Verstimmung

Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald
Fachbereich Physik
Elektronikpraktikum
Protokoll-Nr.: 3
Schwingkreise
Protokollant:
Jens Bernheiden
Gruppe:
2
Aufgabe durchgeführt: 16.04.1997
Protokoll abgegeben:
Note: ______________
23.04.1997
Theoretische Grundlagen
Schwingkreise kann man in Parallelschwingkreise und in Reihenschwingkreise einteilen.
Beim Parallelschwingkreis sind ein Kondensator und eine Spule parallel geschaltet. Da in der Praxis hier
Verluste durch ohmsche Widerstände auftreten (parallel zum Kondensator und in Reihe zur Spule), nähert man
diese Verluste durch einen ohmschen Widerstand parallel zu Kondensator und Spule .
A
IK
Ia
UA
RP
LP
CP
B
Abbildung 1: Parallelschwingkreis
Formeln zum Parallelschwingkreis:
Komplexer Leitwert YP:
1
1
+ j (ωC p −
)
ωL P
RP
Yp =
(1)
(RP...ohmscher Widerstand, LP...Induktivität, CP...Kapazität, ω...Kreisfrequenz)
In Abbildung 1 gilt für UAB:
U AB =
IK
IK
=
1
1
YP
+ j (ωC P −
)
ωL P
RP
(2)
Der Betrag von UAB errechnet sich zu:
U AB =
IK
(3)
1
1 2
+ (ωC P −
)
2
ωL P
RP
ϕui stellt die Phasendrehung zwischen U und I dar:
AB
ϕ ui
1
= − arctan R P (ωC p −
)
ωL P
K
(4)
Die Resonanzkreisfrequenz ω0 ist die Kreisfrequenz, bei der die Phasendrehung Null wird:
ω0 =
1
(5)
LP C P
Der Frequenzabstand zwischen ϕui = +45° und ϕui = -45° ist die Bandbreite:
B=
1
1
⋅
2π R P C P
(6)
Die Güte eines Schwingkreises wird wie folgt definiert:
Q=
f0 ω 0
=
B 2πB
(f0...Resonanzfrequenz)
(7)
Beim Parallelschwingkreis berechnet sich die Güte zu:
Q=
RP
CP
= ω 0 RP C P = RP
ω 0 LP
LP
(8)
Der Reihenschwingkreis entsteht durch Reihenschaltung von Spule und Kondensator. Zur Representation
auftretender Verluste wird ein Widerstand in Reihe verwendet.
A
Ia
LS
UA
CS
∼
UL
RS
B
Abbildung 2: Reihenschwingkreis
Formeln zum Reihenschwingkreis:
Der komplexe Widerstand errechnet sich zu:
Z S = RS + j (ωLS −
1
)
ωC S
(9)
Für den Schwingkreisstrom Ia gilt:
UL
=
ZS
Ia =
Ia =
UL
1
RS + j (ωLS −
)
ωC S
UL
(10)
(11)
1 2
RS2 + (ωLS −
)
ωC S
ϕiu stellt die Phasenverschiebung zwischen Ia und UL dar:
(ωLS −
ϕ iu = − arctan
1
)
ωC S
(12)
RS
Die Resonanzfrequenz:
ω0 =
1
(13)
LS C S
Die Bandbreite:
B=
1 RS
⋅
2π LS
(14)
Die Güte:
Q=
ω 0 LS
1
1
=
=
ω 0 RS C S RS
RS
LS
CS
(15)
Versuchsdurchführung
Parallelschwingkreis
1.a Meßaufgabe:
Messen Sie die Frequenzgänge der Klemmenspannung UAB und der Phasenverschiebung ϕuu zwischen UAB und
UL .
2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung
RV
A
Ia
Ri
UA
UL
LP
RP
CP
∼
B
Abbildung 3: Parallelschwingkreis
RV = 56 Ω
CP = 200 nF
LP = 500 Wdg. (ohne Kern)
RP →∞
UL = 100 mV
Ri ≈ 50 Ω
Die Spannung und die Phasen (Messung mit Lissajousfiguren) wurden mit dem Oszilloskop Tektronik 2212
gemessen, die sinusförmige Eingangswechselspannung lieferte der Sinusgenerator GF-21.
Unter Verwendung der Beziehungen im Grundstromkreis und unter Berücksichtigung, das RP →∞ wurde die
Schaltung nach Abbildung 3 theoretisch durchgerechnet. Die Rechnung lieferte folgende Ergebnisse:
Dimensionierung:
1
− ωC ) + 1
U AB
ω
L
=
1
UL
( Ri + RV ) 2 ⋅ (
− ωC ) 2 + 1
ωL
U AB
1
=
UL
1
− ωC ) 2 + 1
( Ri + RV ) 2 ⋅ (
ωL
1


ϕ ui = arctan ( Ri + RV ) ⋅ (
− ωC ) 
ωL


i ⋅ ( Ri + RV ) ⋅ (
(16)
(17)
(18)
3. Meßergebnisse und Auswertung
Die Tabelle 1 zeigt die aufgenommenen Meßdaten.
Außerdem wurde die Frequenz normiert, die Klemmenspannung UAB und der Phasenwinkel zur jeweiligen
Frequenz theoretisch nach den Formeln 17 und 18 berechnet. Die Klemmenspannung UAB wurde normiert und
1/ωL und ωC wurde errechnet. Für diese Berechnungen war es nötig, vorher die Resonanzfrequenz und die
Induktivität der Spule zu ermitteln.
Die Phasenverschiebung errechnet sich aus a und b zu:
ϕ = arcsin(a b)
(19)
Die Diagramme 1, 2 und 3 stellen eine Auswertung der Meßdaten zum Parallelschwingkreis nach Abbildung 3
dar.
In Diagramm 1 ist die normierte Klemmenspannung über der normierten Kreisfrequenz doppeltlogarithmisch
aufgetragen. Dagegen zeigt das Diagramm 2 die unnormierte Klemmenspannung über der normierten
Kreisfrequenz. In Diagramm 3 ist die Phasenverschiebung dargestellt.
ω/ω0
0,1
1,0
10,0
UAB/UL
1,0
0,1
0,0
gemessen
errechnet
Diagramm 1: Frequenzgang der normierten Klemmenspannung des Parallelschwingkreises
ω/ω0
0,1
1,0
10,0
100
90
80
UAB in mV
70
60
50
40
30
20
10
0
gemessen
errechnet
Diagramm 2: Frequenzgang der Klemmenspannung des Parallelschwingkreises
ω/ω0
1,0
0,1
10,0
100
80
60
ϕ in Grad
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
gemessen
berechnet
Diagramm 3: Phasengang des Parallelschwingkreises
Die Resonanzfrequenz wurde mit f0 = 9,6 kHz ermittelt (Messung mit Lissajousfiguren: Ellipse geht zur Gerade
über). Nach Formel 5 errechnete sich die Induktivität zu LP = 1,37 mH. Aus Diagramm 2 ist die Bandbreite mit
B = 12,5 kHz erkennbar (
1
2
- Abfall der Klemmenspannung gegenüber dem Maximum), das Diagramm 3
liefert eine Bandbreite von B = 21 kHz (Frequenzabstand zwischen
ϕui= + 45° und ϕui = - 45°). Da der gemessene Phasenverlauf sehr vom berechneten (gerade bei niedrigen
Frequenzen) abweicht, wird im weiteren der Wert für die Bandbreite B = 12,5 kHz benutzt.
Die Güte dieses Parallelschwingkreises ergibt sich nach Formel 7 demnach zu Q = 0,768.
4. Diskussion und Fehlerbetrachtung
Die Diagramme 1 und 2 zeigen eine sehr gute Übereinstimmung der gemessenen und der errechneten Daten. Das
Maximum der Klemmenspannung liegt bei der Resonanzfrequenz. Auf fällt jedoch, daß die Abweichungen beim
Maximum größer sind, als unter und über der Resonanzfrequenz. Dies hängt sicherlich damit zusammen, daß die
Formel 17 den Frequenzgang der Klemmenspannung nicht genau beschreibt, sondern nur eine Näherung
darstellt. Der endliche Widerstand RP wurde nicht berücksichtigt, sondern als unendlich angenommen. Es wird
also auch im Resonanzfall nicht die ganze Quellenspannung umgesetzt.
Die Phasenverschiebung weist sehr große Abweichungen auf. Dies ist besonders im Bereich niedriger
Frequenzen zu erkennen (Abweichungen bis zu 40°). Dies ist vielleicht auf die bei Frequenzen weit unter der
Resonanzfrequenz relativ ungenaue Meßmethode mit den Lissajousfiguren zurückzuführen.
1.b Meßaufgabe:
Messen Sie die Frequenzgänge der Klemmenspannung UAB und der Phasenverschiebung ϕuu zwischen UAB und
UL .
2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung
RV
A
Ia
Ri
UA
UL
LP
RP
CP
∼
B
Abbildung 3: Parallelschwingkreis
RV = 1,8 kΩ
CP = 200 nF
LP = 500 Wdg. (ohne Kern)
RP →∞
UL = 1 V
Ri ≈ 50 Ω
Die Versuchsdurchführung erfolgte analog zur Meßaufgabe 1.a. Die Formeln 17 und 18 gelten auch hier.
Dimensionierung:
3. Meßergebnisse und Auswertung
Die aufgenommenen Meßdaten sind in Tabelle 2 zusammengefaßt worden.
Es wurden die gleichen Berechnungen durchgeführt, wie in Aufgabe 1.a.
Außerdem sind in der Tabelle 2 noch die Verstimmung ν und das Produkt aus Güte Q und Verstimmung ν
errechnet worden. Die Berechnung der Verstimmung erfolgte nach der Formel
ν=
ω ω0
−
ω0 ω
(20).
Die Auswertung der Meßdaten erfolgte in den Diagrammen 4, 5, und 6.
In Diagramm 4 ist die normierte Klemmenspannung über der normierten Kreisfrequenz doppeltlogarithmisch
aufgetragen. Das Diagramm 5 zeigt die unnormierte Klemmenspannung über der normierten Kreisfrequenz. In
Diagramm 6 ist die Phasenverschiebung dargestellt.
ω/ω0
0,1
1,0
10,0
1,0
UAB/UL
0,1
0,0
0,0
gemessen
errechnet
Diagramm 4: Frequenzgang der normierten Klemmenspannung des Parallelschwingkreises
ω/ω 0
1
10
100
1000
900
800
UAB in mV
700
600
500
400
300
200
100
0
gemessen
errechnet
Diagramm 5: Frequenzgang der Klemmenspannung des Parallelschwingkreises