gödelsches unvollständigkeits- theorem
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1 Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 GÖDELSCHES UNVOLLSTÄNDIGKEITSTHEOREM KURZE MOTIVATION Die “Dinge” zeigen sich uns durch ihre Beziehung zu andern “Dingen”. Diese Beziehungen lassen sich durch innerhalb der Physik mittels mathematischer Methoden beschreiben. Untersuchung der Mathematik als beschreibendes System. Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 2 p1 + p2 = n 8 =3+5 14 = 7+7 oder 11 + 3 Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 Goldbach (1742): Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werde. Etc…. 3 David Hilbert (1900) Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 „Diese Überzeugung von der Lösbarkeit eines jeden mathematischen Problems ist uns ein kräftiger Ansporn während der Arbeit; wir haben in uns den steten Zuruf: Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus*.“ 4 *Im Gegensatz zu: ignoramus et ignorabimus. MATHEMATIK ALS FORMALES SYSTEM Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen lauten: Definition von Addition und Multiplikation n + 0 := n n * 0 :=0 n + m := (n + m)‘ n * m := (n * m) + n Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 (P1) 0 ist eine natürliche Zahl. (P2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen eindeutig bestimmten Nachfolger n‘ (P3) 0 ist kein Nachfolger. (P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger. (P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, die 0 enthält und mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger n‘ enthält, dann ist M = N. 5 Konsistenz S: Ein formales System A: Eine Aussage (Satz) in S Nein! Nur falls ¬A nicht beweisbar in S ist. Konsistentes System S (Logik): Falls A beweisbar in S folgt ¬A nicht beweisbar in S Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 Folgt aus A ist beweisbar in S, dass A wahr ist? 6 GÖDELS UNVOLLSTÄNDIGKEITS-THEOREM Kurt F. Gödel (1931) Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 Jedes konsistente formale System im welchen eine gewisse Menge Arithmetik gemacht werden kann ist unvollständig. 7 Beispiele Peano Arithmetik (PA) Aber! Nicht jedes konsistente formale System ist unvollständig. Beispiele: - Presburger Arithmetik - elementare Theorie der reellen Zahlen Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 Zermelo-Fraenkel Set-Theorie (ZFC) 8 Nicht zu schnell sein! Religiöse Texte beinhalten alle antworten Nicht konsistent Das Grundgesetz bildet ein formales System Konsistent (?) Nicht vollständig Existenz von Rechtanwälten Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 Vollständiges System 9 Unvollständigkeit und eine TOE Freeman Dyson (in : New York Review of Books): Stephen Hawkings (in: Gödel and the end of physics.): Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 „… Now I claim that because of Gödel‘s theorem, physics is inexhaustible too. …….. The theorem implies that even within the basic equations of physics, our knowledge will always be incomplete.“ „… Instead, we and our models are part of the universe we are Describing. Thus, a physical theory is self-referencing, like in Gödels Theorem. One might expect it to be either inconsistent, or incomplete. The theories we have so far, are both inconsistent and incomplete.“ 10 Theologische Applikationen: Bibliography of Christianity and Mathematics; erste Edition 1983, Liste 13 Zitate aus den Inhaltsangaben: o ….benutzen Gödels Theorem um zu zeigen, dass der menschliche Geist mehr ist als bloß eine logische Maschine. Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 o Wir benutzen Gödels Theorem um zu zeigen, dass die Physik nie eine finale Theorie für Alles haben wird. o …Gödels Theorem garantiert, dass es Wahrheiten gibt welche nur durch die Ratio und nicht durch mechanische Manipulation von festen Regeln erworben werden können --- diese Wahrheiten implizieren die Existenz Gottes. 11 Einschränkungen Gottes (1) Es sei A nicht entscheidbar in S Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 Frage: Kann Gott A in S beweisen…? 12 Einschränkungen Gottes (1) Es sei A nicht entscheidbar in S Kann er sagen ob A wahr ist? Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 Frage: Kann Gott A in S beweisen…? 13 Einschränkungen Gottes (2) QM Peter Mittelstaedt (aus Text 9.4) „… Ein ähnliches Argument gilt in Hinblick auf die Allmacht … Jede über die Unschärferelation hinausgehende Kenntnis und jede manipulierende Festlegung einer objektiv unbestimmten Eigenschaft würde ebenso die Naturgesetze verletzen wie ein entsprechender Eingriff in der klassischen Mechanik. Naturgesetze nicht nur faktisch sonder notwendig. Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 „… Das bedeutet im Kontext der Theologie, daß auch göttliche Allwissenheit hier enden muß. Auch ein allwissendes Wesen kann nichts über Eigenschaften wissen, die es nicht gibt. Ein solches Wissen würde denselben Gesetzen der Quantenphysik widerspreche,…“ 14 Einschränkungen Gottes (3) Zeit Ulrich Beutler (aus Text 9.3) „… sondern die Zeit entsteht erst mit dem gegenwärtigen Geschehen aus einer unerklärlichen Quelle, so dass Zeit eigentlich nur für die Vergangenheit, für die Zukunft aber noch gar nicht existiert. ..“ Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 „… Auch Gott muss sich an die Zeitordnung und die Unumkehrbarkeit der Zeit halten. Er kann nur in Gegenwart und Zukunft, nicht aber in der Vergangenheit wirken, er kann nicht Geschehenes ungeschehen machen, und ein Ereignis kann nicht an einem bestimmten RaumZeit-Punkt zugleich stattfinden und nicht stattfinden usw. ….“ „… Er wirkt in der Zeit und zwar genau am Schnittpunkt der gerade entstehenden Zeit im Jetzt. …“ 15 Literatur 1. . Logical dilemmas : the life and work of Kurt Gödel / Dawson, John W. . - 1. [Dr.] - Wellesley, Mass. : Peters, 1997 3. [Gödel, Escher, Bach <dt.> ] Gödel, Escher, Bach : ein endloses geflochtenes Band / Hofstadter, Douglas R. . - 14. Aufl. - Stuttgart : Klett-Cotta, 1995 Schöpfungsglaube und Astrophysik, 22.06.09 2. Gödel's theorem : an incomplete guide to its use and abuse / Franzén, Torkel . - Wellesley, Mass. : Peters, 2005 Vortrag zu finden (wer möchte) unter: http://wwwthep.physik.uni-mainz.de/~ahrens/talks/goedel.pdf 16
