Ergebnisse der Gruppe 6b (Powerpoint)
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Slide 1
Visualisierung von Optischen
Täuschungen
Slide 2
Aufgabenstellung
Gezeigte Präsentation
Unmöglich Bilder zweidimensional:
Belvedere 1958
Ascending and Descending 1960
Slide 3
Zweidimensional noch leicht vorstellbar
Optische Täuschungen in 3D umsetzbar
Unmögliche Bilder dreidimensional:
LEGO- Nachbildungen
?????
Slide 4
Umsetzung Tribar in Gotschuchen:
Slide 5
Aufgaben
Selbst Täuschungen „berechnen“ und
zeichnen
Möglichkeiten zur Visualisierung finden
Konstruktion des Würfels und eines Tribars
in Mathematica auf zwei Arten
Ausarbeiten der Präsentation
Slide 6
Modelle
„Unmöglicher“ Würfel
Slide 7
Aus einer anderen Ansicht:
Slide 8
Lösungswege
1. Möglichkeit:
Lücken schneiden: Mit projizierenden Ebenen
2. Möglichkeit:
Kanten biegen: Mit Bézier-Kurven
Slide 9
Projizierende Ebene
• Was sind eigentlich projizierende Ebenen?
– Ebenen in Richtung eines Projektionsstrahls
– Von der Seite:
– Augpunkt = Unser Auge
p ro jizie re n d e E b e n e
p ro jizie re n d e E b e n e
A u g p u n kt
O b je kt
P ro je ktio n sstra h l
Slide 10
A ugpunkt
Slide 11
Bézierkurven
y
b0
6
b2
4
2
b3
x
5
5
2
4
6
b1
10
Slide 12
Bézierkurve (Grad n)
• Kurve geht durch b0 und bn
• Richtung in b0 ….. b1
bn ….. b(n-1)
• Kurve liegt in konvexer Hülle des
Kontrollpolygons
6
5
4
3
2
2
2
4
6
8
10
12
Slide 13
Bézierkurve (Grad n)
n
x t
bi
n
i
0
t
i 0
b1
1
t
n i
ti
1
b2
b1
b0
b3
b3
b0
b2
Slide 14
Bézierkurven
Slide 15
Unausgereifte Objekte
• Schwierige Probleme zu
lösen
• Empfindliche Daten
• Fehlversuche
• Hier: völlig falsche Kurve
Slide 16
Mathematica Probleme
• Berechnungen für Optische Täuschungen
scheinbar falsch
• Alle Lösungswege scheiterten:
Von Parallel-Projektion ausgegangen
aber Zentral-Projektion
• Lösung: Objekt von weiter weg betrachten
Quasi-Parallel
Slide 17
Beispiel
x
0
5
10
10
10
z
5
z
5
00
0
0
y5
0
5
5
y
10
10
10
x
Slide 18
Vollendete Unmöglichkeiten
1. Mit projizierenden Ebenen
2. Mit Bézier-Kurven
Slide 19
Balken erzeugen
• 4 Punkte bestimmen
• Daraus ein Polygon
erzeugen
• 4 solche Flächen zu
einem Balken
zusammenfügen
Slide 20
Untere Kanten
4 Balken zu einem
Quadrat
zusammenfügen
Slide 21
Fertiger Würfel
12 Kanten zu dem
ganzen Würfel
zusammensetzen
Slide 22
Ebenen
Projizierende Ebenen
aufstellen
Slide 23
Schnittpunkte
Schnittpunkte des
Würfels mit der
Ebene berechnen
Slide 24
Pro Kante 2 Polygone
mit den vorher
ausgerechneten
Schnittpunkten als
Endpunkte eingeben
10
z
5
0
0
0
5
5
y
10
10
Fertig ist die optische
Täuschung!!
x
Slide 25
Weitere Optische
Täuschungen durch
Ausschneiden
Slide 26
Weitere Optische
Täuschungen durch
Ausschneiden
Slide 27
Weitere Optische
Täuschungen durch
Ausschneiden
Slide 28
Tribar mit
Bézier-Kurven
Slide 29
Unmöglicher Würfel mit
Bézier-Kurven
Slide 30
Unmögliche Säulen mit
Bézier-Kurven
Slide 31
Danke für eure
Aufmerksamkeit
Visualisierung von Optischen
Täuschungen
Slide 2
Aufgabenstellung
Gezeigte Präsentation
Unmöglich Bilder zweidimensional:
Belvedere 1958
Ascending and Descending 1960
Slide 3
Zweidimensional noch leicht vorstellbar
Optische Täuschungen in 3D umsetzbar
Unmögliche Bilder dreidimensional:
LEGO- Nachbildungen
?????
Slide 4
Umsetzung Tribar in Gotschuchen:
Slide 5
Aufgaben
Selbst Täuschungen „berechnen“ und
zeichnen
Möglichkeiten zur Visualisierung finden
Konstruktion des Würfels und eines Tribars
in Mathematica auf zwei Arten
Ausarbeiten der Präsentation
Slide 6
Modelle
„Unmöglicher“ Würfel
Slide 7
Aus einer anderen Ansicht:
Slide 8
Lösungswege
1. Möglichkeit:
Lücken schneiden: Mit projizierenden Ebenen
2. Möglichkeit:
Kanten biegen: Mit Bézier-Kurven
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Projizierende Ebene
• Was sind eigentlich projizierende Ebenen?
– Ebenen in Richtung eines Projektionsstrahls
– Von der Seite:
– Augpunkt = Unser Auge
p ro jizie re n d e E b e n e
p ro jizie re n d e E b e n e
A u g p u n kt
O b je kt
P ro je ktio n sstra h l
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A ugpunkt
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Bézierkurven
y
b0
6
b2
4
2
b3
x
5
5
2
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b1
10
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Bézierkurve (Grad n)
• Kurve geht durch b0 und bn
• Richtung in b0 ….. b1
bn ….. b(n-1)
• Kurve liegt in konvexer Hülle des
Kontrollpolygons
6
5
4
3
2
2
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Bézierkurve (Grad n)
n
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bi
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i
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t
i 0
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1
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b1
b0
b3
b3
b0
b2
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Bézierkurven
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Unausgereifte Objekte
• Schwierige Probleme zu
lösen
• Empfindliche Daten
• Fehlversuche
• Hier: völlig falsche Kurve
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Mathematica Probleme
• Berechnungen für Optische Täuschungen
scheinbar falsch
• Alle Lösungswege scheiterten:
Von Parallel-Projektion ausgegangen
aber Zentral-Projektion
• Lösung: Objekt von weiter weg betrachten
Quasi-Parallel
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Beispiel
x
0
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z
5
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00
0
0
y5
0
5
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10
10
x
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Vollendete Unmöglichkeiten
1. Mit projizierenden Ebenen
2. Mit Bézier-Kurven
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Balken erzeugen
• 4 Punkte bestimmen
• Daraus ein Polygon
erzeugen
• 4 solche Flächen zu
einem Balken
zusammenfügen
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Untere Kanten
4 Balken zu einem
Quadrat
zusammenfügen
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Fertiger Würfel
12 Kanten zu dem
ganzen Würfel
zusammensetzen
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Ebenen
Projizierende Ebenen
aufstellen
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Schnittpunkte
Schnittpunkte des
Würfels mit der
Ebene berechnen
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Pro Kante 2 Polygone
mit den vorher
ausgerechneten
Schnittpunkten als
Endpunkte eingeben
10
z
5
0
0
0
5
5
y
10
10
Fertig ist die optische
Täuschung!!
x
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Weitere Optische
Täuschungen durch
Ausschneiden
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Weitere Optische
Täuschungen durch
Ausschneiden
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Weitere Optische
Täuschungen durch
Ausschneiden
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Tribar mit
Bézier-Kurven
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Unmöglicher Würfel mit
Bézier-Kurven
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Unmögliche Säulen mit
Bézier-Kurven
Slide 31
Danke für eure
Aufmerksamkeit
