Beweis der Strahlensätze

2006/2007
Mathematik Geometrie 9
Lehrtext
Beweis der Strahlensätze
Beweis des ersten Strahlensatzes
In diesem Abschnitt werden die zwei zentralen Sätze dieses Kapitels bewiesen. Wir starten mit
dem ersten Strahlensatz, der zur Vollständigkeit an dieser Stelle wiederholt wird:
Wird eine Geradenkreuzung von zwei parallen Geraden geschnitten, die nicht durch den Schnittpunkt der Geradden verlaufen, dann
gilt: Zwei Strecken auf der einen Kreuzungsgeraden verhalten sich
genauso wie die entsprechenden Strecken auf der anderen Kreuzungsgerade.
Mit den Bezeichnungen der folgenden Figur müssen wir also zeigen:
ZA
ZB
=
ZA0
ZB 0
Die Beweisführung gelingt über den Flächensatz 3, der die Aussage zum Inhalt hat, dass sich bei
Dreiecken, die einen gemeinsamen Winkel haben die Flächen genauso verhalten wie die Produkte
der Seiten, die den gemeinsamen Winkel bilden. Mit den Bezeichnungen gilt einerseits:
ZA · AB
AZAB
=
AZA0 B 0
ZA0 · A0 B 0
Diese Gleichung begründet sich auf die Tatsache, dass die beiden Dreiecke den Winkel β gemeinsam haben. Dieses Flächenverhältnis kann man aber noch auf eine andere Art und Weise
ausdrücken, weil die beiden Dreiecke ja auch in dem Winkel µ übereinstimmen:
AZAB
ZB · AB
=
AZA0 B 0
ZB 0 · A0 B 0
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Die beiden Terme auf der rechten Seite müssen übereinstimmen, da ja das auf der linken Seite
stehende Flächenverhältnis identisch ist, also gesamt:
ZA · AB
ZB · AB
=
0
0
0
ZA · A B
ZB 0 · A0 B 0
Man kann nun noch kürzen und erhält als Endergebnis:
ZB
ZA
=
ZB 0
ZA0
Damit ist der erste Strahlensatz nachgewiesen.
Beweis des zweiten Strahlensatzes
Auch hier wird nochmals der zweite Strahlensatz wiederholt:
Wird eine Geradenkreuzung von parallelen Geraden geschnitten,
die nicht durch den Schnittpunkt der Geraden verlaufen, gilt: Die
zwei parallelen Strecken verhalten sich wie die Entfernung entsprechender Begrenzungspunkte dieser parallelen Strecken von dem
Kreuzungspunkt.
Mit den Bezeichnung in der nachstehenden Figur ist demnach folgendes zu zeigen:
ZA
AB
= 0 0
0
ZA
AB
Der Beweis wird in analoger Weise wie der Beweis für den ersten Strahlensatz über das Flächenverhältnisse von Dreiecken geführt, die in einem Winkel einstimmen: ∆ZAB und ∆ZA0 B 0
stimmen zum einen
• in dem Winkel µ überein
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• in den Winkel β, da wegen der Parallelenaxiome richtig ist: β = β 0
Mit dem Satz über die Flächenverhältnisse kann man daher formulieren:
AZAB
ZA · ZB
=
AZA0 B 0
ZA0 · ZB 0
Andererseits gilt:
ZB · AB
AZAB
=
AZA0 B 0
ZB 0 · A0 B 0
Diese beiden Terme müssen sich nun entsprechen, woraus folgt:
ZA · ZB
ZB · AB
=
ZA0 · ZB 0
ZB 0 · A0 B 0
Kürzt man die Brüche noch auf beiden Seiten, dann erhält man:
ZA
AB
=
ZA0
A0 B 0
Damit ist die Behauptung gezeigt und der zweite Teil des Strahlensatzes nachgewiesen.
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