Blatt 4

Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe2014
Prof. Dr. Dieter Lüst
Theresienstr. 37, Zi. 425
Dr. Reinke Sven Isermann
[email protected]
4. Drehimpulserhaltung und Streuung
Übung 4.1: Noch einmal der Kegel. . .
Ein Teilchen bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerkraft auf der Innenseite eines Kegelmantels r = z. Die Koordinaten r, θ und z sind zylindrische Polarkoordinaten. Die z-Achse
zeigt senkrecht nach oben. Das Teilchen startet auf der Höhe z = a mit der Geschwindigkeit v
in Richtung θ.
a) Beweisen Sie unter Nutzung der Drehimpuls- und Energieerhaltung, dass
ż 2 +
1
a2 v 2
+ gz = v 2 + ga
2
2z
2
gilt.
b) Zeigen Sie, dass das Teilchen sich zu allen Zeiten zwischen den beiden Höhen hmin und
hmax befindet (hmin ≤ h ≤ hmax ). Finden Sie diese beiden Höhen.
Lösung von Übung 4.1
a) Der Koordinatenursprung wird so gewählt, dass er bei z = a liegt. Wir verwenden folgende
Energie und die z-Komponente des Drehimpulses:
1
Energie: E =
m|v(t)|2 + mgz
2
Drehimpuls: J = mr(rθ̇) = mr2 θ̇ = mz 2 θ̇
Außerdem drücken wir die Geschwindigkeit in zylindrischen Polarkoordinaten aus.
v(t) = ṙ = ṙer + rėr + żez = ṙer + rθ̇eθ + żez
|v(t)|2 = ṙ2 + r2 θ̇2 + ż 2
Die Energie mit der das Teilchen startet beträgt 21 mv 2 + mga . Der Energieerhaltungssatz
führt zu
1
1
1
m|v(t)|2 + mgz = m(ṙ2 + r2 θ̇2 + ż 2 ) + mgz = mv 2 + mga
2
2
2
Das Teilchen bewegt sich auf dem Kegelmantel, somit gilt ż = ṙ und wir erhalten
1
1
ż 2 + r2 θ̇2 + gz = v 2 + ga .
(1)
2
2
Der Drehimpuls mit dem das Teilchen startet beträgt mav. Die Drehimpulserhaltung führt
zu
av
mr2 θ̇ = mav ⇒ θ̇ = 2 .
r
Nun kombinieren wir dieses Ergebnis mit der Gleichung (1) und erhalten
1 av
1 2
ż 2 + r2 ( 2 )2 + gz =
v + ga
2
r
2
a2 v 2
1 2
⇒ ż 2 +
+
gz
=
v + ga .
(2)
2z 2
2
1
b) Da die Höhe eine rein reelle Größe ist, muss gelten
ż 2 ≥ 0 ⇒
a2 v 2
1
+ gz ≤ v 2 + ga .
2
2z
2
Diese Gleichung ist genau dann gelöst, wenn die z in dem Intervall [zmin , zmax ] befindet.
Die Intervallgrenzen zmin und zmax sind a und eine Lösung der Gleichung
a2 v 2
1 2
v + ga
+ gz =
2
2z
2
1 2 2
1 2
3
⇒
a v + gz =
v + ga z 2
2
2
1 2 2
1
⇒ gz 2 (z − a) =
v (z − a2 ) = v 2 (z + a)(z − a)
2
2
So ergibt sich als Lösung, entweder z = a oder
gz 2 =
⇒ z±
1 2
v (z + a)
2
q
1 v2
±
=
4 g
1 4
v
4
+ 2v 2 ag
2g
d
(a2 v 2 /2z 2 + gz) >
dz
d
(a2 v 2 /2z 2 + gz)
und dz
0 wenn v 2 /a < g an z = a
< 0 wenn v 2 /a > g an z = a

 z ∈ [z+ , a] wenn v 2 /a < g
So hat Gleichung (2) eine Lösung, wenn z ∈ [a, z+ ] wenn v 2 /a > g

z ∈ [a, a] wenn v 2 /a = g
z− immer kleiner 0, d.h. hier unphysikalisch (wäre Teilchen ”in der Erde”).
Übung 4.2: Streuung in einer zentralen Kraft
Ein Teilchen mit der Masse m bewegt sich aus der Unendlichkeit mit der Geschwindigkeit v0
auf ein festes Objekt im Ursprung zu. Durch dieses Objekt wirkt auf das Teilchen eine Kraft
F = k/r2 er . Wenn das Teilchen durch die Kraft F nicht beeinflusst werden würde, würde es
das Objekt im Ursprung mit einem Abstand b passieren.
a) Wie große ist der geringste Abstand zum Kraftzentrum den das Teilchen auf seiner Flugbahn erreicht?
b) Welche Winkelablenkung Θ tritt auf?
Lösung von Übung 4.2
2
vf
F
2θ
v0
θ
b
�
a)
Anfangsenergie:
1 2
mv
2 0
Energie bei geringstem Abstand zum Zentrum
1
k
m|v|2 +
2
R
Wir bezeichnen den geringsten Abstand zum Zentrum den das Teilchen auf seiner Flugbahn
erreicht mit R. Wenn das Teilchen diesen Abstand einnimmt gilt ṙ = 0 ⇒ |v| = Rθ̇.
Aus der Drehimpulserhaltung und dem Anfangsdrehimpuls erhalten wir
J = mv0 b = m|v|R ⇒ |v| =
v0 b
.
R
Nutzen wir nun auch noch die Energieerhaltung so ergibt sich
1 2
k
1 v 2 b2
mv0 =
+ m 02
2
R 2 R
2kR
⇒ 0 = R2 −
− b2 = 0
mv02
s
2
k
k
⇒ R =
+
+ b2 .
mv02
mv02
b) Wir definieren in weiser Voraussicht Θ = 2θ und ∆v = vf − vi , wobei vi die Anfangsund vf die Endgeschwindigkeit ist. Die durch das Objekt im Zentrum hervorgerufene
Impulsänderung beträgt
Z ∞
m∆v =
Fdt .
−∞
Es herrscht Energieerhaltung und somit gilt |vf | = |vi | = v0 . Unter Nutzung dieser
Identität können wir die Gleichung
Z ∞
mvi · ∆v =
vi · Fdt
−∞
Z ∞
2
⇒ m(vf · vi − v0 ) = −
F cosθ0 v0 dt
Z−∞
∞
⇒ m(v02 cos2θ − v02 ) = −
F cosθ0 v0 dt
−∞
π−2θ
Z
⇒ mv0 (cos2θ − 1) = −
0
3
F cosθ0
dt 0
dθ
dθ0
ableiten. Die vom Zentrum ausgeübte Kraft beträgt F = rk2 und für den Drehimpuls gilt
J = mr2 θ̇0 . Setzen wir diese beiden Größen ein, so ergibt sich das Ergebnis
Z π−2θ
k cosθ0 0
mv0 (cos2θ − 1) = −
dθ
r2 θ̇0
0
Z π−2θ
mk
⇒ mv0 (cos2θ − 1) = −
cosθ0 dθ0
J
0
mk
sin(π − 2θ)
⇒ mv0 (cos2θ − 1) = −
J
Jv0
⇒ −
(cos2θ − 1) = sin2θ
k
Jv0
(−2sin2 θ) = 2sinθcosθ
⇒ −
k
Jv0
mv02 b
⇒ cotθ =
=
.
k
k
Übung 4.3: Streuung an der Kugeloberfläche
2
mv1
Man betrachte ein abstoßendes Kraftfeld F =
δ(r − a)er , wobei a ein fester Radius
2
ist und v1 als konstant angenommen wird. Ein Teilchen der Masse m bewegt sich mit der
Geschwindigkeit v0 auf das Kraftfeld zu. Wenn es nicht abgelenkt werden würde, würde es die
Mitte des Kraftfeldes im Abstand s passieren.
v0
m
a
s
r
a) Berechnen Sie die potentielle Energie des Teilchens.
b) Zeigen Sie, dass das Teilchen die Kugeloberfläche nicht durchdringt wenn v0 < v1 gilt.
Zeigen Sie außerdem, dass in diesem Fall das Teilchen nach dem Reflexionsgesetz (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) von der Kugeloberfläche abprallt.
c) Skizzieren Sie den Weg des Teilchens für v0 > v1 und s = a2 .
Lösung von Übung 4.3
a) Zunächst berechnen wir das Potenzial
Z
Z r
1 2 ∞
0
0
V (r) = −
F(r ) · dr = mv1
δ(r0 − a)dr0
2
r
1−∞ 2
mv
wenn
r
<
a
1
2
=
.
0
wenn r > a
4
b) Nun verwenden wir die Energieerhaltung
1 2 1 02 1 2
mv = mv + mv1 ,
2 0 2
2
(3)
wobei v 0 die Geschwindigkeit des Teilchens im inneren der Kugel r ≤ a bezeichnet. Damit
das Teilchen überhaupt in die Kugel eindringen kann, muss v 0 real sein, also muss die
Bedingung v0 > v1 erfüllt sein. Das Reflexionsgesetz Einfallswinkel = Ausfallswinkel ist
eine Folge der Symmetrie des Potentials.
c) Für v0 > v1 und s = a2 , wird das Teilchen mit einem Winkel von θ0 = arcsin( a/2
) = 30o
a
auf die Kugel treffen und in diese eindringen.
v0
30o
v�
30o
v0
θ
θ
a
Der Impuls bleibt an der Stelle r = a in der Richtung tangential zur Kugel erhalten.
Zusammen mit (3) führt das zu
v0 sin30o = v 0 sinθ
⇒ θ = arcsin
v0
!
p
2 v02 − v12
Da V (r) innerhalb der Kugel konstant ist, bewegt sich das Teilchen auf einer geraden Linie,
bis es wieder die Kugelhülle berührt. Der Winkel θ1 , unter dem das Teilchen die Kugel
verlässt, ergibt sich auf die gleiche Weise wie der Eintrittswinkel (siehe Skizze).
5