Inhaltsverzeichnis - Universität Zürich

Physik für Studierende der Biologie und Chemie
Universität Zürich, HS 2009, U. Straumann
Version 21. Oktober 2009
Inhaltsverzeichnis
3.10 Energie und Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1
3.10.1 Arbeit und kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2
3.10.2 Arbeit und potentielle Energie (Lageenergie) – der Energiesatz der Mechanik 3.8
3.10.3 Energieerhaltung im Gravitationsfeld und im elektrischen Feld . . . . . . 3.10
3.10.4 Potentiale und Gradientenfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11
3.10.5 Anwendungen des Energiesatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12
3.10
Energie und Energieerhaltung
Wir führen in diesem Abschnitt zwei neue Begriffe ein, Arbeit und Energie. Energie treffen
wir in zwei Formen, kinetische und potentielle Energie, an. Beide Begriffe werden wir zunächst
definieren und dann zeigen, dass wir über sie Erkenntnisse durch eine Neuformulierung der
Newton’schen Prinzipien gewinnen können. In letzteren war der zentrale Begriff die Kraft. Aus
der Kenntnis der Kraft in Funktion der Zeit F~ (t), lässt sich durch zweifache Integration der
Bewegungsgleichung die Bewegung vollständig bestimmen: F~ (t) → ~r(t). Auch aus der Impulsänderung, wie zum Beispiel bei den Stössen, lässt sich die Bewegung vollständig bestimmen,
ohne dass man von der Kraft genaue Kenntnis haben musste. Hier war der Impuls die zentrale
Grösse: d~
p/dt → ~r(t). Besonders wenn die Kräfte nicht in Funktion der Zeit, sondern in Funktion des Ortes bekannt sind, bietet sich eine neue Methode an, der Arbeit-Energie-Formalismus:
Arbeit ist Energieumwandlung.
Die Betrachtung von Arbeit und Energie hat aber auch noch einen tieferen Hintergrund, der Konsequenzen ausserhalb der reinen Mechanik hat. Arbeits- und Energiebetrachtungen führen zum
allgemeinen Prinzip der Energieerhaltung. Dieses Prinzip ist z. B. die Grundlage der Wärmelehre
oder Thermodynamik, wo Wärme, elektrische und chemische Energie als alternative Energieformen erkannt werden, die bei der Energieerhaltung berücksichtigt werden müssen.
Das Konzept der Energieerhaltung ist besonders wichtig für biologische Systeme, wo in der Regel
Energie zwischen den Teilen eines Systems transferiert wird, z. B.
3.1
oder bei der Organfunktion, wo Energie
ständig von einer Form in eine andere umim Austausch mit der Umwelt
gewandelt wird, die Summe jedoch konstant
bleibt.
6elektrisch
P
E thermisch
thermisch
Lebewesen
Umwelt
chemisch
mechanisch
?mechanisch
Energierhaltung gilt auch in jenen Bereichen der Mechanik, die nicht mehr mit den Newton’schen
Methoden behandelt werden können, z. B. für mikroskopische Systeme wie Atome, Moleküle
und Kerne, wo wir die Quantenmechanik anwenden müssen, oder für Systeme mit sehr hohen
Geschwindigkeiten, wo die Einstein’sche spezielle Relativitätstheorie angewendet werden muss.
Energieerhaltung ist konsistent mit der Newton’schen Mechanik, gilt aber als allgemeineres
Prinzip auch dort, wo diese versagt. Es gibt keine Evidenz irgendwelcher Art dafür, dass
Energieerhaltung in irgendeinem System nicht erfüllt ist.
3.10.1
Arbeit und kinetische Energie
Wirkt auf einen Massenpunkt eine Kraft F~ , die eine Verschiebung um d~r entlang seiner Bahn
bewirkt, so definieren wir als Arbeit, welche die Kraft leistet
dW = F~ · d~r = F dr cos φ
1
Der Ausdruck für die Arbeit dW enthält das Skalarprodukt des Vektors F~ mit dem Vektor der Verschiebung d~r (Skalarprodukt, siehe Storrer, op. cit., p. 14).
Es enthält neben den Beträgen F , dr noch cos φ. φ ist
der Winkel zwischen den beiden Vektoren.
Bahn
φ dr
r
F
0
φ=
π
⇒ dW = 0
2
π
< φ ≤ π ⇒ dW < 0
2
3.2
0<φ<
π
⇒ dW > 0
2
2
Im linken Bild ist dieser Sachverhalt illustriert. Beim
Heben der Katze leisten wir positive Arbeit, beim
Herumtragen keine, beim Senken negative Arbeit im
Sinne der obigen Definition.
Wir leisten keine Arbeit, wenn
i) der Körper ruht (d~r = 0)
ii) keine Kraft wirkt (F~ = 0), d. h. der Körper sich
mit konstanter Geschwindigkeit bewegt oder ruht.
iii) d~r senkrecht auf F~ steht, wie oben erwähnt.
Beispiele zu letzterem Punkt sind die Lorentz-Kraft,
h
~
F~ = q ~v × B
i
d~r ~
F~ ⊥~v =
F ⊥d~r
dt
~ bei
die Normalkraft N
ruhender Unterlage,
~
N
6
~v -
und die Fadenkraft beim mathematischen Pendel.
Die total geleistete Arbeit erhalten wir durch Integration von dW längs der Bahn
Z 2
W1→2 =
F~ · d~r
1
Wir nennen dies das Linienintegral der Kraft F~ (auch Kurvenintegral, siehe Storrer, op. cit.
Kap. 14, p. 184). Die Einheit der Arbeit ist Joule: [W ] = Joule = J = Nm . Wenn die Kraft
konstant ist und parallel zur Verschiebung des Massenpunkts, dann gewinnen wir als Spezialfall
das Sekundarschulgesetz
Arbeit = Kraft × Weg:
-d
d~r1
F~
Z 2
-x
-
W =
2
1
F~ · d~r = Fx
Z 2
dx = F · d
1
Die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit nennen wir die Leistung
P =
dW
d~r
= F~ ·
= F~ · ~v
dt
dt
Die Einheit ist [P ] = 1 Watt = 1 Joule s−1 (1 PS = 735.5 W). Somit kann man für die Einheit
der Energie auch Wattsekunden = Ws verwenden.
Als nächstes definieren wir die kinetische Energie T eines Teilchens der Masse m, das sich mit
der Geschwindigkeit v bewegt:
m
p2
T = v2 =
2
2m
3.3
Bezeichnen wir die Änderung der kinetischen Energie eines Massenpunkt mit dT so gilt
dT = dW
Die Änderung der kinetischen Energie eines Massenpunkts ist gleich der geleisteten Arbeit.
Bevor wir diese Beziehung durch Umformen des Newton’schen Aktionsprinzips beweisen, wollen
wir sie plausibel machen an drei sportlichen Betätigungen, Kugelstossen, Bogenschiessen und
Heben einer Last (Abbildung 3.1). In allen drei Fällen, wir haben jeweils Kraft und Verschiebung
parallel zueinander gewählt, ist das Resultat der Arbeitsleistung eine Geschwindigkeit und damit
eine kinetische Energie des vorher ruhenden Körpers.
Während beim Kugelstossens die Kraft des Sportlers die Kugel direkt beschleunigt, der Zusammenhang zwischen Arbeit und kinetischer Energie direkt beobachtbar ist, leistet beim Bogenschützen die Federkraft die Arbeit am Pfeil, bzw. beim Heben die Gewichtskraft die Arbeit,
wenn die Last beim Fallen kinetische Energie gewinnt. In den beiden letzteren Fällen kann
die Umsetzung der Arbeit in kinetische Energie noch lange nachdem der Sportler den Bogen
spannte bzw. die Last hob erfolgen. Mit seiner ursprünglichen Arbeit erteilte er dem Bogen die
Möglichkeit kinetische Energie zu erzeugen. Diese Möglichkeit, bzw. präziser die entsprechende
gespeicherte Energie nennt man Lageenergie oder potentielle Energie. Die kinetische Energie an
Ende ist aber immer noch gleich der ursprünglich geleisteten Arbeit. Arbeit ist Energieumwandlung, dies sehen wir an diesen Beispielen direkt.
Bewegt sich eine Masse m unter der Wirkung irgendeiner Kraft F~ , so gilt das Newton’sche
Aktionsprinzip
d~v
m
= F~
dt
Die gesamte von der Kraft auf einem Weg zwischen zwei Punkten 1 und 2 an der Masse geleistete
Arbeit ist gemäss Definition
Z 2
F~ · d~r
W1→2 =
1
Das Newton’sche Prinzip in diese Definition eingesetzt ergibt:
Z 2
W1→2 =
m
1
d~v
· d~r
dt
Jetzt verwenden wir aus der Definition der Geschwindigkeit d~r = ~v · dt und setzen ein:
Z 2
W1→2 =
m
1
d~v
· ~v dt
dt
dt darf man kürzen, falls sich die Ableitung brav verhält und dt nicht null ist. Dann kann man
vdv integrieren, und es wird:
Z 2
W1→2 = m
1
~v ·d~v = m
Z 2
(vx dvx +vy dvy +vz dvz ) =
1
3.4
2
m 2 2 m 2
m 2
(v − v12 )
vx + vy2 + vz2 =
v =
1
1
2
2
2 2
m
m
F dr
v
Arbeit: dW
kinetische Energie: dT
m
m
m
m F dr
v
F dr
Arbeit: dW
Lageenergie: dU
Arbeit: dW
kinetische Energie: dT
m
F dr
v
m
m
m
F dr
Arbeit: dW
Lageenergie: dU
Arbeit: dW
kinetische Energie: dT
Abbildung 3.1: Die Umwandlung von Arbeit in kinetische Energie am Beispiel des Kugelstossens,
des Bogenschiessens und des Hebens einer Last.
3.5
Im letzten Ausruck erkennen wir die Definition der kinetischen Energie T wieder. Zusammengefasst ergibt sich also
geleistete Arbeit =
Z 2
W1→2 ≡
1
Differenz der kinetischen Energien
m
m
F~ · d~r = v22 − v12 ≡ T2 − T1
2
2
In differentieller statt integraler Form geschrieben ergibt sich das oben schon postulierte Gesetz
dW = dT .
Mit Hilfe einer Energiebetrachtung lassen sich oft mechanische Probleme einfacher lösen als mit
der vektoriellen Bewegungsgleichung. Da Arbeit und kinetische Energie skalare Grössen sind,
also keine Richtung enthalten, muss dabei die Form der Bahnkurve als bekannt vorausgesetzt
werden. In den folgenden Beispielen ist die Bahn geradlinig.
Beispiel – Gleiten mit und ohne Reibung:
N
(i) Reibungsloses Gleiten auf horizontaler Ebene
v
~ +N
~ =0
F~ = G
dW = F~ · d~r = dT = 0
⇒ T = const.
v = const.
G
(ii) Reibungsloses Gleiten auf schiefer Ebene (R = 0, v0 =
0, Starthöhe h):
~ +N
~ 6= 0
F~ = G
x
N
z
L
~ · d~r = G sin αdr = dT
dW = F~ · d~r = G
T2 − T1 = GL sin α = mgh
v0
R
α
h
(iii) Länge des Bremswegs auf schiefer Ebene (R = µG N ,
~v0 6= 0)
G
T2 − T1 = −
m 2
v =
2 0
Z
~G + G
~ +N
~ ) · d~r
(R
~ · d~r = 0, G
~ · d~r = mg sin αdr, R
~ · d~r = Rdr = µG N dr = µG mg cos α
N
Z
m
− v02 = mg(sin α − µG cos α)dr = −mgL(sin α − µG cos α)
2
L=
v02
2g(− sin α + µG cos α)
Der Bremsweg nimmt quadratisch mit der Geschwindigkeit zu. Ist µG < tan α, so ist kein
Bremsen mehr möglich.
3.6
Beispiel – Seilzug zum Heben einer Last: Die Hand des Arbeiters und die Last bewegen
sich um die gleiche Distanz (siehe Abbildung 3.2). Die Hand zieht am Seil, das Seil zieht an
~ = d. Die Arbeit ist also W = mgd, Kraft × Weg, ist das
der Last, die Last hebt sich um |d|
wirklich so klar ? Wenn wir das 2. Newton’sche Prinzip zunächst getrennt auf die Last und das
Seil anwenden und ferner annehmen, dass die Last mit konstanter Geschwindigkeit angehoben
wird, dann erhalten wir:
~ + F~SL = 0
G
F~LS + F~HS = 0
Last
Seil
Addieren wir die beiden Gleichungen und betrachten das Gesamtsystem, so ergibt sich
~ + F~HS = 0
G
Die Kraft der Hand auf das Seil ist betragsmässig gleich dem Gewicht
der Last. Die Arbeit der Hand wird damit
Z 2
FLS
W =
F~HS d~r = F~HS d~0 = |F~HS |d0 = mgd
1
FSL
denn d0 = d,
FSH
d
|F~HS | = G = mg
Für die Arbeit der Seilkraft an der Last erhalten wir das gleiche
d'
G
d~0 k F~HS
W = F~SL d~ = |F~SL |d = mgd
Für die Arbeit des Gewichts an der Last erhalten wir hingegen
FHS
~ d~ = −|G|d
~ = −mgd
W =G
Abbildung 3.2: Seilzug.
0
Beispiel – Endgeschwindigkeit beim freien Fall:
Z z=0
Z 0
Z
dW =
Gdz =
z=h
h
r
~
G
1
mgdz = −mgh = m(v02 − vh2 ) ⇒ vh2 = 2gh
2
?
?
z=h
Beispiel – Arbeitsleistung einer Feder:
Z x2
W =
F
Z x2
F (x)dx =
x1
(−kx)dx
x1
k
= − (x22 − x21 )
2
k
⇒ W = − x2
2
Dies ist die Arbeitsleistung der Feder. Die Arbeit, die wir beim
Spannen oder Zusammendrücken leisten, ist das Negative dieser
Grösse.
Mit x2 ≡ x, x1 = 0
3.7
x1
x2
3.10.2
Arbeit und potentielle Energie (Lageenergie) – der Energiesatz der Mechanik
Bisher haben wir die kinetische Energie als eine mit dem Bewegungszustand des Körpers assoziierte Grösse kennengelernt. Eine von einer Kraft an einem Körper geleistete Arbeit führte zu
einer Änderung der kinetischen Energie gleicher Grösse. In diesem Abschnitt führen wir nun die
in Abbildung 3.1 angedeutete, mit der Lage eines oder mehrerer Körper verbundene potentielle
Energie ein. Am Rande, im Zusammenhang mit der Energieerhaltung werden wir auch noch den
Begriff der thermischen Energie, die mit der zufälligen Bewegung von Atomen und Molekülen
in einem Körper verbunden ist, streifen.
Wenn der Bogenschütze seinen Bogen spannt, dann macht er im Prinzip das gleiche wie wir,
wenn wir eine Feder dehnen oder zusammendrücken. Es ändern sich die relativen Positionen
der Wicklungen der Feder. Die Wicklungen widersetzen sich dieser Zustandsänderung und das
Resultat der geleisteten Arbeit ist eine Vergrösserung der elastischen potentiellen Energie der
Feder. Elastische potentielle Energie ist die mit dem Kompressionszustand einer Feder (oder
eines anderen elastisch deformierbaren Objekts) assoziierte Energie.
Wenn der Gewichtheber eine Hantel über seinen Kopf hebt, vergrössert er nicht die kinetische
Energie der Hantel, sondern er vergrössert die Distanz zwischen der Erde unter Hantel, die miteinander durch die Gravitationskraft wechselwirken. Seine Arbeit erhöht die potentielle Energie
des Systems Erde–Hantel durch Verändern der relativen Positionen von Erde und Hantel. Allgemeiner versteht man unter potentieller Energie im Gravitationsfeld die mit dem Abstand zweier
Körper, die aufeinander durch die Gravitationskraft eine anziehende Wechselwirkung ausüben,
assoziierte Energie.
Diese beiden Beispiele formulieren wir nun zunächst etwas quantitativer, bevor wir zur allgemeinen Definition übergehen. In beiden Fällen haben wir es mit einem, durch einen Freiheitsgrad
charakterisierten System zu tun. Unsere Arbeit–Energie Beziehung lautet dann (1: Anfang, 2:
Ende)
W1→2 = T2 − T1 =
Z 2
F (x)dx
1
Wir definieren als Änderung der potentiellen Energie U
U2 − U1 ≡ −W1→2 = −
Z 2
F (x)dx
1
Für die Feder bekommen wir dann mit F (x) = −kx
U2 − U1 = −
Z 2
(−kx)dx =
1
k 2
(x − x21 )
2 2
Für die gehobene Last mit F (x) = −mg gilt
U2 − U1 = −
Z 2
(−mg)dx = mg(x2 − x1 )
1
Potentielle Energie ist nur als Differenz definiert. Ein absoluter Wert ist nicht vorgegeben. Man
kann zu U eine beliebige Konstante an allen Punkten addieren oder subtrahieren, und auch über
3.8
den Ort, wo U = 0 gilt, beliebig verfügen. Wählt man für die Feder U1 = 0 für x1 = 0, so erhält
man für die potentielle Energie einer Feder (x2 ≡ x)
1
U (x) = kx2
2
Wählen wir für die zu hebende Last die Erdoberfläche als Referenzpunkt mit x1 = 0, U1 = 0, so
erhalten wir für die potentielle Energie im Gravitationsfeld in Erdnähe (x2 ≡ x)
U (x) = mgx
Allgemein definieren wir nun als Änderung der potentiellen Energie
U2 − U1 ≡ −
Z 2
F~ · d~r
1
und haben damit die Arbeit–Energie Beziehung erweitert zu
T2 − T1 =
Z 2
F~ · d~r ≡ −(U2 − U1 )
1
Dies kann umgeformt werden zu
T2 + U2 = T1 + U1
Da Punkt 2 und Punkt 1 beliebige Punkte sind im Wirkungsbereich der Kräfte sind, erkennt
man in dieser Gleichung, dass die Summe T + U unabhängig vom Ort immer den gleichen Wert
hat, also konstant ist, d. h. man formuliert
T + U =
const. ≡
Etot =
totale Energie
In differentieller Form erhalten wir
dT + dU =
dT = F~ · d~r = −dU
0
Dies ist der Energiesatz der Mechanik.
Wann gilt dieser Satz ? Wir haben den Energiesatz an den Beispielen der Federkraft und der
Gravitationskraft plausibel gemacht. Für die dabei auftretenden Kräfte gilt er. Federkraft und
Gravitaionskraft sind sogenannte konservative Kräfte.
Wann gilt der Satz nicht ? Lassen wir wieder einmal einen Klotz der Masse m, der auf dem
Boden gleitet, durch eine Reibungskraft zur Ruhe bringen. Diese Situation unterscheidet sich
von derjenigen, die wir beim Gewicht und der Federkraft angetroffen haben. Denn es gibt keine Möglichkeit, dass der Klotz durch die Umkehr seiner Bewegung die ursprüngliche kinetische
Energie wieder zurückgewinnen kann. Der Grund dafür ist, dass Energie vom Klotz in thermische Energie des Bodens und der Unterlage verwandelt wird. Beide erwärmen sich. Die Energieübertragung kann nicht umgekehrt werden, weil die vorhandene kinetische Energie in einer
3.9
ungeordneten Bewegung der einzelnen Atome der einzelnen Atome von Klotz und Boden resultiert. Hier ist also die ursprüngliche kinetische Energie nicht als potentielle Energie gespeichert.
Die Gleitreibung ist wie auch die anderen Reibungskräfte – Luftwiderstand, Flüssigkeitsreibung,
dynamischer Auftrieb – keine konservative Kraft.
Wenn wir die Umwandlung in Wärmeenergie einschliessen wollen, müssen wir schreiben
dT + dU + dEWärme = 0
Der Energiesatz der Mechanik gilt also nur für Systeme, in denen nur konservative Kräfte auftreten. Woran erkennt man aber, dass eine Kraft konservativ ist ?
Keine explizite Zeitabhängigkeit: Konservative Kräfte sind nicht explizit von der Zeit abhängig.
Dies heisst, das z. B. Kräfte wie F (t) = at2 oder wie F (t) = exp(αt) nicht konservativ sein
können.
Wegunabhängigkeit der geleisteten Arbeit: Eine Kraft ist konservativ, wennsie bei einer Verschiebung von einem Punkt 1 zu einem Punkt 2 die von der Kraft geleistete Arbeit W1→2
unabhängig vom Weg ist, der für die Verschiebung gewählt wird.
B
A
3.10.3
Energieerhaltung im Gravitationsfeld und im elektrischen Feld
Für die Gravitationskraft und die Coulomb-Kraft, wie auch allgemein für zentrale Kraftfelder
gelten die obigen Bedingungen. Daher sind Gravitationskraft wie Coulomb-Kraft konservative
Kräfte.
Führen wir den Beweis zunächst für die Gravitationskraft in Erdnähe:
2
s
*6
h
d~r
*
6
r d~r
d
r
?
~
~
φ G
G
?
rs rd~
~
1
?
G
3
A
W1→2
=
Z 2
~ r = mg cos(π − φ)
Gd~
Z 2
1
dr
1
= −mgd cos φ = −mgh
B
W1→2
=
Z 3
1
~ r+
Gd~
Z 2
3
~ r = 0 − mg
Gd~
Z 2
dr = −mgh
3
Wir erhalten das gleiche Resultat, unabhängig davon ob wir direkt entlang der ansteigenden
Geraden von 1 nach 2 gehen, oder ob wir zuerst bis zum Punkt 3 senkrecht unter 2 horizontal
gehen und dann lotrecht nach oben. Auf dem horizontalen Wegstück ändert sich die potentielle
Energie nicht, da die Gewichtskraft keine Arbeit leistet. Nur auf dem vertikalen Anstieg ändert
sich die potentielle Energie.
3.10
Horizontale Flächen sind Flächen konstanter potentieller Energie. Man nennt solche Flächen
Äquipotentialflächen. Ein beliebiger Weg lässt sich immer unterteilen in kleine horizontale Schritte und vertikale Schritte. Für jeden einzelnen, kleinen Teilabschnitt kann man die obigen Resultate verwenden, und damit ergibt sich auch für einen beliebigen Weg von 1 nach 2 das gleiche
Resultat. Hätten wir beim horizontalen Weg auf einer Unterlage Reibungskräfte, so gilt dies
nicht, weil beim Anheben entlang der schrägen Bahn keine Reibungskräfte auftreten.
Verallgemeinerung: Man kann leicht zeigen, dass die Energieerhaltung für alle Zentralfelder gilt,
sogar wenn es sich umkomplizierte Kombinationen von verschiedenen Ladungen und Massen
handelt.
Das gilt auch für ausgedehnte Verteilungen von ruhenden Ladungen und Massen, da deren Felder
sich aus einer Superposition von Zentralfeldern ergeben.
3.10.4
Potentiale und Gradientenfelder
Wir können analoge Gleichungen statt für die Kraft für die Feldstärke aufstellen, indem wir
durch die Probemasse m oder die Probeladung q teilen. Es gilt dann für das Gravitationsfeld
bzw. elektrische Feld
Z 2
1
1
~g d~r =
m
Z 2
1
~ r=1
Ed~
q
Z 2
1
Z 2
1
1
F~ d~r = − (U2 − U1 ) ≡ −(V2 − V1 )
m
1
F~ d~r = − (U2 − U1 ) ≡ −(V2 − V1 )
q
Die Grösse V heisst Potential des Feldes. Das Potential ist gleich der potentiellen Energie pro Einheitsprobemasse oder -ladung. Aus der Definition geht hervor, dass in Flächen, welche senkrecht
auf den Feldlinien stehen, (~g ⊥ d~r) das Potential überall gleich gross ist. Für eine Punktmasse
sind die Äquipotentialflächen konzentrische Kugelflächen.
Wie wir aus einem vorgegebenen Vektorfeld das skalare Potentialfeld durch Integration berechnen können, so lässt sich umgekehrt aus einer gegebenen Potentialverteilung die Feldstärke durch
Differentiation erhalten. Für den eindimensionalen Fall gilt z. B.
Fx (x) = −
dU (x)
dx
Im allgemeinen, dreidimensionalen Fall gelten diese Beziehungen für jede einzelne Komponente,
nur muss in der Ableitung auch nach der entsprechenden Komponente des Ortsvektors differenziert werden, die gewöhnlich Ableitung muss dann durch die partielle Ableitung ersetzt werden.
(d → ∂, siehe Storrer, op. cit. Kap. 23, p. 334-336)
3.11




~g (~r) = ~g (x, y, z) = − 



∂V (x, y, z)
∂x
∂V (x, y, z)
∂y
∂V (x, y, z)
∂z












F~ (x, y, z) = − 



oder
∂U (x, y, z)
∂x
∂U (x, y, z)
∂y
∂U (x, y, z)
∂z








Einen auf diese Art aus einem Potentialfeld konstruierten Vektor, nennt man einen Gradienten,
man schreibt abgekürzt:
F~ = −gradU
Man kann aus beliebigen (skalarwertigen) Funktionen im Raum mit Hilfe des Gradienten einen
Vektor konstruieren. Auf diese Weise entstandene Vektorfelder heissen Gradientenfelder. Wenn
zum Beispiel eine Temperaturverteilung in einem Raum gegeben ist, dann gibt der negative
Gradient der Temperatur in jedem Raumpunkt die Richtung an, in die die Wärme fliesst.
3.10.5
Anwendungen des Energiesatzes
Pendel: Die Bewegung eines Fadenpendels der Länge ` haben wir bereits in der Kinematik
behandelt. Wird das Pendel aus einer Höhe h losgelassen,
mit h = `(1 − cos φ0 ), so ist seine
p
Bewegung gegeben durch φ(t) = φ0 cos ω0 t mit ω0 = g/`.
φ0
Im höchsten Punkt seiner Bahn steht das Pendel still. Es
hat an diesem Punkt nur potentielle Energie, und zwar
relativ zum untersten Punkt seiner Bahn U0 = mgh =
mg`(1 − cos φ0 ). Im untersten Punkt seiner Bahn, beim Passieren seiner Ruhelage hat das Pendel nur kinetische Energie: T0√= (m/2)v02 . Energieerhaltung erfordert U0 = T0 oder
v0 = 2gh. In jedem Punkt der Bahn ist die Summe von
kinetischer Energie und potentieller Energie konstant, die
Anteile sind jedoch verschieden. Dies können wir auch aus
der Kenntnis der Pendelbewegung ableiten:
l
h
v0
G
φ(t) = φ0 cos ω0 t ⇒ |~v (t)| = v(t) = `
r
m
m
v(t)2 =
−`
2
2
T =
2
g
φ0 sin ω0 t
`
1
1
U = mg`(1 − cos φ(t)) = mg` 1 − cos2 ( φ) + sin2 ( φ)
2
2
1
1
Für kleine Ausschläge : sin2 ( φ) ≈ ( φ)2
2
2
3.12
⇒
dφ
= −`ω0 φ0 sin ω0 t
dt
1
= mg`φ20 sin2 ω0 t
2
1
⇒ U = 2mg` sin2 ( φ)
2
1
1
U = mg`φ2 = mg`φ20 cos2 ω0 t
2
2
1
⇒ T + U = mg`φ20 ≈ mg`(1 − cos φ0 ) = mgh
2
Abbildung 3.3 zeigt die relative Verteilung der totalen Energie an acht Punkten einer Pendelperiode.
Feder: Auch für eine Feder wird in den verschiedenen Momenten der Bewegung die totale
Energie auf die beiden Anteile der kinetischen und der potentiellen Energie verteilt. Bei der
Feder steckt die potentielle Energie allerdings in der Deformation der Feder, während beim
Pendel der Abstand zum Boden vergrössert wird. Abbildung 3.3 zeigt die relative Verteilung
auf die beiden Anteile wiederum in acht ausgewählten Punkten der Schwingung. Dass die totale
Energie konstant ist, lässt sich ähnlich wie beim Pendel wieder aus dem bekannten zeitlichen
Verlauf der Bewegung beweisen:
s
x = x0 cos ω0 t mit ω0 =
T =
k
m
⇒ vx (t) = −ω0 x0 sin ω0 t
m 2
m
k
k
k
m
v = ω02 x20 sin2 ω0 t = x20 sin2 ω0 t U = x2 = x20 cos2 ω0 t = ω02 x20 cos2 ω0 t
2 x
2
2
2
2
2
m
k
T + U = ω02 x20 = x20 ≡ E0
2
2
Dies lässt sich aus der Abbildung ablesen. Auch aus der Abbildung ablesen lässt sich die Stärke
und Richung der Kraft. Mit F (x) = −dU/dx ist die Kraft in einem bestimmten Punkt gegeben
durch den Gradienten (die Ableitung) der Kurve für die potentielle Enrgie U (x) in diesem Punkt.
Die eingezeichneten Beispiele zeigen:
i) x > 0 : tan α > 0,
dU
> 0 ⇒ F (x) < 0
dx
dU
< 0 ⇒ F (x) > 0
dx
In beiden Fällen zeigt die Kraft in Richtung auf die Ruhelage der Feder, in Richtung auf das
Minimum der potentiellen Energie bei x = 0.
ii) x < 0 : tan α < 0,
Wie bestimmt man die Kraft bei bekannter potentieller Energie ? Die Erfahrungen,
die wir bei der Federkraft gewonnen haben lassen sich verallgemeinern. Für eine beliebige Kurve
potentieller Energie U (x) (oder auch eine beliebige Potentialkurve V (x)), wie sie in Abbildung
3.5 durch den Höhenverlauf einer Berg- und Talbahn angedeutet ist, können wir die Kraft aus
der Steigung bestimmen. Da im Gravitationsfeld in Erdnähe die potentielle Energie mit dem Abstand vom Erdboden linear zunimmt, kann man beliebige Potentiale durch solche Höhenkurven
veranschaulichen. Wie bei einer Berg- und Talbahn zieht es die Massen immer in Richtung auf
die Potentialmulden (Minima der potentiellen Energie). Ist die totale Energie genügend gross (z.
B. E0 ), dann ist die Bewegung nicht durch die Potentialberge (Wände der potentiellen Energie)
eingeschränkt, sie ist ungebunden. Der Bewegungszustand mit der totalen Energie E0 ist ein
ungebundener Zustand. Die Zustände mit E1 und E2 in der ersten und dritten Mulde sind gebundene Zustände. Hier rutscht wie beim Oszillator die Masse, Kugel oder der Wagen der Bergund Talbahn in der Mulde hin- und her, wenn man von der Reibung absieht. Man kann im
3.13
v=+vmax
v
v
v
U K
U K
U K
v=0
v=0
U K
U K
v=-vmax
v
U K
v
U K
v
v=+vmax
v
U K
v
v
x=0
0
0
U K
U K
U K
v=0
x=-xmax
v=0
0
0
U K
U K
v
x=+xmax
v
v=-vmax
v
0
U K
0
0
U K
U K
Abbildung 3.3: Verteilung der totalen Energie auf den Anteil der potentiellen Energie U und
der kinetischen Energie T ≡ K für acht ausgewählte Punkte der periodischen Bewegung eines
Pendels (oben) und einer Feder (unten) (aus Haliday, Resnick, Walker, op. cit. p. 192/193).
3.14
Auf etwas andere Art illustrieren wir diese Zusammenhänge in Abbildung 3.4. Sie
zeigt die potentielle Energie einer Feder in
Funktion der Auslenkung. Es ergibt sich
der erwartete parabolische Verlauf für die
potentielle Energie. Der Zustand fester totaler Energie E0 ist eingezeichnet. Die Differenz zwischen der horizontalen Linie E0
und U (x) = kx2 entspricht der kinetischen
Energie T (x). Für den Maximalausschlag
x = x0 ist E0 = U (x0 ) und T (x0 ) = 0.
Die Tatsache, dass bei dieser festen Energie E0 die Bahn innerhalb der Grenzen
−x0 ≤ x ≤ x0 verläuft, macht diese Bewegung zu einer gebundenen Bewegung und
den Bewegungszustand zu einem gebundenen Zustand.
Potentielle Energie eines Feder-Oszillators
4
U(x)=kx2/2
3
E0
-x0
x0
2
1
F=-kx
F
−α
0
-2
-1
α
0
1
x
2
Abbildung 3.4: Potentielle Energie einer Feder.
übrigen in der Nähe eines Minimums jede Kurve potentieller Energie durch die eines Oszillator
(Parabel) annähern.
Interatomare Wechselwirkung: Zwischen neutralen Atomen treten Kräfte auf, die elektrischer Natur sind. Diese Wechselwirkung ist kompliziert und nur quantenmechanisch berechenbar,
nicht aber mit der Newton’schen Mechanik. Man kann sie aber doch durch ein abstandsabhängiges Potential V (r) oder eine äquivalente Kurve, die die potentielle Energie U (r) in Funktion
des Abstands zeigt. darstellen, wie es Abbildung 3.6 zeigt. In dieser Abbildung ist in etwa der
Verlauf der potentiellen Energie für ein Wasserstoff-Molekül skizziert. Die theoretischen Physiker Walter Heitler (1904-1981, von 1949 bis 1974 Professor an der Universität Zürich) und Fritz
London haben diese homöopolare Bindung zum ersten Mal 1927 berechnet.
Für r > r0 sind die Kräfte anziehend, für r < r0 stark abstossend. Ist die Energie E negativ,
so sind die Atome chemisch zu einem Molekül gebunden. Den Abstand r0 , wo die potentielle
Energie ihr Minimum hat, nennt man den Gleichgewichtsabstand. In der Nähe des Minimums
kann man die potentielle Energie wie gezeigt durch den Oszillator-Verlauf annähern. Wie der
Oszillator können auch die Atome harmonische Schwingungen ausführen. Diese sind harmonisch,
solange man nicht allzu weit vom Minimum weg ist, d. h. E hinreichend klein ist. Je grösser E
ist, desto stärker ist das Molekül angeregt, und umso grösser wird die Schwingungsamplitude.
Ist E > 0, so bedeutet dies Dissoziation in zwei Atome.
Erdanziehung und Gravitation: Abbildung 3.7 zeigt den Verlauf der potentiellen Energie in
Funktion von r, dem Abstand vom Zentrum der als kugelförmig angenommenen Erde.
U (r) = −
ΓM m
ΓM m rE
rE
rE
=−
= mgrE
≡ −U0
r
rE r
r
r
Eine Masse, die sich im Erdfeld bewegt hat eine totale Energie E = T (r) + V (r). Für alle
geschlossenen Bahnen (gebundenen Zustände) gilt E < 0. Für die Kreisbahn fanden wir v =
3.15
Berg- und Talbahn
U(x)
E 0 ungebundener Zustand
T (x)=E -U(x)
0
0
E
U
U
2
U
E1
Umkehrpunkte
E
1
,E
2
gebundener Zustand
x
Abbildung 3.5: Beliebiger Potentialverlauf modelliert an einer Berg- und Talbahn.
Abbildung 3.6: Potentielle Energie der interatomaren Wechselwirkung für zwei WasserstoffAtome in einem Wasserstoff-Molekül.
√
grE und damit T = mgrE /2 = U0 /2. Addieren wir dies zur potentiellen Energie an der
Erdoberfläche U (rE ) = −U0 , so ergibt sich E = −U0 /2.
3.16
Damit eine Rakete das Gravitationsfeld
verlassen kann, d. h. um in eine ungebundene Bahn zu kommen, muss ihre Startgeschwindigkeit v0 grösser sein als die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit vF , welche
sich aus
Tmin =
Abbildung 3.7: Potentielle Energie einer Masse
m in Funktion des Abstands r vom Erdmittelpunkt. Die potentielle Energie ist in Einheiten
der potentiellen Energie auf der Erde aufgetragen, der Abstand in Einheiten des Erdradius.
3.17
mvF2
= U0
2
√
zu vF = 2grE = 11.2 km/s ergibt. Für
einen Flug zum Mond ist die minimale
Startgeschwindigkeit etwas kleiner, da das
Potentialmaximum durch das Gravitationsfeld des Mondes reduziert wird. Startet die Sonde allerdings exakt mit dieser
minimalen kinetischen Energie, so kommt
sie an der Stelle des Maximums zum Stillstand. Da dort die Anziehung des Mondes
gerade entgegengesetzt gleich zur Anziehung der Erde ist, ist die Sonde schwerelos und im labilen Gleichgewicht. Sie kann
zum Mond, aber auch zurück zur Erde fallen.