Mathematik - Gymnasium Muttenz

Gymnasium Muttenz
Maturitätsprüfung 2012
Mathematik
(Schwerpunktfächer: I, L, M, S, W, Z )
Kandidatin / Kandidat
Name, Vorname: ...................................................................................................
Klasse:........................
Hinweise
-
Die Prüfung dauert 4 Stunden.
-
Sie können maximal 48 Punkte erreichen.
-
Für 40 Punkte und mehr erhalten Sie die Note 6,0 für 0 Punkte die Note 1,0.
-
Erlaubte Hilfsmittel:
1. Teil (Aufgaben 1 bis 3):
-
-
Taschenrechner TI-N'spire (oder äquivalent)
Formelsammlung der Kantonsschule Zelgli
Nur Formelsammlung der Kantonsschule Zelgli
2. Teil (Aufgaben 4 bis 5):
Vorgehen:
Im 1. Teil lösen Sie die Aufgaben 1 bis 3 mit Hilfe des Taschenrechners, Nach Abgabe des
Taschenrechners erhalten Sie die Aufgaben 4 und 5, welche ohne Taschenrechner gelöst werden
müssen.
-
Der Lösungsweg muss bei allen Aufgaben ersichtlich und vollständig sein.
-
Der Einsatz des Taschenrechners ist klar und nachvollziehbar anzugeben.
Klassen / Examinatorinnen und Examinatoren / Expertinnen und Experten
Klasse
Examinatorin / Examinator
Expertin / Experte
4I
4S
4LZ
4Wa
4Wb
4Wd
4MB
Bewertung (Details siehe Lösungen)
Aufgabe
Punkte (möglich)
1
10
2
10
3
8
4
10
5
10
Punktsumme
48
Punkte (erreicht)
Benotung
# Punktsumme ⋅ 5 &
+ 1(( , gerundet auf halbe Noten
Note = %%
40
$
'
⇒
€
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Maturitätsprüfung 2012
Mathematik
(Schwerpunktfächer: I, L, M, S, W, Z )
Kandidatin / Kandidat
Name, Vorname: ...................................................................................................
Klasse:........................
Hinweise
1. Teil (mit Taschenrechner)
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Maturprüfung 2012
Aufgabe 1 (10 Punkte)
Auf einem Spielplatz soll eine neue Kinderrutsche mit den aus der Abbildung ersichtlichen Eigenschaften
(Einheit Meter) entstehen:
• Die Form der Rutsche setzt sich aus zwei Teilen zusammen:
– Der 1. Teil von A bis C, ist dem Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades
(f (x) = ax3 + bx2 + cx + d) nachempfunden.
– Der 2. Teil von C bis D ist ein Graph einer konstanten Funktion.
• Im Punkt C verläuft die Tangente horizontal.
• Am Ende (von C nach D) soll ein horizontales Stück von 50 cm den Schwung abbremsen.
• Bei B ist ein Hochpunkt.
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Maturprüfung 2012
Geben Sie Resultate exakt oder auf zwei Stellen nach dem Komma genau an.
1.1. Berechnen Sie die Funktionsgleichungen
Für die weiteren Berechnungen gilt: f (x) = x3
1.2. Wie hoch liegt der Ausstieg D über dem Boden?
[4.5]
4.2x2 + 4.5x
[0.5]
1.3. In welchem Punkt P ist das Gefälle der Rutsche am grössten? Wie gross ist das Gefälle? [2]
1.4. Weil manchmal auch etwas feste Eltern rutschen, muss für die Stabilität der Rutsche eine
Strebe eingesetzt werden. Sie soll von A an die Rutschfläche reichen. Um Material zu sparen,
soll sie möglichst kurz sein.
Wie lange wird die Strebe und welche Koordinaten hat der Punkt S, an dem sie an der
Rutschfläche befestigt wird?
[3]
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Maturprüfung 2012
Aufgabe 2 (10 Punkte)
Das untenstehende Glücksrad mit drei Sektoren sei gegeben.
2.1. Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden
Ereignisse:
2.1.1. Es erscheint genau siebenmal die Zahl 2.
[1]
2.1.2. Die Zahl 2 erscheint höchstens zweimal.
[2]
2.2. Wie oft muss das Glücksrad mindestens gedreht werden, um mit mindestens 95-prozentiger
Wahrscheinlichkeit wenigstens einmal den Sektor 5 zu erhalten?
[2]
2.3. Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
2.3.1. Es erscheint zweimal die Zahl 2 und einmal die Zahl 5.
2.3.2. Der Zeiger bleibt nie auf der Zahl 0 stehen.
[1.5]
[1]
2.4. Das Glücksrad wird auf einer Wohltätigkeitsveranstaltung eingesetzt. Pro Spiel bezahlt ein
Teilnehmer 5 Franken Einsatz und darf das Glücksrad dreimal drehen. Dann erhält er das
Produkt der drei Sektorwerte ausbezahlt, also im schlechtesten Fall 0 Franken und im besten
Fall 125 Franken.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen möglichen Auszahlungen?
[2.5]
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Maturprüfung 2012
Aufgabe 3 (8 Punkte)
Gegeben seien Perlen mit den folgenden Radien: die erste Perle hat einen Radius von 1.2 cm, die zweite
Perle hat einen um 10% kleineren Radius, der Radius der dritten Perle ist wiederum 10% geringer als
der Radius der zweiten Perle und diese Verkleinerung führt sich fort bis zur letzten 10. Perle. Die Perlen
werden so aneinander gereiht, dass die erste Perle in die Mitte kommt, alle anderen Perlen werden je einmal rechts und einmal links an die vorherige Perle angefügt und auf einen Faden aufgezogen. Somit hat
die Perlenkette von der grössten Perle eine und von allen übrigen je zwei gleiche, insgesamt also 19 Perlen.
3.1. Berechnen Sie den Radius der 2. und 3. Perle.
[1]
3.2. Wie lange wird die Perlenkette mit den 19 Perlen ohne Verschluss?
[2]
3.3. Welche Masse hat die Perlenkette ohne Verschluss und Faden, wenn die Dichte von Perlen
⇢ = 2.7g/cm3 beträgt? Hinweis: ⇢ = m
[3]
V
3.4. Welchen Durchmesser müsste die erste Perle haben, wenn die übrigen Perlen jeweils auch einen
um 10% kleineren Durchmesser haben und die gesamte Kette ohne Verschluss 34 cm lang sein
müsste?
[2]
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Maturitätsprüfung 2012
Mathematik
(Schwerpunktfächer: I, L, M, S, W, Z )
Kandidatin / Kandidat
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Hinweise
2. Teil (ohne Taschenrechner)
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Maturprüfung 2012
Aufgabe 4 (10 Punkte)
Aufgabe 4.1. (4 Punkte)
4.1.1. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x2 · ex . Berechnen Sie die 1. Ableitung f 0 und klammern Sie
vollständig aus.
[1]
4.1.2. Berechnen Sie den Parameter t 2 R so, dass das nachfolgende Integral den angegebenen Wert hat.
Z1
(x2 + t)dx = 10
2
[3]
Aufgabe 4.2. (3 Punkte)
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 2 sin(x2 + 5)
4.2.1. Zeigen Sie, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
4.2.2. Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion.
4.2.3. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion.
[0.5]
[1]
[1.5]
Aufgabe 4.3. (3 Punkte)
Auf zwei der sechs Seiten eines fairen Spielwürfels befindet sich die Zi↵er 2, auf drei Seiten die Zi↵er 4
und auf der sechsten Seite die Zi↵er 6. Bei den einzelnen Teilaufgaben wird lediglich ein Rechenausdruck
verlangt!
4.3.1. Es wird 10 mal nacheinander gewürfelt. Diese erhaltenen Zi↵ern in der gewürfelten Reihenfolge
bilden eine 10-stellige Zahl. Wie viele unterschiedliche Zahlen können so gebildet werden?
[1]
4.3.2. Wie viele der in 4.3.1. erhaltenen Zahlen enthalten genau 3 mal die Zi↵er 2?
[1]
4.3.3. Mit dem Würfel wird 7 mal gewürfelt und die gewürfelte Zi↵er jeweils auf ein separates Zettelchen geschrieben. Die Zi↵er 2 kommt 4 mal und die Zi↵er 6 dreimal vor. Die 7 Zettelchen werden
nebeneinander gelegt. Wie viele unterschiedliche Zahlen kann man auf diese Art erhalten?
[1]
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Maturprüfung 2012
Aufgabe 5 (10 Punkte)
In einem Ausstellungsraum hat ein Künstler eine gerade quadratische Pyramide auf dem Boden aufgestellt.
Diese besteht aus der Grundfläche ABCD (am Boden) und der Spitze S. Im gewählten Koordinatensystem (welches mit 3 Zimmerkanten des Ausstellungsraumes übereinstimmt und als Einheit ,,Dezimeter”
aufweist), sind die folgenden Punkte bekannt: A(8/16/0), B(10/6/0), C(20/8/0) und S(14/12/12).
5.1. Berechnen Sie die Koordinaten des vierten Eckpunkts D der Grundfläche.
5.2. Zeigen Sie, dass dies tatsächlich eine gerade quadratische Pyramide darstellt.
5.3. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
[1]
[1.5]
[1]
5.4. In einer der vertikalen Zimmerkanten des Ausstellungsraumes ist eine starke Lampe bei L(0/0/36)
montiert. Die Lampe wirft einen Schatten der Pyramide auf den Boden (d.h. die xy-Ebene).
Welche Koordinaten hat der Schattenpunkt T der Spitze S der Pyramide?
[2]
5.5. Zur Verstärkung wurden in der Pyramide zwei Streben montiert: eine von A aus zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seitenkante CS, und eine von B aus zum Mittelpunkt der
gegenüberliegenden Seitenkante DS. Zeigen Sie, dass sich die beiden Streben in einem Punkt
P schneiden und berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.
[2.5]
5.6. An der Decke des Raumes im Punkt Q(14/7/50) ist eine dünne Schnur befestigt, welche
senkrecht nach unten hängt und die Seitenfläche BCS gerade berührt. Berechnen Sie die
Koordinatengleichung der Seitenfläche BCS und die Koordinaten des Punktes R, in dem die
Schnur auf die Seitenfläche tri↵t.
[2]
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