H ds - Hochschule Bremerhaven

Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven
Unterlagen zur Lehrveranstaltung
Elektrotechnik 1
[ ETT1 ]
S Teil 1:
Elektrisches Feld
S Teil 2:
Kapazität
S Teil 3:
Elektrischer Strom
I
I
Einleitung
I.I
Umdruck zur Vorlesung
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Über die Homepage der Vorlesung <http://www1.hs---bremerhaven.de/kmueller/>
werden aktualisierte oder korrigierte Unterlagen im Verlauf der Vorlesung zur Verfügung
gestellt. Zu den Laborveranstaltungen müssen die entsprechenden Unterlagen in
gedruckter Form vorliegen.
I.II Elektrotechnik 1
Die Elektrotechnik durchdringt unser tägliches Leben, indem wir elektrische Antriebe,
elektrisches Licht, Telekommunikations-, und Datenverarbeitungseinrichtungen nutzen.
Ohne die Entwicklung elektrotechnischer Anlagen und Geräte wären die heutigen
zivilisatorischen und industriellen Fortschritte undenkbar. Gleichzeitig bildet die
elektrotechnische Industrie einen bedeutenden Wirtschaftsfaktor. Für rohstoffarme
Industrieländer ist das Wissen um die moderne Elektrotechnik deshalb von ganz
besonderer Bedeutung. Die Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik befasst sich mit den
Gesetzmäßigkeiten und Phänomenen, die für einen späteren Einstieg in die elektrische
Digital-, Mess-, Steuerungs-, Antriebs- oder Informationstechnik benötigt werden.
Revision:
V1.0b
Datum:
September 2004
Folgende Themen sollen behandelt werden:
Prof. Dr.-Ing. Kai Müller
Hochschule Bremerhaven
Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik
An der Karlstadt 8
S
Physikalische Größen
S
Elektrostatisches Feld
S
Elektrischer Strom, Netzwerke
Ich wünsche allen Hörern der Veranstaltung “Elektrotechnik 1” viel Freude an dem
Einstieg in ein faszinierendes Fachgebiet.
D---27568 Bremerhaven
Tel:
FAX:
+49 471 48 23 --- 415
+49 471 48 23 --- 418
E---Mail:
[email protected]
Bremerhaven, September 2005
Kai Müller
<kmueller@hs ---bremerhaven.de>
Tel: (0471) 4823 --- 415
Elektrotechnik 1 --- Inhalt
II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Elektrotechnik 1 --- Inhalt
II Inhalt
7.4.1
7.5
III
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Kondensator als Energiespeicher für PKW . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Kapazitätswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
7.5.1
Parallel- und Serienschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . .
28
1
Elektrische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7.6
Übung: Berechnung der Gesamtkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2
Materie und elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
7.7
Übung: Berechnung der Kapazität einer Koaxialleitung . . . . . . . . . . . .
31
3
Statisches elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
8
Der elektrische Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.1
Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
9
Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2
Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
9.1
Elektrischer Widerstand (Ohmsches Gesetz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3
Feldstärke und Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
9.2
Energie und Leistung bei Ohmschen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.4
Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
9.2.1
43
3.5
Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.6
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10.1
Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Energie, Potenzial und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10.2
Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.1
Arbeit bei inhomogenem Feld (allgemeiner Fall) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
10.2.1 Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.1.1
Elektrostatisches Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
10.2.2 Kirchhoffsche Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.1.2
Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
10.3
Anwendung der Kirschhoffschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.1.3
Potenzielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
10.4
Vereinfachung von elektronischen Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
10.4.1 Reale Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
10.4.2 Reale Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4
5
44
15
5.1
Erzeugung großer elektrischer Ladungen durch Influenz . . . . . . . . . . . .
15
5.1.1
Der Van-de-Graaf-Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
10.4.3 Serien- und Parallelschaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . .
54
Messung hoher Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
11 Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Die elektrische Verschiebungsdichte D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
12 Berechnung von Widerstandsnetzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Übung: Berechnung des Gesamtwiderstands eines
Widerstandsnetzwerkes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
12.2
Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
12.3
Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
23
13 Messung von Strom und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Aluminium-Elektrolytkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
14 Wheatstonesche Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.3
Einsatzgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
15 Leistungsanpassung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
7.4
Die im Kondensator gespeicherte Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
6.1
7
10 Gleichstromschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leiter im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
6
Übung: maximale Spannung für einen Widerstand . . . . . . . . . .
12.1
Übung: Berechnung der elektrischen Feldstärke in Vakuum und
in Tantaldioxyd Ta2O5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Kapazität und Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
7.1
Der Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
7.1.1
Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
15.1
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Elektrotechnik 1 --- Inhalt
IV
Hochschule Bremerhaven --- IAE
16 Überlagerungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
17 Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
1
Elektrotechnik 1
1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Elektrische Größen und Einheiten
17.1
Magnetische Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
17.2
Stromdurchflossene Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
17.3
Magnetische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
17.4
Vektordarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
17.5
Lorentz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
17.6
Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht im Magnetfeld . . . . . . . . . .
82
17.7
Übung: Kraft auf eine Spule im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
17.8
Übung: Drehspulinstrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
17.9
Anhang: Allgemeine Form des Vektorprodukts
(äußeres Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
17.10 Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
17.10.1 Durchflutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
17.11 Übung: Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern . . . . . . . . . . .
90
17.12 Einfluss der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
17.12.1 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
17.12.2 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
(physikalische) Größe = Zahlenwert x Einheit
17.13 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
z.B. Masse
17.13.1 Curie-Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
17.13.2 Magnetisierungskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
17.14 Magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
17.15 Magnetischer Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
17.16 Übung: Maximaler Strom für eine Spule mit Eisenkern . . . . . . . . . . . .
102
17.17 Übung: Induktion im Luftspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
17.18 Übung: Gekoppelte Spule (Transformator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
17.19 Berechnung von Magnetkreisen mit Permanentmagneten . . . . . . . . . . .
107
17.20 Lautsprecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
17.21 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
18 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
Basisgrößen (möglichst in SI-Einheiten, SI = Standard International)
Mechanik: Länge, Zeit, Masse
Thermodynamik: Temperatur, Druck
Elektrizität: Strom, Spannung
Basisgößen müssen voneinander unabhängig sein.
Gesetzmäßigkeiten
Beispiel: Beschleunigung eines Körpers mit Masse m
Weg [m] = 0.5 x Kraft [N] / Masse [kg] x Quadrat der Zeit [s]
Üblich
F t2
s = 1m
2
(1.1)
Größen (bindend gemäß “Gesetz über Einheiten im Messwesen”)
m = 5 kg,
m = {m} [m]
{m} = Zahlenwert der Masse
[m] = Einheit (Vergleichswert) der Masse
Messen einer Größe = Vergleich mit festgelegter Bezugseinheit
Einheiten vorangestellte Faktoren für große und kleine Zahlenwerte
(DIN 1301)
Große Zahlenwerte:
101
102
103
106
109
da
h
k
M
G
= Deka
= Hekto
= Kilo
= Mega
= Giga
2
Elektrotechnik 1
1012
1015
1018
T
P
E
= Tera
= Peta
= Exa
d
c
m
μ
n
p
f
a
= Dezi
= Zenti
= Milli
= Mikro
= Nano
= Pico
= Femto
= Atto
Hochschule Bremerhaven --- IAE
F = [F] {F} = {m} [m] {a} [a]
[F] = [m] [a] = kg m / s2 = N (Newton)
Beispiele für gebräuchliche abgeleitete Einheiten
MKSA --- System (Erweiterung um elektrische Größe)
MKSA = Meter --- Kilogramm --- Sekunde --- Ampere
Definition Ampere:
Basisgrößen und Formelzeichen (SI --- System)
Formelzeichen
Länge
Masse
Zeit
elektrische Stromstärke
absolute Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Größe
SI-Einheit
Definition / Umrechnung
Kraft F
Leistung P
Energie W
Druck p
Ladung Q
Spannung U
Widerstand R
Kapazität C
Induktivität L
magnetischer Fluss Φ
magnet. Flussdichte B
Newton N
Watt W
Joule J
Pascal Pa
Coulomb C
Volt V
Ohm Ω
Farad F
Henry H
Weber Wb
Tesla T
1 N = 1 kg m / s2
1 W = 1 Nm / s
1 J = 1 Nm
1 Pa = 1 N / m2
1 C = 1 As
1V=1W/A
1Ω=1V/A
1 F = 1 As / V
1 H = 1 Vs / A
1 Wb = 1 Vs
1 T = 1 Vs / m2
Dimensionslose Größen
Stärke eines konstanten Stromes, der, durch zwei im Vakuum parallel im im Abstand
von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von
vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen den Leitern
je 1 Meter Leiterlänge elektrotynamisch die Kraft 2 . 10 ---7 Newton hervorrufen
würde.
Basisgröße
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Einheit
Kleine Zahlenwerte:
10 ---1
10 ---2
10 ---3
10 ---6
10 ---9
10 ---12
10 ---15
10 ---18
3
Elektrotechnik 1
l
m
t
i
T
Iv
n
Kreisfläche f = π r 2
π ist eine dimensionslose Größe (Faktor) π = 3,1415927...
Umrechnung von Größengleichungen (Einheitenwechsel)
Oft findet man Größen in gebräuchlichen Einheiten (z.B. Geschwindigkeit in km/h), die
in SI-Einheiten umzurechnen sind (bzw. umgekehrt). Amerikanische Einheiten sind häufig
nicht SI-konform.
Beispiel: Umrechnung 120 km/h in die SI-Einheit m/s.
= 33.333 m
120 km = 120 km 1000m h = 120 m
s
3.6 s
km 3600s
h
h
Basiseinheit Abkürzung
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
m
kg
s
A
K
cd
mol
Abgeleitete Einheiten
Aus den SI-Einheiten lassen sich weitere Größen ableiten, wie z.B. die Kraft
F = m a (Kraft = Masse x Beschleunigung)
2
(1.2)
Materie und elektrischer Strom
Materie besteht aus Atomen, die durch elektrische und magnetische Kräfte
zusammengehalten werden. Für das Verständnis der elektrischen Gesetze sind Kenntnisse
über den Aufbau von Atomen hilfreich.
Atomaufbau
Kern: positiv geladen, Anzahl der positiven Elementarteilchen (Protonen) =
Ordnungszahl des Elementes (Periodensystem)
Der Kern bestimmt im wesentlichen das Atomgewicht
4
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Hülle: negativ geladen, die Anzahl der negativen Elementarteilchen (Elektronen,
griechisch Bernstein) stimmt im Regelfall mit der Zahl der Protonen im Kern
überein (Ladungsgleichgewicht)
Fehlen Elektronen, so spricht man Ionen (positiv geladene Atome)
Elektrotechnik 1
3
5
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Statisches elektrisches Feld
Ein Raum mit spezifischen Eigenschaften bzw. Wirkungen bezeichnet man als Feld.
Durch Zufuhr von Energie können freie Elektronen bewegt werden. Der Stoff ist dann
nicht mehr elektrisch neutral, sondern er besitzt eine elektrische Ladung.
Elektronen und Ionen bilden den elektrischen Strom.
Ein Elektron besitzt eine Ladung e = 1,602 10 ---19 As (Elementarladung)
Ruhemasse eines Elektrons m0 = 9,11 10---28 g (die Masse nimmt nach der
Relativitätstheorie mit der Geschwindigkeit zu.)
Ein Elektronenüberschuss wird als negative Ladung (Minus) bezeichnet; einen
Elektronenmangel bezeichnet man als positive Ladung (Plus).
Elektrischer Strom
Man teilt Materie grob in
S
Nichtleiter
S
Leiter
S
Halbleiter
Beispiel: Durch mechanische Energie (z.B. Gehen auf einem Kunststoff-Teppichboden)
können freie Elektronen aus der Materie isoliert werden. Dies macht sich durch
unangenehme Entladungen an Metallteilen bemerkbar.
Zwischen unterschiedlich geladenen Körpern wirkt ein elektrisches Feld.
auf. Die Unterschiede lassen sich am Bändermodell (folgt aus der Planckschen
Quantentheorie) anschaulich darstellen.
Energie
Leitungsband
∆W
“verbotene” Zone
Valenzband
Bild 1.1:
Bändermodell für das Energieniveau von Elektronen
Elektronen im Valenzband sind fest in das Atom eingebunden und können nicht zu einer
elektrischen Leitfähigkeit beitragen. Elektronen im Leitungsband lösen sich aus der
Atomhülle. Es entstehen sogenannte freie Elektronen und Ionen, die stoffabhängig zu
einer elektrischen Leitfähigkeit beitragen. Elektrischer Strom besteht im wesentlichen aus
freien Elektronen.
Die Breite der “verbotenen” Zone gibt an, wie groß die Zufuhr an Energie sein muss,
damit Elektronen vom Valenzband in das Leitungsband wechseln.
Nichtleiter (z.B. Porzellan, trockenes Holz = Isolatoren) → ∆W sehr groß
Leiter (z.B. Kupfer, Aluminium) → ∆W sehr klein
Halbleiter (z.B. Silizium, Germanium) → ∆W zwischen den Extremen Leiter und
Isolator
Versuch: Kraftwirkung zwischen geladener Kunststoff-Folie und ungeladener Metallfläche
Die Kraftwirkung im elektrischen Feld ist jedoch sehr klein und technisch nur wenig
bedeutsam (die nutzbaren Kräfte im sogenannten magnetischen Feld sind wesentlich
größer).
Durch Versuche mit unterschiedlichen Materialien kann man feststellen, dass sich
ungleiche Ladungen anziehen und gleichförmige Ladungen abstoßen.
Ladungserhaltung
Elektronen und die positiv geladenen Protonen des Atomkerns sind unteilbare
Elementarteilchen. Mit der Verschiebung freier Elektronen entstehen gleich große
positive wie negative Ladungen:
Die Summe der positiven und der negativen Ladungen ist stets Null.
(Negative Ladungen werden auch negativ gezählt.)
3.1
Leiter
Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf Nichtleiter, bei denen z.B. durch
mechanische Reibung Ladungen trennen ließen. Bei Metallen sind die Elektronen frei
Elektrotechnik 1
6
Hochschule Bremerhaven --- IAE
7
Elektrotechnik 1
beweglich, so dass innerhalb eines Leiters keine räumliche Trennung von Elektronen
möglich ist.
Q
Q
positive Ladung
3.2
Elektrische Ladung
Bild 1.2:
Eine elektrische Ladung entsteht durch Trennung von Ladungsträgern (Verschiebung von
Elektronen), d.h. es muss ein elektrischer Strom geflossen sein.
Ladung Q [As] oder [C] (Coulomb)
Coulombsches Gesetz
Charles Augustin de Coulomb fand im 18. Jahrhundert heraus, dass die Kraft zwischen zwei
Punktladungen QA und QB folgender Gesetzmäßigkeit genügt
Auf einen geladenen Körper (wir nehmen zur Vereinfachung an, dass es sich um
sogenannte Punktladungen, d.h. unendlich kleine Körper handelt) wirkt im elektrischen
Feld eine Kraft. Über diese Kraft ist das elektrische Feld definiert
(1.5)
(1.3)
Offensichtlich verursacht eine Ladung ein Feld, dass auf die andere Ladung eine Kraft
erzeugt.
Newtonsches Gravitationsgesetz
bzw.
E=F .
Q
Q AQ B
.
r2
Die Kraft zwischen den Ladungen ist als proportional zu dem Produkt der Ladungen und
umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes. (Die Proportionalitätskonstante k
hat den Wert k = 8.992 10 ---9 Vm/As.)
Feldstärke und Potenzial
F=QE
negative Ladung
Kraft auf Ladung im elektrischen Feld
F := |F| = k
3.3
F
Die Ladung Q ist die Proportionalitätskonstante zwischen E und F.
3.4
Fließt beispielsweise eine Sekunde lang ein Strom von 1 Ampere auf einen Körper, so
besitz er eine Ladung Q = 1 As gegenüber der Umgebung. Die Ladung bzw. der Strom
kann auch negativ sein.
E
E
F
Das Innere eines Leiters ist somit feldfrei. Das gilt auch für von Metall umgebenen Räumen
(Faradayscher Käfig, Blitzschutz).
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Analog zum Coulombschen Gesetz erzeugen zwei Massen mA und mB ein
Schwerefeld, das eine Kraft auf die Massen zu Folge hat
m m
2
(1.6)
F = c A2 B , c ≈ 6.67 ⋅ 10 −11 Nm2 .
r
kg
(1.4)
Einheit der elektrischen Feldstärke E werden wir später bestimmen.
Elektrische Feldstärke E und Kraft F sind vektorielle Größen. Vektorielle Größen
werden hier durch fettgedruckte Symbole gekennzeichnet. Mit E bzw. F sind die
Beträge der entsprechenden Größen gemeint.
Vektoren sind --- im Gegensatz zu einem Skalar --- Größen mit mehreren Komponenten.
Jeder Vektor kann als eine Größe mit einem Betrag und einer Richtung aufgefasst werden.
Diese Eigenschaften besitzen sowohl die Kraft F als auch die elektrische Feldstärke E.
3.5
Feldlinien
Jedem Punkt in einem elektrischen Feld kann man eine Feldstärke nach Betrag und
Richtung zuweisen. Die sogenannten Feldlinien sind ein Hilfsmittel, die Richtung und
Stärke von beliebigen Feldern grafisch darzustellen. Man findet Feldlinien, indem man von
einem Punkt einen unendlich kleinen Schritt in die Richtung der Feldstärke voranschreitet.
Setzt man dieses Vorgehensweise fort, so entsteht eine Feldlinie.
8
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Nach einem Vorschlag von Maxwell zeichnet man die Feldlinien dichter bei hohen
Feldstärken und weiter auseinander bei niedrigen Feldstärken.
Wir wollen im folgenden von geladenen, elektrisch leitfähigen Körpern (meist Metalle)
ausgehen, da diese die größte technische Bedeutung haben. Jeder leitfähige Körper hat
eine gleichmäßige Verteilung der Ladungen, so dass im Innern kein Feld entstehen kann.
Folglich ist die Kraftrichtung immer senkrecht auf den Oberflächen eines Körpers.
Geladene Metallkörper (durch Elektronenmangel oder -überschuss) bezeichnet man
als Elektroden.
9
Elektrotechnik 1
S
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Geradlinig und parallel verlaufende Feldlinien ergeben ein homogenes Feld. Alle
anderen Bereiche nennt man inhomogen. In Bild 1.3 herrscht ein näherungsweise
homogenes Feld in einem engen Bereich zwischen den Kugeln.
3.6
Aufgaben
Zeichnen Sie die Feldlinien des elektrischen Feldes für folgenden Ladungsanordnungen:
Feldlinien stehen immer senkrecht auf leitfähigen Körpern.
+
Feldlinien zeigen in Richung der Kraft auf eine positive Punktladung.
+
Mit diesen Regeln erhält man die Feldlinien für den Schnitt zwischen zwei unterschiedlich
geladene Metallkugeln (Bild 1.3).
Bild 1.4:
+
Anordnung 1 (Hinweis: negative Ladung im Unendlichen, Ladungserhaltungssatz)
+
--
-Bild 1.5:
Bild 1.3:
Anordnung 2
Feldlinien im elektrischen Feld zwischen zwei geladenen Metallkugeln
Die Feldstärke ist zwischen den Kugeln am größten. Da die Feldlinien immer senkrecht auf
metallischen Oberflächen stehen, “treffen” viele Feldlinien (= hohe Feldstärke) an spitzen
Metalloberflächen (= Blitzableiter, gewollte Erzeugung hoher Feldstärken).
--
Eigenschaften von Feldlinien
S
Feldlinien schneiden sich nicht. Die Kraft in einem Feld weist stets eindeutig in eine
Richtung.
S
Feldlinien haben Anfang (=Quelle) und Ende (=Senke). Quellen und Senken sind die
positiven bzw. negativen elektrischen Ladungen.
+
Bild 1.6:
Anordnung 3
10
Elektrotechnik 1
4
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Energie, Potenzial und Spannung
11
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Die zu verrichtende Arbeit beträgt
Der Wandel von eine Energieform in eine andere in der Schlüssel zum Verständnis vieler
Vorgänge in der Elektrotechnik. In gleichem Maße gilt dies auch für mechanische Vorgänge
sowie insbesondere für elektromechanische Systeme.
Die Summe aller Energien ist konstant; Energie kann nur von einer Energieform in
eine andere gewandelt werden. Energie kann nicht “vernichtet” werden.
(1.8)
∆W = F ∆s cos(α) .
Vektorielle Darstellung
(1.9)
∆W = F∆s = QE∆s
Die Gleichungen (1.8) und (1.9) sind identisch, da das Vektorprodukt als
(1.10)
ab = ab cos(α)
Unter Arbeit versteht man eine spezielle Form der Energie, bei der die Energie aus dem
Produkt von Kraft x Weg entsteht oder aufgewendet wird. Im allgemeinen spricht man unter
positiver Energie, wenn sie in ein System hineinfließt und von negativer Energie, wenn sie
von einem System ausgeht.
definiert ist (das Vektorprodukt ist das Produkt der Beträge mal dem Kosinus des
eingeschlossenen Winkels).
Wir kennen den Begriff der Arbeit oder der mechanischen Energie, wenn eine Masse im
Schwerefeld der Erde um ein Wegstück ∆h gehoben wird (entgegen der Schwerkraft)
4.1
(1.7)
W = mg ∆h .
Das Produkt mg ist dabei die Kraft, die auf die Masse m wirkt.
Arbeit bei inhomogenem Feld (allgemeiner Fall)
Im inhomogenen Feld kann man die Arbeit durch Summation kleiner Schritte bestimmen.
Man nimmt dabei an, dass das Feld während eines kleinen Schrittes ∆s nicht ändert, also
homogen ist.
Ei (s)
Die gleiche Beziehung gilt in jedem Kraftfeld, wie auch im elektrischen Feld. Wird also eine
Ladung in einem elektrischen Feld verschoben, so muss Arbeit aufgewandt werden bzw.
es wird Arbeit freigesetzt.
s
Nicht jede Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld erfordert Arbeit. Nur die
Komponente des Weges, die in Richtung (oder in Gegenrichtung) der Kraft gerichtet ist,
hat Anteil an der Arbeit.
P2
∆si
P1
Arbeit bei Wegstücken im Kraftfeld
E
F = QE
α
Q
Bild 1.7:
∆s
Arbeit durch Wegstück im elektrischen Feld
Bild 1.8:
Bestimmung der Arbeit durch ein Wegstück im elektrischen Feld
Die gesamte Arbeit für einen Weg von P1 bis P2 lautet
W≈
n
n
i=1
i=1
 ∆Wi = Q  Ei ∆si .
(1.11)
In unseren Fall beträgt n = 7. Die exakte Lösung erhält man, wenn man die Wegstücke
unendlich klein macht, d.h. man muss n gegen unendlich streben lassen. Als Folge entsteht
das sogenannte Linienintegral der Feldstärke entlang eines Weges C.
P2
Wird eine Ladung um ein Wegstück ∆s verschoben, so leistet nur der Teil eines Weges
einen Anteil an der Arbeit, der in Richtung (bzw. Gegenrichtung) der Kraft wirkt. Auch das
Wegstück ist jetzt eine vektorielle Größe.
W=Q
 E ds .
P1
(1.12)
12
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Bei einem konstanten Feld (statisches Feld) hängt der Wert von (1.12) nicht von der
Wegstrecke C, sondern nur von den Punkten P1 und P2 ab.
4.1.2
W=Q
 E ds = 0 ,
(1.13)
 E ds = 0 .
(1.14)
Das Linienintegral über einen beliebigen, geschlossenen Weg im elektrostatischen
Feld ist stets null. Ein Feld mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als wirbelfrei, da
es keine geschlossenen Feldlinien geben kann.
P2
U 12 := Φ(P 1) − Φ(P 2) =
 E ds .
(1.17)
P1
U12 ist die elektrische Spannung (Potenzialdifferenz) zwischen den Punkten P1 und P2.
Die elektrische Spannung wie auch das Potential haben die Einheit Volt (V).
4.1.3
Potenzielle Energie
Die Arbeit bei der Verschiebung einer Ladung ist also das Produkt aus Ladung und
Spannung. Als Einheit folgt
[W] = [U][Q] = VAs .
(1.19)
Das häufig vorkommende Produkt VA ist das Watt (W).
[W] = Ws ,
Da (1.12) nicht vom Weg, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt, kann man
jedem Punkt im elektrostatischen Feld einen Wert zuordnen, der Potenzial genannt wird.
Es existiert kein absoluter Wert für das Potenzial. Gewöhlich setzt man willkürlich das
Potential der Erde oder einer Laborumgebung zu null.
(Wattsekunde) .
(1.20)
Die etwas unglückliche Bezeichnung von W für die Arbeit und von W für die Einheit der
Leistung ist leider unvermeidbar. Die Bedeutung wird allerdings aus dem Zusammenhang
immer ersichtbar.
Mechanische Arbeit
Definition des Potenzials Φ
Aufgrund des Energieerhaltungssatzes muss bei der Umwandlung von elektrischer
und mechanischer Energie gelten
P2
 E ds = − Φ(P ) − Φ(P )
2
(1.18)
W = Q U 12 .
Dies ist die elektrische Leistung. Als Einheit für die Arbeit erhält man somit
Elektrostatisches Potenzial
1
(1.15)
P1
Das negative Vorzeichen eine willkürliche Konvention, die aufgrund der späteren
Definition der elektrischen Spannung zu erklären ist. Leitet man nach ds ab, so entsteht
die differenzielle Form
E = − dΦ .
ds
Die elektrische Spannung
Fasst man (1.12) und (1.17) zusammen, so erhält man
d.h. es muss natürlich gelten
4.1.1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Potenzialdifferenzen bilden die elektrische Spannung
Dies folgt aus der Energieerhaltung. Man kann dieses Erkenntnis ausnutzen, um einen
möglichst einfachen Weg zur Berechnung der Arbeit W wählen (z.B. einen rechtwinkligen
Weg entlang von Koordinatenachsen).
Kehren wir auf beliebigen Weg wieder an den Ausgangspunkt zurück, so muss das Integral
(1.12) den Wert null annehmen. Ein Integral auf einem geschlossenen Weg bezeichnet man
als Ringintegral
13
Elektrotechnik 1
(1.16)
W mech + W elektrisch = const .
(1.21)
Folglich lassen sich elektrische und mechanische Energie direkt vergleichen und
müssen auch die gleiche Einheit besitzen. Für die mechanische Arbeit gilt
W mech = F s ,
(1.22)
d.h. Kraft x Weg ist die mechanische Arbeit bzw. Energie. Die Einheit ist damit
[W mech] = Nm .
(1.23)
14
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Dies führt auf die wichtige Gleichung, die eine Beziehung zwischen elektrischen
und mechanischen Einheiten herstellt
Ws = Nm bzw.
VAs =
kgm 2
.
s2
(1.24)
5
Bringt man einen Leiter in ein elektrisches Feld, das beispielsweise von einer positiv
geladenen Kugel verursacht wird, so findet eine Trennung von Ladungsträgern im Leiter
statt
--- -----
+
Einheit der Feldstärke
++
+
InfluenzLadung
Isolator
Nun können wir auch die Einheit der Feldstärke E bestimmen. Nach (1.16) ist die
Feldstärke identisch mit der Änderung des Potenzials nach dem Ort s. Daraus folgt die
Einheit
[Φ]
V .
=m
[s]
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Leiter im elektrischen Feld
Die potentielle Energie nennt man auch Arbeitsfähigkeit. Sie ist ein Maß für die in einem
System gespeicherte Energie
[E] =
15
Elektrotechnik 1
(1.25)
Eine Abkürzung für V/m existiert nicht.
In der Natur sind wir einem elektrischen Feld der Erde (durch Ladungstrennung in der
Atmosphäre) von mehreren hundert Volt/Meter ausgesetzt. Hierfür besitzt der Mensch
jedoch kein Empfinden. In Gebäuden entstehen starke elektrische Felder z.B. durch
Computermonitore oder Fernseher.
Bild 2.1:
Influenzladungen auf metallischen Leiter
Die positiv geladene Metallkugel bewirkt ein elektrisches Feld. Aufgrund der Kraftwirkung
des Feldes auf die freien Elektronen im Metall erfolgt eine Verlagerung der Elektronen auf
die der Kugel zugewandten Seite. Der Elektronenmangel auf der rechten Seite führt auf
positive Ladungsträger.
Durch das elektrische Feld verursachte Trennung von Ladungsträgern bezeichntet
man als influenzierte Ladung. Der Effekt wird Influenz genannt.
5.1
Erzeugung großer elektrischer Ladungen durch
Influenz
Der Faradaysche Becherversuch zeigt das Prinzip eines Hochspannungserzeugers.
16
Elektrotechnik 1
(a)
Hochschule Bremerhaven --- IAE
(b)
(c)
(d)
5.1.1
+
+
---
+
--+
+
---
+
---
---
---
---
+
+
+
+
---
---
--+
---
---
+
+
+
---
+
---
---
---
+
---
--+
+
Kunststoffband
+
---
-----
+ +
+
+
+
+
+
+
---
+
+
+
-----
metallischer
Abgriff
+
+
+
Sprühelektrode
+
+
Bild 2.3:
Bild 2.2:
+
+
Funkenstrecke
+
+
+
Hohlkugel
+
---
Der Van-de-Graaf-Generator
+
+
Hohlkugel
+
---
---
---
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Eine technische Umsetzung des Prinzips aus Abschnitt 5.1 ist der Van-de-Graaf-Generator
(benannt nach dem amerikanischen Physiker Robert van-de-Graaf).
+
+
17
Elektrotechnik 1
Faradayscher Becherversuch
In Bild 2.2 ist das Prinzip der Ladungserhöhung durch Übertragung von Ladungen
dargestellt:
(a) Eine geladene (kleine) Kugel wird durch eine Öffnung in die Hohlkugel
geführt.
(b) Es bildet eine Influenzladung aus, die der Ladung der kleinen Kugel gleich ist.
(c) Berührt die Kugel den Boden der Hohlkugel, so wird die Ladung abgegeben.
Außerhalb der Hohlkugel ändern sich die Verhältnisse nicht. Alle Ladungen
befinden sich an der Außenseite der Hohlkugel.
(d) Auch nachdem die kleine Kugel aus der Hohlkugel herausgezogen wird, ist
außerhalb der Hohlkugel keine Veränderung messbar.
Die Schritte (a)-(d) werden wiederholt durchgeführt. Es erhöht sich die Ladung der
Hohlkugel jeweils um die Ladung der kleinen Kugel.
Der Übertragung der Ladungen ist dadurch eine Grenze gesetzt, dass sich die Hohlkugel
gegenüber der Umgebung durch Ionisation der Luft entlädt (Blitz, Hochspannungsüberschlag).
Van-de-Graaf-Generator
Mit dem Van-de-Graaf-Generator lassen sich Hochspannungen bis ca. 10 MV
(10 000 000V) erzeugen.
5.2
Messung hoher Spannungen
Die von den sogenannten Influenzmaschinen (z.B. Van-de-Graaf-Generator) erzeugten
Spannungen lassen sich durch das Blättchenelektroskop nachweisen.
Elektrotechnik 1
18
Hochschule Bremerhaven --- IAE
19
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Die Konstante ε0 = 8,854 10 ---12 As/Vm ist die Dielektrizitätskonstante.
Isolator
Gelegentlich bezeichnet man ε0 auch als Permittivität oder Influenzkonstante. Die Einheit
der Verschiebungsdichte ist
Blättchen aus
Aluminiumfolie
oder Blattgold
V = As .
[D] = [Á 0][E] = As m
Vm
m2
(2.2)
Die Einheit erklärt die Bezeichnung Verschiebungsdichte, da es sich um eine
Ladung/Fläche handelt.
Die Verwendung von D gegenüber der elektrischen Feldstärke ist vorteilhaft, wenn im
Feldraum andere Materialien als Luft oder Vakuum verwendet werden, was technisch von
großer Bedeutung ist. Allgemein gilt
Bild 2.4:
Blättchenelektroskop
D = Ár Á0 E .
Die an dem isolierten Anschluss zugeführten Ladungen bewirken eine Spreizung der
Folien im Innern des Elektroskops. Es wirken sowohl abstoßende Kräfte zwischen den
Blättchen als auch anziehende Kräfte zur Wandung des Gehäuses. Der Winkel zwischen
den Blättchen ist ein (ungenaues) Maß für die erzeugte Spannung.
Eine präzise Messung großer Spannungen erfolgt über elektronische Verfahren und
sogenannte Spannungsteiler.
6
(2.3)
Die dimensionslose Konstante εr ist stark materialabhängig. Für technisch bedeutsame
Stoffe lautet die relative Dielektrizitätskonstante:
Material
εr
Luft, Vakuum
Tantalpentoxyd
1,0
27
Man verwendet die elektrische Verschiebungsdichte D, um die elektrische Feldstärke in
beliebigen Materialien zu berechnen. Grundlage ist der Satz von Gauss:
Auf einer beliebigen geschlossenen Fläche ist der Gesamtfluss
Verschiebungsdichte gleich der Summe aller eingeschlossenen Ladungen.
Die elektrische Verschiebungsdichte D
Die wahrscheinlich wichtigsten Beiträge zum Verständnis der elektrischen Phänomene
stammen von Michael Faraday (1791---1867). Von ihm stammt folgende Erkenntnis
D
der
dA
Nicht die Ladungen sind Träger der elektrischen Kräfte sondern der Raum.
D
Die Kräfte pflanzen sich --- von den Ladungen beginnend --- im Raum fort.
Es erweist sich als zweckmäßig, nicht nur die elektrische Feldstärke E zur Beschreibung
der elektrischen Wirkungen heranzuziehen, sondern eine Größe, die in wesentlich
direkterer Beziehung zur Ladung steht: die elektrische Verschiebungsdichte D (Achtung:
D ist --- wie E --- eine vektorielle Größe). Die Größe bezeichnet man auch kürzer als
elektrische Verschiebung D.
Die elektrische Feldstärke E ist nämlich materialabhängig. Für Vakuum oder Luft gilt der
Zusammenhang
D = Á 0E .
(2.1)
+
+
Bild 2.5:
---
+
+
A
D
Grafische Darstellung des Satzes von Gauss
Zerlegt man die geschlossene Oberfläche A in viele kleine Stücke (wie die Lederteile eines
Fußballs) und multipliziert den Normalenvektor dA des Flächenelementes dA mit dem
Vektor der elektrischen Verschiebung D, so ergibt die Summe aller dieser Produkte die
Summe alle eingeschlossenen Ladungen
20
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
 D dA =  Qi .
A
(2.4)
i
Lässt man die Zahl der Flächenelemente dA gegen unendlich gehen, so wird aus der
Summe (2.4) ein sogenanntes Flächenintegral über eine geschlossenen Fläche
 D dA = Q .
(2.5)
A
Das Doppelintegral muss Sie nicht beunruhigen, da eine direkte Auswertung der Gleichung
(2.5) selten vorkommt. In den Fällen, in denen eine solche Berechnung erforderlich ist,
kommt eine numerische Berechnung über finite Elemente zu Einsatz.
6.1
Übung: Berechnung der elektrischen Feldstärke in
Vakuum und in Tantaldioxyd Ta2O5
D
A
r
D
+
D
Q
D
Bild 2.6:
Zur Bestimmung der Feldstärke auf einer gedachten Kugeloberfläche mit
Ladung Q im Mittelpunkt
In der Mitte einer Kugel befinde sich eine positive Ladung Q. Aufgrund der Symmetrie
der Anordnung ist die elektrische Verschiebungsdichte auf der Kugeloberfläche überall
gleich und steht senkrecht auf der Oberfläche. Das Integral beschränkt sich somit auf die
Berechnung der Oberfläche einer Kugel
 D dA = D  dA = D 4πr = Q .
2
A
(2.6)
A
Daraus folgt für D (unabhängig vom Material)
D=
Q
.
4πr 2
(2.7)
21
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Nach (2.3) folgt schließlich für die elektrische Feldstärke in Luft
E = ÁD
(2.8)
0
und für Ta2O5
E = Á DÁ .
0
r
(2.9)
Die Feldstärke in Tantalpentoxyd ist also um den Faktor 27 kleiner. Der Vorteil von
Materialien wie Tantalpentoxyd liegt also darin, dass bei gleicher Feldstärke die 27-fache
Ladung in einem bestimmten Raum (gegenüber Luft) möglich ist. Dieses Material wird
z.B. für Kondensatoren kleinster Baugröße eingesetzt.
22
Elektrotechnik 1
7
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Kapazität und Kondensator
Die im elektrischen Feld gespeicherte Energie wird in einem elektronischen Bauteil --- dem
Kondensator --- genutzt. Ohne dieses Bauteil wäre keine Schaltung denkbar.
Kondensatoren können Energie aufnehmen und abgeben, ohne dabei Leistung zu
verbrauchen.
Die in dem Kondensator gespeicherte Energie wird beispielsweise in der Digitaltechnik zur
Speicherung von Informationen (DRAM = Dynamic Random Access Memory)
verwendet. Weiterhin werden Kondensatoren für elektronische Filter und für
Spannungsversorgungen benötigt.
7.1
Der Plattenkondensator
+
7.1.1
Schaltzeichen für Kondensatoren (links ungepolt, rechts gepolte Ausführung)
Kapazität
Wenn die Fläche A der Platten groß gegenüber dem Abstand d ist, entsteht ein homogenes
Feld zwischen den Platten. Legt man eine Spannung U an die Platten, so ist die Feldstärke
zwischen den Platten
E=U .
d
Die einfachste Bauform ist der Plattenkondensator.
(3.1)
Man erhält für die Verschiebungsdichte
D = Á0 E
i
Elektronenmangel
+
Spannung U
(3.2)
bzw. für die Ladung auf einer Platte (Satz von Gauss)
Q = DA = Á 0 E A
(3.3)
(A ist die Fläche der Platte). Setzt man (3.1) in (3.3) ein, so erhält man den Zusammenhang
zwischen Spannung U und Ladung Q
Fläche A
Anode
elektrisches
Feld
Q=
Á0 A
U := C U .
d
(3.4)
Der Faktor zwischen Spannung U und Ladung Q heißt Kapazität C.
Abstand d
Kathode
C=
-Dielektrikum
Bild 3.1:
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Kondensatoren üblicherweise aufgedruckt sind, lassen sich aus dem elektrischen Feld
berechnen. Das Schaltzeichen für den Kondensator leitet sich aus dem Plattenkondensator
ab.
Bild 3.2:
Ein Kondensator ist ein (idealer) Speicher für elektrische Energie.
23
Elektrotechnik 1
Á0 A
d
(Plattenkondensator, Luft)
(3.5)
Die Einheit der Kapazität ist gemäß (3.4)
Elektronenüberschuss
Die einfachste Bauform: Plattenkondensator
Plattenkondensatoren wie in Bild 3.1 mit Vakuum als Dielektrikum (Raum zwischen den
Anode und Kathode) sind nahezu ideale Bauelemente. Kondensatoren werden anhand der
Kennwerte Kapazität und Spannungsfestigkeit ausgewählt. Diese Größen, die auf den
[C] =
[Q]
= As = F ,
V
[U]
(Farad) .
(3.6)
Die erzielbare Kapazität von Plattenkondensatoren ist jedoch nur sehr klein.
Für A = 10cm2 und d = 1mm erhält man nur eine winzige Kapazität von
C=
As
10 −2m 2 8.854 ⋅ 10 −12 Vm
AÁ 0
=
= 8.854 pF .
−3
d
10 m
(3.7)
24
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Wesentlich günstigere Verhältnisse ergeben sich für die sogenannten Metall-KunststoffKondensatoren (MKS). Hier wird eine Folie (z.B. MKC/MKM Polycarbonat) mit Metall
bedampft (0,02---0,05μm) und zwei dieser Folien zu Rund- oder Flachwickeln gerollt. Auf
diese Weise lassen sich hohe Kapazitäten bei geringem Volumen erzeugen.
Verwendet man ein geeignetes Dielektrikum (mit εr > 1), so lässt sich die Kapazität bei
gleicher Baugröße beträchtlich steigern
C=
Á0 Ár A
.
d
Elektrotechnik 1
25
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Wird der Elektrolytkondensator verpolt betrieben, baut sich die isolierende Oxidschicht
ab. Als Folge kann es zur Gasbildung und damit zur Explosion des Kondensators kommen.
Bei Elektrolytkondensatoren (hierzu zählen auch die Tantalkondensatoren) ist deshalb
immer die Polarität der Anschlüsse gekennzeichnet. Verpolte Kondensatoren sind ein
häufiger Ausfallgrund für elektronische Schaltungen. Die Vorpolung wird bei der
Inbetriebnahme nicht festgestellt, da die Kondensatoren eine gewisse Zeit lang
funktionieren.
(3.8)
7.3
Weitere Bauformen:
S
Keramikkondensator
S
MKP (Metall-Papier-Kondensator, Wickelkondensator)
S
Einsatzgebiete
S
Im Bereich Leistungselektronik zur kurzfristigen Aufnahme und Abgabe hoher
Leistungen (Pulswechselrichter)
Styroflexkondensator (Dielektrikum besteht aus Polystyrol)
S
Blindleistungskompensation (Kompensation induktiver Blindleistung)
S
Tantal-Elektrolytkondensator (Tantalfolie, Sinteranode mit flüssigem oder festem
Elektrolyt)
S
Filterung von Oberschwingungen (Netzfilter)
S
Spannungsglättung bei Netzteilen
S
Aluminium-Elektrolytkondensator
S
Lokale Pufferung von Leistungsspitzen auf Leiterplatten
S
Filterschaltungen
S
Zeitglieder (z.B. Monoflops)
S
Speicherung von Informationen (DRAM)
7.2
Aluminium-Elektrolytkondensator
In dieser Technik werden Kondensatoren mit großer Kapazität und für höchste Leistungen
gefertigt.
Anode
Kathode
Bild 3.3:
+
aufgerauhtes Aluminium
-+
Elektrolyt
--
Elektrolyt
aufgerauhtes Aluminium
Aluminiumoxid
(=Dielektrikum)
Aluminium Elektrolyt-Kondensator
Das Dielektrikum bildet eine dünne Schicht aus Aluminiumoxid, die eine hohe
Spannungsfestigkeit aufweist (hohe Feldstärken möglich). Die Aluminiumfolie bildet die
Anode, das Elektrolyt ist der negative Pol.
Zur Vergrößerung der Oberfläche wird die Aluminiumoberfläche oft aufgerauht. Dies
erhöht bei gleicher Baugröße die Kapazität, jedoch ist die resultierende Kapazität starken
Streuungen unterworfen.
Elektrotechnik 1
26
Hochschule Bremerhaven --- IAE
27
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Die Ladung steigt dann linear mit der Zeit an
t
t
 i dτ = i  dτ = i t .
Q=
0
0
0
(3.10)
0
0
Mit (3.4) folgt dann für die Spannung (proportional zur Ladung)
u=
i
Q
= 0 t.
C
C
(3.11)
Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung u und Strom i.
Die Leistung ergibt sich zu
P=ui=
i 20
C
t.
(3.12)
Da ein Kondensator keine Leistung verbraucht, wird die gesamte zugeführte Leistung
gespeichert. Die gespeicherte Energie ist das Integral über die Leistung
t
W=
t
t
 P(τ)dτ =  C τ dτ = C  τ dτ = 12 iC t .
0
i20
0
i20
2
0 2
(3.13)
0
Nach (3.11) sind Spannung u und Zeit t proportional, d.h. wir können auch nach der Zeit
auflösen
Bild 3.4:
t = Cu .
i0
Blockschaltbild 64Mx4 DDR-RAM
(Double Data Rate dynamic Random Access Memory)
Setzt man (3.14) in den Ausdruck (3.13) für die Energie ein, so erhält man
Nicht immer sind Kondensatoren erwünscht. Beispielsweise enthalten Dioden und
Transistoren unvermeidbare Sperrschichtkapazitäten, die die dynamischen Eigenschaften
(zeitliches Verhalten) der Halbleiter maßgeblich beeinflussen.
7.4
Die im Kondensator gespeicherte Energie
 
i2
W = 1 0 Cu
2 C i0
2
= 1 Cu 2 .
2
Energie des Kondensators:
Eine Berechnung der gespeicherten Energie kann mit einem Ladevorgang erfolgen.
Hierzu nehmen wir an, dass der Kondensator mit einem konstanten Strom geladen wird
(3.9)
(3.15)
Die gespeicherte Energie des Kondensators hängt also nicht von der Höhe des Ladestroms
ab. Man kann zeigen, dass (3.15) auch allgemein gilt
Der Kondensator ist ein hochwertiger Energiespeicher, der nahezu verlustfrei und mit fast
beliebiger Geschwindigkeit Energien aufnehmen und abgeben kann.
i(t) = i 0 .
(3.14)
7.4.1
W = 1 Cu 2
2
[Ws] .
Kondensator als Energiespeicher für PKW
Um eine Reichweite von ca. 500km (vergleichbar mit einem gefüllten Benzintank) zu
ermöglichen, wird eine Energie von mindestens
28
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
15kW ⋅ 5h = 75kWh
2, 7 ⋅ 10 8Ws
= 808081 Kondensatoren
334Ws
Bild 3.5:
(3.18)
benötigen. Bei einem Gewicht von 800g pro Kondensator entspricht (3.18) einem Gewicht
von 646t. Zur Speicherung großer Energien sind Kondensatoren also ungeeignet.
7.5
C1
U
Die direkte Angabe der Kapazität in F (Farad) ist unüblich, da Kondensatoren eine
wesentlich kleinere Kapazität aufweisen. Häufig wird die Kapazität deshalb in pF
(Pico-Farad) bzw. μF (Mikro-Farad) angegeben. Die Kapazitätswerte sind in im
sogenannten E12-System verfügbar, d.h. der nächstgrößere Wert folgt aus dem
vorangegangenen Wert durch Multiplikation mit etwa dem Faktor 1,2.
Q Gesamt = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 = C1U + C 2U + C 3U + C 4U
= C 1 + C 2 + C 3 + C 4U .
(3.19)
Damit ergibt sich für die resultierende Kapazität
C Gesamt =
Q Gesamt
= C 1 + C 2 + C 3 + C4 .
U
(3.20)
Parallelschaltung: Gesamtkapazität = Summe der einzelnen Kapazitäten
Eine Kapazität von 200 μF könnte man also beispielsweise durch Parallelschaltung von
180 μF und 22 μF näherungsweise realisieren.
i
C1
1.0 --- 1.2 --- 1.5 --- 1.8 --- 2.2 --- 2.7 --- 3.3 --- 3.8 --- 4.7 --- 5.6 --- 6.8 --- 8.2 --- 10.0
C2
Benötigt man Zwischenwerte (z.B. 200 μF), so könnte man entweder 180μF oder 220μF
einsetzen oder man setzt eine Parallel- oder Serienschaltung von Kondensatoren ein.
U
Da es nicht technisch nicht möglich ist, in der Fertigung genaue Kapazitätswerte
einzuhalten besitzen Kondensatoren gewöhnlich eine große Toleranz von +20%/---10%.
Durch Ausmessen einer Vielzahl von Kondensatoren können deshalb auch genaue
Zwischenwerte gefunden werden.
Erhöhung der Kapazität durch Parallelschaltung:
C4
Parallelschaltung
E12-Reihe
Parallel- und Serienschaltung von Kondensatoren
C3
Bei der Parallelschaltung liegt an allen Kondensatoren die gleiche Spannung U. Die
gesamte Ladung folgt damit zu
Kapazitätswerte
Kondensatoren werden im wesentlichen nach Spannungsfestigkeit und Kapazität
ausgewählt. Beide Kennwerte bestimmen die Baugröße eines Kondensators. Nach (3.8) ist
es vorteilhaft, den Abstand der Platten bzw. Folien möglichst klein zu halten. Dies führt
jedoch auf hohe Feldstärken, was wiederum die maximal zulässige Spannung herabsetzt.
7.5.1
C2
(3.17)
speichern. Somit würde man etwa
N = 75kWh =
334Ws
Hochschule Bremerhaven --- IAE
(3.16)
benötigt. In einem modernen und kompakten Hochvolt-Kondensator (450V, 3300μF) lässt
sich eine Energie von
W max = 1 Cu 2 = 1 3300μF (450V) 2 = 334Ws
2
2
29
Elektrotechnik 1
C3
C4
Bild 3.6:
U1
U2
U3
U4
Serienschaltung (Reihenschaltung)
Grundsätzlich andere Verhältnisse ergeben sich bei der Serienschaltung. Hier ist der Strom
zur Ladung der Kondensatoren gleich, d.h. alle Kondensatoren besitzen exakt die gleiche
30
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
31
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Ladung (unabhängig von ihrer Kapazität). Es addieren sich alle Spannungen an den
einzelnen Kondensatoren zur Gesamtspannung (Kirchhoffsches Gesetz, wird erst später
erläutert).
U = U1 + U2 + U3 + U4 .
(3.21)
C1 = 220 pF
C2 = 470 pF
Da die Ladung Q für alle Kondensatoren gleich ist, gilt
Q = C 1U 1 = C 2U 2 = C 3U 3 = C 4U 4
(3.22)
bzw.
C3 = 1000 pF
Q
Q
Q
Q
, U2 =
, U3 =
, U4 =
.
U1 =
C1
C2
C3
C4
(3.23)
Setzt man die Spannungen (3.23) in (3.21) ein, so folgt
U=


Q
Q
Q
Q
+
+
+
= 1 + 1 + 1 + 1 Q.
C1 C2 C3 C4
C1 C2 C3 C4
Bild 3.7:
(3.24)
Die resultierende Kapazität ist damit
C Gesamt =
Q
=
U
1
C1
+ C1
2
1
.
+ C1 + C1
3
Schaltung mit mehreren Kondensatoren
Die Schaltung kann durch Zusammenfassung der parallelgeschalteten Kondensatoren
vereinfacht werden
C 12 = C 1 + C 2 = 220pF + 470pF = 690pF .
(3.27)
(3.25)
4
C12 = 690 pF
Serienschaltung: Gesamtkapazität = Kehrwert der Summer der Kehrwerte der
Einzelkapazitäten
C3 = 1000 pF
Die Gesamtkapazität ist damit kleiner als die kleinste Einzelkapazität. Speziell bei 2
Kondensatoren gilt
C Gesamt =
7.6
1
C1
C 1C 2
1
=
.
C1 + C2
+ C1
(3.26)
Bild 3.8:
Vereinfachung der Schaltung
2
Übung: Berechnung der Gesamtkapazität
Die Gesamtkapazität der Serienschaltung kann beispielsweise nach (3.26) berechnet
werden
C Gesamt =
Für folgende Schaltung ist die Gesamtkapazität zu bestimmen.
7.7
C 12 C 3
690pF 1000pF
=
= 408.28pF .
C 12 + C 3
690pF + 1000pF
(3.28)
Übung: Berechnung der Kapazität einer
Koaxialleitung
Mit der bisher behandelten Theorie (Satz von Gauss (2.4) und dem Linienintegral der
Spannung (1.17)) lässt sich für beliebige Anordnungen von Leitern und Ladungen die
Kapazität bestimmen. Als Beispiel soll die Kapazität einer Koaxialleitung berechnet
32
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
werden, die für Datenübertragungen und HF-Signale (Hochfrequenz, z.B. Antennenkabel) häufig eingesetzt wird.
Außenleiter
33
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
bzw.
D=
Q
2πrl
(3.31)
Hieraus folgt mit D = Á 0Á rE
Innenleiter
E = Á DÁ =
0
Q
.
Á 0 Á r2πrl
(3.32)
Die Feldstärke E hängt also vom Radius r ab. Die Spannung folgt aus dem
Linienintegral (1.17)
r
Dielektrikum
(Kunststoff)
r
r2
r2
U=
r1
r2
 Edr =  Á ÁQ2πrl dr .
r1
r1
(3.33)
0 r
Da das Integral nur über r läuft, können alle anderen Faktoren vor das Integral
gezogen werden
r2
Q
U=
Á 0Á r2πl
Länge l
Bild 3.9:
Für Koaxialleitungen muss der Hersteller eine definierte Kapazität einstellen. Aufgrund
der Symmetrie der Koaxialleitung werden die Berechnungen der Integrale sehr
vereinfacht.
Zur Berechnung der Kapazität einer Leitung geht man von der Ladung des Innenleiters aus
(die Ladung des Außenleiter ist entgegengesetzt gleich; nach außen ist keine Wirkung des
Kabels zu bemerken = Abschirmung!). Die äußere Isolation muss deshalb in der
Berechnung nicht berücksichtigt werden. Ursache der Ladung ist natürlich die zwischen
Innen- und Außenleiter liegende Spannung U. Zur Berechnung ist es aber vorteilhaft, eine
Ladung anzunehmen und daraus die Spannung zu bestimmen.
1. Berechnung der Verschiebungsdichte D aus der Ladung Q
A = 2πrl .
folgt aus einer geschlossenen Fläche um den
(3.29)
Die Seitenfläche an den Rändern des Zylinders braucht nicht berücksichtigt
werden, da das Feld E und damit die Verschiebungsdichte D nur radial verläuft.
Damit gilt der Zusammenhang zwischen D und Q.
D2πrl = Q .
(3.34)
r1
Damit kann das Integral berechnet werden
Querschnitt durch eine Koaxialleitung
Die Verschiebungsdichte D
Innenleiter (Zylinderwand)
 1r dr .
(3.30)
U=

r
Q 
Q
Q
r
ln(r) r2 =
ln(r 2) − ln(r 1) =
ln r 2 .
1
Á 0Á r2πl
Á 0Á r2πl
Á 0Á r2πl
1
(3.35)
Die Kapazität C ist das Verhältnis von Q und U
C=
Á Á r 2π l
Q
= 0 r
.
U
ln 2
(3.36)
r1
Zahlenwerte: l = 10m, r1 = 1mm, r2 = 4mm, εr = 12:
C=
As
12 2 π 10m
8.854 ⋅ 10 −12 Vm

ln41 mm
mm
= 4816 pF .
(3.37)
Interpretieren Sie das Ergebnis. Durch welche Maßnahmen kann die Kapazität vergrößert
bzw. verkleinert werden?
34
Elektrotechnik 1
Ü1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Kondensator und elektrisches Feld
(Elektrostatik)
35
Elektrotechnik 1
Ü1.2
Verschiedene Materialien im Kondensator
d1
d2
Ü1.1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
εr1
Plattenkondensator
εr2
d
r
U1
Bild Ü.2:
a)
Der in Bild Ü.2 gezeichnete Kondensator enthalte zwei verschiedene Dielektrika
mit den relativen Dielektrizitätskonstanten εr1 und εr2. Bestimmen Sie die
elektrische Verschiebungsdichte D (tritt nur im Innern des Kondensators auf).
Nehmen Sie hierzu eine Ladung Q an.
b)
Wie groß sind die elektrischen Feldstärken in den verschiedenen Materialien?
c)
Welche Spannung liegt an den einzelnen Schichten an? Welchen Wert hat die
Spannung U an den Anschlüssen des Kondensators?
Wie groß ist folglich die Kapazität?
d)
Wie groß ist die Kapazität C für A = 0,5m2, d1 = 10μm, d2 = 20μm, εr1 = 12,
und εr2 = 5.
εr
Bild Ü.1:
a)
b)
Schaltung zur Aufgabe Ü1.1
Der in Bild Ü.1 gezeichnete Plattenkondensator besteht aus kreisrunden Platten
mit einem Radius r. Der Abstand der Platten betrage d. Im Innern befindet sich
ein Dielektrikum mit der relativen Dielektrizitätskonstanten εr. Wie groß ist die
Kapazität C1 des Kondensators? Wenn an den Kondensator die Spannung U
angelegt wird, welche Ladung Q trägt der Kondensator?
Die Spannungsquelle U wird nun entfernt. Die Kondensator behält dabei seine
Ladung und damit auch seine Spannung. Nun werde das Dielektrikum aus den
Platten gezogen (es gilt dann εr = 1). Auch in diesem Fall ändert sich die Ladung
Q des Kondensators nicht. Um welchen Faktor erhöht sich die an den
Anschlüssen messbare Spannung? Berechnen Sie ebenfalls die Feldstärke
zwischen den Kondensatorplatten.
Lösung Ü1.2: a)
D=
2
E1 =
Q = C 1U 1 .
(Ü.1)
Q = C 1U 1 = C 2U 2 .
C=
(Ü.2)
Q
,
AÁ 0Ár1
E2 =
Q
.
AÁ 0Á r2
(Ü.5)
Á 0Á r1Á r2A
Q
=
.
U
d 1Á r2 + d 2Á r1
(Ü.6)
d)
daraus folgt
U2
C
= 1 = Ár .
U1
C2
(Ü.4)
c)
b)
2
C 2 = Á 1 πr ,
d
Q
.
A
b)
Lösung Ü1.1: a)
C 1 = Á 0Ár πr ,
d
Schaltung zur Aufgabe Ü1.2
(Ü.3)
C=
As
⋅ 12 ⋅ 6 ⋅ 0.5m 2
8.854 ⋅ 10 −12 Vm
10 ⋅ 10 −6m ⋅ 5 + 20 ⋅ 10 −6m ⋅ 12
= 916nF.
(Ü.7)
36
Elektrotechnik 1
Ü1.3
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Schaltung mit Kondensatoren
37
Elektrotechnik 1
Lösung Ü1.4: a)
U=
a
C3 + C4
U4 .
C3
U1 =
C2
C3
=
b
Ü1.5
Schaltung zur Aufgabe Ü1.3
a)
Bestimmen Sie die resultierende Kapazität C an den Klemmen a und b.
b)
Wie groß ist die Kapazität C für C1 = 100μF, C2 = C3 = 220μF ?
C1 C 2 + C 3
.
C1 + C2 + C3
(Ü.8)
b)
C = 81.5μF .
Ü1.4
(Ü.9)
Spannungen an Kondensatoren
C1
U1
C3
U
C2
Bild Ü.4:
C4
U4
Schaltung zur Aufgabe Ü1.4
a)
Welchen Wert hat die Versorgungsspannung U? Die Spannung U4 sei bekannt.
b)
Wie groß ist die Spannung U1? Die Werte der Schaltung seien U4 = 100V,
C1 = 2μF, C2 = 1μF, C3 = 5μF und C4 = 8μF.
C3 + C4
C2
U4
C1 + C2
C3
5μF + 8μF
1μF
100V = 86.7V .
5μF
2μF + 1μF
(Ü.11)
Kondensator als Energiespeicher
Für Fahrräder werden sogenannte Dioden-Rücklichter angeboten, die aus einem
Kondensator eine Leuchtdiode speisen, um auch im Stillstand eine Beleuchtung zu
ermöglichen. Der Kondensator habe eine Kapazität von 330mF und sei mit einer Spannung
von 6V aufgeladen worden. Die LED benötigt eine Leistung von 80mW.
a)
Lösung Ü1.3: a)
C = C 1 ‖ C 2 + C 3 =
(Ü.10)
b)
C1
Bild Ü.3:
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Wie lange kann die LED unter günstigsten Bedingungen leuchten?
Lösung Ü1.5: a)
2
(6V)
0.33 As
2
V
= 74.25s .
t = 1 CU = 1
0.08VA
2
2 P
(Ü.12)
38
Elektrotechnik 1
8
Hochschule Bremerhaven --- IAE
39
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Der elektrische Strom
Neben der elektrischen Spannung (Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten) ist der
elektrische Strom die zweite wesentliche Größe in der Elektrotechnik.
Q
Der elektrische Strom entsteht durch einen Fluss von Elektronen durch leitfähige
Materialien, in der Regel Metalle (meist Kupfer, Gold oder Aluminium). Aus historischen
Gründen ist die Stromrichtung entgegen der Flussrichtung der Elektronen positiv. Die
Definition der Stromrichtung geht von positiven Ladungsträgern aus, was auch aus heutiger
Sicht äußerst sinnvoll erscheint.
I
U
Positive Stromrichtung = negative Richtung des Elektronenflusses.
Die Festlegung auf die positive Stromrichtung bedeutet aber keinerlei Nachteile.
Es ist ein Grundprinzip der Natur, dass Potenzialdifferenzen (die ja durch Trennung von
Ladungen entstanden sind) bestrebt sind, sich auszugleichen. Auch in mechanischen
Systemen gilt dieses Grundprinzip, beispielsweise strebt eine gespannte Feder den
entspannten Zustand an.
Eine Potentialdifferenz
herbeizuführen.
oder
Spannung
versucht
einen
Ladungsausgleich
Bild 4.1:
Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Größen
Ein elektrisches Kraftwerk erzeugt also eine Potenzialdifferenz U und liefert dabei einen
Strom I, der vom Verbraucher bestimmt wird. Es ist ersichtlich, dass der Strom, der eine
Potentialdifferenz durchläuft, zur Verrichtung von Leistung fähig ist (analog zum
“Wassermodell”).
Eine Einrichtung die eine Spannung zur Verfügung stellt, heißt Spannungsquelle.
Man bezeichnet die Spannung deshalb auch als elektromotorische Kraft (EMK).
Die könnte z.B. ein Generator oder eine Batterie sein.
Die Änderung der Ladung nach der Zeit ist der elektrische Strom
I=
dQ
.
dt
+
U
(4.1)
Wir können uns die Ladung auf einem hohen Potential vorstellen als ein Behälter mit
Wasser, die sich in eine Höhe U befindet. Die Höhe U entspricht der Spannung, d.h. der
Potenzialdifferenz zwischen der Bezugshöhe und der Oberfläche des Wasserspiegels. Die
Ladung Q entspricht der Menge des Wassers und I ist ein Wasserfluss. Man erkennt auch,
dass der “Strom” I die Änderung von Q ist. Je mehr Wasser abfließt, desto schneller ändert
sich Q.
--Bild 4.2:
+
U
---
Symbole für Spannungsquellen
Das rechte Symbol wird häufig für Batterien verwendet. Die Richtung der Spannung zählt
immer positiv von Plus (+) nach Minus (---).
9
Ohmsches Gesetz
In einem elektrischen Leiter sind die Elektronen nicht völlig frei beweglich. Vielmehr stellt
sich in einem elektrischen Feld eine Stromdichte J ein, die dem Feld proportional ist
40
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
J = ÀE
(4.2)
(Ohmsches Gesetz in differenzieller Form).
41
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Der Leiter in Bild 4.3 liegt an einer Spannungsquelle mit der Spannung U. Damit ist das
elektrische Feld
E=U .
l
Die Konstante κ ist materialabhängig und wird spezifische Leitfähigkeit genannt.
(4.4)
Die Stromdichte ist dann
Einheiten:
[À] = A m 2
V mm
[J] = A 2 ,
mm
(4.3)
J = ÀE = À U .
l
Der Strom ergibt sich aus dem Produkt der Stromdichte und der Fläche A
In der folgenden Tabelle ist κ für technisch bedeutsame Leiter aufgeführt.

A m
V mm 2
Material
À
Silber
Kupfer
Gold
Aluminium
Eisen
Konstantan
Kohle
62,5
56
44
35
7,0 ... 10,0
2,0
0.01...0.02

Silber ist somit ein ausgezeichneter Leiter. Aus Kostengründen wird jedoch Kupfer am
häufigsten eingesetzt. Aufgrund der ausgezeichneten Korrosionsfestigkeit von Gold ist
dieser Werkstoff von besonderer Bedeutung für die Elektrotechnik und die Elektronik.
Man findet natürlich auch viele Legierungen (Metallgemische) als Leiter.
9.1
Elektrischer Widerstand (Ohmsches Gesetz)
In der Praxis arbeitet man selten mit den Größen Feldstärke E und Stromdichte J.
Vielmehr benutzt man Spannung U und Strom I, die sich aus der Beziehung (4.2) herleiten
lassen.
(4.5)
I = JA = AÀ U .
l
(4.6)
Das Verhältnis U / I ist der elektrische Widerstand
R= l .
ÀA
(4.7)
Die Gleichung U = R I ist das Ohmsche Gesetz.
Die Einheit des Widerstandes ist Ohm: [R] = V/A = Ω.
Der Widerstand ist natürlich auch das Verhältnis zwischen Spannung und Strom
R=U ,
I
(4.8)
d.h. je größer der Widerstand, desto kleiner der Strom bei gegebener Spannung.
Strom und Spannung an einem elektrischen Widerstand sind proportional. Den Faktor
zwischen Strom und Spannung bezeichnet man als Widerstand. Elektrische Widerstände
lassen sich sehr genau fertigen. Die Werte sind als E-12 bzw. als E-24-Reihe verfügbar.
Übliche Toleranzen sind ±5% (silberner Ring) und ±1% (goldener Ring). Widerstande
sind auch in Toleranzen bis 0.1% (voiletter Ring) erhältlich.
Der Widerstandswert in Ω ist mit mindestens mit 4 Ringen farbkodiert.
Fläche A
I
+
U
Länge l
---
1. Ring: 1. Ziffer
2. Ring: 2. Ziffer
4. Ring: Toleranz (etwas abgesetzt
von den ersten 3 Ringen)
3. Ring: Multiplikator (Anzahl der Nullen)
Bild 4.3:
Herleitung des Ohmschen Gesetzes
Bild 4.4:
4-Ring-Kodierung von Widerständen
42
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Den Farben werden folgende Ziffern zugeordnet:
schwarz
0
braun
1
rot
2
orange
3
gelb
4
grün
5
blau
6
violett
7
grau
8
weiß
9
43
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Setzt man (4.11) in (4.10) ein, so folgt
dW = U I dt .
(4.12)
Die in dem Widerstand umgesetzte Energie (elektrische Energie wird in Wärme
umgesetzt) ist dann das Integral
t
W=
t
 U I dτ =  Pdτ .
0
(4.13)
0
Der Term U I ist die elektrische Leistung P.
Bei konstanter Spannung --- und damit konstantem Strom --- gilt
Übung:
Versuchen Sie, den Widerstandswert von beliebigen Widerständen anhand der
Farbkodierung zu ermitteln und vergleichen Sie das Ergebnis mit einer Messung
mit dem Multimeter.
Widerstände werden als Kohleschichtwiderstände (billig, ungenau) oder in Metallfilmtechnologie (teuer, genau, temperaturstabil) hergestellt.
9.2
Energie und Leistung bei Ohmschen Widerständen
Der Strom durch einen Widerstand verrichtet Arbeit. Man kann dies leicht nachweisen,
indem man eine Erhöhung der Temperatur des stromdurchlossenen Widerstandes misst.
Strom und Spannung stehen bei einem Widerstand in einem konstanten Verhältnis, das
durch das Ohmsche Gesetz (4.8) gegeben ist. Die in dem Widerstand verrichtete Arbeit
durch eine inkrementell kleine Ladung dQ ist (s. (1.12))
P2
dW = dQ ⋅
 E ds .
(4.9)
P1
Die Gleichung vereinfacht sich, da sich das Integral über die Länge des gesamten
Widerstands erstreckt und somit identisch mit der Spannung am Widerstand ist
dW = dQ ⋅ U .
(4.10)
Der Strom durch den Widerstand ist gleich der Änderung der Ladung (4.1) bzw. es gilt
dQ = I dt .
(4.11)
W=Pt.
(4.14)
Man kann (4.14) also auch schreiben als
W=UIt=Pt.
(4.15)
Die elektrische Leistung lässt sich auch nur durch die Spannung oder nur durch den Strom
mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes ausdrücken
2
P=UI=U U=U
R
R
(4.16)
P = U I = RI I = RI 2 .
(4.17)
oder
Die Leistung, die in einem Widerstand umgesetzt werden darf, ist beschränkt.
Gewöhnliche Widerstände in elektronischen Schaltungen sind in den Ausführungen
0,25 W und 0.5 W
erhältlich. Für spezielle Anwendungen existieren jedoch auch die sogenannten
“Hochlastwiderstände” für nahezu beliebig große Leistungen. Die Baugröße steigt dann
mit der Leistung an.
9.2.1
Übung: maximale Spannung für einen Widerstand
An welcher maximalen Spannung darf ein 1/4-Watt Widerstand mit R= 2,7 kΩ betrieben
werden?
Die Leistung an einem Widerstand ist
2
P=U .
R
Löst man (4.18) nach der Spannung auf, so folgt
(4.18)
44
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
U = PR .
(4.19)
Setzt man die maximale Leistung von 0,25 W ein, so folgt die maximal erlaubte
Spannung
U max = P maxR = 0.25W 2.7kΩ = 25.98V .
I max =
U max
= 25.98V = 9.62mA .
R
2.7kΩ
(4.21)
Probe:
P = U max I max = 25.98V 9.62mA = 0.25W .
10
(4.22)
I=U .
R
10.1
Schaltungen, die direkt am elektrischen Versorgungsnetz betrieben werden, sind
Wechselstromschaltungen, da Energieversorger eine Wechselspannung, d.h. eine nicht
konstante Spannung, anbietet. Eine Gleichspannung kann jedoch stets aus einer
Wechselspannung erzeugt werden (Netzteil, folgt später).
Schaltungen werden als ungerichtete Graphen gezeichnet. Die Kanten bilden elektronische
Bauteile, die mit idealen Leitern (ohne Widerstand) verbunden sind, und die Knoten sind
die Verbindungspunkte. Die leitfähigen Verbindungen zwischen den Bauteilen besitzen in
der Realität natürlich auch einen Widerstand, der aber entweder vernachlässigt wird oder
aber durch zusätzliche Widerstände exakt beschrieben werden kann.
Elektronische Schaltungen bezeichnet man auch als Netzwerke.
I
U
+
U
(4.23)
Zweipole
Ein Großteil der elektronischen Bauelemente sind sogenannte Zweipole, d.h. es handelt
sich um Bauteile mit zwei Anschlüssen
I
U
Gleichstromschaltungen
Gleichstromschaltung = Schaltungen an konstanter Spannungs-/Stromversorgung
Hochschule Bremerhaven --- IAE
positiv zu zählende Richtungen von Strom und Spannung. Die Richtung der Pfeile ist im
Prinzip beliebig. Man muss sich bei der Berechnung nur an die einmal gewählte Richtung
halten. Für den Strom in der Schaltung 4.5 folgt aus dem Ohmschen Gesetz
(4.20)
Bei größeren Spannungen wird der Widerstand zerstört. Bei dieser Spannung
fließt ein (maximal erlaubter) Strom von
45
Elektrotechnik 1
Bild 4.6:
Elektronischer Zweipol
Beispiele für Zweipole sind Spannungs- und Stromquellen, Widerstände oder
Kondensatoren. Die Richtung der Pfeile für Strom und Spannung ist zwar beliebig. Man
verwendet aber am häufigsten das in Bild 4.6 eingezeichnete Verbraucherzählpfeilsystem.
Verbraucherzählpfeilsystem: Bei positivem Strom und positiver Spannung ist die
Leistung positiv, d.h. es wird Leistung (P = U I) aufgenommen (z.B. beim
Widerstand).
Haben an einem elektronischen Bauelement Strom und Spannung die gleiche Richtung,
so wird somit Leistung aufgenommen; bei unterschiedlicher Richtung wird Leistung
abgegeben (negative Leistung). Betrachten wir unter diesem Aspekt die Schaltung 4.5, so
erkennen wir, dass von der Spannungsquelle Leistung abgegeben wird (Strom und
Spannung haben unterschiedliche Richtung) und das der Widerstand die betragsmäßig
gleiche Leistung auf nimmt. Dies folgt auch aus der Energieerhaltung.
In einer Schaltung ist die Summe aller Leistungen stets null.
R
--Bild 4.5:
Elektronische Schaltung
Da die Leitungen zwischen den Bauteilen keinen Widerstand aufweisen, ist die Spannung
an der Spannungsquelle gleich der Spannung am Widerstand R. Pfeile kennzeichnen die
10.2
Kirchhoffsche Regeln
Die Kirchhoffschen Reglen erlauben die Berechnung beliebig komplexer elektronischer
Netzwerke aus Spannungs- und Stromquellen sowie Widerständen. Reale elektronische
Schaltungen können aus hunderten von Bauelementen bestehen.
46
Elektrotechnik 1
I1
U2
U1
U4
U3
Hochschule Bremerhaven --- IAE
10.3
I3
47
Elektrotechnik 1
Anwendung der Kirschhoffschen Regeln
Masche 3
I2
U5
U2
I1
R1
U1
Bezugspotenzial = 0V
Bild 4.7:
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Knoten 1
U3
U4
R3
I2
U5
R2
U6
I3
R4
Knoten 2
Elektronisches Netzwerk
U6
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln lassen sich alle Ströme und Spannungen von
Netzwerken --- wie in Bild 4.7 --- berechnen.
Masche 1
Bild 4.8:
10.2.1
Die Knotenregel beschreibt das Prinzip, dass Ströme nicht “verloren” gehen können. In
Gleichungsform lautet die Knotenregel
I=0.
Knoten und Maschen
Der Umlaufsinn in einer Masche ist für die Auswertung unerheblich.
Kirchhoffsche Knotenregel

Masche 2
(4.24)
Knoten
Knotenregeln (2 Knoten)
Knoten 1:

Knoten 1
= I1 − I2 − I3 = 0 .
(4.26)
Knoten 2:
Die Summe aller Ströme in einem Knoten (Verbindungspunkte von Leitungen) sind
stets null.

Knoten 2
= − I1 + I2 + I3 = 0 .
(4.27)
Maschenregeln (3 Knoten)
10.2.2
Kirchhoffsche Maschenregel
Masche 1:
Die Maschenregel beschreibt das Prinzip, dass auf einem geschlossenen Weg die Spannung
stets null ist (dies folgt aus

U=0.
 Eds = 0).

Masche 1
= U1 − U2 − U3 = 0 .
(4.28)
Masche 2:
(4.25)
Masche
Die Summe aller Spannungen in einer Masche (geschlossener Weg) ist stets null.

Masche 2
= U3 − U4 − U5 + U6 = 0 .
(4.29)
Masche 3:

Masche 3
= U1 − U2 − U4 − U5 + U6 = 0 .
(4.30)
Elektrotechnik 1
48
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Die Kirchhoffschen Regeln zusammen mit den Ohmschen Gesetzen liefern genauso
viele unabhängige Gleichungen wie Unbekannte.
49
Elektrotechnik 1
U5. Dabei hängen die Spannungen U4 und U5 über den Strom I3 zusammen ((4.37) und
(4.38))
I3 =
U
U4
= 5 .
R3
R4
Nicht alle Knoten- und Maschengleichungen sind unabhängig. Man muss zunächst alle
abhängigen Gleichungen entfernen.
daraus folgt für
Knotengleichungen: Die beiden Knotengleichungen sind linear anhängig (Gleichung (4.26)
ist die negative Gleichung (4.27)).
U5 =
Maschengleichungen: Die letzte Gleichung (4.30) ist überflüssig, da sie aus den beiden
vorangegangenen Gleichungen erzeugt werden kann. Ersetzt man U3 in (4.29) durch
U3 = U1 − U2 ,
(4.31)
so entsteht die letzte Gleichung. Als Regeln kann man angeben:
Eine Masche, die nur Zweige anderer Maschen enthält, kann für die Berechnung
entfallen.
Ein Knoten, der nur Ströme anderer Knoten enthält, kann für die Berechnung
entfallen.
Es verbleiben somit die Gleichungen:
I1 − I2 − I3 = 0 ,
(4.32)
U1 − U2 − U3 = 0 ,
(4.33)
U3 − U4 − U5 + U6 = 0 .
(4.34)
Zusätzlich gelten die Ohmschen Gleichungen
U 2 = R 1I 1 ,
(4.35)
U 3 = R 2I 2 ,
(4.36)
U 4 = R 3I 3 ,
(4.37)
U 5 = R 4I 3 .
(4.38)
Man zunächst alle Ströme oder alle Spannungen ausrechnen. Gewöhnlich bestimmt man
erst alle Spannungen. Daraus folgen dann aus den Ohmschen Gleichungen leicht alle
Ströme.
Bestimmung aller Spannungen:
Die Spannungen U1 und U6 sind unabhängige Spannungen, da sie die Ausgänge von
Spannungsquellen sind. Zu berechnen sind folglich nur die Spannungen U2, U3, U4 und
Hochschule Bremerhaven --- IAE
R4
U .
R3 4
(4.39)
(4.40)
Die Beziehung (4.40) wird benötigt, um U5 aus (4.34) zu eliminieren
U3 − U4 −
R + R4
R4
U + U6 = U3 − 3
U4 + U6 = 0 .
R3 4
R3
(4.41)
Ersetzt man nun die Ströme in (4.32) durch (4.35)---(4.37), so erhält man 3 Gleichungen für
die 3 Unbekannten U2, U3 und U4
U2 U 3 U 4
−
−
=0,
R1
R2
R3
(4.42)
U1 − U2 − U3 = 0 ,
(4.43)
U3 −
R3 + R4
U4 + U6 = 0 .
R3
(4.44)
Die Gleichungen werden so sortiert, dass die unabhängigen Variablen (Spannungs- und
Stromquellen) auf der rechten Seite stehen
U2 U 3 U 4
−
−
=0,
R1
R2
R3
(4.45)
U2 + U3 = U1 ,
(4.46)
− U3 +
R3 + R4
U4 = U6 .
R3
(4.47)
Es entsteht ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Spannungen
eindeutig berechnen lassen. Gleichungssysteme 3. Ordnung werden im allgemeinen nicht
mehr “von Hand” gelöst. Hierzu existieren ausgereifte Programme, die überwiegend auf
der Software SPICE (Simulation Program with Integrated Circuits Emphasis) beruhen.
SPICE wurde in den 70er Jahren an der Berkeley University entwickelt und ist heute noch
Standard bei der Simulation und Berechnung von elektronischen Schaltungen.
50
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Übung: Simulation der Schaltung mit einem ECAD-Programm (Electronic Computer Aided Design, z.B. Multisim, OrCAD, SPICE)
51
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Jetzt hängt die Ausgangsspannung U vom Strom I ab. Kenngrößen einer realen
Spannungsquelle sind die Leerlaufspannung UL und der Kurzschlussstrom IK . Die
Leerlaufspannung ist identisch mit der internen Spannung UI
UL = UI .
10.4
Vereinfachung von elektronischen Schaltungen
Der Kurzschlussstrom ist --- wie der Name sagt --- der Strom, der bei Kurzschluss der
Klemmen fließt.
Die Kirchhoffschen Regeln sowie das Ohmsche Gesetz gestatten die Berechnung
beliebiger Netzwerke aus Spannungs-, Stromquellen und Widerständen. Wie man am
Beispiel des vorangegangenen Abschnitts gesehen hat, kann die Auswertung jedoch
kompliziert werden, wenn man die Schaltung nicht durch “Umzeichnen” vereinfacht. Es
handelt sich dabei nicht um eine Näherung, sondern man erhält ebenfalls die exakte
Lösung.
10.4.1
Reale Spannungsquelle
+
Ri
--Bild 4.10:
Reale Spannungsquelle
U=0
---
Kurzschlussstrom einer realen Spannungsquelle
Der Kurzschlussstrom ist
IK =
UI
.
RI
(4.49)
(4.50)
Auflösen nach U ergibt
U = Ui − Ri I .
Reale Spannungsquellen (z.B. eine Batterie) besitzen diese Eigenschaft nicht. Wir können
eine reale Spannungsquelle aber durch eine ideale Spannungsquelle und einen (kleinen)
Serien-Widerstand beschreiben.
Ui
Ui
Ui − Ri I − U = 0 .
Ideale Spannungsquelle
+
+
IK
Die Leerlaufspannung einer Batterie ist leicht messbar. Der Kurzschlussstrom ist dagegen
eine theoretische Größe, da Batterien i.a. nicht kurzgeschlossen werden dürfen. Ein
Spannungsumlauf (Maschenregel) in Bild 4.10 liefert
U
--Bild 4.9:
Ri
Bild 4.11:
Ein ideale Spannungsquelle stellt eine feste Spannung zur Verfügung. Der Spannungsquelle kann ein beliebiger Strom entnommen werden, ohne dass dies einen Einfluss auf die
Spannung hat.
(4.48)
I
U
Die Beziehung (4.51) lässt sich grafisch darstellen (Bild 4.12).
(4.51)
52
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
U
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Jetzt hängt der Ausgangsstrom I von der Spannung U ab. Kenngrößen einer realen
Stromquelle sind der Kurzschlussstrom IK und die Leerlaufspannung UL . Der
Kurzschlussstrom ist identisch mit dem Strom Ii
nutzbarer Bereich
Ui
53
Elektrotechnik 1
IK = Ii .
(4.52)
Die Leerlaufspannung ist --- wie der Name sagt --- die Spannung, die sich bei offenen
Klemmen einstellt. Dies stellt i.a. eine rein theoretische Größe dar.
I=0
IK
Bild 4.12:
10.4.2
Ii
I
Bild 4.15:
Ein ideale Stromquelle stellt eine festen Strom zur Verfügung. Der Stromquelle kann eine
beliebige Spannung aufnehmen, ohne dass dies einen Einfluss auf den Strom hat.
I1
Ri
UL
---
Kennlinie einer realen Spannungsquelle
Reale Stromquelle
+
Leerlaufspannung einer realen Stromquelle
Die Leerlaufspannung ist
U L = Ii RI ,
I
(4.53)
da der gesamte Strom Ii durch den Widerstand Ri fließt.
+
Die Knotenregel für den oberen Verbindungspunkt in Bild 4.14 liefert
Ii − I1 − I = 0 .
--Bild 4.13:
Auflösen nach I ergibt
I = Ii − I1 .
Ideale Stromquelle
Reale Stromquellen (z.B. spezielle elektronische Schaltungen) besitzen diese Eigenschaft
nicht. Wir können eine reale Stromquelle aber durch eine ideale Stromquelle und einen
(großen) Parallel-Widerstand beschreiben.
+
--Bild 4.14:
Reale Stromquelle
Ri
U
I1
(4.55)
Die Ausgangsspannung U ist U = R i I 1, so dass man I1 in (4.55) ersetzen kann
I = Ii − U .
Ri
Die Beziehung (4.56) lässt sich grafisch darstellen (Bild 4.16).
I
Ii
(4.54)
(4.56)
54
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
55
Elektrotechnik 1
I
Hochschule Bremerhaven --- IAE
U = R 1I + R 2I + R 3I = R 1 + R 2 + R 3 I .
Der Gesamtwiderstand folgt damit zu
nutzbarer Bereich
Ii
(4.59)
R gesamt = U = R 1 + R 2 + R 3 .
I
(4.60)
Bei der Serienschaltung addieren sich die Einzelwiderstände.
I
UL
Bild 4.16:
R1
U
I1
R2
I2
R3
I3
Kennlinie einer realen Stromquelle
U
10.4.3
Serien- und Parallelschaltung von Widerständen
Bild 4.18:
I
Parallelschaltung von Widerständen
Die Knotenregel liefert (die oberen Knoten lassen sich zu einem Knoten zusammenfassen)
I − I1 − I2 − I3 = 0 .
R1
U1
(4.61)
Der gesamte Strom ist damit
I = I1 + I2 + I3 .
U
R2
R3
(4.62)
Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes lassen sich die einzelnen Ströme durch die gemeinsame
Spannung U ersetzen
U2


I= U + U + U = 1 + 1 + 1 U.
R1 R2 R3
R1 R2 R3
U3
(4.63)
Der Gesamtwiderstand folgt damit zu
Bild 4.17:
R gesamt = U =
I
Serienschaltung von Widerständen
Ein Spannungsumlauf (Maschenregel) ergibt
U1 + U2 + U3 − U = 0 .
(4.57)
Die gesamte Spannung ist damit
U = U1 + U2 + U3 .
(4.58)
Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes lassen sich die einzelnen Spannungen durch den
gemeinsamen Strom I ersetzen
1
R1
1
.
+ R1 + R1
2
(4.64)
3
Bei der Parallelschaltung ergibt sich der Gesamtwiderstand durch den Kehrwert der
Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände.
Speziell bei zwei Widerständen folgt aus (4.64)
R gesamt = U =
I
1
R1
R1 R 2
1
=
.
1
R
+R
1 + R2
2
(4.65)
56
Elektrotechnik 1
11
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Widerstand und Leitwert
RB =
Der Kehrwert des Widerstands heißt Leitwert G (wenig gebräuchlich).
G= 1
R
57
Elektrotechnik 1
1
R4
Hochschule Bremerhaven --- IAE
R4 R5
1
=
.
R4 + R5
+ R1
(5.5)
5
Man erhält dann das vereinfachte (elektrisch gleichwertige) Schaltbild 5.2.
R1
(5.1)
Die Einheit des Leitwertes ist
[G] = S (Siemens , englisch MHO)
(5.2)
RA
Wir können die Parallelschaltung von Widerständen als Addition von Leitwerten auffassen,
da sich die Leitwerte einfach addieren:
G gesamt =
1 = 1 + 1 + 1 =G +G +G .
1
2
3
R gesamt
R1 R2 R3
(5.3)
Bild 5.2:
12
RB
Vereinfachtes Widerstandsnetzwerk
Nun lassen sich RA und RB zusammenfassen
Berechnung von Widerstandsnetzwerken
Viele Schaltungen aus Widerständen lassen sich durch Zusammenfassen von Parallel- und
Serienschaltungen vereinfachen, so dass eine Berechnung z.B. von Gesamtwiderständen
möglich ist.
RC =
RA RB
.
RA + RB
(5.6)
Die weitere Vereinfachung zeigt Bild 5.3.
R1
R1
R2
R4
RC
R5
R3
Bild 5.3:
Vereinfachtes Widerstandsnetzwerk
Nun kann der Gesamtwiderstand einfach bestimmt werden
Bild 5.1:
Widerstandsnetzwerk
R gesamt = R 1 + R C .
Zur einfachen Bestimmung des Gesamtwiderstands, der an den Klemmen meßbar ist,
werden die eingezeichneten Bereiche zunächst vereinfacht. Die Serienschaltung von R2
und R3 ergibt
RA = R2 + R3 .
Ebenso kann man R4 und R5 zusammenfassen
(5.4)
12.1
(5.7)
Übung: Berechnung des Gesamtwiderstands eines
Widerstandsnetzwerkes
Berechnen Sie den resultierenden Widerstand folgender Schaltung:
58
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
59
Elektrotechnik 1
R3 = 1kΩ
Hochschule Bremerhaven --- IAE
R
U1
= 1 = 0.1
U2
R2
ist somit gleich dem Verhältnis der Widerstände. Mit diesem sogenannten Spannungsteiler
lässt sich eine Spannung also beliebig aufteilen.
R4 = 5,6kΩ
R1 = 2,2kΩ
(5.10)
Mit Hilfe der Maschenregel erhält man weiterhin
R2 = 2,2kΩ
U1 + U2 = U .
R5 = 1kΩ
12.3
Bild 5.4:
12.2
Widerstandsnetzwerk
(5.11)
Stromteiler
Ein Stromteiler ermöglicht die Aufteilung von Strömen im umgekehrten Verhältnis
der Widerstände (im Verhältnis der Leitwerte).
I
Spannungsteiler
Die Serienschaltung von Widerständen bewirkt eine Aufteilung der angelegten
Spannung im Verhältnis der Widerstände.
I1
U
R1 = 1kΩ
I
R1 = 1kΩ
Bild 5.6:
U1
I2
R2 = 10kΩ
Widerstandsnetzwerk als Stromteiler
An allen Widerständen liegt die gleiche Spannung U. Die Ströme folgen damit zu
U
R2 = 10kΩ
I1 = U ,
R1
U2
I2 = U .
R2
(5.12)
Das Verhältnis der Ströme ist (Stromteiler-Regel)
I1
R
= 2 = 10 .
I2
R1
Bild 5.5:
Widerstandsnetzwerk als Spannungsteiler
Die Knotenregel liefert den Gesamtstrom

(5.8)
13
Nach dem Ohmschen Gesetz sind die einzelnen Spannungen
R1
U1 = R1 I =
U,
R1 + R2
Das Verhältnis der Spannungen
R2
U 2 = R1 I =
U.
R1 + R2
(5.9)

I = I1 + I2 = U + U = 1 + 1 U .
R1 R2
R1 R2
Der Strom I fließt durch beide Widerstände R1 und R2. Der Strom lautet
U
.
I=
R1 + R2
(5.13)
(5.14)
Messung von Strom und Spannung
Um die Funktion von Schaltungen zu überprüfen, ist es erforderlich Ströme und
Spannungen zu messen. Hierbei ist zu beachten, dass Messgeräte wie zusätzliche Bauteile
in einer Schaltung wirken und somit die Schaltung verfälschen (Wer misst, misst Mist!).
60
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Allerdings sind moderne Messgeräte für Strom und Spannung (sogenannte Multimeter) so
hochwertig, dass heutzutage präzise Messungen möglich sind.
Spannungsmessung: Messung einer Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten.
Strommessung: Messung von Stromstärke durch eine Leitung.
14
Die Wheatstonesche Brücke ist eine Standardschaltung der Messtechnik. Mit dieser
Schaltung lassen sich sehr genau und fehlerfrei unbekannte Widerstände ermitteln, da hier
Genauigkeit und Innenwiderstand des verwendeten Messgerätes keine Rolle spielt.
unbekannt
R1X
A
I1
U
V
U
R
Bild 5.7:
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Wheatstonesche Brücke
Amperemeter
I
61
Elektrotechnik 1
U
R5
R3
I5
A
Voltmeter
R2
Messung von Strom und Spannung
einstellbar
(Potentiometer)
R4
Der Einfluss der Messung auf die Schaltung kann durch die Widerständen beschrieben
werden, die durch Volt- und Amperemeter entstehen.
I
U
RA
I1
R
Bild 5.8:
Amperemeter
Bild 5.9:
Voltmeter
Die Potentiometer R3 und R4 werden verstellt, bis der Strom I5 null ist. Dann fällt auch
keine Spannung mehr an R5 ab und folglich spielt der Widerstand im Mittelzweig auch
keine Rolle mehr. Auch die Genauigkeit des Amperemeters spielt bei der Auswertung
keine Rolle. Aus den bekannten Werten von R2, R3 und R4 kann dann der unbekannte
Wert R1X ausgerechnet werden.
U
RV
Einfluss von Amperemeter und Voltmeter
Die Messung in Bild 5.7 ist exakt, wenn der Widerstand des Amperemeters null ist und der
Widerstand des Voltmeters gegen unendlich geht. In diesem idealisierten Fall hat die
Messung keinen Einfluss auf die Schaltung. Das Amperemeter ist dann eine
Reihenschaltung mit einem Widerstand von 0Ω. Die Parallelschaltung eines idealen
Voltmeters, d.h. eines Widerstand mit unendlichem Widerstand ändert die Eigenschaften
einer Schaltung nicht.
Da reale Amperemeter immer einen kleinen Innenwiderstand aufweisen bzw. Voltmeter
einen endlichen hohen Widerstand besitzen, verfälscht eine Messung immer in geringer
Weise die Schaltung.
Wheatstone-Brücke
Zur Berechnung werden Spannungen und Ströme eingeführt und die jeweils positiven
Richtungen festgelegt (s. Bild 5.10). Gleichzeitig wählen wir die Maschen und Ströme für
die Anwendung der Kirchhoffschen Regeln aus.
62
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
I
I3
U1
U
R1X
R3
R5
(5.21)
R 1X I 1 − R 3 I 3 + R 5 I 5 = 0 ,
(5.22)
R 2 I2 − R 4 I4 − R 5 I5 = 0 .
(5.23)
I1 = I2 .
U5
R2
R 3 I3 + R 4 I4 = U ,
Aus (5.19):
I5
A
I2
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Der allgemeine Fall, der mit den vorstehenden 6 Gleichungen beschrieben wird,
interessiert hier jedoch nicht. Für den Sonderfall I5 = 0 bzw. U5 = 0 vereinfachen sich die
Gleichungen erheblich.
U3
I1
63
Elektrotechnik 1
Aus (5.19):
R4
I3 = I4 .
U4
U2
(5.24)
(5.25)
Aus (5.22):
I4
R 1X I 1 = R3 I 3 ,
(5.26)
Aus (5.23):
R 2 I2 = R4 I4 .
Bild 5.10:
Wheatstone-Brücke
Einsetzen von (5.24) und (5.25) in (5.27) führt auf
Große Masche:
U3 + U4 = U .
(5.15)
Obere Masche:
U1 − U3 + U5 = 0 .
(5.16)
Untere Masche:
U2 − U4 − U5 = 0 .
(5.17)
(5.18)
Linker Knoten:
I1 − I2 − I5 = 0 .
(5.19)
Rechter Knoten:
I3 − I4 + I5 = 0 .
R 2 I1 = R4 I3 .
(5.20)
Ersetzt man die Spannungen in (5.15)---(5.17), so erhält man 6 Gleichungen für die 6
Ströme I, I1, I2, I3, I4 sowie I5.
(5.28)
bzw.
I3 =
R2
I .
R4 1
(5.29)
Ersetzt man I3 in (5.26), so folgt
R 1X I 1 = R3
Oberer Knoten:
I − I1 − I3 = 0 .
(5.27)
R2
I .
R4 1
(5.30)
Dividiert man beide Seiten durch I1, so erhält man die Bestimmungsgleichung von
R 1X = R 3
R2
,
R4
(5.31)
d.h. die Bestimmungsgleichung hängt auch von der Spannung U und den Strömen nicht
ab (Vorteil!).
Wir können das Ergebnis auch anschaulicher finden, wenn wir nur den abgeglichenen
Zustand zeichnen (der “Brückenzweig” ist ja stromlos).
64
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
65
Elektrotechnik 1
I
I
Ri
I3
U1
U
R1X
U3
U
RL
UL
R3
I1
U5 = 0
Bild 5.12:
Verbraucher RL an realer Spannungsquelle
In dem Verbraucher RL wird die Leistung
I2
R2
R4
P L = R L I2 .
U4
U2
I=
Wheatstone-Brücke im abgeglichenen Zustand
Damit die Spannung U5 null wird, muss U1 = U3 und U2 = U4 sein (Maschenregeln).
Folglich gilt auch für das Verhältnis
U
U1
= 3 .
U2
U4
(5.32)
Aufgrund der Spannungsteiler-Regel (5.10) gilt das gleiche Verhältnis auch für die
Widerstände
R
R 1X
= 3 .
R2
R4
(5.34)
umgesetzt. Der Strom folgt aus der Serienschaltung von Innenwiderstand Ri und dem
Verbraucherwiderstand RL
I4
Bild 5.11:
Hochschule Bremerhaven --- IAE
(5.33)
U
.
Ri + RL
(5.35)
Damit kann die Leistung durch die Spannung und die Widerstände ausgedrückt werden
RL
PL =
R i + R L
2
U2 .
(5.36)
Die der Spannungsquelle entnehmbare Leistung ist somit eine nichtlineare Funktion des
Lastwiderstands RL ab. Für U = 10V und Ri = 1Ω erhält man die folgende Funktion für
die Leistung P.
2.5
P [W]
Löst man (5.33) nach R1X auf, erhält man ebenfalls das Ergebnis (5.31).
2
1.5
1
15
Leistungsanpassung und Wirkungsgrad
0.5
0
Wird ein Verbraucher an einer realen Spannungsquelle mit Innenwiderstand betrieben, so
erhält man die Struktur gemäß Bild 5.12.
Bild 5.13:
0
2
4
6
8
10
RL [Ω]
Leistung P als Funktion des Lastwiderstands RL
Anfang und Ende der Kurve sind offensichtlich. Die Leistung ist ja das Produkt aus U und
I. Ist der Lastwiderstand sehr groß, fließt nur ein kleiner Strom. Somit ist auch die Leistung
klein. Für einen sehr kleinen Lastwiderstand ist die Spannung sehr klein. Folglich kann
66
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
auch in diesem Fall die Leistung in der Last nur sehr klein sein. Das Maximum findet man
durch Nullsetzen der 1. Ableitung (Extremwertberechnung)
dP =
dR L
R i + R L2 − 2R LR i + R L
R i + R L
4
!
U2 = 0 .
η
R i + R L − 2R LR i + R L =
0.6
(5.37)
0.4
R 2i
+ 2R iR L + R 2L
0.2
− 2R iR L − 2R 2L
(5.38)
0
= R 2i − R 2L = 0
Bild 5.14:
ausgewertet werden. Das Maximum wird also für
RL = Ri ,
(5.39)
also Lastwiderstand = Innenwiderstand erreicht. Die Leistung folgt durch Einsetzen von
(5.39) in die Leistungsgleichung (5.36)
Ri
2
U2 = U .
4R
i
R i + R i
2
PL
RL
=
.
P gesamt
Ri + RL
Diese Funktion zeigt Bild 5.14.
6
8
RL [Ω]
10
Wirkungsgrad der Schaltung 5.12
Überlagerungsprinzip
Unter linearen Netzwerken versteht man Schaltungen, bei denen die Eigenschaften der
Schaltung nicht von den Beträgen und Vorzeichen der Ströme und Spannungen abhängen.
Im Gegensatz dazu bezeichnet man Schaltungen als nichtlinear, wenn eine solche
Abhängigkeit besteht. So sind Schaltungen mit Halbleitern (Dioden, Transistoren usw.) i.a.
nichtlinear.
(5.41)
Bei linearen Netzwerken können die Auswirkungen von StromSpannungsquellen unabhängig voneinander untersucht (überlagert) werden.
Das Verhältnis von PL (5.36) zu Pgesamt ist somit
η=
4
Schaltungen aus Widerständen, Spannungs- und Stromquellen sowie Kondensatoren
sind lineare Netzwerke.
Unter dem Wirkungsgrad η einer Schaltung versteht man das Verhältnis von nutzbarer
Leistung zur gesamten Leistung, die der Spannungsquelle entnommen wird. Die gesamte
Leistung setzt sich aus der Leistung im Innenwiderstand Ri und der Leistung im
Lastwiderstand RL zusammen. Die gesamte Leistung ist
U2
Ri + RL
2
Bei kleinem Widerstand ist der Wirkungsgrad nahe null, d.h. fast die gesamte Leistung wird
in dem Innenwiderstand Ri verbraucht. Bei großen Widerstand geht der Wirkungsgrad auf
seinen Maximalwert von 100%. Allerdings ist dann die im Lastwiderstand umgesetzte
Leistung klein. Bei RL = Ri , d.h. bei Leistungsanpassung beträgt der Wirkungsgrad 50%.
16
Wirkungsgrad
P gesamt =
0
(5.40)
Den Fall RL = Ri nennt man Leistungsanpassung.
15.1
Endwert
1
!
P L,max =
Hochschule Bremerhaven --- IAE
0.8
Da nur der Zähler null werden kann, muss nur
2
67
Elektrotechnik 1
(5.42)
und
Wir müssen bei der Analyse von Schaltungen nur jeweils eine Quelle betrachten und
können alle anderen Quellen zu null setzen. Die resultierenden Spannungen und Ströme
erhält man durch Addition aller Werte (Überlagerung).
68
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
69
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Zusätzlich gilt die Knotenregel
I 11 − I 21 − I 31 = 0 .
Beispiel:
R1 = 10kΩ
Wir erhalten somit 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, die wir durch Einsetzen für
I31 lösen können. Zunächst ersetzten wir I11 aus (6.3) in (6.1)
R2 = 6,8kΩ
R 1 I 21 + R 1 I 31 + R 3 I 31 = R 1 I 21 + R 1 + R 3I 31 = U 1 .
U1 = 10V
R3 = 4,7kΩ
I3 = ?
U2 = 6V
I 31 =
Man kann den Strom I3 natürlich auch mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln
bestimmen. Einfacher ist hier die Anwendung des Überlagerungsprinzips, indem
die Aufgabe in zwei Teilaufgaben zerlegt wird.
I11
U1 = 10V
R3 = 4,7kΩ
(6.5)
I21
R2
U .
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2R 3 1
(6.6)
Setzen wir jetzt U1 zu null und rechnen den Strom aus, der von U2 bewirkt wird,
so folgt (Teilaufgabe 2)
R2 = 6,8kΩ
I31
R3
I + R 1 + R 3I 31 = U 1 .
R 2 31
Damit folgt für I31 schließlich
Berechnung von I3 durch Überlagerung
R1 = 10kΩ
(6.4)
Nun können wir I21 aus (6.2) in (6.4) einsetzen und erhalten
R1
Bild 6.1:
(6.3)
I 32 =
R1
U .
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2R 3 2
(6.7)
Der gesamte Strom I3 ergibt sich durch Überlagerung, d.h. Addition der Ströme
(U2 = 0V)
I 3 = I 31 + I 32 =
R2 U1 + R1 U2
.
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2R 3
(6.8)
Mit den Zahlenwerten aus Bild 6.1 erhält man
Bild 6.2:
I3 =
Teilaufgabe 1
R1 = 10kΩ
(U1 = 0V)
R3 = 4,7kΩ
R2 = 6,8kΩ
I32
6.8kΩ 10V + 10kΩ 6V
= 871μA .
10kΩ 6.8kΩ + 10kΩ 4.7kΩ + 6.8kΩ 4.7kΩ
(6.9)
Auf gleiche Weise können auch Stromquellen überlagert werden. Hierbei ist zu beachten,
dass Stromquellen einen unendlichen Innenwiderstand besitzen.
U2 = 6V
Unberücksichtigte Spannungsquellen bilden einen Kurzschluss.
Unberücksichtigte Stromquellen wirken wie eine aufgetrennte Leitung.
Bild 6.3:
Teilaufgabe 2
Die beiden Teilaufgaben sind von der Struktur her identisch und lassen sich
leichter lösen als das Gesamtproblem 6.1. Die Maschengleichungen (linke und
rechte Masche) liefern
R 1 I 11 + R 3 I 31 = U 1 ,
(6.1)
R 3 I 31 − R 2 I 21 = 0 .
(6.2)
Ü2
Lösung von Gleichungssytemen
Die Berechnung elektronischer Schaltungen erfolgt durch Anwendung von Knoten- und
Maschengleichungen sowie des Ohmschen Gesetzes. Dabei treten sogenannte lineare
Gleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten auf. Man erhält stets soviele
Elektrotechnik 1
70
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Gleichungen wie Unbekannte, so dass eine Lösung immer eindeutig angegeben werden
kann.
Ü2.1
71
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Ü3
Gleichstromschaltungen
Ü3.1
Leistungsaufnahme eines Widerstands
Lösung eines Gleichungssystems mit
4 Unbekannten
R1
Die systematische Lösung von Gleichungssystemen soll losgelöst von der Elektrotechnik
zunächst an einem synthetischen Beispiel erfolgen. Das Gleichungssystem lautet:
a + 2b − c + d = 3 ,
(Ü.13)
4a − b + 3c − d = 20 ,
(Ü.14)
2a + 2b + c + d = 11 ,
(Ü.15)
− a − b + 5c − 3d = − 2 .
(Ü.16)
Häufig interessiert nur ein Wert dieses Gleichungssystems. In diesem Fall soll dies der Wert
der Variablen b sein. Zur Kontrolle des Ergebnisses werden wir aber alle Variablen
berechnen, jedoch soll b zuerst bestimmt werden.
Eine Lösung findet man, indem man das Gleichungssystem mit 4 Unbekannten auf ein
Gleichungssystem mit 3 Unbekannten reduziert. Im den folgenden Schritten kann man das
Gleichungssystem jeweils um eine Unbekannte reduzieren. Im letzten Schritt folgt dann
der Wert der Variablen b (eine Gleichung mit einer Unbekannten).
R2
Bild Ü.5:
a)
Lösen Sie (Ü.13) nach a auf. Setzen Sie a in die übrigen Gleichungen ein
(Hinweis: nummerieren Sie die entstehenden Gleichungen).
b)
Lösen Sie nun eine Gleichung nach d auf und reduzieren Sie auf ein System mit
2 Unbekannten.
c)
Lösen Sie eine der beiden Gleichungen (welche?) nach c auf und berechnen
Sie b.
d)
Zur Kontrollen sollen alle Unbekannten bestimmt und die Gültigkeit der
Gleichungen (Ü.13)---(Ü.16) durch Einsetzen gezeigt werden. Falls das Ergebnis
nicht stimmt, beginnen Sie am besten wieder mit a).
R4
I4
Schaltung zur Aufgabe Ü3.1
a)
Welcher Strom fließt durch den Widerstand R4?
Berechnen Sie den Strom in Abhängigkeit von der Spannung U und den
Widerständen R1-R4.
b)
Wie groß ist die in dem Widerstand R4 umgesetzte Leistung?
Lösung Ü3.1: a)
I4 =
R2
U .
R 1R 2 + R 1R 3 + R 1R 4 + R 2R 3 + R 2R 4 1
(Ü.17)
b)
Hierzu löst man eine Gleichung nach einer Variablen auf, die nicht interessiert (z.B. der
Variablen a. Diese Variable setzt man in die verbleibenden Gleichungen ein und es
entsteht ein reduziertes Gleichungssystem mit 3 Unbekannten.
Die Teilaufgaben a) --- c) sollen systematisch zur Lösung führen.
R3
U1
P 4 = R 4I24 =
Ü3.2
R 4 R 22
R 1R 2 + R 1R 3 + R 1R 4 + R 2R 3 + R 2R 42
Berechnung von Netzwerken mit dem
Überlagerungsprinzip
R1
R2
R3
U1
Bild Ü.6:
U 21 .
U2
Schaltung zur Aufgabe Ü3.2
I3
(Ü.18)
72
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
a)
Wie groß ist der Strom I3?
Berechnen Sie zunächst den Strom I31 (Strom, der nur von U1 verursacht wird)
und anschließend den Strom I32 (Strom, der nur von U2 verursacht wird). Der
Strom I3 ergibt sich aus der Summe beider Ströme.
b)
Wie lautet die Bedingung für das Nullwerden von I3?
73
Elektrotechnik 1
Ü3.4
Potentiometer (veränderbarer Widerstand)
R 2U 1 − R 1U 2
.
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2R 3
Ü3.3
⇒
U2
U1
R
= 1 .
U2
R2
R1
U1
(Ü.20)
R2
Stromquelle
R2
I1
R1
R 11 = α R 1
R11
(Ü.19)
b)
R 2U 1 − R 1U 2 = 0 ,
R 12 = (1 − α) R 1
Potentiometer mit
Schleiferstellung α
Lösung Ü3.2: a)
I3 =
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Bild Ü.8:
R3
U3
I2
Schaltung zur Aufgabe Ü3.4
a)
Wie groß wird der Strom I2 in Abhängigkeit von der Schleiferstellung α?
b)
Berechnen Sie diejenige Schleiferstellung α, für die I2 gleich null wird.
Lösung Ü3.4: a)
Bild Ü.7:
Schaltung zur Aufgabe Ü3.3
a)
Wie groß ist die Spannung U3?
b)
Der Widerstand werde kurzgeschlossen. Wie groß ist der Kurzschlussstrom?
Hinweis: Sie könnten hier evtl. die Stromteilerregel anwenden.
R1 R3
I .
R1 + R2 + R3 1
(Ü.21)
b)
IK =
R1
I .
R1 + R2 1
αU 1 − U 2
.
α(1 − α) R 1 + R 2
(Ü.23)
α=
U2
.
U1
(Ü.24)
b)
Lösung Ü3.3: a)
U 3 = R 3I 3 =
I2 =
(Ü.22)
74
Elektrotechnik 1
Ü3.5
Hochschule Bremerhaven --- IAE
17
Schaltbare Abschwächung
R1
R2 = R1
UL
75
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Magnetisches Feld
Das Vorhandensein eines Feldes kann man aus einer Kraftwirkung herleiten. Sowohl bei
dem elektrischen Feld als auch bei dem Schwerefeld können Kräfte auf bestimmte Körper
nachgewiesen werden. Die Kraftwirkung des magnetischen Feldes ist uns vertraut, da
magnetische Materialien in der Natur vorkommen und die Kräfte in einem Magnetfeld
außerordentlich groß werden können. Der Erde besitzt ebenfalls ein Magnetfeld, das sich
über einen sehr langen Zeitraum jedoch stark ändert.
R3
U1
Elektrotechnik 1
RL
Es besteht auch ein enger Zusammenhang zwischen einem Magnetfeld und dem
elektrischen Strom.
S
Jeder Strom erzeugt ein magnetisches Feld.
Bild Ü.9:
Schaltung zur Aufgabe Ü3.5
a)
Die Ausgangsspannung UL an dem Lastwiderstand RL soll bei geöffnetem
Schalter genau der halben Eingangsspannung U1 betragen. Wie muss R1
gewählt werden (R2 gleich R1)?
b)
Wird der Schalter S geschlossen, so soll die Ausgangsspannung UL gleich 10%
der Eingangsspannung U1 sein. Berechnen Sie mit R1 und R2 aus a) den
Widerstand R3.
Lösung Ü3.5: a)
R1 = R2 =
RL
.
2
(Ü.25)
b)
R 3 = 3 R L ≈ 0.094RL .
32
So wie eine Spannung immer ein elektrisches Feld erzeugt, erzeugt der elektrische Strom
ein Magnetfeld. Die Wechselwirkung zwischen Strom und Magnetfeld bezeichnet man als
Elektromagnetismus. Magnetische Felder entstehen aber auch ohne elektrischen Strom
durch sogenannte Permanentmagnete. Diese Werkstoffe sind für die Elektrotechnik
bedeutsam, da sie zum Aufbau von elektrischen Antrieben und Generatoren verwendet
werden.
Treten elektrische und magnetisches Felder in eine Wechselwirkung, so können
elektromagnetische Wellen entstehen, die sich gänzlich ohne Materie im Raum als Energie
ausbreiten können. Auf diese Weise lassen sich Informationen mit Lichtgeschwindigkeit
ohne Materie übertragen (Radio, Fernsehen, Mobiltelefonie).
Zu fast allen Größen des elektrischen Feldes existieren entsprechende Größen des
magnetischen Feldes.
(Ü.26)
17.1
Magnetische Feldlinien
Das Magnetfeld übt eine Kraft auf Körper aus, die wiederum das Magnetfeld beeinflussen
bzw. verändern. Dies sind magnetische Materialien wie z.B. Eisen oder Nickel. Sind diese
Körper selbst magnetisch, so kann eine Kraftrichtung festgestellt werden.
Ein magnetischer Körper besitzt einen Nord- und einen Südpol (Dipol).
Eine magnetische “Einzelladung” wie bei dem elektrischen Feld existiert bei einem
Magneten nicht. Bricht man beispielsweise einen Stabmagneten in der Mitte durch, so
erhält man wieder zwei Magneten mit Nord- und Südpol. Man stellt fest, dass sich gleiche
Pole anziehen und ungleiche Pole abstoßen. Das Erdmagnetfeld bewirkt deshalb eine
Ausrichtung des Nordpols der Kompassnadel zum geografischen Nordpol (geografischer
76
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Elektrotechnik 1
77
Hochschule Bremerhaven --- IAE
und magnetischer Pol weichen allerdings etwas voneinander ab). Der geografische Nordpol
ist also der magnetische Südpol der Erde.
Leiter
Die magnetischen Feldinien (Richtung der Kraftwirkung) sind stets geschlossen.
Definitionsgemäß treten die Feldlinien aus dem Nordpol eines Magneten aus und münden
in den Südpol. Innerhalb des Magneten verlaufen die Feldlinien entgegengesetzt.
Stromflussrichung aus
der Bildebene hinaus
N
S
Bild 9.2:
Stromflussrichung in
die Bildebene hinein
Verlauf der magnetischen Feldlinien bei einem stromdurchflossenen Leiter
Auch hier findet man bestätigt, dass die Feldlinien grundsätzlich geschlossen sind. Die
Richtung des Magnetfelder folgt aus der “rechte-Hand-Regel”:
Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Daumen in die Richtung des Stromes, so geben die
übrigen Finger die Richtung des Magnetfelds an (auch “Rechtsschraubenregel”
gannant).
Bild 9.1:
Feldlinien eines Permanentmagneten
Die Feldlinien außerhalb des Magneten können beispielsweise durch Eisenfeilspäne
sichtbar gemacht werden, die sich sich in Richtung der Kraft (=Feldlinien) ausrichten.
Für das Bild 9.2 haben wir angenommen, dass die Leiter sehr weit auseinanderliegen.
Gewöhnlich liegen Hin- und Rückleiter der Stroms jedoch so dicht beieinander, dass sich
die Magnetfelder beider Leiter beeinflussen.
Magnetische Feldlinien sind stets geschlossen.
17.2
Stromdurchflossene Leiter
Jeder stromdurchflossene Leiter erzeugt ebenfalls ein Magnetfeld, was durch seine
Kraftwirkung nachweisbar ist (z.B. Ausrichtung einer Kompassnadel). Man stellt den
folgenden Verlauf der Feldlinien fest.
Bild 9.3:
Magnetische Feldlinien bei benachbarten Leitern
Es lassen sich sehr starke Magnetfelder erzeugen, wenn man Leiter beispielsweise
zylinderförmig aufwickelt. Es entsteht eine sogenannte Spule (Induktivität), bei der sich die
Elektrotechnik 1
78
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Magnetfelder jeder einzelnen Wicklung addieren. Oberhalb und unterhalb eines Leiters
haben die Feldlinien in den Bildern 9.2 und 9.3 eine unterschiedliche Richtung. Aufgrund
der Anordnung “übereinander” heben sich die Felder zwischen des Wicklungen auf.
Elektrotechnik 1
79
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Richtung des
Magnetfelds
I
Bild 9.5:
Bild 9.4:
Zylinderspule
Die Richtung des Magnetfeldes folgt wieder aus der “rechte-Hand-Regel”, die in diesem
Falls auch in etwas anderer Form angewandt werden kann: Zeigt der Daumen in die
Richtung der Feldlinien im Innern der Spule, so geben die übrigen Finger die
Stromrichtung an.
17.3
Magnetische Flussdichte
Die Zylinderspule in Bild 9.4 hat den Nachteil, dass die Feldlinien sich außerhalb der Spule
schließen. Dies lässt sich mit eine Ringspule vermeiden. Hier können sich die Feldlinien
innerhalb des Ringes schließen. Ringspulen sind sehr hochwertige Spulen. Aufgrund der
komplizierten Fertigung sind sie jedoch recht teuer.
Ringspule (Torus)
Lässt man einen kleinen Spalt in der Wicklung, so kann an dieser Stelle ein starkes und
homogenes Magnetfeld gemessen werden.
Das Magnetfeld übt eine Kraft auf bewegte Ladungsträger aus.
Wird ein Elektron in den Luftspalt geschossen, so wird aufgrund des Magnetfelds das
Elektron aus seiner Bahn abgelenkt. Das Elektron beschreibt dann eine Kreisbahn bzw. ein
Kreissegment.
80
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Elektron
v
Austrittsbahn
17.4
homogenes Magnetfeld
(in Bildebene hinein)
Eintrittsbahn
Bahn eines Elektrons unter dem Einfluss eines konstanten Magnetfelds
Eine Kreisbahn entsteht, wenn eine Kraft stets senkrecht zur Bewegungsrichtung des
Teilchens wirkt. In Experimenten stellt man fest, dass diese Kraft proportional zur
Geschwindigkeit der Ladung und proportional zur Ladung des Teilchens ist
F~v,
(9.1)
F~Q.
(9.2)
Weiterhin hängt die Kraft natürlich auch von Magnetfeld ab. Man definiert die “Stärke”
des Magnetfeldes als den Proportionalitätsfaktor zwischen der Kraft und dem Produkt aus
Geschwindigkeit und Ladung
|F| = |vQB| .
(9.3)
B ist die (magnetische) Induktion oder auch (magnetische) Flussdichte. Sie ist ein
Maß für die Stärke des Magnetfeldes.
Die Einheit von B folgt aus (9.3)
vQF  = 
m
s
   =   = mVs .
N
=
As
Ws
m
m
s As
VAs
m
m
s As
2
(9.4)
Die Term m2 im Nenner erklärt die Bezeichnung Flussdichte. Diese Einheit wird auch
als Tesla bezeichnet
1T = 1 Vs2 .
m
Vektordarstellung
Die Gleichung (9.3) beschreibt einen Sonderfall, bei dem die Richtung von
Geschwindigkeit v und Induktion B senkrecht aufeinander stehen. Eine genaue
mathematische Beschreibung erfordert die Darstellung der Größen als vorzeichen- und
richtungsbehaftet.
F
[B] =
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Früher war auch die Einheit Gauss = 10 ---4 T gebräuchlich. Ein Gauss entspricht etwa der
Stärke des Erdmagnetfelds. In technischen Systemen (elektrische Maschinen, Kernspintomograf) sind liegen die Werte im Bereich 1-5 T.
Querschnitt der Spule
Bild 9.6:
81
Elektrotechnik 1
(9.5)
Die Ladung Q besitzt eine positives oder negatives (z.B. Elektron) Vorzeichen.
Geschwindigkeit v und die Induktion B sind Größen mit einem Betrag und einer
Richtung, d.h. sie sind Vektoren. Wir wollen uns an folgende übliche Konventionen halten
B = Betrag der Induktion,
B = Vektor der Induktion,
v = Betrag der Geschwindigkeit,
v = Vektor der Geschwindigkeit,
F = Betrag der Kraft,
F = Vektor der Kraft.
Der Kraftvektor folgt dann zu
F = Q (v × B) .
(9.6)
Der Term in Klammern ist das sogenannte Vektorprodukt (sprich: v kreuz B) zwischen
Geschwindigkeits- und Induktionsvektor. Legt man beispielsweise v und B in die
x-y-Ebene eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems, so folgt für das
Vektorprodukt

vx
B x  00   00 
v × B = v y ×B y=
= 
.
0
 0  vxB y − vyBx (v × B)z
(9.7)
Die allgemeine Form des Vektorprodukts findet sich in Abschnitt 17.9.
Die grafische Darstellung dieser Beziehung zeigt Bild 9.7. Hierfür existiert ebenfalls eine
“rechte-Hand-Regel”: Daumen = Richtung des Geschwindigkeitsvektors, Zeigefinger =
Richtung des Vektors der magnetischen Induktion ⇒ Mittelfinger = Richtung der Kraft.
82
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
z
83
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
die Lorentz-Kraft. Die Summe aller dieser Kräfte wird als Kraft auf den Draht wirksam.
Dieses Prinzip gestattet den Aufbau von Elektromotoren, die elektrische Leistung in
mechanische Leistung umsetzen.
F
y
B
B
A
α
I
v
Bild 9.7:
x
F = QvB sin(α) .
---
(9.8)
F = QvB .
(9.9)
Lorentz-Gleichung
Die durch das Magnetfeld entstehende Kraft (9.6) bzw. (9.8) nennt man
Lorentz-Kraft:
F = Q (v × B)
(benannt nach dem niederländischen Physiker Hendrik Antoon Lorentz). Fasst man die
Kraft auf eine Ladung im elektrischen Feld und die Kraft auf eine bewegte Ladung im
magnetischen Feld zusammen, so folgt die
Lorentz-Beziehung:
---
dl
Der Winkel α ist der Winkel zwischen v und B. Nur wenn die Geschwindigkeit eines
geladenen Teilchens senkrecht auf der magnetischen Induktion steht, gilt
F = Q E + Q (v × B) .
Der erste Term der Lorentz-Beziehung ist die bekannte Coulomb-Kraft QE.
17.6
-----
Vektorprodukt von v und B
Die Kraft F steht senkrecht auf der Ebene, die durch die Vektoren v und B gebildet
werden. Die Länge des Kraftvektors ist proportional zu der aus v und B gebildeten Fläche
(gestrichelt in Bild 9.7 gekennzeichnet)
17.5
-----
Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht im
Magnetfeld
In einem Leiter bewegen sich Elektronen und bewirken auf diese Weise den Stromfluss.
Befindet sich ein stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, so wirkt auf die Elektronen
F
Bild 9.8:
Leiter im Magnetfeld
Wir nehmen an, dass der Geschwindigkeitsvektor und der Feldvektor senkrecht
aufeinander stehen, so dass wir mit den Beträgen von Geschwindigkeit und Induktion
rechnen können
F = QvB .
(9.10)
Ist die Dichte der Ladungsträger ρ, so folgt für die Ladung in dem kleinen Drahtstück dl
dQ = Ã A dl .
(9.11)
Der Strom ist durch die Änderung der Ladung in diesem Abschnitt gegeben
I=
à A dl
dQ
=
= Ã A dl = Ã A v .
dt
dt
dt
(9.12)
Multipliziert man beide Seiten mit dl, so folgt
I dl = Ã A dl v = dQ v .
(9.13)
Für die gesamte Länge des Drahtes folgt dann
Il=ÃAlv=Qv.
(9.14)
Die Gleichung (9.10) kann somit auch in der Form
F=IBl.
(9.15)
geschrieben werden.
Falls der Leiter und die Induktion nicht senkrecht aufeinander stehen, muss der Winkel α
zwischen der Induktion und der Richtung des Leiters berücksichtigt werden
F = I B l cos(α).
(9.16)
84
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
85
Elektrotechnik 1
Die Kraft auf einen einzelnen Leiter ist auch bei großen Strömen nicht besonders hoch.
Man kann den Leiter jedoch zu einer Spule wickeln. Die resultierende Kraft vervielfacht
sich dann mit der Windungszahl n
F = n I B l cos(α).
17.7
T
(9.17)
r
Übung: Kraft auf eine Spule im Magnetfeld
Die Kraft auf die Spule im Magnetfeld in der Anordnung gemäß Bild 9.9 soll berechnet
werden.
B
B
I
N
l
Bild 9.10:
Bild 9.9:
Spule im Magnetfeld
Die Spule habe n = 2000 Windungen, der Strom sei I = 10A. Die Induktion betrage
B = 0,8T. Die Länge der Leiter im Magnetfeld ist l = 0,1m.
a)
In welche Richtung wirkt die Kraft F?
b)
Wie groß ist diese Kraft?
c)
Weisen Sie nach, dass sich tatsächlich die Einheit für die Kraft ergibt.
Diese Kraft weist nach oben.
Übung: Drehspulinstrument
Zur genauen Messung von Strömen dient das Drehspulinstrument (Bild 9.10).
Drehspulinstrument
a)
Wie lautet der Zusammenhang zwischen der Kraft auf die Schenkel der Spule und
dem Drehmoment T?
b)
Berechnen Sie den Zusammenhang zwischen Strom I in der Spule und den
Kräften bzw. dem Drehmoment T.
c)
Wie groß muss der Strom I gewählt werden, damit sich ein Drehmoment von
125μNm ergibt?
Lösung:
Lösung:
F = n I B l = 2000 10A 0.8 Vs2 0.1m = 1600 VAsm
m
m2
Ws
Nm
= 1600 m = 1600 m = 1600N .
S
Die Spule habe n = 4000 Windungen, der Radius sei r = 10mm (Abstand Drehpunkt zur
Spulenmitte), die Induktion betrage B = 0,2T. Die Spule hat eine rechteckige Form. Die
Länge der Spule im Magnetfeld sei l = 8mm.
B
17.8
Hochschule Bremerhaven --- IAE
I = 977μA .
(9.18)
17.9
(9.19)
Anhang: Allgemeine Form des Vektorprodukts
(äußeres Produkt)
Das Vektorprodukt zweier Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem
(rechtwinkliges Koordinatensystem mit den Richtungen x, y und z sowie den
Einheitsvektoren ex , ey und ez ) liefert wieder einen Vektor.
86
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
ez
1
Der Strom ist nicht Träger der magnetischen Kraft sondern das magnetische Feld.
1
ex
Man kann dies anhand der Ausbreitung eines magnetischen Feldes zeigen, das sich mit
Lichtgeschwindigkeit um einen stromdurchflossenen Leiter ausbildet. Die Kraft wirkt
dann durch das an der betreffende Stelle lokal existierende Feld.
x
Einheitsvektoren
Zur Berechnung der magnetischen Induktion ist es außerordentlich hilfreich, eine reine
Rechengröße zu verwenden, die als magnetische Feldstärke bezeichnet wird.
Die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem lauten
1
e x =0,
0
0
e y =1,
0
0
e z =0.
1
(9.20)
c =a×b
(9.21)
liefert wieder einen Vektor c, der senkrecht auf der durch a und b gebildeten Fläche steht.
Seine Länge (Betrag) ist identisch mit der Fläche, die durch a und b aufgespannt wird.
Das Vektorprodukt kann als Determinante eine Matrix aufgefasst werden, die die Vektoren
a und b enthält sowie die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen
ey ez

a y a z
b y b z

H = magnetische Feldstärke, nicht messbare Rechengröße zur Berechung von B.
H bezeichnet man auch als magnetische Erregung, da man H als Ursache für die
magnetische Induktion B auffassen kann.
Das Vektorprodukt
aexx
c = a × b =
bx

Hochschule Bremerhaven --- IAE
Der Strom in einem Leiter verursacht ein magnetisches Feld, das beispielsweise durch
Kraftwirkung auf Permanentmagnete oder andere stromdurchflossene Leiter nachgewiesen werden kann. Die magnetische Induktion B wurde ja auch durch die Kraftwirkung auf
bewegte Ladungsträger (9.3) definiert.
y
ey
Bild 9.11:
87
17.10 Magnetische Feldstärke
z
1
Elektrotechnik 1
Die Feldstärke H ist wie die Induktion eine vektorielle Größe, d.h. sie besitzt einen Betrag
und eine Richtung. Die Richtungen von H und B sind stets identisch.
Der Grund für die Verwendung von H liegt in der Möglichkeit, die Eigenschaften
unterschiedliche Materialien zu berücksichtigen. Das magnetische Feld wird durch
Material (z.B. Eisen, Nickel) sehr stark beeinflusst.
Betrachten wir noch einmal das magnetische Feld um einen stromdurchflossenen Leiter.
(9.22)
Leiter
Die Determinante lautet ausgeschrieben
c = e xa ybz − b ya z + e y(a zb x − b za x) + e za xb y − b xa y .
(9.23)
Mit (9.20) kann (9.23) wieder als Vektor geschrieben werden
aybz − byaz
c =a zb x − b za x.
axby − bxay
(9.24)
Für den Sonderfall, dass man das Koordinatensystem in die a / b-Ebene legt, entsteht die
einfachere Beziehung (9.7).
Bild 9.12:
Verlauf der magnetischen Feldlinien bei einem stromdurchflossenen Leiter
(aus der Bildebene heraus, “rechte-Hand-Regel”)
88
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Elektrotechnik 1
Man kann nun die magnetische Feldstärke über ein Linienintegral um den Leiter
definieren. Wir wollen zunächst entlang eines konzentrischen Kreises um den Leiter
integrieren. Diese Integral lässt sich sehr einfach lösen, da die Feldstärke stets in Richtung
des Integrationswegs zeigt und darüber hinaus die Feldstärke auch noch einen konstanten
Betrag aufweist
W2
 H ds = 0
Diesem Integral wollen wir den Strom durch den Leiter zuordnen
W2
2π
(9.26)
0
[I]
A .
=m
[r]
(9.28)
(9.29)
Der Proportionalitätsfaktor zwischen diesen Größen im Vakuum oder Luft ist
μ 0 = 1.256671 ⋅ 10 −6 Vs
Am
Integration der magnetischen Feldstärke entlang eines geschlossenen Weges
17.10.1 Durchflutung
In Luft oder Vakuum findet man einen konstanten Zusammenhang zwischen der
Feldstärke und der Induktion (z.B. durch Kraftwirkung)
B~H.
W1
(9.27)
Die Einheit der Feldstärke ergibt sich damit zu
[H] =
Bild 9.13:
 H ds = I
Das Integral über den rechten Weg W1 liefert den Strom I durch den Leiter. Das Integral
über den linken Weg W2 ist null, da der Weg den Leiter nicht einschließt.
Daraus folgt die (Rechengröße)
H= I .
2πr
W1
(9.25)
0
 Hr dÔ = 2πrH = I .
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Leiter
2π
 Hr dÔ = 2πrH .
89
(9.30)
Wenn in dem Umlauf für das Integral mehrere Windungen eine Spule liegen, so zählt das
Produkt aus Strom und das Anzahl n der Windungen
 H ds = nI .
(9.32)
Zu beachten ist die Darstellung von H und ds als Vektoren. Es muss also für jedes
Wegstück ds das Vektorprodukt mit H gebildet werden. Die rechte Seite ist die
Durchflutung.
Das Produkt nI ist die Durchflutung Θ.
und wird Permeabilität (des Vakuums) genannt. Die Gleichung (9.29) lautet mit (9.30) dann
B = μ 0H .
(9.31)
Durch Versuche stellt man fest, dass (9.26) unabhängig vom Weg des Integrals ist, sofern
nur der stromführende Leitern sich im Innern des Weges befindet.
Das Ringintegral (9.32) ist also identisch mit der Durchflutung, die vom Weg
eingeschlossen wird
 H ds = Θ .
(9.33)
Da die Anzahl n dimensionslos ist, gilt für die Einheit [Θ] = A.
Die Gleichung (9.33) ist der Durchflutungssatz.
Aus (9.33) lässt sich in vielen Fällen die Feldstärke bestimmen. Ist H bekannt, so folgt B
gemäß
90
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
B = μ 0H .
(9.34)
Gleichung (9.34) gilt nur in Vakuum oder Luft. Allgemein gilt in Materie
B = μ0 μr H .
(9.35)
Die dimensionslose Konstante μr ist die realitve Permeabilität.
Für Luft und Vakuum gilt μr = 1. Die relative Permeabilität variiert in weiten Bereichen,
d.h. mit der gleichen magnetischen Erregung lassen sich unterschiedliche Induktionen
erzeugen (durch unterschiedlichen Materialien in der Spule).
17.11 Übung: Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen
Leitern
Zwei parallel laufenden Leiter, die von Strom durchflossen werden, erzeugen eine Kraft
zwischen den Leitern. Jeder Leiter erzeugt ja ein Magnetfeld, das eine Kraft auf den jeweils
anderen Leiter ausübt. Eine Kraftwirkung auf einen Leiter durch das eigene Magnetfeld
ist ausgeschlossen, da sich das Magnetfeld symmetrisch um den Leiter aufbaut und somit
alle Kräfte stets im Gleichgewicht sind.
91
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Das Magnetfeld, das ein Leiter am Ort des anderen Leiters verursacht, kann mit dem
Durchflutungssatz (9.33) ermittelt werden. Die Durchflutungen sind einfach (nur eine
Windung)
Θ1 = I1 ,
Θ2 = I2 .
(9.36)
Man erhält für die Feldstärke H1 am Ort des Leiters 2
2π
 H ds =  H a dr = I .
1
1
1
(9.37)
0
Da die Feldstärke auf einem Kreis um den Leiter 1 konstant ist, kann H1 vor das Integral
gezogen werden
2π
H1 a
 dr = 2πaH = I .
1
1
(9.38)
0
Daraus folgt
H1 =
I1
.
2πa
(9.39)
In Luft gilt der Zusammenhang zwischen der Feldstärke und der magnetischen Induktion
B 1 = μ 0H 1 = μ 0
I1
.
2πa
(9.40)
Da Strom und Induktion senkrecht aufeinander stehen, ergibt sich nach (9.15)
l
F2 = I2 B1 l = μ 0l
a
I1 I2
.
2πa
(9.41)
Rechnet man die Kraft F1 entsprechend aus, so erhält man den gleichen Wert (warum?).
Mit den Zahlenwerten l = 1m, a = 1mm, I1 = I2 = 100A erhält man die Kräfte
Bild 9.14:
Magnetfeld zweier paralleler Leiter
Nach der “rechte-Hand-Regel” entstehen die Kräfte gemäß Bild 9.15 an den Leitern.
H1 , B 1
F2
H2 , B 2
I1
I2
F1
F 1 = F 2 = 1.2566 ⋅ 10 −6 Vs 1m 100A 100A = 2 Ws
m = 2N .
Am
2 π 0.001m
(9.42)
Die Kräfte zwischen Leitern können bei Wechselstrom zu hörbaren Schwingungen führen
(z.B. Trafobrummen). Bei einer Frequenz des Wechselstroms von 50Hz treten dann
Schwingungen von 100Hz auf, da in (9.41) das Produkt von Strömen die Kraft bildet.
17.12 Einfluss der Materie
a
Bild 9.15:
Magnetfeld zweier paralleler Leiter
Wie man schon an den Permanentmagneten erkennen konnte, besitzen bestimmte
Materialien mit magnetischen Eigenschaften eine große technische Bedeutung. Zum
Elektrotechnik 1
92
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Verständnis dieser Eigenschaften ist es wesentlich, auf die eigentliche Ursache von
Magnetismus in Materie einzugehen.
Es könnte der Eindruck entstehen, als wenn Magnetismus auch ohne elektrischen Strom
möglich wäre. Tatsächlich sind aber Bahnbewegungen von Elektronen am Zustandekommen der Magnetfelder verantwortlich.
H Vektor der magnetischen Feldstärke
Bahn des
Elektrons
Bild 9.16:
Elektronenbahn und magnetische Feldstärke
Natürlich gilt auch hier die “rechte-Hand-Regel” zur Bestimmung der Richtung des
Magnetfeldes. Diese Regel gilt allerdings für die positive Richtung des Stromes. Die
Elektronenbewegung ist aber der positiven Stromrichtung entgegengesetzt.
Die magnetischen Materialien unterscheiden sich durch die mehr oder wenige
gleichmäßige Anordnung bzw. Ausrichtung der sogenannten Dipolmomente.
Magnetisches Dipolmoment: magnetisches Feld aufgrund einer oder mehrer
Windungen eines Leiters oder von Elektronenbahnen.
Die folgenden Abschnitte behandeln Stoffe mit unterschiedlichen magnetischen
Eigenschaften. Einzig der Ferromagnetismus besitzt große technische Bedeutung (die
Werkstoffkundler mögen mir verzeihen). Es soll deshalb nur der Ferromagnetismus
ausführlich behandelt werden.
17.12.1 Diamagnetismus
Der Effekt ist jedoch so schwach, dass er nur schwer nachweisbar ist. Seine technische
Bedeutung ist gering. Bringt man ein paramagnetisches Material in ein Magnetfeld, so
findet eine Abstoßung statt. Dieser Effekt ist unabhängig von der Richtung des
Magnetfeldes.
Die Ursache für die abstoßende Kraft liegt in atomaren Vorgängen (Änderung von
Elektronenbahnen). Diamagnetische Werkstoffe sind:
Wismut, Kupfer, Silber und Glas.
Elektrotechnik 1
93
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Für diamagnetische Stoffe gilt μr < 1.
17.12.2 Paramagnetismus
Paramagnetische Stoffe verhalten sich entgegengesetzt zu den diamagnetischen Stoffen,
d.h. sie werden durch den Einfluss von Magnetfeldern zu jedem Pol mit beliebiger Polarität
angezogen. Man kann sich das Verhalten durch Elektronenbahnen vorstellen, die ein Feld
erzeugen, welches die Richtung des äußeren Feldes aufweist.
Paramagnetische Werkstoffe sind:
Aluminium, Silizium und Platin.
Für paramagnetische Stoffe gilt μr > 1.
17.13 Ferromagnetismus
Für diamagnetische und paramagnetische Stoffe bewegt sich die relative Permeabilität in
dem Bereich
0.9998 ≤ μ r ≤ 1.004 .
(9.43)
An diesem Wertebereich erkennt man auch die geringe technische Bedeutung dieser
Stoffe.
Ferromagnetische Werkstoffe weisen einen hohen Wert für μr auf (> 10.000).
Maximale Werte für μr liegen bei etwas 106. Wichtige Vertreter dieser Stoffe sind:
Eisen, Kobalt, Nickel sowie viele Legierungen.
Ferromagnetismus entsteht durch eine Wechselwirkung zwischen den einzelnen Atomen
in einen Stoff. Diese Wechselwirkung ist auf kleine Bereiche beschränkt.
Weißsche Bezirke: Gebiete mit starker magnetischer Wechselwirkung zwischen den
Atomen.
Ohne äußeres Magnetfeld sind die Weißschen Bezirke über die Materie völlig regellos
verteilt. Der Stoff erscheint damit nach außen unmagnetisch.
Elektrotechnik 1
94
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95
Elektrotechnik 1
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Das Diagramm weist die in Bild dargestellte typische Form auf.
B [Vs/m2]
2
BS
Bild 9.17:
5
Wird der Stoff einem Magnetfeld ausgesetzt, so führt dies zu einer Vergrößerung oder
Ausrichtung der Weißschen Bezirke. Eine genaue Herleitung der Theorie ist nur mit Hilfe
der Quantenmechanik möglich. Wir wollen uns an dieser Stelle nur für das Verhalten dieser
Stoffe im Magnetfeld interessieren.
---HC
---BR
4
17.13.1 Curie-Temperatur
Curie-Temperatur: Übergang ferromagnetisch ⇒ paramagnetisch.
Durch Legierung unterschiedlicher Metalle kann die Curie-Temperatur in einem weiten
Bereich eingestellt werden. Für Eisen beträgt die Curie-Temperatur TC = 1033K.
Beispiel für eine technische Anwendung: Magnastatt-Lötkolben der Fa. Weller. Es wird
eine Legierung mit einer Curie-Temperatur von 2600C verwendet. Die Änderung der
magnetischen Eigenschaften mit der Temperatur wird benutzt, um einen Magnetschalter
bei der Curie-Temperatur schalten zu lassen. Wird die Curie-Temperatur überschritten,
fällt der Schalter ab und die Stromzufuhr für das Heizelement wird unterbrochen. Kühlt
der Lötkolben wieder unter die Curie-Temperatur ab, schaltet der Schalter wieder ein.
Man erhält einen geschlossenen Wirkungskreis (Regelkreis) mit einem Magnetschalter als
Stellglied und Regler.
17.13.2 Magnetisierungskurve
Alle ferromagnetischen Werkstoffen lassen sich durch ihre
charakterisieren.
Magnetisierungskurve
Magnetisierungskurve: Induktion B als Funktion der Feldstärke H.
1
BR
Anordnung der Weißschen Bezirke in einem Stoff ohne äußeres Magnetfeld
Ab einer bestimmten stark materialabhängigen Temperatur wird jeder ferromagnetische
Stoff schlagartig paramagnetisch, d.h. der Wert μr sinkt um mehrer Zehnerpotenzen auf
etwa den Wert 1.
3
Bild 9.18:
0
HC
H [A/m]
Sättigungsinduktion BS
---BS
Magnetisierungskurve
Eine Messung der Kurve kann durch Bestimmung der Induktivität (folgt später) einer Spule
(beispielsweise mit einem Eisenkern) erfolgen. Auf diese Weise lässt sich B als Funktion
des Stromes, d.h. der Feldstärke H, bestimmen.
Beginnt man im Punkt 0, d.h. im Ursprung und steigert die Feldstärke H, so steigt die
magnetische Induktion B gemäß des Kurvenabschnitts 1 an. Die Kurve 1 nennt man
Neukurve. Die maximal erreichbare Induktion ist begrenzt (Sättigungsinduktion). Der
Proportionalitätsfaktor μr ist somit nicht konstant und nimmt mit steigender Feldstärke
ab.
Steigert man die Feldstärke H weiter (z.B. durch einen höheren Strom), so erhöht sich die
Induktion nicht mehr oder nur noch sehr gering (Kurvenabschnitt 2).
Durch Umkehr des Feldes (Kurvenabschnitt 3) kehrt man auch die Induktion um.
Allerdings verläuft die Kurve auf einem anderen Weg als die Neukurve 1.
Der Abschnitt 4 zeigt ein gleiches Verhalten wie der Abschnitt 2 für negative Werte von
Feldstärke und Induktion. Läßt man die Feldstärke wieder ansteigen, so verläuft die Kurve
auf dem Abschnitt 5.
Ferromagnetisches Material hat also ein “Gedächtnis”, da der Verlauf der Kurve von
der Vorgeschichte abhängt.
Diese Eigenschaft macht man sich zunutze, indem sich Informationen auf Magnetbändern,
Floppys oder Festplatten speichern lassen.
96
Elektrotechnik 1
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97
Elektrotechnik 1
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B [Vs/m2]
Die prinzipielle Form der Magnetisierungskurve in Bild 9.18 ist für alle ferromagnetischen
Materialien unterhalb der Curie-Temperatur gleich. Man unterscheidet jedoch zwei
Ausprägungen der Kurve, die man weich- (Bild 9.19) bzw. hartmagnetischen (Bild 9.20)
Materialien zuordnet.
BR
Kurven dieser Art werden als Hysteresekurven bezeichnet. Dies sind Verläufe, die von der
Vorgeschichte abhängen. Je weiter die Äste der Kurven auseinanderliegen, desto größer
ist die Hysterese der Kurve. Die Hysterese wird anhand der Größen HC sowie BR
angegeben. Charakteristisch ist außerdem die Sättigungsinduktion BS .
In Deutschland ist der bedeutendste Hersteller für magnetische Stoffe die “Vacuumschmelze Hanau” (VAC, Siemens-Tochter zu 100%).
HC
---HC
H [A/m]
B [Vs/m2]
---BR
Bild 9.20:
Die Schnittpunkte der Kurve mit den Achsen kennzeichnen die einzelnen Materialien. Die
Größen heißen
BR
---HC
Hartmagnetisches Material (AlNiCo, Neodym-Eisen-Bor)
HC ---BR
H [A/m]
HC = Koerzitivfeldstärke
und
BR = Remanenzinduktion.
Bild 9.19:
weichmagnetisches Material (Eisen)
Sieht man einmal von der “Neukurve” ab, so ist die Koerzitivfeldstärke die Feldstärke, bei
der die Induktion B null wird. Bei der Feldstärke H = 0 zeigt der Stoff immer noch eine
Restinduktion, die sogenannte Remanenz. Beide Größen sind bei hartmagnetischen
Materialien deutlich größer.
Hartmagnetische Stoffe, werden für Permanentmagnete sowie für magnetische
Speichermedien (z.B. Festplatten, Magnetbänder usw.) verwendet. Weichmagnetische
Materialien sind geeignet für den Bau sogenannter Transformatoren. Beide Materialien
sind technisch außerordentlich bedeutsam.
Neue Materialien wie Neodym-Eisen-Bor weisen eine sehr hohe Remanenzinduktion (im
Tesla-Bereich) auf. Leider ist die Curie-Temperatur mit ca. 1500C ebenso bemerkenswert
klein, so dass sich dieser Werkstoff in elektrischen Maschinen verbietet.
17.14 Magnetischer Fluss
Die Induktion B ist eine flächenbezogene Größe, wie man auch anhand der Einheit
98
Elektrotechnik 1
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[B] = Vs2
m
99
Elektrotechnik 1
A2
(9.44)
erkennt. Man bezeichnet B ja auch als magnetische Flussdichte. Multipliziert man die
Induktion mit der Fläche, durch die diese Induktion hindurchtritt, so erhält man den
magnetischen Fluss
ΦM =
 BdA .
(9.45)
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A1
B2
A3
B1
ΦM
B3
ΦM
A
Hier ist wieder eine Vektordarstellung erforderlich, da sowohl die Induktion B als auch
die Fläche A gerichtete Größen sind. Im Fall der Fläche ist dies der Normalenvektor A,
der auf der Fläche senkrecht steht. Seine Länge entspricht der Größe der Fläche.
A
Bild 9.22:
ΦM =
 BdA
B1 =
B
Die Einheit des magnetischen Flusses folgt zu
m
Fluss
ΦM
und verschiedenen
ΦM
,
A1
B2 =
ΦM
,
A2
B3 =
ΦM
.
A3
(9.48)
(9.46)
17.15 Magnetischer Kreis
Die Einheit Wb nenn man Weber (benannt nach dem Physiker Wilhelm Weber).
Treten die Feldlinien senkrecht durch eine Fläche, so kann man mit Beträge rechnen
Φ M = BA .
aus
Die Induktion B3 ist aufgrund der kleinsten Querschnittsfläche A3 am größten. Zu
beachten ist natürlich, dass die Induktion nicht größer als die Sättigungsinduktion BS in
Bild 9.18 werden kann. Man muss also die Querschnitte so groß wählen, dass die
Sättigungsinduktion in keinem Querschnitt überschritten wird. Der erklärt die oft
beachtliche Baugröße von Transformatoren in der Energieversorgung.
Magnetischer Fluss
Φ M = Vs m 2 = Vs = Wb .
2
B
Der magnetische Fluss ΦM ist natürlich über gesamte Länge konstant. Jedoch ergeben sich
je nach Querschnitt unterschiedliche Induktionen Bi aufgrund der verschiedenen
Querschnittsflächen.
A
Bild 9.21:
Bestimmung der Induktion
Querschnitten Ai
(9.47)
Für die Wirkung (Kraft, später induzierte Spannung) ist der Fluss ΦM und nicht die
Flussdichte B verantwortlich. Beide Größen lassen sich über die Fläche A jedoch leicht
ineinander umrechnen.
Sofern die Feldlinien homogen verlaufen, lässt sich über den magnetischen Fluss wieder die
Induktion für unterschiedliche Querschnitte eines Körpers bestimmen.
Magnetische Feldlinien sind stets geschlossen. Der Durchflutungssatz (9.32) besagt, dass
das Produkt von Feldstärke H und Weg s auf einem geschlossenen Weg die
Durchflutung nI ergibt
 H ds = nI = Θ .
(9.49)
Die Formel wird in dieser Form fast ausschließlich in numerischen Berechnungsprogrammen verwendet. In technischen Systemen ist die Feldstärke H entlang eines Wegstückes
häufig konstant, so dass (9.49) durch ein einfaches Produkt ersetzt werden kann.
Elektrotechnik 1
100
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Als Beispiel könne wir wieder die Ringspule heranziehen. Das Feld verläuft ausschließlich
im Innern der Spule. Wenn wir annehmen, dass die Breite der Windungen relativ klein
gegenüber dem Radius der Ringspule ist, so können wir mit einem mittleren Radius r die
Länge der Feldlinien in der Spule angeben
l = 2πr .
(9.50)
101
Elektrotechnik 1
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Auch hier vereinfacht sich das Integral (9.45) zu einer Multiplikation.
Den Term
l
μ 0μ rA
bezeichnet man als den magnetischen Widerstand Rm .
∆
Rm =
Feldstärke H
Induktion B
l
.
μ 0μ rA
(9.55)
Die Gleichung (9.54) kann mit dem magnetischen Widerstand (9.55) dann als
I
Φ= Θ
Rm
Fläche A
r
(9.56)
geschrieben werden. Die Bezeichnung “magnetischer Widerstand” ist in Analogie zum
Ohmschen Gesetz entstanden, da (9.56) formal identisch mit
I=U
R
ist. Wir können also die Berechnung magnetischer Kreise in gleicher Weise wie die
Berechnung von Stromkreisen durchführen. Der magnetische Widerstand wird
gemäß (9.55) größer, je länger der Weg ist, der vom Fluss zurückgelegt wird. Gleichzeitig
verkleinert sich der magnetische Widerstand mit einer großen Querschnittsfläche A.
Durch den Einfluss der relativen Permeabilität
μr
erkennt man die große
Materialabhängigkeit des magnetischen Widerstands.
Anzahl Windungen n
Bild 9.23:
Ringspule (Torus)
Die Feldstärke ist innerhalb der Spule konstant, so dass sich das Integral (9.49) zu einer
einfachen Multiplikation von Feldstärke und Weg vereinfacht (konstante Größen dürfen
vor das Integral gezogen werden)
 H ds = Hl = nI = Θ .
(9.51)
(9.52)
Der Zusammenhang zwischen B und H ist durch (9.35) gegeben, so dass wir auch
unmittelbar die Induktion (= magnetische Flussdichte) in der Spule bestimmen können
B = μ 0 μ r H = μ 0μ r nI = μ 0μ r Θ .
l
l
(9.53)
Schließlich können wir den gesamten magnetischen Fluss in der Spule bestimmen, der sich
aus dem Produkt der Fläche A mit der magnetischen Flussdichte B ergibt (9.45)
Φ = BA = μ 0μ rA nI = μ 0μ rA Θ .
l
l
Da man bei technischen Systemen einen kleinen Widerstand anstrebt, verwendet man
ferromagnetisches Material mit einem sehr großen
μr -Wert (z.B. Eisen im
Transformatorbau). Die Forderung nach einer kleinen Länge l bei einem großem
Querschnitt A lässt sich natürlich nur bedingt erfüllen, da diese geometrischen Größen
nicht unabhängig voneinander sind.
Die folgenden elektrischen und magnetischen Größen entsprechen sich.
Daraus folgt für die magnetische Feldstärke
H = nI = Θ .
l
l
(9.57)
(9.54)
elektrisch
Größe
magnetisch
Einheit
Größe
Einheit
Spannung U
V
Durchflutung Θ
A
Strom I
A
Fluss Φ
Wb = Vs
Widerstand R
Ω=V
A
magn. Widerst. Rm
A
Vs
Magnetische Kreises lassen sich dann wie elektrische Kreise zeichnen (Bild 9.24).
102
Elektrotechnik 1
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Φ
Θ
Bild 9.24:
Rm
Magnetischer Kreis
103
Elektrotechnik 1
a)
Zeichnen Sie eine Schaltung mit magnetischen Widerständen.
b)
Wie groß sind die magnetischen Widerstände?
c)
Welchen Wert hat der magnetische Fluss Φ?
d)
Wie groß sind die Induktionen in den einzelnen Eisenschenkeln?
e)
Berechnen Sie den Strom Imax ?
Lösung:
Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist eine einfache Behandlung komplexer magnetischer
Kreise, die aus unterschiedlichen Geometrien und Materialien bestehen können.
a)
Rm1
Φ
Schenkel
links
17.16 Übung: Maximaler Strom für eine Spule mit
Eisenkern
Rm2
Schenkel
oben
Bild 9.26:
Φ
b)
A2
n
B1
l1
A1
c)
d)
Es soll der Strom Imax bestimmt werden, für den eine maximale Induktion Bmax = 1,2T
nicht überschritten wird.
Die Werte der Spule seien: n = 2000, l1 = 2cm, l2 = 4cm, A1 = 1cm2, A2 = 3cm2,
μr = 12.500. Hinweis: Setzen Sie die Zahlenwerte erst im Aufgabenteil e) ein.
Rm2
Schenkel
unten
Die magnetischen Widerstände für den linken und rechten Schenkel sowie für den
oberen und unteren Schenkel sind gleich, da alle geometrischen Daten und das
Material gleich sind. Man erhält für die Widerstände
l1
,
μ 0μrA 1
l2
.
μ 0μ rA 2
nI
.
2R m1 + 2R m2
(9.58)
(9.59)
Da der Fluss in allen Schenkeln identisch ist, folgt für die Induktionen
B1 = Φ ,
A1
e)
R m2 =
Der Fluss folgt aus der Summe der Widerstände und der Durchflutung
Φ=
l2
Spule mit Eisenkern
Schenkel
rechts
Schaltung mit magnetischen Widerständen
R m1 =
B2
Bild 9.25:
Rm1
Θ = nI
Aus fertigungstechnischen Gründen werden Spulen häufig auf Kunststoffkörper gewickelt,
die dann auf einen Eisenkern gesteckt werden. Den Aufbau zeigt Bild 9.25.
I
Hochschule Bremerhaven --- IAE
B2 = Φ .
A2
(9.60)
Da A1 kleiner als A2 ist, wird folglich die Induktion B1 größer als B2.
Der Zusammenhang zwischen B1 und dem Strom I folgt durch Einsetzen der
bisherigen Ergebnisse in (9.60)
μ 0μ rA 2nI
B1 = 1
.
2 A 1l 2 + A 2l 1
(9.61)
104
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Auflösen nach von (9.61) nach dem Strom liefert
I max = 2
A 1l 2 + A 2l 1
B max .
μ 0μ rA 2n
(9.62)
nI
R mE + R mL
(9.66)
sowie die Induktion im Luftspalt (mit μr = 1)
(9.63)
= 2.546mA .
(9.65)
Daraus folgen der Fluss
Φ=
10 −4m 2 0.04m + 3 ⋅ 10 −4m 2 0.02m
1.2 Vs2
Vs
m
1.25667 ⋅ 10 −6 Am
12.500 3 ⋅ 10 −4m 2 2000
nI
.
B=Φ= 1
A R mE + R mL
A
(9.67)
Auflösen nach dem Strom führt auf
17.17 Übung: Induktion im Luftspalt
I=
Häufig möchte man eine definierte Induktion in einem Luftspalt erzeugen. Eine typische
Anordnung zeigt Bild 9.27.
A
BA R mE + R mL
n
bzw. mit (9.64) bis (9.67)
I=B
l E + μ rδ
μ 0μrn .
(9.69)
115 ⋅ 10 −3m + 12500 5 ⋅ 10 −3m
I = 1.2 Vs2
Vs
m 1.25667 ⋅ 10 −6 Am
12500 2000
I
δ
= 2.392 A .
n
(9.68)
Mit den Zahlenwerten der Aufgabenstellung erhält man
Φ
l
Hochschule Bremerhaven --- IAE
l E = 4l − δ .
Mit den Zahlenwerten aus der Aufgabenstellung erhält man
I max = 2
105
Elektrotechnik 1
B
(9.70)
Anmerkung: Man rechnet in der Praxis gerne mit der Näherung μr → ∞. Die
Formel (9.69) vereinfacht sich dann zu
I = B μδn .
0
B
Mit den Zahlenwerten ergibt sich
l
Bild 9.27:
5 ⋅ 10 −3m
= 2.387A .
I = 1.2 Va2
Vs
m 1.25667 ⋅ 10−6 Am
2000
Spule mit Eisenkern und Luftspalt der Länge δ
Die Werte der Spule seien: n = 2000, l = 3cm, A = 2cm2, μr = 12.500, δ = 5mm.
Auch hier soll die Induktion im Luftspalt 1,2T betragen.
a)
Berechnen Sie den Strom I für die Induktion B = 1,2T
Lösung:
a)
Der Kreis besteht aus zwei magnetischen Widerständen: ein Widerstand für den
Weg im Eisen; ein Widerstand für den Luftspalt
R mE =
lE
,
μ 0μrA
R mL = δ
μ 0A
Die “Eisenlänge” lE ist dabei
(9.71)
(9.64)
(9.72)
Die Näherung ist offensichtlich zulässig. Weiterhin ist anzumerken, dass sich die
Weglängen im Eisen und in der Luft nicht exakt bestimmen lassen, da sie ja nur einen
Mittelwert der Längen vieler Feldlinien darstellen.
17.18 Übung: Gekoppelte Spule (Transformator)
Transformatoren sind wichtige Bauelemente für alle Bereiche der Elektrotechnik. Ein
Transformator kann Ströme und Spannungen nach Bedarf vergrößern oder verkleinern
(transformieren). Das Prinzip erfordert Kenntnisse aus der Wechselstromlehre und wird
erst im folgenden Abschnitt erläutert. Der magnetische Kreis kann jedoch jetzt schon
analysiert werden. Den Aufbau zeigt das Bild 9.28.
106
Elektrotechnik 1
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A
Φ1
R m1 =
Φ2
I
l
n1
I2
δ
Φ3
107
Elektrotechnik 1
n2
B
3l ,
μ 0μrA
R m2 = R m1 =
Hochschule Bremerhaven --- IAE
3l ,
μ 0μ rA
R m3 = l − δ + δ .
μ 0μrA μ 0A
c)
(9.73)
Anwendung des Überlagerungssatzes. Zunächst wird Θ2 null gesetzt.
Φ 31 =
R m2
Θ .
R m1Rm2 + R m1R m3 + R m2R m3 1
(9.74)
Entsprechend folgt für Θ1 = 0
Φ 32 =
l
R m1
Θ .
R m1Rm2 + R m1R m3 + R m2R m3 2
(9.75)
Die Summe (Überlagerung) ergibt
Bild 9.28:
Beispiel für den Aufbau eines Transformators
Die Werte des Transformators seien:
μr = 12.500, δ = 1mm.
n1 = 2000,
n2 = 500,
l = 3cm,
A = 2cm2,
a)
Zeichnen Sie ein magnetisches Ersatzschaltbild.
b)
Wie groß sind die magnetischen Widerstände?
b)
Berechnen Sie den Fluss Φ3 (Hinweis: Überlagerungssatz).
c)
Welche Ströme werden für eine Induktion B3 = 1,2T benötigt? Wählen Sie dabei
Θ1 = Θ2.
R 2m1
2R m1Θ 1
+ 2R m1R m3
=
2R m1Θ 1
R m1R m1 + 2R m3
.
(9.77)
B3 =
Φ3
2R m1Θ 1
=
.
A
A R m1R m1 + 2R m3
(9.78)
Löst man diese Gleichung nach dem Strom auf, so erhält man als Zahlenwert
(9.79)
sowie
Rm1
Schenkel
links
Θ1 = n1I
(9.76)
Mit Θ1 = Θ2. sowie Rm1 = Rm2 folgt
I 1 = 241mA .
Φ1
Schenkel
mitte
Rm2
Rm3
I 2 = 964mA .
Φ2
Schenkel
rechts
Φ 3, B 3
b)
R m2Θ 1 + R m1Θ 2
.
R m1R m2 + R m1R m3 + R m2R m3
Die Induktion folgt aus der Division durch die Fläche
Bild 9.29
Bild 9.29:
d)
Φ3 =
Lösung:
a)
Φ 3 = Φ 31 + Φ 31 =
Schaltung mit magnetischen Widerständen
Θ2 = n2I
(9.80)
17.19 Berechnung von Magnetkreisen mit
Permanentmagneten
Obwohl sich Magnetfelder über Spulen und elektrischen Strom erzeugen lassen, wäre dies
für viele Anwendungen wenig ökonomisch. Man setzt deshalb häufig Permanentmagneten
zur Erzeugung von magnetischen Feldern ein (z.B. in elektrische Maschinen,
Lautsprechern). Inzwischen existieren neue Materialien für Permanentmagnete, die eine
sehr hohe magnetische Induktion aufweisen (Samarium-Kobalt, Neodym-Eisen-Bor). Die
Verwendung dieser Stoffe ermöglicht eine erhebliche Verkleinerung von Geräten bei
gleichen Leistungen.
108
Elektrotechnik 1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Eine typische Anordnung einer Anlage mit Permanentmagneten ist in Bild 9.30 gezeigt.
109
Elektrotechnik 1
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während die Induktion B aufgrund des magnetischen Flusses in die gleiche Richtung weist
Φ = B PA P = B LA L .
δ
Folglich gilt
Fläche AL
HL
(9.85)
BL =
Polschuhe
AP
B .
AL P
(9.86)
Im Luftspalt gilt weiterhin der Zusammenhang
N
HP
B L = μ 0H L .
Fläche AP
S
Die Gleichungen (9.84), (9.86) und (9.87) liefern einen Zusammenhang zwischen Hp und
Bp . Setzt man (9.87) in (9.84) ein, so folgt
lP
BL
μ0 = − δ HP ,
Permanentmagnet
lp
Bild 9.30:
Diese magnetischen Kreise lassen sich leicht analysieren, da in den einzelnen Bereichen
(Permanentmagnet, Polschuhe, Luftspalt) das Feld als homogen angenommen werden
darf. Die Berechnungen vereinfachen dadurch erheblich.
Da in dem magnetischen Kreis kein elektrischer Strom fließt (zumindest kein äußerer
elektrischer Strom), muss der Durchflutungssatz null ergeben
l
AP
B = − P HP .
AL μ0 P
δ
Der magnetische Widerstand in den Polschuhen kann aufgrund des großen Wertes der
relativen Permeabilität μr meist vernachlässigt werden. Daraus folgt, dass die Feldstärke
HFE in den Polschuhen nahezu verschwindet.
BP = − μ0
 Hds ≈ H l + H δ = 0 .
lP
H ,
δ P
(9.90)
Diese “Geradengleichung” liefert zusammen mit der Magnetisierungskennlinie den
Arbeitspunkt des Permanentmagneten.
A l
BP = − μ0 L P HP .
AP δ
Bp [Vs/m2]
BR
BP 0
L
Arbeitspunkt
---HC
HP 0
HC
(9.83)
Daraus folgt, dass die Feldstärke im Permanentmagnet eine andere Richtung als im
Luftspalt aufweisen muss
HL = −
AL lP
H .
AP δ P
(9.82)
Die Polschuhe leiten also den magnetischen Fluss vergleichbar mit einem Leiter aus
Kupfer, der den elektrischen Strom führt. Für die verbleibenden Wegstücke muss gelten
PP
(9.89)
Auflösen nach BP führt auf
(9.81)
B
H FE = μFE ≈ 0 .
r
(9.88)
BL wiederum kann durch (9.86) ersetzt werden
Magnetischer Kreis mit Permanentmagnet
 Hds = 0 .
(9.87)
(9.84)
---BR
Bild 9.31:
Arbeitspunkt des Permanentmagneten
Hp [A/m]
110
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Natürlich ist die eigentlich interessierende Größe die Induktion im Luftspalt. Aus (9.88)
folgt
BL = − μ0
lP
H .
δ P
(9.91)
Multipliziert man diese Gleichung mit (9.86), entsteht
B 2L = − μ 0
lP
A
H PM B
δ P AL P
(9.92)
bzw.
BL =
111
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Aufgrund der Anordnung der Pole (aus ferromagnetischem Material) herrscht im Luftspalt
ein starkes, homogenes Feld. Die stromdurchlossenen Leiter (Spule) in diesem Magnetfeld
erzeugen Kräfte, die die Membrane nach oben bzw. unten auslenken. Die Membrane ist
an der Sicke federnd mit dem Chassis verbunden. Die genaue Analyse der Eigenschaften
eines Lautsprechers erfordert fundierte Kenntnisse aus der Mechanik und der
Elektrotechnik. Man nennt Konstruktionen dieser Art elektromechanische Systeme. In
neuerer Zeit befasst sich das Fachgebiet Mechatronik mit Systemen, deren Funktion erst
durch das Zusammenwirken von elektrischen, elektronischen und mechanischen
Komponenten gegeben ist.
Mechatronik = Mechanik + Elektrotechnik + ggf. Informatik.

l A
− μ 0 P P H P BP .
δ AL
(9.93)
Die Induktion im Luftspalt wird somit von den Abmessungen des Permanentmagneten und
dem Arbeitspunkt bestimmt. Die Luftspalt-Induktion wird maximal, wenn des Betrag des
Produktes HP mit BP maximal wird. Der Arbeitspunkt sollte deshalb etwa wie in Bild 9.31
gewählt werden.
17.20 Lautsprecher
17.21 Hall-Effekt
Zur Messung von Magnetfeldern (genauer der magnetischen Induktion B) nutzt man den
Hall-Effekt. In einem Magnetfeld werden Kräfte auf bewegte Ladungsträger ausgeübt.
Bringt man einen Streifen leitfähiges Material (stromdurchlossen) in ein Magnetfeld, so
werden die Elektronen aufgrund des Magnetfelds senkrecht zur Bewegungsrichtung und
senkrecht zum magnetischen Feld abgelenkt (Lorentz-Kraft).
Lautsprecher sind elektroakustische Wandler (Umwandlung von elektrischer Energie in
Schallenergie). Die Wirkungsweise beruht auf dem Prinzip der Kraftwirkung
stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld. Das Magnetfeld wird durch einen
Permanentmagneten erzeugt. Einen typischen Aufbau zeigt das Bild 9.32.
B
I
v
Elektron
Elektronenmangel
I
UH
F
Sicke
Membane
Elektronenüberschuss
Luftspalt
Bild 9.33:
Anschluss
Chassis
Spule
Ringmagnet
N
S
N
S
Pole
Bild 9.32:
Schnitt durch einen Lautsprecher
Aluträger
Hall-Sensor
Die Elektronen werden im Magnetfeld nach unten abgelenkt. Es entsteht somit ein
Elektronenmangel an dem oberen Anschluss und ein Elektronenüberschuss am unteren
Anschluss. Dies bewirkt den Aufbau eines elektrischen Feldes, das als Potenzialdifferenz
(Spannung) zwischen dem oberen und unteren Anschluss nachweisbar ist.
Diese Spannung nennt man Hall-Spannung UH . Sie ist der Stärke dem magnetischen Feld
und dem Strom proportional
U H ~ BI .
(9.94)
Üblicherweise betreibt man den Hall-Sensor mit konstantem Strom. Die Hall-Spannung
ist dann nur noch proportional zur Induktion B.
Elektrotechnik 1
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18
Messung der Induktion B: Betrieb des Hall-Sensors mit konstantem Strom I.
Man stellt weiterhin fest, dass die Hall-Spannung umgekehrt proportional zur Dicke d des
Hall-Sensors ist (Dimension des Hall-Sensors in Richtung des Magnetfeldes)
U H ~ BI .
d
Elektrotechnik 1
113
Literatur
[1]
R. Pregla: Grundlagen der Elektrotechnik.
Hüthig, 2001
[2]
F. Möller et. al.: Grundlagen der Eletrotechnik.
Teubner, 1996
[3]
H. Grave: Grundlagen der Elektrotechnik I.
Akad. Verlagsgesellschaft, 1970
(9.95)
Mit der materialabhängigen Hall-Konstanten RH entsteht die Gleichung
U H = R H BI .
d
(9.96)
Besonders geeignet sind Halbleiter, da deren Hall-Konstante deutlich größer als bei
Metallen ist. Im Interesse einer möglichst großen Hall-Spannung verwendet man äußerst
dünne Halbleiterschichten, die im Bereich von 0,1mm bis ca. 5μm liegen. Schichtdicken im
Mikrometerbereich erzeugt man durch Bedampfen von Glas mit einem Halbleitermaterial.
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