Vorlesung 4a Geometrische Verteilung Poissonverteilung

Vorlesung 4a
Geometrische Verteilung
und
Poissonverteilung
1
Warten auf den ersten Erfolg
beim Münzwurf:
Die geometrische Verteilung
2
Sei (Z1, Z2, . . .) ein fortgesetzter Münzwurf
mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1), d.h.
P{Z1 = z1, . . . , Zt = zt} = pk (1 − p)t−k
für alle t ∈ N und alle 0-1 Folgen z1, . . . , zt
mit k Einsen und t − k Nullen.
T := inf{j | j ∈ N, Zj = 1}
ist der Zeitpunkt des ersten Erfolges.
Wie sieht sie Verteilung von T aus?
3
P{T = t} =?
{T = t} = {Z1 = 0, . . . Zt−1 = 0, Zt = 1}
Also
P{T = t} = P{Z1 = 0, . . . Zt−1 = 0, Zt = 1}
= q t−1 p
mit q := 1 − p.
4
Alternativ:
{T ≥ t} = {Z1 = 0, . . . , Zt−1 = 0}
Also
P{T ≥ t} = q t−1.
5
P{T = t} = q t−1 p
P{T ≥ t} = q t−1
Das passt zusammen:
P{T = t} = P{T ≥ t} − P{T ≥ t + 1}
= q t−1 − q t
= q t−1 (1 − q)
= q t−1 p.
6
Definition
Sei p ∈ (0, 1). Eine Zufallsvariable T mit Zielbereich N heißt
geometrisch verteilt mit Parameter p,
kurz Geom(p)-verteilt,
wenn
P{T ≥ t} = q t−1,
t = 1, 2 . . . ,
mit q := 1 − p.
7
E[T ] =?
Anschaulich ist klar:
Beim gewöhnlichen Würfeln kommt im Mittel
jedes 6-te Mal eine Sechs.
Beim Münzwurf mit Erfolgswahrscheinlichkeit p
kommt im Mittel jedes (1/p)-te Mal ein Erfolg.
Also wird gelten (vgl Vorlesung 3b):
1
E[T ] = .
p
8
Das beweist man auch schnell
mit dem folgenden nützlichen und hübschen
Lemma
Ist X eine Zufallsvariable mit Zielbereich N oder N0, dann ist
E[X] =
X
P{X ≥ i}
i≥1
9
Beweis.
ν(j) seinen die Verteilungsgewichte von X.
E[X] =
X
jν(j) =
j≥1
X
i≥1
P{X ≥ i} =
X
j
X
ν(j)
j≥1 i=1
∞
X X
ν(j)
i≥1 j=i
Warum ist das gleich?
10
Wie sieht man die Gleichheit
X
j
X
j≥1 i=1
ν(j) =
∞
X X
ν(j)
?
i≥1 j=i
11
j
i
X
j
X
j≥1 i=1
ν(j)=
∞
X X
a(i, j)
i≥1 j=i
12
j
i
X
j
X
j≥1 i=1
a(i, j) =
∞
X X
ν(j)
i≥1 j=i
13
j
i
Es kommt nicht auf die Reihenfolge
der Summation an
14
j
i
X
j
X
j≥1 i=1
ν(j) =
∞
X X
ν(j)
i≥1 j=i
15
Fazit
Für eine Geom(p)-verteilte Zufallsvariable T ergibt sich:
E[T ] =
X
P{X ≥ i} =
i≥1
X
i≥1
q i−1
1
= .
p
1
E[T ] =
p
16
Kleine Erfolgswahrscheinlichkeit:
Wie lange dauert es bis zum ersten Erfolg?
Sei p eine kleine positive Zahl
und T eine Geom(p)-verteilte Zufallsvariable.
Was kann man über T aussagen,
außer dass es tendenziell groß ist?
17
Betrachten wir T auf der Skala seines Erwartungswertes:
T
= pT .
T :=
E[T ]
f
Für t ∈ R+ ist
t
P{T ≥ t} = P{T ≥
}
p
f
t
p
= 1−p
1 p t
p
p
= 1−p
≈ (e−1)t = e−t.
18
Diese Tatsache formulieren wir als einen Grenzwertsatz:
Satz Sei X1, X2, . . . eine Folge von
geometrisch verteilten Zufallsvariablen mit der Eigenschaft
E[Xn] → ∞.
Dann gilt mit n → ∞
Xn
≥ t → e−t
P
E[Xn]
für alle t ≥ 0.
19
Kleine Erfolgswahrscheinlichkeit:
Wie viele Erfolge gibt es bei vielen Versuchen?
Sei n eine große natürliche Zahl, p = pn eine kleine positive
Zahl, und Xn eine Bin(n, p)-verteilte Zufallsvariable.
Man kann dann die Verteilungsgewichte von Xn
approximativ als Funktion von E[Xn] = n pn ausdrücken,
wie der folgende Grenzwertsatz zeigt:
20
Satz (Gesetz der seltenen Ereignisse)
Sei λ > 0 und sei Xn, n = 1, 2, . . .,
eine Folge von Bin(n, pn)-verteilten Zufallsvariablen,
so dass für n → ∞
E[Xn] → λ ,
λ
d. h. pn ∼ .
n
Dann gilt für jedes k = 0, 1, 2, . . .
k
λ
.
P{Xn = k} → e−λ
k!
21
Beweis:
n k
pn(1 − pn)n−k =
k
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1
np
n
k
−k
·(np
)
·
1−
·(1−p
)
.
·
n
n
k
n
k!
n
22
Beweis:
n k
pn(1 − pn)n−k =
k
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1
np
n
k
−k
·
·(np
)
·
1−
·(1−p
)
n
n
n{zk
n
} k!
|
→1
23
Beweis:
n k
pn(1 − pn)n−k =
k
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1
np
n
k
−k
·
·(np
)
·(1−p
)
1−
n
n
| {z }
n{zk
n
} k!
|
k
→1
→λ
24
Beweis:
n k
pn(1 − pn)n−k =
k
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1
np
n
−k
k
(1
−
p
)
(np
)
1
−
n
n
| {z }
n{zk
} k!
{z n
}
|
k |
→1
→λ
→e−λ
25
Beweis:
n k
pn(1 − pn)n−k =
k
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1
np
n
−k
k
(1
−
p
)
(np
)
1
−
n
n
|
| {z }
{z
}
n{zk
n
} k!
{z
}
|
|
k
→1
→1
→λ
→e−λ
26
Beweis:
n k
pn(1 − pn)n−k =
k
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1
np
n
−k
k
(1
−
p
)
(np
)
1
−
n
n
|
| {z }
{z
}
n{zk
n
} k!
{z
}
|
|
k
→1
→1
→λ
1 k −λ
.
→ λ e
k!
→e−λ
27
Definition (Poissonverteilung)
Sei λ ∈ R+.
Eine Zufallsvariable X mit Zielbereich N0 heißt
Poissonverteilt mit Parameter λ,
kurz Pois(λ)-verteilt,
wenn
k
λ
,
P{X = k} = e−λ
k!
k = 0, 1, 2, . . . .
28
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
20
Binomialgewichte zu n = 100 und p = 0.03
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
20
Poissongewichte zum Parameter λ =3
00
55
10
10
15
15
20
20
0.00
0.00
0.05
0.05
0.10
0.10
0.15
0.15
0.20
0.20
Satz.
Der Erwartungswert
einer Pois(λ)-verteilten Zufallsvariablen X ist
E[X] = λ.
Beweis:
k
λ
k e−λ
E[X] =
k!
k=0
∞
X
k−1
λ
e−λ
=λ
=λ·1
(k − 1)!
k=1
∞
X
32