Der Approximationssatz von Weierstrass
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Der Approximationssatz von Weierstrass Proseminar Bernsteinpolynome und ihre Anwendungen Prof. Dr. J. Baumeister 20. Juni 2011 Denis Zherlitsyn Institut für Mathematik Johann Wolfgang Goethe-Universität 1 Einige nützliche Sätze Im folgenden werden für den Beweis des Theorems nützliche Definitionen und Propositionen skizziert, ohne letztere zu beweisen. Dazu wird auf die Literatur verwiesen. Definition. Gleichmäßige Konvergenz. Die Funktionenfolge .fn / konvergiert gleichmäßig auf X gegen f , wenn es zu jedem " > 0 einen Index n0 gibt, sodass jedes fn mit n > n0 eine "-Approximation an f auf X ist, wenn also 8n > n0 und alle x 2 X stets jfn .x/ f .x/j < " ist. Definition. Gleichmäßige Stetigkeit. Die Funktion f heisst gleichmäßig stetig auf X , wenn es zu jedem " > 0 ein ı > 0 gibt, sodass 8x; y 2 X mit jx yj < ı immer jf .x/ f .y/j < " ist. Definition. Die Binomialverteilung. Sei n 2 N die Anzahl der Versuche, x 2 Œ0; 1 die Erfolgswahrscheinlichkeit und j die Anzahl der Erfolge. Eine Zufallsvariable X heisst binomialverteilt mit Parametern n und x, wenn ! n j P .X D j / D b.n; xI j / D x .1 x/n j j gilt. Ferner gilt EŒb.n; xI j / D nx und Var.b.n; xI j // D 2 .b.n; xI j // D nx.1 x/. Proposition. Die Bernsteinpolynome. Sei f eine stetige, reelwertige Funktion auf dem Intervall Œ0; 1. Dann konvergiert die Folge der Bernsteinpolynome ! n X j n j f Bn .f I x/ D x .1 x/n j ; n D 0; 1; 2; : : : n j j D0 gleichmäßig gegen f . Beweis. Siehe Abschnitt 2. Proposition. Die Chebyshev-Ungleichung. Sei X eine reelwertige Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert und endlicher Varianz. Dann gilt für beliebiges k > 0 P .jX Beweis. Der Beweis ist zu finden in [3]. EŒX j k / 1 : k2 2 Der Approximationssatz von Weierstrass Theorem. Der Approximationssatz von Weierstrass1 .Sei f eine stetige, reelwertige Funktion auf dem Intervall Œ0; 1 und " > 0. Dann existiert eine Polynomfunktion p, sodass jf .x/ p.x/j < " für 0 x 1. Beweis. Sei Fn;x mit 0 x 1 und n D 0; 1; 2; : : : eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit x. Bei j eingetretenen Erfolgen sei f .j=n/ der Wert von Fn;x . Dann gilt für den Erwartungswert von Fn;x EŒFn;x D n X j D0 j f b.n; xI j / D Bn .f I x/: n Nun ist zu zeigen, dass für alle " > 0 ein N 2 N existiert, sodass für alle n N und für alle 0 x 1 gilt: jEŒFn;x f j < ": Sei nun " > 0 beliebig. Da f auf dem abgeschlossenen Intervall Œ0; 1 stetig ist, ist die Funktion auch beschränkt. Deshalb existiert ein M sodass jf .x/j M für 0 x 1, was auch die maximale Differenz jf .x/ f .y/j 2M auf dem Definitionsbereich impliziert. Da f eine stetige Funktion mit kompaktem Definitionsbereich Œ0; 1 ist, folgt somit auch gleichmäßige Stetigkeit2 . Sei k 2 Np eine positive ganze Zahl mit 2M=k 2 < "=2 und N 2 N eine positive ganze Zahl, sodass k=2 N < ı. Dann gilt für alle n N und 0 x 1, jf .x/ EŒFn;x j D D D 4 U ngl: ˇ ˇ ˇ ˇ n X ˇ ˇ j ˇ ˇf .x/ b.n; xI j / f ˇ ˇ n ˇ ˇ j D0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ n ˇ n X ˇX ˇ j ˇ ˇ f .x/ f b.n; xI j / b.n; xI j / ˇ ˇ n ˇj D0 ˇ j D0 ˇ„ ˇ ƒ‚ … ˇ ˇ D1 ˇ ˇ ˇX ˇ ˇ n ˇ j ˇ f .x/ f b.n; xI j /ˇˇ ˇ n ˇj D0 ˇ ˇ ˇ n X ˇ ˇ ˇf .x/ f j ˇ b.n; xI j / ˇ n ˇ j D0 Als nächstes wird die Summe in zwei Teile zerlegt. So lässt sich ein Teil der Summe mit der geschickten Wahl von ı und der gleichmäßigen Stetigkeit gut abschätzen. Bei dem zweiten Term greift man auf die Überlegung zurück, dass die maximale Differenz von zwei Funktionswerten von f höchstens 2M ist. 1 benannt nach dem deutschen Mathematiker Karl Weierstrass (1815-1897). Eine Verallgemeinerung dieses Approximationssatzes ist der Satz von Stone-Weierstrass. 2 Für den Beweis siehe: Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis – Teil 1. 1991; 9. Auflage, Teubner, Satz 36.5 2 n ˇ X ˇ ˇf .x/ ˇ j D0 ˇ j ˇˇ b.n; xI j / D f n ˇ X ˇ ˇ ˇj ˇ k Dı ˇ n x ˇ< 2p n ˇ ˇ ˇf .x/ ˇ X C ˇ ˇ ˇj ˇ k Dı ˇ n x ˇ 2p n X ˇ ˇ ˇj ˇ ˇ n x ˇ<ı ˇ j ˇˇ f b.n; xI j / n ˇ ˇ ˇ ˇf .x/ ˇ ˇ j ˇˇ f b.n; xI j / n ˇ X " b.n; xI j / C 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ jn 2M b.n; xI j / x ˇı Da die Konstanten "=2 und 2M vom Laufindex j unabhängig sind, zieht man sie vor die Summe. In den beiden Summen stehen nun lediglich Wahrscheinlichkeiten, wobei die zweite Summe von Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse gerade der Wahrscheinlichkeit ein Ereignis in der gesamten Teilmenge zu erzielen, entspricht. X ˇ ˇ ˇ ˇj ˇ n x ˇ<ı X " b.n; xI j / C 2 ˇ ˇ ˇ ˇ 2M b.n; xI j / D ˇ jn x ˇı X " 2 ˇˇ ˇ ˇ b.n; xI j / C 2M ˇ ˇ ˇj ˇ ˇ n x ˇı ˇ jn x ˇ<ı „ ƒ‚ 1 ˇ ˇj " C 2M P ˇˇ 2 n Nun betrachte man die Abschätzung ˇ ˇ p ˇj ˇ ˇ ˇ k 1 p1 k x.1 x/ p1 ; x ˇn ˇ „ ƒ‚ … n 2 n X … ˇ ˇ k ˇ xˇ p 2 n x 2 Œ0; 1 12 multipliziert mit n ergibt sich jj p nx j k nx.1 x/ : „ƒ‚… „ ƒ‚ … EŒb.n;xIj / Mit der nun schwächeren Forderung an die Ereignismenge gilt ˇ ˇj " C 2M P ˇˇ 2 n ˇ ˇ k ˇ xˇ p 2 n D ! r ˇ ˇ ˇj ˇ x.1 x/ " C 2M P ˇˇ x ˇˇ k 2 n n p " C 2M P .jj nxj k nx.1 x// 2 und mit der Chebyshev-Ungleichung folgt p " C 2M P jj nxj k nx.1 2 x/ " C 2M=k 2 2 „ ƒ‚ … < 2" < " 3 b.n; xI j / Literatur [1] K.M. Levasseur. A probabilistic proof of the Weierstrass approximation theorem. The American Mathematical Monthly, 91:249-250, 1984. [2] Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis – Teil 1. 1991; 9. Auflage, Teubner [3] Götz Kersting, Anton Wakolbinger, Elementare Stochastik, Birkhäuser 2008. 4
