Folien

Teil 1:
Suchen
•
•
•
•
•
Problemstellung
Elementare Suchverfahren
Hashverfahren
Binäre Suchbäume
Ausgeglichene Bäume
– AVL-Bäume
– Splay-Bäume
• B-Bäume
• Digitale Suchbäume
• Heaps
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-1
Definition von AVL-Bäumen
Ziel
Ausgeglichene Bäume: Suchbäume mit einer maximalen Höhe von O(log n).
Damit könnten alle Dictionary-Operationen in O(log n) ausgeführt werden.
Definition AVL-Baum
Ein binärer Suchbaum heißt AVL-Baum oder (höhen-)balancierter Baum, falls sich
für jeden Knoten k die Höhen der beiden Teilbäume um höchstens 1 unterscheiden.
Die Abkürzung AVL geht zurück auf Adelson-Velskij und Landis.
Ein AVL-Baum hat eine maximale Höhe von etwa 1.5 log2n. [Ottmann u. Widmayer].
Beispiel für AVL-Baum:
5
10 3
10 3
-1
-2
2
5
12 1
+1
7
0
-1
1
0
0
M.O.Franz; Oktober 2007
11 0
0
2
12 0
0
+2
0
3 0
6
Beispiel für Nicht-AVL-Baum
15
0
0
7
1
Höhe des Teilbaums
Höhenunterschied
= Höhe rechter Teilbaum
Höhe linker Teilbaum
+1
8
0
0
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
(Beachte: Höhe eines
leeren Teilbaums ist -1.)
1-2
Rotationen (1)
Zentrale Eigenschaft von AVL-Bäumen:
Ein unbalancierter Baum, der einen Höhenunterschied von -2 (linkslastiger Baum)
oder +2 (rechtslastiger Baum) hat und dessen Teilbäume ausbalanciert sind, lassen
sich durch eine einfache Rotationsoperation ausbalancieren.
Fall A: Baum ist linkslastig, d.h. Höhenunterschied = -2
Unterfall A1: linker Teilbaum hat Höhenunterschied -1 oder 0:
q
p
-2
q
h-1
h+1
-1 od. 0
A
B
M.O.Franz; Oktober 2007
h
p
h od.
h+1
A
C
h od.
h-1
h
1 od. 0
Rotate
Right
Teilbäume A, B, und C
sind ausbalanciert und
können auch leer sein.
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
h od.
h-1
B
h-1
C
1-3
Rotationen (2)
Fall A: Baum ist linkslastig, d.h. Höhenunterschied = -2
Unterfall A2: linker Teilbaum hat Höhenunterschied +1:
2.
p
1.
h+1
-2
q
h+1
h-1
+1
Rotate
Left Right
r
0
q
D
h-1
r
h
h-1 od.
h-2
A
B
M.O.Franz; Oktober 2007
0 od.-1
h-1
h-2 od.
h-1
C
h
A
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
p
0 od.1
h-1 od.
h-2
B
h
h-1 od.
h-2
C
h-1
D
1-4
Rotationen (2b)
2.
p
1.
p
-2
q
h+1
h+1
h-1
+1
D
h-1
r
B
h-1
r
h
-1 od.-2
q
0 od.-1
h-1
h-2 od.
h-1
C
B
A
C
D
h-2 od.
h-1
h
h-1 od.
h-2
A
Rotate
Left
-2
h-1 od.
h-2
Rotate
Right
h+1
r
0
q
h
0 od.-1
h-1
A
M.O.Franz; Oktober 2007
p
0 od.1
h-1 od.
h-2
B
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
h
h-1 od.
h-2
C
h-1
D
1-5
Rotationen (3)
Fall B: Baum ist rechtslastig, d.h. Höhenunterschied = +2
Unterfall B1: rechter Teilbaum hat Höhenunterschied 0 oder +1:
q
p
+2
h-1
q
h+1
p
h od.
h-1
B
h od.
h+1
0 od. +1
0 od. +1
A
M.O.Franz; Oktober 2007
0 od. -1
Rotate
Left
h-1
h
C
A
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
h
C
h od.
h-1
B
1-6
Rotationen (4)
Fall B: Baum ist rechtslastig, d.h. Höhenunterschied = +2
Unterfall B2: rechter Teilbaum hat Höhenunterschied -1:
2.
p
+2
h-1
h+1
Rotate
Right Left
1.
q
r
0
-1
A
r
p
h
h-2 od.
h-1
B
M.O.Franz; Oktober 2007
h
q
h
h-1
h-1 od.
h-2
C
D
A
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
B
C
D
1-7
Einfügen und Löschen in AVL-Bäumen
Idee für Algorithmus:
1) Füge ein bzw. lösche wie bei binären Suchbäumen.
2) Gehe dann von der Einfügestelle bzw. Löschstelle bis zur Wurzel
und balanciere falls notwendig mit einer Rotationsoperation lokal aus.
Bemerkungen:
• Da der Baum vor dem Einfügen bzw. Löschen ausbalanciert war, haben alle
Teilbäume einen Höhenunterschied von -1, 0 oder +1.
Damit können nach dem Schritt 1) nur die Fälle A1, A2, B1 oder B2 auftreten.
• Es läßt sich zeigen, dass beim Schritt 2) maximal eine
Rotationsoperation notwendig ist.
Beweisskizze:
für jeden der Fälle A1, A2, B1 und B2 zeigt man, dass der Teilbaum nach dem
Anwenden der entsprechenden Rotationsoperation die gleiche Höhe besitzt wie vor
dem Einfügen bzw. Löschen (Schritt 1). Damit können weiter oben im Baum keine
weiteren unbalancierten Stellen entstehen.
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-8
Einfügen in AVL-Bäumen (1)
Beispiel:
2
Gehe vom Knoten 5 in
Richtung Wurzel bis zum ersten
unbalancierten Teilbaum.
2
Füge 5 ein
1
3
1
3
4
4
5
2
1
2
Rotate Left
(Fall B1)
3
1
4
+2
4
3
5
+1
5
0
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-9
Einfügen in AVL-Bäumen (2)
Beispiel:
4
4
2
2
6
Gehe bis zum ersten
unbalancierten
Teilbaum.
6
Füge 13 ein
3
1
5
7
3
1
14
5
14
7
15
15
13
4
4
2.
2
6
+2
1.
1
3
5
2
1
14
7
Rotate
Right Left
(Fall B2)
15
7
3
6
5
14
13
15
13
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-10
Algorithmen (1)
Datenstruktur
Wie bei binären Suchbäumen.
Zusätzlich wird für jeden Knoten im Baum noch die
Höhe des entsprechenden Teilbaums abgespeichert.
Algorithmen
struct Node {
int height;
KeyType key; ValueType value;
Node* left; // linkes Kind
Node* right; // rechtes Kind
};
Erweitere insert-Operation für binäre Suchbäume um Balancieroperation.
(Die remove-Operation wird analog erweitert. Die search-Operation bleibt unverändert.)
bool insertR(KeyType k, ValueType v, Node*& p) {
bool ret;
if (p == 0) {
Ein Blatt hat
p = new Node;
die Höhe 0
p->key = k; p->value = v; p->height = 0;
ret = true; }
else if (k < p->key)
Knoten wurde eingefügt:
ret = insertR(k,v,p->left);
daher Höhe aktualisieren
else if (k > p->key)
und ausbalancieren, falls
ret = insertR(k,v,p->right);
notwendig.
else // k bereits vorhanden
ret = false;
Die blauen Anweisungen wurden
if (ret)
eingefügt, damit die Balancieroperation
balance(p);
nach rekursivem Aufruf und vor
return ret;
Verlassen der Funktion durchgeführt
}
werden kann.
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-11
Algorithmen (2)
void balance(Node*& p) {
if (p == 0) return;
// Höhe aktualisieren:
p->height = max(getHeight(p->left), getHeight(p->right)) + 1;
// Balanciere aus, da Baum linkslastig:
if (getBalance(p) == -2) {
if (getBalance(p->left) <= 0) // d.h. == -1 od. 0
Fall A1
rotateRight(p);
Fall A2
else // getBalance(p->left) == +1
rotateLeftRight(p);
}
// Balanciere aus, da Baum rechtslastig:
else if (getBalance(p) == +2) {
if (getBalance(p->right) >= 0) // d.h. == 0 od. +1
Fall B1
rotateLeft(p);
Fall B2
else // getBalance(p->left) == -1
rotateRightLeft(p);
}
Höhe eines Baums.
Ein leerer Baum hat die Höhe -1.
int getHeight(const Node* p) {
if (p == 0) return -1;
else return p->height; }
Höhenunterschied zwischen
linken und rechten Unterbaum.
int getBalance(const Node* p) {
if (p==0) return 0;
else return getHeight(p->right) - getHeight(p->left); }
M.O.Franz; Oktober 2007
Bei einem leeren Baum, wird der
Höhenunterschied als 0 definiert.
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-12
Algorithmen (3)
void rotateRight (Node*& p)
// Es muss p->left != 0 sein! Sonst könnte der Baum gar nicht
// unbalanciert sein...
{
Node* q = p->left;
p->left = q->right;
q->right = p;
p->height = max(getHeight(p->left), getHeight(p->right)) + 1;
q->height = max(getHeight(q->left), getHeight(q->right)) + 1;
p = q;
}
Rotate
Right
p
q
q
p
C
A
M.O.Franz; Oktober 2007
A
B
B
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
C
1-13
Algorithmen (4)
void rotateLeft (Node*& p)
{
// analog zu rotateRight;
}
p
1.
-2
h+1
q
void rotateLeftRight (Node*& p)
// Es muss p->left != 0 sein!
{
rotateLeft(p->left);
rotateRight(p);
}
h-1
+1
D
h-1
h
r
h-1 od.
h-2
A
B
void rotateRightLeft (Node*& p)
// Es muss p->right != 0 sein!
{
rotateRight(p->right);
rotateLeft(p);
}
C
2.
p
h+1
h
q
0 od.
h-1
-1
A
M.O.Franz; Oktober 2007
h-2 od.
h-1
-2
h-1
r
-1 od.
h-2 od.
h-1
-2
D
C
B
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
h-1 od.
h-2
1-14
Teil 1:
Suchen
•
•
•
•
•
Problemstellung
Elementare Suchverfahren
Hashverfahren
Binäre Suchbäume
Ausgeglichene Bäume
– AVL-Bäume
– Splay-Bäume
•
•
•
B-Bäume
Digitale Suchbäume
Heaps
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-15
Splay-Bäume
• Splay-Bäume sind selbstanordnende Bäume.
• Ziel: automatische Anpassung an Zugriffshäufigkeiten ohne
explizite Speicherung von Balance-Information oder
Häufigkeiten
• Sind die Zugriffshäufigkeiten fest und vorher bekannt, so
lassen sich optimale Suchbäume konstruieren, die die
Suchkosten minimieren (s. Ottmann & Widmayer, 5.7)
• Hier: Zugriffshäufigkeiten unbekannt oder variabel.
• Grundidee: Move-to-root-Strategie - nach jedem Zugriff wird
ein Knoten durch Rotationen in Richtung der Wurzel bewegt.
• Splay: engl. verbreitern - Baum wird in die Breite angeordnet.
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-16
Eine einfache Idee (die nicht funktioniert) - 1
Jeder Knoten auf dem Zugangspfad vertauscht in einer
Rotation die Position mit seinem Vorfahren.
Beispiel: Zugriff auf k1
[Weiss, 1999]
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-17
Eine einfache Idee (die nicht funktioniert) - 2
Rotation k1 <-> k2
[Weiss, 1999]
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-18
Eine einfache Idee (die nicht funktioniert) - 3
Rotation k1 <-> k3
[Weiss, 1999]
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-19
Eine einfache Idee (die nicht funktioniert) - 4
Rotation k1 <-> k4 und k1 <-> k5
[Weiss, 1999]
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-20
Eine einfache Idee (die nicht funktioniert) - 5
Durch die Rotationen wird der Knoten nach dem Zugriff bis an die
Wurzel transportiert.
nächster Zugriff ist extrem schnell.
Aber: Ein anderer Knoten (k3) wurde dafür fast bis unten
gedrückt.
Im Extremfall (z.B. bei einem Baum aus linken Kindern) wird die
Struktur nicht wesentlich verbessert bzw. ergeben sich repetitive
Folgen von Baumzuständen => O(MN) bei M Zugriffen.
=> Baum muß so umstrukturiert werden, das er möglichst „breit“
wird (splaying).
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-21
Splaying-Strategie
2 Regeln (+ 2 Spiegelbilder):
„Zick-Zack“ => Doppelte Rotation wie im AVL-Baum
„Zick-Zick“
M.O.Franz; Oktober 2007
[Weiss, 1999]
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-22
Splaying: Beispiel (1)
[Weiss, 1999]
„Zick-Zack“
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-23
Splaying: Beispiel (2)
[Weiss, 1999]
„Zick-Zick“
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-24
Verbreiterte Baumstruktur durch Splaying
Splaying bewegt nicht nur die Knoten nach einem Zugriff an die
Wurzel, sondern halbiert bei unbalancierten Bäumen oft die Tiefe
der meisten Knoten auf dem Zugangspfad.
[Weiss, 1999]
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-25
Amortisierte Worst-Case-Analyse
Amortisierte Analyse: statt der Laufzeit einer einzigen Operation
wird stattdessen die Laufzeit per Operation in einer Folge von M
Operationen abgeschätzt.
Bei einer Worst-Case-Laufzeit von O(M f(N)) ist die amortisierte
Laufzeit O(f(N)) pro Operation.
Man kann zeigen (s. Ottmann & Widmayer, 5.4.2):
Splay-Bäume haben eine amortisierte Laufzeit von O(log N), egal
welche Sequenz von Operationen gewählt wird.
D.h. obwohl einzelne Operationen O(N) brauchen können, ist
garantiert, daß die nachfolgenden Operationen um so kürzer sind,
so daß sich bei hinreichend großen M insgesamt O(log N)
ergeben.
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-26
Beispiel für Worst-Case (1)
Splaying an
Knoten 1 an
einem Baum
aus linken
Kindern
[Weiss, 1999]
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-27
Beispiel für Worst-Case (2)
nach Splaying an Knoten 2
[Weiss, 1999]
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-28
Beispiel für Worst-Case (3)
nach Splaying an Knoten 3 und 4
nach Splaying an Knoten 5 und 6
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
[Weiss, 1999]
1-29
Beispiel für Worst-Case (4)
nach Splaying an Knoten 7 und 8
[Weiss, 1999]
M.O.Franz; Oktober 2007
Algorithmen und Datenstrukturen - Suchen
1-30