonalen ist, dass jede Diagonale die Folge der Partialsummen zu
der Folge in der darüber liegenden Diagonalen enthält. Schaut man sich die dritte Diagonale an, so erkennt man die ersten drei Elemente als 1,3,6,10,... .
Sieht man sich jetzt die zweite Diagonale (1,2,3,4,5,6,...) an und bildet die Summen der ersten Elemente,
dann folgt:
0 + 1 = 1 ist das erste, 1 + 2 = 3 ist das zweite, 1 + 2 + 3 = 6ist das dritte, 1 + 2 + 3 + 4 = 10ist das vierte
Element der 3. Diagonalen.
5
2.2
Fibonacci-Zahlen
Auch die Fibonacci-Zahlen sind im Pascalschen Dreieck zu finden.
[5]
Abbildung 6: Fibonacci-Zahlen
Man erhält sie, in dem man die Zahlen der flachen Diagonalen2 addiert. Dabei ist es egal, ob die flache
Diagonale ein Element auf der Kante des Dreiecks berührt oder nicht.
2.3
Zeilen
In den Zeilen gibt es ebenfalls interessante Folgen und Muster zu erkennen.
Die Zeilensumme3 der Einträge der n-ten Zeile ist immer aus 2n .
n X
n
k=0
k
= 2n
Für die Zeilen 0-4 kann man die einzelnen Elemente direkt aneinanderreihen und man erhält: 1,11,121,1331
Dies sind alle Potenzen von 11. Ab der fünften Zeile muss man ,wie im Folgenden erklärt, umrechnen.
Für die fünfte Zeile(1 5 10 10 5 1) gilt:
1 + 5 · 10 + 10 · 100 + 10 · 1000 + 5 · 10000 + 1 · 100000 = 115
Diese beiden Eigenschaften folgen aus dem Binomischen Lehrsatz :
n X
n
· xk · y n−k = (x + y)n
k
k=0
Mit x = 1 und y = 1 folgt:
n X
n
k=0
k
k
n−k
·1 ·1
n
= (1 + 1) ⇒
n X
n
k=0
k
= (2)n
Mit x = 10 und y = 1 folgt:
n n X
X
n
n
k
n−k
n
· 10 · 1
= (10 + 1) ⇒
· 10k = (11)n
k
k
k=0
k=0
Hieran kann man auch erkennen, warum eine Umformung ab der fünften Zeile stattfinden muss. In den
Zeilen 0-4 sind die einzelnen Elemente einstellige Zahlen. Somit steht jedes Element bei bloßer Aneinanderreihung an der richtigen Stelle (Einer, Zehner, Hunderter,...). Ab der fünften Zeile werden die Einträge
zweistellig und größer. Deswegen muss eine direkte Berechnung ausgeführt werden. Das bedeutet, wie
oben gezeigt, das erste Element mal 100 , das zweite mal 101 ,... .
Darüber hinaus ist eine weitere Auffälligkeit, dass bei alle Zeilen, bei denen das Element nach der 1 eine
Primzahl ist, die einzelnen Elemente zwischen beiden Einsen durch diese Primzahl teilbar sind. Betrachtet man sich hierfür beispielhaft die Bildung der elften Zeile über die Binomialkoeffizienten: 11·10·9·8···
1·2·3·4···
. Hierbei erkennt man nun, dass im Zähler als erstes die 11 entsteht, jedoch im Nenner erst die 11 für
2 in
Abb. 6 gepunktet eingezeichnet
beginnt mit 0
3 Zeilennummerierung
6
das letzte Element der Zeile, welches die 1 ist, hinzugefügt wird. Folglich kann man die 11 vorher nicht
kürzen und sie ist in allen Elementen zwischen den Einsen vorhanden.
Eine weitere interessante Betrachtung ist das Produkt der Zeilenelemente der n-ten Zeile.
sn =
n Y
n
k=0
k
=
n
Y
k=0
n!
(n − k)! ∗ k!
Nun betrachtet man sich das Zeilenverhältnis zwischen der n-ten und der (n + 1)-ten Zeile.
sn+1
(n + 1)n
=
sn
n!
Betrachtet man sich daraufhin das Verhältnis von zwei Zeilenverhältnissen, so entdeckt man folgendes:
sn+1
sn
sn
sn−1
(sn+1 ) ∗ (sn−1 )
=
=
(sn )2
n+1
n
n
Dieser Term geht bekanntlich für n → ∞ gegen e.n → ∞ bedeutet hier, dass die Zeilen gegen unendlich
gehen, also dass das Dreieck sehr groß wird.
2.4
Muster
[6]
Abbildung 7: Pascalsches Dreieck
Betrachten wir uns jetzt mal das gesamte Dreieck. Dazu markiert man, zum Beispiel durch Ausmalen
der Kästchen, alle Zahlen, die Vielfache von 2 sind.
Bei einem genügend groß gewähltem Dreieck erkennt man folgendes Muster.
[7]
Abbildung 8: Sierpinski Dreieck
Dies ist das sogenannte Sierpinski Dreieck. Ähnliche Muster erhält man, wenn man, anstatt Vielfache
von 2, Vielfache von anderen natürlichen Zahlen sucht und markiert.
Weitere Muster im Pascalschen Dreiecks sind die sogenannten Quadratringe.
7
[6]
Abbildung 9: Quadratringe
Quadratringe haben folgende Eigenschaften. Das Produkt aller Zahlen- der schwarz und der orange
markierten- ergibt eine Quadratzahl. Dies ist jedoch nicht die Quadratzahl der in der Mitte stehenden
Zahl.
Des Weiteren ist das Produkt der schwarzen Quadrate gleich dem der orangenen Quadrate.
Die Quadratringe können an jeder Stelle des Pascalschen Dreiecks stehen, müssen jedoch immer wie auf
der obigen Abbildung aufgebaut werden.
Die Eigenschaften lassen sich wie folgt zeigen. Man legt das linke obere Element fest. Dieses ist nk . Dann
n+2
folgen die anderen beiden orangenen Elemente mit n+1
k+2 sowie k+1 . Die schwarzen Quadrate sind somit
n
die folgenden: k+1
, n+1
und n+2
k
k+2 .
Betrachtet man nun das Produkt der schwarzen beziehungsweise der orangenen Quadrate.
n
n+1
n+2
n! · (n + 1)! · (n + 2)!
orange =
·
·
=
(n − k)! · k! · (n − k − 1)! · (k + 2)! · (n − k + 1)! · (k + 1)!
k
k+2
k+1
schwarz =
n
n+1
n+2
n! · (n + 1)! · (n + 2)!
·
·
=
(n − k − 1)! · (k + 1)! · (n − k + 1)! · k! · (n − k)! · (k + 2)!
k+1
k
k+2
Vergleicht man jetzt die Werte von orange und schwarz so erkennt man das beide die gleiche Zahl ergeben.
Somit ist gezeigt, dass das Produkt der orangenen Quadrate gleich dem der schwarzen ist. Daraus folgt
sofort, dass das Produkt von orange und schwarz eine Quadratzahl ist.
3
Implementierung
In den vorherigen Abschnitten wurden verschiedene Merkmale des Pascalschen Dreiecks benannt. Des
Weiteren wurde gezeigt, wie man sich das Pascalsche Dreieck in C++ anzeigen lassen kann. Dies wurde
mit der Berechnung der Binomialkoeffizeinten durchgeführt. Es gibt jedoch auch weitere Möglichkeiten
zur Berechnung der Werte des Pascalschen Dreiecks. Im Folgenden werde ich drei Möglichkeit zu dessen
Berechnung angeben und diese miteinander vergleichen. Hierbei wurden alles mit Matlab ausgeführt.
3.1
Binomialkoeffizienten
Zuerst greife ich die Möglichkeit mit den Binomialkoeffizienten noch einmal auf. Dies war einer der
Gründe für den Wechsel zu Matlab. Das in Kapitel 1.1 vorgestellte Programm habe ich zuerst mit
einer Integerdeklaration geschrieben und somit erreichte es sehr schnell seine Grenzen, denn schon bei
15! = 1, 30 · 101 2 lieferte es falsche Werte.
ist den Datentyp in long double
Die Lösung dieses Problems
4
zu ändern. Dies zeigt nun Werte bis 170
an,
was
9,
14484
·
10
9
entspricht.
85
In Matlab haben ich dafür nun zuerst eine rekursive Funktion für die Fakultät geschrieben, die ebenfalls
wieder die Funktionsaufrufe zählt. Matlab liefert den größten Wert der Fakultätsfunktion für 170!. Dies
ist 7, 2574 · 103 06.
Dann fehlt nur noch eine Funktion für die Berechnung des Binomialkoeffizienten.
1
2
3
4
f u n c t i o n [ binomk ,
x=z e r o s ( 1 , 2 ) ;
y=z e r o s ( 1 , 2 ) ;
z=z e r o s ( 1 , 2 ) ;
a u f r u f e ]= f u n c t i o n b i n o m i a l k o e f f ( n , k , a u f r u f e )
8
5
6
7
8
9
10
11
12
13
[ n f a k , n a u f r ]= f a k u l t a e t ( n , 0 ) ;
[ n k f a k , n k a u f r ]= f a k u l t a e t ( n−k , 0 ) ;
[ k f a k , k a u f r ]= f a k u l t a e t ( k , 0 ) ;
x =[ n f a k , n a u f r ] ;
y =[ n k f a k , n k a u f r ] ;
z =[ k f a k , k a u f r ] ;
binomk=x ( 1 ) / ( y ( 1 ) ∗ z ( 1 ) ) ;
a u f r u f e=x (2)+ y (2)+ z ( 2 ) ;
end
Diese Funktion speichert die Rückgabewerte der Funktion der Fakultät in Vektoren. Durch den ersten
Wert der jeweiligen Vektoren wird zum Schluss der Binomialkoeffizient berechnet und durch den zweiten
Wert die Anzahl aller Fakultätsaufrufe. Zum Schluss gibt
die Funktion diese beiden Werte zurück. Den
größten Wert den die Funktion berechnen kann, ist 170
75 .
Jetzt fehlt nur noch ein Programm zur Anzeige des Dreiecks. Dies sieht wie folgt aus:
1
2
3
4
5
6
i =1;
j =1;
max=10;
b i n o m k o e f f=z e r o s ( max , max ) ;
x=z e r o s ( 1 , 2 ) ;
a u f r u f e=z e r o s ( max , max ) ;
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
f o r n=0:max
j =1;
f o r k =0:n
[ sum , a u f r ]= f u n c t i o n b i n o m i a l k o e f f ( n , k , 0 ) ;
x =[sum , a u f r ] ;
b i n o m k o e f f ( i , j )=x ( 1 ) ;
a u f r u f e ( i , j )=x ( 2 ) ;
k=k +1;
j=j +1;
end
n=n+1;
i=i +1;
end
21
22
23
binomkoeff
aufrufe
Dieses Programm besteht hauptsächlich aus zwei ineinander steckenden for-Schleifen. Darin werden, in
den zuvor erstellten und mit Nullen gefüllten Matrizen, Zahlen eingelesen. Die erste Matrix zeigt das
Pascalsche Dreieck an und die zweite die Anzahl der Funktionsaufrufe. Wobei hier dies die Häufigkeit
aller Aufrufe der Funktion der Fakultät beschreibt. Für max= 10 erhält man folgendes.
Abbildung 10: Ausgabe des Pascalschen Dreiecks über die Matrix
9
Abbildung 11: Ausgabe der Aufrufe der Fakultät als Matrix
In der Matrix der Funktionsaufrufe stehen die Einträge für die Anzahl der Funktionsaufrufe für das
jeweilige Element. Man erkennt, dass allein für die oberste Eins die Funktion Fakultät 3 mal aufgerufen
werden muss. Für die Eins in der elften Zeile hingegen schon 21 Aufrufe. Dies zeigt, dass die Berechnung
auf diese Weise nicht sehr effizient ist.
3.2
Summenbildung
Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung ist die Summenbildung. Die Idee dahinter ist, dass man jedes
Element berechnet, in dem man die Summe der beiden darüber liegenden Einträgen bildet. Dazu habe
ich eine rekursive Funktion functionssumme geschrieben. Die Merkmale von ihr sind den jeweiligen Wert
im Pascalschen Dreieck zu berechnen, die Anzahl der Aufrufe von sich sowie die Anzahl der Additionen
zu zählen. Dies sind ihre Rückgabewerte.
1
function
[ sum , a u f r u f e , add ]= functionsumme ( n , k , a u f r u f e , add )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
( ( k = = 0 ) | | ( k==n ) )
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
add=add ;
sum=1;
e l s e i f ( k==n )
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
add=add ;
sum=1;
e l s e i f ( k>n )
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
add=add ;
sum=0;
e l s e i f ( k<0)
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
add=add ;
sum=0;
else
summe1=0;
a u f r 1 =0;
a d d i 1 =0;
[ summe1 , a u f r 1 , a d d i 1 ]= functionsumme ( n −1 , k −1 , a u f r u f e , add ) ;
summe2=0;
a u f r 2 =0;
a d d i 2 =0;
[ summe2 , a u f r 2 , a d d i 2 ]= functionsumme ( n −1 , k , a u f r u f e , add ) ;
x=z e r o s ( 1 , 3 ) ;
y=z e r o s ( 1 , 3 ) ;
x =[summe1 , a u f r 1 , a d d i 1 ] ;
if
10
y =[summe2 , a u f r 2 , a d d i 2 ] ;
sum=x (1)+ y ( 1 ) ;
a u f r u f e=x (2)+ y ( 2 ) + 1 ;
add=x (3)+ y ( 3 ) + 1 ;
31
32
33
34
35
36
37
end
end
Für die Ausgabe kann man das Grundprinzip aus Kapitel 3.1 nehmen, jedoch abgeändert mit 3 Matritzen.
So erhält man in der ersten Matrix die Ausgabe des Pascalschen Dreiecks, in der zweiten Matrix die
Funktionsaufrufe und in der dritten die Anzahl der Additionen.
Abbildung 12: Ausgabe der Aufrufe der Summenbildung als Matrix
Man erkennt, dass die Anzahl der Funktionsaufrufe der Randelemente relativ klein ist. Wenn man sich
jedoch die Werte der 11. Zeile betrachtet, erkennt man, dass die Funktionsaufrufe sehr schnell steigen.
Dies geschieht, da zum Beispiel das mittlerste Element der elften Zeile berechnet wird durch Addition der
beiden darüberstehenden. Diese müssen jedoch auch rekursiv berechnet werden. Dies führt letztendlich
dazu, dass die vorherigen Werte immer wieder neu berechnet werden.
Abbildung 13: Ausgabe der Anzahl der Additionen als Matrix
Das zu Abbildung 12 beschriebene kann man hier ebenfalls beobachten. Die Additionen am Rand sind
zwar null. Betrachtet man jedoch die Mitte, so erkennt man, dass die Werte der Anzahl der Additionen
11
sehr stark ansteigt.
Deshalb stellt sich nun die Frage, wie man dies optimieren könnte und dies führt zu dem dritten Programm.
3.3
Summenbildung optimieren
Jetzt habe ich mir überlegt wie man die Summenbildung optimieren kann. Dazu habe ich mir die Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks noch einmal angesehen. Wie in Abschnitt 2.1 erklärt, enthält das
Pascalsche Dreieck figurierte Zahlen. Da man die Dreieckszahlen mit der oben genannten Formel direkt
berechnen kann, kann man diese Eigenschaften zur Optimierung nutzen. Zur Optimierung ändert man
das in Kapitel 3.2 gezeigte Programm wie folgt ab.
1
function
[ sum , a u f r u f e , add ]= f u n c t i o n f i g u r i e r t ( n , k , a u f r u f e , add )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
i f ( k==0)
add=add ;
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
sum=1;
e l s e i f ( n==k )
add=add ;
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
sum=1;
e l s e i f ( k==1)
add=add ;
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
sum=n ;
e l s e i f ( k==(n − 1 ) )
add=add ;
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
sum=n ;
e l s e i f ( ( n>=2)&&(k==2))
add=add ;
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
sum=(n ∗ ( n − 1 ) / 2 ) ;
e l s e i f ( ( n>=2)&&(k==(n − 2 ) ) )
add=add ;
a u f r u f e=a u f r u f e +1;
sum=(n ∗ ( n − 1 ) / 2 ) ;
else
summe1=0;
a u f r 1 =0;
a d d i 1 =0;
[ summe1 , a u f r 1 , a d d i 1 ]= f u n c t i o n f i g u r i e r t ( n −1 , k −1 , a u f r u f e , add ) ;
summe2=0;
a u f r 2 =0;
a d d i 2 =0;
[ summe2 , a u f r 2 , a d d i 2 ]= f u n c t i o n f i g u r i e r t ( n −1 , k , a u f r u f e , add ) ;
x=z e r o s ( 1 , 3 ) ;
y=z e r o s ( 1 , 3 ) ;
x =[summe1 , a u f r 1 , a d d i 1 ] ;
y =[summe2 , a u f r 2 , a d d i 2 ] ;
sum=x (1)+ y ( 1 ) ;
a u f r u f e=x (2)+ y ( 2 ) + 1 ;
add=x (3)+ y ( 3 ) + 1 ;
43
44
45
end
end
n
Man erweitert
die
If-Bedingungen.
Hierbei
legt
man
nun
fest,
dass
in
den
äußeren
Diagonalen,
also
0
n
, stehen die natürlichen Zahsowie nn immer Einsen stehen. In den zweiten Diagonalen, n1 sowie n−1
len. Das bedeutet, dass man die Summe, die die Funktion als Wert zurück gibt, direkt mit n festgelegt
wird. In der dritten Diagonalen stehen dann die Dreieckszahlen und auch hier wird der Rückgabewert
direkt über die Formel zur Berechnung der Dreieckszahlen festgelegt. So spart man sich dauerhaft einige
Additionen.
12
Die Ausgabe erfolgt analog wie in 3.1 und 3.2. Man erhält folgende Matrizen für die Anzahl der Funktionsaufrufe sowie der Additionen.
Abbildung 14: Ausgabe der Anzahl der Funktionsaufrufe als Matrix
Man erkennt, dass die Anzahl der Funktionsaufrufe in den äußeren drei Diagonalen immer Eins ist. Auch
die mittleren Werte, zum Beispiel in der elften Zeile, sind nicht extrem groß.
Abbildung 15: Ausgabe der Anzahl der Additionen als Matrix
Ebenfalls ist die Anzahl der Additionen in den äußeren drei Diagonalen auffällig, denn dort sind die Additionen null. Betrachter man die mittleren Werte der untersten Zeile, so erkennt man, dass die Additionen
alles in allem relativ gering bleiben.
3.4
Vergleich
Im Folgenden werde ich die drei Programme miteinander vergleichen. Für den Vergleich habe ich das
mittlerste Element jeder Zeile berechnen lassen und die Funktionsaufrufe sowie die Anzahl der Additionen gespeichert.
13
Abbildung 16: Vergleich der Funktionsaufrufe der 3 Programme
Auf der Grafik ist auf der x-Achse die jeweilige Zeile und auf der y-Achse die Anzahl der Funktionsaufrufe
für das mittlerste Element aufgetragen.
Die blaue Kurve beschreibt das Verhalten der Summenbildung, die grüne Kurve das Verhalten der Summe
mit den Dreieckszahlen und die rote Kurve die Fakultät(Berechnung mit Binomialkoeffizienten). Man
erkennt, dass die blaue Kurve sehr stark ansteigt. Sie ist ab der fünften Zeile die steilste Kurve und
braucht für das mittlerste Element der achten Zeile schon knapp 70 Aufrufe.
Die rote Kure, die Funktion der Fakultät-also Berechnung über den Binomialkoeffizienten, ist bei den
ersten vier Zeilen am steilsten. Hierbei muss man jedoch beachten, dass es sich nur um 3 Funktionsaufrufe
handelt und dies im Vergleich zu den beiden Summenfunktionen, die beide einen Funktionswert von eins
haben, kein großer Unterschied ist. Des Weiteren erkennt man, dass die rote Kurve in der achten Zeile
wesentlich weniger Funktionsaufrufe als die Summenbildung hat.
Die grüne Kurve, die Funktion der mit den Dreieckszahlen optimierten Summe, ist die flachste Kurve.
Sie ist bis zur sechsten Zeile konstant eins. Dann beginnt sie zu steigen, liegt in der achten Zeile aber
immer noch unter 10 Funktionsaufrufen. Jedoch sind acht Zeilen nicht sehr aussagekräftig.
Abbildung 17: Vergleich der Funktionsaufrufe der 3 Programme
Dies ist aus dem oben genannten Grund eine Grafik, die die Funktionen bis Zeile 26 zeigt. Man beachte,
dass die Skalierung der y-Achse bei 106 liegt.
Es ist deutlich zu erkennen, dass die blaue Kurve von allen am steilsten steigt. In Zeile 25 braucht sie ca.
5, 5 · 106 Aufrufe. Für den Wert in Zeile 26 dann sogar 10 · 106 Aufrufe.
14
Die grüne Kurve fängt auch stärker an zu steigen, jedoch lange nicht so stark wie die blaue. Die rote
Kurve besitzt langfristig gesehen deutlich weniger Funktionsaufrufe als die anderen beiden.
Dies bedeutet letztendlich, dass die alleinige Summenbildung die mit Abstand meisten Funktionsaufrufe
besitzt. Die optimierte Summenbildung besitzt für größer werdende n mehr Funktionsaufrufe als die Bildung über die Binomialkoeffizienten mit der Fakultät.
Des Weiteren habe ich zwischen den beiden Summenfunktionen die Anzahl der Additionen gezählt und
grafisch dargestellt.
Abbildung 18: Vergleich der Additionen der Summenfunktionen
Abbildung 18 zeigt anhand der blauen Kurve, dass die alleinige Summenbildung mehr Additionen verwendet als die optimierte Summenbildung. Für größer werdende n ist ein deutlicher Unterschied erkennbar.
Dies zeigt auch die nachfolgende Abbildung. Hier wird der extreme Unterschied der beiden Funktionen
deutlich. Während die optimierte Summe in Zeile 25 erst bei ca. 0, 2 · 106 Additionen ist, ist die alleinige
Summenbildung schon bei ca. 2, 7 · 106 Additionen.
Abbildung 19: Vergleich der Additionen der Summenfunktionen
15
Abschließend kann man zusammenfassend sagen, dass die Fakultät die günstigste Funktion ist. Die Summenbildung hat die meisten Funktionsaufrufe und auch die meisten Additionen. Im Vergleich zu dieser
ist die Optimierung mithilfe der Dreieckszahlen eine gute Möglichkeit die Summenbildung zu verbessern.
Trotzdem muss auch erwähnt werden, dass die Erzeugung der Abbildung 19 mehrere Sekunden gedauert
hat. Dies verdeutlicht noch einmal, dass die Summenbildung recht aufwändig ist. Somit folgt natürlich,
dass die Berechnung durch den Binomialkoeffizienten mithilfe der Fakultät die schnellste Möglichkeit ist.
4
Anwendungen
Es gibt mehrere Anwendungen des Pascalschen Dreiecks auf die ich kurz eingehen möchte.
4.1
Binomischer Lehrsatz
Einer der bekanntesten Anwendungen ist der Binomischer Lehrsatz.
n X
n
k=0
k
· xk · y n−k = (x + y)n
Mit seiner Hilfe kann man gut beliebige Potenzen von Binomen ausmultiplizieren. Hierbei gibt das Pascalsche Dreieck die Koeffizienten an. Zum Beispiel gilt für (a+b)3 : Man schaut zuerst in die dritte Zeile 4 des
Pascalschen Dreiecks und erhält die Koeffizienten 1,3,3,1. Dann gilt (a+b)3 = 1·a3 +3·a2 ·b+3·a·b2 +1·b3 .
Man kann auch Binome der Art von (a − b)n ausmultiplizieren. Hierfür schaut man in die n-te Zeile des
Pascalschen Dreiecks um die Koeffizienten zu erhalten. Das Minuszeichen ist immer bei ungeraden Potenzen von b vorhanden. Jedoch ist diese Vorgehensweise für sehr große n unbrauchbar. Denn man bräuchte
die n-te Zeile des Pascalschen Dreiecks, was wie oben gezeigt ein großer Rechenaufwand ist. Dies gilt im
Besonderen, wenn es von Hand berechnet werden soll.
4.2
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Eine weitere Anwendung ist die Verwendung des Pascalschen Dreiecks in der Kombinatorik. Hierfür ist
vermutlich das bekannteste Beispiel das Ziehen der Lottozahlen. Man hat 49 durchnummerierte Kugeln
aus denen 6 Stück ohne Zurücklegen gezogen werden. Nun stellt sich die Frage, wie viele Kombinationsmöglichkeiten
es gibt diese 6 Kugeln zu erhalten. Man berechnet dies mit dem Binomialkoeffizienten,
also 49
.
Dies
ergibt
13983816 Möglichkeiten.
6
Eine Weitere Anwendung ist das Galtonbrett.
[8]
Abbildung 20: Galtonbrett
Es funktioniert wie folgt: Man wirft“ zum Beispiel eine Kugel in den obigen Trichter. Stellt man sich
”
jetzt vor, dass die roten Punkte Nägel seien, so hat die Kugel immer die Möglichkeit links oder rechts
daran vorbeizugehen. Man geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für beide Ereignisse je 12 beträgt.
Legt man darüber jetzt das Pascalsche Dreieck in der Darstellung mit den Binomialkoeffizienten, so erhält
4 Nummerierung
beginnt bei 0
16
jeder Punkt eine eindeutige Kennzeichnung. Der oberste rote Punkt wäre somit 00 , der linke in der Reihe
darunter folglich 10 . Die Binomialkoeffizienten, die den Punkten zugeordnet wurden, geben ebenfalls die
Anzahl der Möglichkeiten, die es gibt um zu diesem Punkt zu gelangen, an. Daraus folgt sofort, dass der
oberste rote Punkt nur auf einem Weg zu erreichen ist. Zu dem mittlersten Punkt in der dritten Reihe,
wenn der oberste Punkt die erste Reihe bildet, gelangt man auf zwei Wegen. Die erste Möglichkeit ist,
dass die Kugel in der ersten Reihe rechts herunterfällt und dann in der zweiten Reihe links. So trifft sie
auf den mittlersten in der dritten Reihe. Die zweite Möglichkeit ist, dass die Kugel in der obersten Reihe
nach links fällt und in der zweitel Reihe nach rechts. So gelangt man wieder an den mittlersten
Punkt der
dritten Reihe. Es gibt also genau 2 Möglichkeiten dahin zu gelangen. Dies entspricht 21 . Jedoch ist zu
beachten, dass die Wege immer nur von oben nach unten gehen. Man darf somit nicht Rückwärtsgehen.
4.3
Abzählbarkeit
Mithilfe des Pascalschen Dreiecks kann man auch die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen zeigen. Betrachtet man zu Beginn die erste Doppelreihe (1. und 2. Diagonale), so sieht man folgende Elemente: 1
- 1, 1 - 2, 1 - 3,1 - 4,... Man schaut mit welcher Zahl die linke multipliziert werden muss, um die rechte
zu erhalten. Bei der ersten Doppelreihe sind es somit alle natürlichen Zahlen. Betrachtet man sich jetzt
die zweite Doppelreihe, also die 2. und 3. Diagonale, dann sieht man folgende Elemente: 2 - 1, 3 - 3, 4 6, 5 - 10, ... Überlegt man auch hier wieder, mit welcher Zahl man die linke multiplizieren muss um die
rechte zu erhalten, so erhält man: 12 , 22 , 23 , 42 ,...
Die dritte Doppelreihe, also die 3. und 4. Diagonale, zeigte folgende Werte: 3 - 1, 6 - 4, 10 - 10, 15 - 20,
21 - 35,... Jetzt überlegt man wieder, mit welcher Zahl die linke multipliziert werden muss, um die rechte
zu erhalten. Man kommt auf folgendes : 31 , 23 , 33 , 43 , 53 , ...
Dieses Muster lässt sich nach unten fortstetzen und man erhält alle 4tel, 5tel,... .
Daraus folgt es sind alle Bruchzahlen im Pascalschen Dreieck indirekt vorhanden und damit lässt sich die
Abzählbarkeit veranschaulichen.
4.4
Anzahl von Elementen von Polytopen
Betrachten wir uns ein Dreieck. Dies hat eine zweidimensionale Fläche-sich selbst. Es hat drei eindimensionale Elemente- seine Kanten- sowie drei nulldimensionale Elemente-seine Ecken. Man erhält folgende
Zahlenfolge: 1,3,3.Fügt man am Ende eine 1 hinzu, so erhält man die dritte Zeile des Pascalschen Dreiecks.
Diese letzte hinzuzufügende Eins steht für einen Eckpunkt, der hinzugefügt werden muss, um ein dreidimensionales Objekt zu erhalten. Verbindet man nämlich alle vorhandenen Ecken mit dem neuen Punkt so
erhält man einen Tetraeder. Dieser wird dann durch die vierte Zeile widergespiegelt. Das Dreieck hat kein
dreidimensionales Element, der Tetraeder hat eins. Somit ergibt sich für die vierte Zeile 0 + 1 = 1. Das
Dreieck hat ein zweidimensionales Element und bei dem Tetraeder kommen 3 neue Flächen hinzu. Daraus
folgt 1 + 3 = 4 für die nächste Zahl der viertel Zeile. Das Dreieck hat drei eindimensionale Elemente.
Für den Tetraeder entstehen 3 neue Kanten, das bedeutet insgesamt gilt 3 + 3 = 6. Nulldimensionale
Elemente besitzt das Dreieck wie oben genannt 3 Stück. Um den Tetraeder zu bilden wird ein neuer
Eckpunkt hinzugefügt, das bedeutet 3 + 1 = 4. Somit ergibt sich die vierte Zeile als 1,4,6,4,1. Die letzte
Eins wird wieder für den nächsten Eckpunkt hinzugefügt.
Man kann auch aus den Zeilen des Dreiecks die Anzahl der Elemente eines Polytopes herausfinden. Hierfür
betrachtet man sich die Zeilen und kommt somit auf die Anzahl der Elemente.
5
Erweiterungen
Es gibt die verschiedensten Arten von Erweiterungen über die ich im folgenden einen kleinen Überblick
verschaffen möchte.
5.1
Trinomial Triangle
Das Trinomial Tiangle ist eine Abwandlung des Pascalschen Dreiecks. Anstatt wie bei dem Pascalschen
Dreieck die Summe aus 2 Einträgen zu bilden, wird hier die Summe aus den drei darüberstehenden
Einträgen gebildet.
17
[10]
Abbildung 21: Trinomial Triangle
Dieses Dreieck hat jedoch kaum mathematische Relevanz.
5.2
Pascalsche Pyramide
Die Pascalsche Pyramide ist eine dreidimensionale Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks. Die Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks lassen sich hier sinngemäß übertragen.
Die Spitze der Pyramide ist eine eins. Die Bildung der einzelnen Ebenen lässt sich wie folgt beschreiben.
Stellt man sich einen Tetraeder vor und schneidet ihn horizontal, so sind die Schnittflächen Dreiecke. Genau dies sind somit auch die einzelnen Ebenen der Pyramide. Die Außenkanten des n-ten Dreiecks, also
der n-ten Ebene, entsprechen der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks. Die Füllung des Innenraums des
n-ten Dreiecks funktioniert folgender Maßen. Will man die m-te Zeile des Dreiecks füllen, so multipliziert
man den jeweiligen Eintrag der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks mit der an der Außenkante bereits
eingetragen Zahl. Nun bilden wir die Pascalsche Pyramide Ebene für Ebene nach. In der nullten Ebene
steht eine einzige Eins. In der ersten Ebene folgt das erste Dreieck.
1
1
1
Hierbei hat man nur Außenkanten die aus Einsen bestehen, was der ersten Zeile des Pascalschen Dreiecks entspricht. Auch hier gilt wieder, dass die Nummerierung bei Null beginnt.Die zweite Ebene ergibt
ebenfalls ein Dreieck ohne Innenraum.
1
2
2
1
2
1
Die Außenkanten werden gebildet durch die zweite Zeile des Pascalschen Dreiecks. Bei der dritten Ebenen
tritt zum ersten Mal ein zu berechnender Innenraum auf. Dies funktioniert wie folgt.
1
3
3
3
6
3
1
3
3
1
Die Außenkanten werden analog gebildet. Der Innenraum ist in diesem Fall nur die 6. Sie wird gebildet,
indem man sich die Stelle, an der sie steht, anschaut. Auf diesem Platz steht im Pascalschen Dreieck die
2. Nun wird die 2 mit dem Wert der Außenkante multipliziert 2 · 3 = 6. Die Bildung der weiteren Ebenen
geht analog.
5.3
Trinomialkoeffizienten
Die Trinomialkoeffizienten sind in der Pascalschen Pyramide vorhanden und sind eine Erweiterung der
Binomialkoeffizienten. Sie werden berechnet durch
(i + j + k)!
i!j!k!
mit i + j + k = n. Die Bildung der Pyramide lässt sich auch darauf zurückführen.
(i + j + k)!
(i + j + k)! (i + j)!
=
∗
i!j!k!
(i + j)! ∗ k!
i!j!
Man erkennt, dass der Eintrag aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks mit dem an der Seite
eingetragenen Faktor multipliziert werden muss. Eine Ähnlichkeit mit den Binomialkoeffizienten erkennt
man vor allem, wenn man diesen Therm i + j + k = n nach i auflöst und dies dann in die obige Formel
einsetzt.
18
5.4
Multinomialkoeffizienten
Die Multinomialkoeffizienten sind eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten. Sie werden wir folgt
gebildet.
n
n!
=
k1 ! ∗ ... ∗ kr !
k1 , ..., kr
Sie werden auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet. Es wird die Anzahl der Möglichkeiten
berechnet n Objekte in r Schachteln zu legen. Hierfür ein Beispiel:Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 32
Karten eines Skartspiels zu je 10 Karten auf 3 Spieler und 2 Restkarten zu verteilen?
Zuerst überlegt man, wie viel Objekte man hat. Hier entspricht dies n = 32. In 3 Schachteln sind je 10
Karten und in der vierten sind 2. Deswegen muss man folgendes berechnen:
32
32!
=
10! · 10! · 10! · 2!
10, 10, 10, 2
5.5
Matrixexponential
Das Pascalsche Dreieck kann man als Matrix mithilfe dem Matrixexponential darstellen. Hierfür hat
man eine quadratische Matrix A, die Einträge ungleich null unter der Hauptdiagonalen stehen hat. Diese
Eintäge sind die natürlichen Zahlen.
[11]
Abbildung 22: Matrixexponential
Für die Berechnung des Matrixexponentials nutzt man die Reihendarstellung von e.
x
e =
∞
X
xk ·
k=0
1
k!
Für das x wir die Matrix A eingesetzt. Man schaut, ob die Matrix A nilpotent ist, das heißt, ob An die
Nullmatrix ergibt. Trifft dies zu, so hat man nur eine endliche Summe zu berechnen. Als Beispiel sieht
die Matrix A wie folgt aus:


0 0 0 0
1 0 0 0


0 2 0 0
0 0 3 0
Jetzt folgt die Untersuchung, ob sie nilpotent ist. A2 = A · A


0 0 0 0
0 0 0 0


2 0 0 0
0 6 0 0
A3 = A2 · A ergibt:

0
0

0
6
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
0

0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
0
A4 = A3 · A ergibt:
19
Man sieht, dass A4 die Nullmatrix ist. Somit wird jetzt folgendes berechnet.
ex =
∞
X
xk ·
k=0
1
1
1
= A0 + A1 + · A2 + · A3
k!
2
6
Dies ergibt dann das Pascalsche Dreieck.

1
1

1
1
5.6
0
1
2
3
0
0
1
3

0
0

0
1
negative Erweiterung
Matrixexponential
Man kann das Pascalsche Dreieck auch ins negative erweitern. Hierfür ist eine Möglichkeit, in dem man
das Matrixexponential benutzt, jedoch nicht nur mit den natürlichen Zahlen, sonder mit den ganzen
Zahlen. Dies funktioniert jedoch genauso wie in Kapitel 5.5 beschrieben.
[11]
Abbildung 23: Erweiterung mit negativen n
Abbildung 23 zeigt, wie das Pascalsche Dreieck aussieht, wenn man es mit dem Matrixexponential mit
den ganzen Zahlen bildet. Alle stellen mit Punkten entsprechen Nullen. Unten rechts erkennt man das
Pascalsche Dreieck. Man erkennt, dass die Erweiterung oben links stattfindet. Auffällig ist, dass die
Erweiterung aus den gleichen Zahlen besteht und es sieht so aus, als ob es an der Diagonalen von rechts
oben nach links unten gespiegelt ist. Jedoch sind hier nicht alle Elemente positiv.
Summenformel
Eine andere Möglichkeit für die Erweiterung ist die Berechnung mit einer Summenformel.
n
n−1
n−1
=
+
m
m−1
m
Stellt man diese folgendermaßen um, kann man damit die weiteren Elemente berechnen.
n−1
n
n−1
=
−
m
m
m−1
Jetzt geht man in drei Schritten vor. Zuerst schreibt man sich das Pascalsche Dreieck noch einmal hin.
m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 ...
n=0
1
0
0
0
0
0
...
n=1
1
1
0
0
0
0
...
n=2
1
2
1
0
0
0
...
n=3
1
3
3
1
0
0
...
n=4
1
4
6
4
1
0
...
Im zweiten Schritt zählt man die n negativ nach oben und schreibt in die Spalte m = 0 nur Einsen.
m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 ...
n=-4
1
n=-3
1
n=-2
1
n=-1
1
n=0
1
0
0
0
0
0
...
n=1
1
1
0
0
0
0
...
n=2
1
2
1
0
0
0
...
20
Die noch freien Stellen füllt man mit der oben genannten Summenformel aus und dies ergibt dann: 1.
n = 0, m = 1
−1
0
−1
=
−
= 0 − 1 = −1
1
1
0
2.n = −1, m = 1
−2
−1
−2
=
−
= −1 − 1 = −2
1
1
0
3. n = 0, m = 2
−1
0
−1
=
−
= 0 − (−1) = 1
2
2
1
Für die Berechnung der restlichen Werte geht man analog fort und man erhält :
m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5...
n=-4
1
-4
10
-20
35
-56
...
n=-3
1
-3
6
-10
15
-21
...
n=-2
1
-2
3
-4
5
-6
...
n=-1
1
-1
1
-1
1
-1
...
n=0
1
0
0
0
0
0
...
n=1
1
1
0
0
0
0
...
n=2
1
2
1
0
0
0
...
6
Fazit
Zusammenfassend kann man sagen, dass das Pascalsche Dreieck sehr viele interessante Eigenschaften hat.
Dies erstaunt umso mehr, wenn man sich die einfache Bildung vor Augen führt. Es stecken viele Muster
und Folgen in ihm. Obwohl es nur durch Additionen gebildet wird, kann man sogar eine irrationale
Zahl, die Eulersche Zahl, darin entdecken. Ein genauso erstaunliches Merkmal ist der Nachweis der
Abzählbarkeit.
Für die Programmierung des Pascalschen Dreiecks gibt es mehrere Möglichkeiten. Ich habe gezeigt, wie
man die Summenbildung mithilfe der Dreieckszahlen optimieren kann. Dies könnte man noch weiter
optimieren, indem man die Formel für die direkte Berechnung der Tetraederzahlen ebenfalls einbaut.
Damit hätte man noch 2 Diagonalen mehr die direkt berechnet werden können.
Des Weiteren gibt es noch viel in dem Pascalschen Dreieck und seinen Erweiterungen zu entdecken.
Zu Beginn habe ich den Zusammenhang zwischen dem Pascalschen Dreieck und dem Siepinski-Dreieck
gezeigt. Das Pascalsche Dreieck hat als Verallgemeinerung die Pascalsche Pyramide. Das SiepinkskiDreieck hat auch eine Verallgemeinerung als Pyramide. Auch zwischen den beiden Pyramiden gibt es
ähnliche Zusammenhänge wie zwischen den Dreiecken.
21
Literatur
[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
[2] http://www.automatisierungstechnik-koeln.de/ma/pascal_dreieck.gif
[3] http://gfs.khmeyberg.de/0809/0809Kurs12Ma1e/0809UnterrichtMathematik12MA1eStochastik.
html
[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahlen
[5] http://www.michael-holzapfel.de/themen/pascaldreieck/pascal9.gif
[6] http://www.serlo.org/uploads/1563.png
[7] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sierpinski-Trigon-7.svg
[8] http://www.google.de/imgres?sa=X&rlz=1C1OPRA_enDE570DE570&espvd=210&es_sm=
93&biw=1280&bih=699&tbm=isch&tbnid=xUtvkTVrWhnEqM%3A&imgrefurl=http%3A%2F%
2Fde.wikibooks.org%2Fwiki%2FZufall&docid=NXEm7lxxljjY1M&imgurl=http%3A%2F%
2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2Fthumb%2F7%2F78%2FGalton_Box.
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1&iact=rc&dur=2726&page=1&start=0&ndsp=21&ved=0CI4BEK0DMBE
[9] Ursula Bicker, Produktives Üben und Argumentieren mit dem Pascal-Dreieck
http://www.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/cms/media/BzMU/BzMU2010/BzMU10_
BICKER_Ursula_Pascal-dreieck.pdf, 18.11.2013
[10] http://de.wikipedia.org/wiki/Trinomial_Triangle
[11] http://en.wikipedia.org/wiki/Pascals_Triangle
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