IAIB

Übungen zu GeoGebra
F. Hofbauer
Auf den folgenden Seiten sind Konstruktionsübungen zu finden, die mit einer dynamischen
Geometriesoftware (Geogebra) durchgeführt werden können. Man kann auf diese Weise Sätze
aus der Geometrie verifizieren, ohne einen mathematischen Beweis zu geben.
1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz)
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und die Winkelsymmetralen der
Innen- und Außenwinkel. Die Schnittpunkte sind der Inkreismittelpunkt I und die Ankreismittelpunkte Ia , Ib und Ic . Wir zeichnen die Mittelpunkte der sechs Strecken Ia I, Ib I, Ic I,
Ia Ib , Ia Ic und Ib Ic , am besten in roter Farbe.
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Seitensymmetralen und den Umkreis des
Dreiecks △ ABC.
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir Kreise, die die rot gezeichneten Punkte als Mittelpunkte haben und durch möglichst viele Punkte hindurchlaufen.
2. An– und Inkegelschnitte
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und die Verlängerungen der
Dreieckseiten. Wir wählen einen Punkt F . Wir spiegeln F an der Dreieckseite BC und
erhalten Fa , an der Dreieckseite AC und erhalten Fb , und schließlich an der Dreieckseite AB
und erhalten Fc . Sei G der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises durch Fa , Fb und Fc .
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Ellipse mit Brennpunkten F und G und mit
Halbachse r/2.
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Fußpunkte der Lote von F und G auf die
Verlängerungen der drei Dreieckseiten. Was kann man über die sechs Fußpunkte aussagen?
Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Winkelsymmetralen wα , wβ und wγ der Innenwinkel des Dreiecks △ ABC. Wir spiegeln ℓ(F, A) an wα , ℓ(F, B) an wβ und ℓ(F, C) an wγ .
Zeichnung 5: In Zeichnung 2 zeichnen wir den Schnittpunkt Pa der Gerade ℓ(Fa , G) mit
der Verlängerung der Dreieckseite BC, den Schnittpunkt Pb der Gerade ℓ(Fb , G) mit der
Verlängerung der Dreieckseite AC, und den Schnittpunkt Pc der Gerade ℓ(Fc , G) mit der
Verlängerung der Dreieckseite AC. Weiters zeichnen wir ℓ(Pa , A), ℓ(Pb , B) und ℓ(Pc , C).
Zeichnung 6: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Seitensymmetralen des Dreiecks △ Fa Fb Fc .
3. Zweite und erste Steinergerade
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und den Umkreis. Wir wählen
einen Punkt F auf dem Umkreis. Wir spiegeln F an der Dreieckseite BC und erhalten Fa ,
an der Dreieckseite AC und erhalten Fb , und an der Dreieckseite AB und erhalten Fc . Wir
konstruieren den Höhenschnittpunkt H und zeichnen die Gerade g durch H und Fa .
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Verlängerungen der Seiten des Dreiecks △ ABC
und die Parabel mit Brennpunkt F und Leitlinie g.
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schnittpunkt Pa ̸= F der Geraden ℓ(Fa , F )
mit dem Umkreis, den Schnittpunkt Pb ̸= F der Geraden ℓ(Fb , F ) mit dem Umkreis, und den
Schnittpunkt Pc ̸= F der Geraden ℓ(Fc , F ) mit dem Umkreis. Schließlich zeichnen wir die
Geraden ℓ(Pa , A), ℓ(Pb , B) und ℓ(Pc , C).
4. Vierecke
Zeichnung 1: Wir zeichnen vier beliebige Punkte A, B, C und D. Sei E der Schnittpunkt
der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D). Sei F der Schnittpunkt der Geraden ℓ(B, C) und ℓ(D, A).
Es entstehen vier Dreiecke △ ABF , △ CDF , △ ADE und △ BCE.
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Umkreise der vier Dreiecke.
Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Mittelpunkte der vier Umkreise ein. Was kann
man über die Mittelpunkte sagen?
Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Höhenschnittpunkte der vier Dreiecke. Was
kann man über die Höhenschnittpunkte sagen?
Zeichnung 5: In Zeichnung 4 zeichnen wir zwei Umkreise und deren Schnittpunkt P , der
kein Eckpunkt ist. Wir zeichnen die Fußpunkte der Lote von P auf die vier Geraden, die die
Dreieckseiten bilden. Was kann man über diese Fußpunkte sagen?
Zeichnung 6: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Strecken AC, BD und EF und deren Mittelpunkte. Was kann man über diese Mittelpunkte sagen?
Zeichnung 7: In Zeichnung 6 zeichnen wir die drei Kreise, die die Strecken AC, BD und EF
als Durchmesser haben.
5. Kiepert
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC. Wir wählen einen Winkel w = 300
(Das Zeichen für Grad findet man, wenn man auf das Symbol α klickt). Auf jede der Seiten
des Dreiecks △ ABC als Basis setzen wir ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basiswinkel w.
Die Spitzen dieser aufgesetzten Dreiecke seien Sa , Sb und Sc . (Das kann man so machen: Wir
zeichnen ℓ(A, B) und drehen diese Gerade um den Punkt A mit Winkel w im Uhrzeigersinn und
um den Punkt B mit Winkel w im Gegenuhrzeigersinn. Der Schnittpunkt Sc der gedrehten
Geraden ist die Spitze des Dreiecks. Ebenso für die anderen beiden Dreieckseiten.) Durch
Klicken auf den Punkt links neben w in der Algebraansicht richten wir einen Schieberegler für
w ein. Wir lassen w von −900 bis 900 laufen.
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Geraden ℓ(Sa , A), ℓ(Sb , B) und ℓ(Sc , C). Sei
K der Schnittpunkt von ℓ(Sa , A) und ℓ(Sb , B).
Zeichnung 3: In Zeichnung 2 schalten wir die Spur von K ein und lassen w laufen.
Zeichnung 4: In Zeichnung 2 zeichnen wir den Schwerpunkt S und den Höhenschnittpunkt
H des Dreiecks △ ABC und den Kegelschnitt durch die fünf Punkte A, B, C, H und S.
Zeichnung 5: In Zeichnung 4 zeichnen wir die Asymptoten und bestimmen den Winkel zwischen ihnen. Weiters zeichnen wir den Umkreis des Seitenmittendreiecks.
Zeichnung 6: In Zeichnung 5 können wir auch noch die Lote vom Schwerpunkt S auf die drei
Dreieckseiten zeichnen und den Kreis durch die Fußpunkte dieser Lote.
Zeichnung 7: In Zeichnung 4 zeichnen wir den Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks.
6. Napoleon und Morley
Zeichnung 1: Wir übernehmen Zeichnung 1 aus dem letzten Abschnitt. Wir löschen den
Schieberegler für w (in der Algebraansicht auf den Punkt links neben der Zahl w klicken).
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 geben wir w = 300 ein. Wir zeichnen das Dreieck △ Sa Sb Sc
und bestimmen die Winkel in diesem Dreieck. (Wir geben w = −300 ein.)
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 geben wir w = 450 ein. Wir zeichnen die Strecken Sa Sb und Sc C
und vergleichen deren Länge . Wir bestimmen den Winkel zwischen diesen beiden Strecken.
Zeichnung 4: In Zeichnung 1 geben wir w = 600 ein. Wir zeichnen die Strecken Sa A, Sb B
und Sc C und vergleichen deren Längen. Wir zeichnen die Umkreise der aufgesetzten Dreiecke.
Zeichnung 5: In Zeichnung 4 geben wir v = 470 und u = 210 ein. Die Geraden ℓ(A, B) und
ℓ(A, C) wurden um den Punkt A mit Winkel w gedreht. Wir definieren die gedrehten Geraden
um (Doppelklicken auf die gedrehte Gerade), indem wir den Winkel von w auf u ändern. Die
Geraden ℓ(A, B) und ℓ(B, C) wurden um den Punkt B mit Winkel w gedreht. Wir definieren
die gedrehten Geraden um, indem wir den Winkel von w auf v ändern. Die um C gedrehten
Geraden lassen wir unverändert. Wir geben andere Winkel für u, v und w ein (Schieberegler).
Was passiert mit den Strecken Sa A, Sb B und Sc C, was mit den Umkreisen?
Zeichnung 6: In Zeichnung 5 geben wir w = 1800 −u−v ein. Was passiert mit den Umkreisen?
Wir vergleichen die Winkel zwischen den Strecken Sa A, Sb B und Sc C mit den Winkeln u, v
und w. Wir geben wir w = 900 − u − v ein. Was passiert in diesem Fall mit den Umkreisen?
Zeichnung 7: In Zeichnung 5 löschen wir die Umkreise. Wir bestimmen die Winkel α, β und
γ des Dreiecks △ ABC. Wir geben u = 600 − α/3, v = 600 − β/3 und w = 600 − γ/3 ein. (Die
Basiswinkel der aufgesetzten Dreiecke dritteln die Außenwinkel beim jeweiligen Eckpunkt des
Dreiecks △ ABC.) Wir zeichnen das Dreieck △ Sa Sb Sc und bestimmen dessen Winkel.
Zeichnung 8: In Zeichnung 7 geben wir u = −α/3, v = −β/3 und w = −γ/3 ein. Die aufgesetzten Dreiecke sitzen jetzt innen. Ihre Basiswinkel dritteln die Innenwinkel beim jeweiligen
Eckpunkt des Dreiecks △ ABC.
7. Höhenfußpunkt– und Tangentendreieck
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC, dessen Höhen und den Höhenschnittpunkt H. Wir zeichnen den Umkreis des Dreiecks △ ABC und die Tangenten an den
Umkreis in den Punkten A, B und C. Diese Tangenten bilden die Seiten des Tangentendreiecks.
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Höhenfußpunkt D der Höhe durch C, den
Höhenfußpunkt E der Höhe durch A und den Höhenfußpunkt F der Höhe durch B. Wir
zeichnen das Dreieck △ DEF (Höhenfußpunktdreieck). Wie liegt das Höhenfußpunktdreieck
zum Tangentendreieck?
Zeichnung 3: In Zeichnung 2 bestimmen wir die Winkel in den Dreiecken △ ADF , △ BDE
und △ CEF .
Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Umkreismittelpunkt U des Dreiecks △ ABC
und die Eulergerade ℓ(H, U ). Weiters zeichnen wir die Ecken und den Umkreismittelpunkt des
Tangentendreiecks.
8. Besondere Punkte
Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC. Wir versuchen, die besonderen Punkte in eine
Zeichnung zu zeichnen. Am besten ist es, sie besonders hervorzuheben, zum Beispiel durch
rote Farbe. Hilfslinien, wie zum Beispiel Höhen und Winkelsymmetralen, sollten strichliert oder
punktiert gezeichnet werden (unsichtbar gemacht werden), damit die Übersicht nicht verloren
geht. Sind die besonderen Punkte gezeichnet, dann suchen wir nach Geraden, auf denen mehr
als zwei besondere Punkte liegen.
Den Höhenschnittpunkt H zeichnen wir als Schnittpunkt der drei Höhen.
Um den Umkreismittelpunkt U zu erhalten, zeichnen wir den Umkreis und dessen Mittelpunkt (das erspart das Zeichnen von Hilfslinien).
Den Schwerpunkt S können wir in die Eingabezeile tippen: S = (A + B + C)/3.
Wir zeichnen die Symmetralen der Innen- und Außenwinkel. Deren Schnittpunkte sind der
Inkreismittelpunkt I und die Ankreismittelpunkte Ia , Ib und Ic .
Wir zeichnen die Senkrechte ga auf BC durch Ia , die Senkrechte gb auf AC durch Ib und die
Senkrechte gc auf AB durch Ic . Die Geraden ga , gb und gc schneiden einander in einem Punkt,
dem Bevanpunkt V . (Dieser ist auch der Mittelpunkt des Kreises durch Ia , Ib und Ic .)
Sei Pa der Schnittpunkt von ga mit BC, Pb der von gb mit AC und Pc der von gc mit AB
(Berührpunkte der Ankreise). Die Geraden ℓ(Pa , A), ℓ(Pb , B) und ℓ(Pc , C) schneiden einander
in einem Punkt, dem Nagelpunkt N .
Seien Ma , Mb und Mc die Mitten der Dreieckseiten. Die Geraden ℓ(Ia , Ma ), ℓ(Ib , Mb ) und
ℓ(Ic , Mc ) schneiden einander in einem Punkt, dem Mittenpunkt M .
Wir spiegeln Pa an Ma , Pb an Mb und Pc an Mc . Das ergibt die Punkte Qa , Qb und Qc .
(Es sind die Berührpunkte des Inkreises – Ausprobieren: Kreis mit Mittelpunkt I durch Qa .)
Die Geraden ℓ(Qa , A), ℓ(Qb , B) und ℓ(Qc , C) schneiden einander in einem Punkt, dem Gergonnepunkt G.
Wir spiegeln H an U und erhalten den Longchampspunkt L.
Der Schnittpunkt der Symmetralen der Innenwinkel des Seitenmittendreiecks (Inkreismittelpunkt des Seitenmittendreiecks) ist der Spiekerpunkt K.
9. Miquel
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und die Verlängerungen ℓ(A, B),
ℓ(B, C) und ℓ(A, C) der Dreieckseiten. Wir wählen beliebige Punkte D auf ℓ(A, B), E auf
ℓ(B, C) und F auf ℓ(A, C). Wir zeichnen drei Kreise: den Kreis ka durch A, D, F , den Kreis
kb durch B, D, E und den Kreis kc durch C, E, F .
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Gerade g durch E und F . Sei G der Schnittpunkt von g mit ℓ(A, B). Wir definieren die Kreise ka und kb um (Doppelklicken auf den
Kreis): Wir ersetzen D durch G, das heißt ka geht jetzt durch A, G, F und kb durch B, G, E.
Wir zeichnen den Umkreis des Dreiecks △ ABC (grün).
Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Mittelpunkte Ma , Mb und Mc der Kreise ka ,
kb und kc und die Geraden ℓ(Ma , A), ℓ(Mb , B) und ℓ(Mc , C).
10. Der Feuerbachkreis
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC, die Mittelpunkte der Seiten des
Dreiecks und den Kreis durch diese Mittelpunkte (Feuerbachkreis oder Neunpunktkreis).
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 konstruieren wir den Inkreis und die drei Ankreise.
Zeichnung 3: In Zeichnung 2 zeichnen wir die Schnittpunkte der Ankreise mit dem Feuerbachkreis und verbinden jeden dieser Schnittpunkte mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des
Dreiecks △ ABC. Den Schnittpunkt des Inkreises mit dem Feuerbachkreis verbinden wir mit
dem Inkreismittelpunkt.
Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Höhen. Sei D der Fußpunkt der Höhe durch
den Eckpunkt C, sei E der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt A und sei F der Fußpunkt
der Höhe durch den Eckpunkt B. (Wir zeichnen das Höhenfußpunktdreieck △ DEF .) Weiters
zeichnen wir den Höhenschnittpunkt H, den Mittelpunkt U der Strecke AH, den Mittelpunkt
V der Strecke BH, und den Mittelpunkt W der Strecke CH.
Zeichnung 5: Das Dreieck △ ABC in Zeichnung 4 sei spitzwinkelig. Wir bestimmen seine
Innenwinkel α, β und γ und die Abstände p = |AF |, q = |AD|, r = |BE| und s = |CE|.
Wir wählen einen beliebigen Punkt P (im Dreieck △ ADF ). Wir drehen den Punkt P um
den Punkt D im Uhrzeigersinn um den Winkel 1800 − γ und strecken den gedrehten Punkt
zentrisch vom Punkt D aus um den Streckungsfaktor pr . Das ergibt einen Punkt Q. (Diese
Drehstreckung führt auch A in E über und F in B.) Weiters drehen wir den Punkt P um den
Punkt F im Gegenuhrzeigersinn um den Winkel 1800 − β und strecken den gedrehten Punkt
zentrisch vom Punkt F aus um den Streckungsfaktor qs . Das ergibt einen Punkt R. (Diese
Drehstreckung führt auch A in E über und D in C.)
Wir zeichnen die Geraden ℓ(P, U ), ℓ(Q, V ) und ℓ(R, W ). Was erkennt man?
Zeichnung 6: In Zeichnung 4 wählen wir einen beliebigen Punkt P , zeichnen die Gerade g
durch P und H und die Senkrechte h auf g durch H. Wir zeichnen die Lote vom Eckpunkt
A auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte Ag und Ah . Ebenso zeichnen wir die Lote
vom Eckpunkt B auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte Bg und Bh und die Lote vom
Eckpunkt C auf die Geraden g und h und deren Fußpunkte Cg und Ch . Schließlich zeichnen
wir die Geraden ℓ(Ag , Ah ), ℓ(Bg , Bh ) und ℓ(Cg , Ch ).
11. Sechsecke mit Umkreis
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC. Sei D der Fußpunkt der Höhe
durch den Eckpunkt C, sei E der Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt A und sei F der
Fußpunkt der Höhe durch den Eckpunkt B.
Seien Q und U die Projektionen des Punktes D auf die Dreiecksseiten AC und BC. Seien R
und T die Projektionen des Punktes E auf die Dreiecksseiten AC und AB. Seien P und V die
Projektionen des Punktes F auf die Dreiecksseiten AB und BC. Wir zeichnen das Sechseck
P T U V RQ.
Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P T und RV , die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P T und RV einschließt.
Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken T U und QR, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken T U und QR einschließt.
Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P Q und U V , die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P Q und U V einschließt.
Wir zeichnen den Schnittpunkt M von zwei dieser Verbindungslinien und den Kreis mit Mittelpunkt M durch P .
Zeichnung 2: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC. Sei D der Mittelpunkt der Seite
AB, sei E der Mittelpunkt der Seite BC und sei F Mittelpunkt der Seite AC. Wir zeichnen
die Schwerlinien und den Schwerpunkt S.
Sei P der Umkreismittelpunkt des Dreiecks △ ADS. Sei Q der Umkreismittelpunkt des
Dreiecks △ AF S. Sei R der Umkreismittelpunkt des Dreiecks △ CF S. Sei T der Umkreismittelpunkt des Dreiecks △ BDS. Sei U der Umkreismittelpunkt des Dreiecks △ BES. Sei V
der Umkreismittelpunkt des Dreiecks △ CES. Wir zeichnen das Sechseck P T U V RQ.
Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P T und RV , die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P T und RV einschließt.
Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken T U und QR, die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken T U und QR einschließt.
Wir zeichnen die Mittelpunkte der Strecken P Q und U V , die Verbindungslinie dieser Mittelpunkte, und die Winkel, die diese Verbindungslinie mit den Strecken P Q und U V einschließt.
Wir zeichnen den Schnittpunkt M von zwei dieser Verbindungslinien und den Kreis mit Mittelpunkt M durch P .
Zeichnung 3: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC, die Schwerlinien sA , sB und sC
und den Schwerpunkt S. Wir zeichnen die Senkrechte gA auf sA durch S, die Senkrechte gB auf
sB durch S und die Senkrechte gC auf sC durch S. Wir zeichnen die Symmetrale der Strecke
AS und deren Schnittpunkte A1 und A2 mit gB und gC . Wir zeichnen die Symmetrale der
Strecke BS und deren Schnittpunkte B1 und B2 mit gA und gC . Wir zeichnen die Symmetrale
der Strecke CS und deren Schnittpunkte C1 und C2 mit gA und gB . Was kann man über die
Punkte A1 , A2 , B1 , B2 , C1 und C2 sagen?
Zeichnung 4: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und die Trägergeraden ga , gb und
gc der Dreiecksseiten. Wir konstruieren den Höhenschnittpunkt H, zeichnen die Mittelpunkte
Ma , Mb und Mc der Dreiecksseiten. Weiters seien ka , kb und kc die Kreise durch H, die Ma ,
Mb und Mc als Mittelpunkte haben. Wir zeichnen die Schnittpunkte A1 und A2 von ka mit
ga , die Schnittpunkte B1 und B2 von kb mit gb und die Schnittpunkte C1 und C2 von kc mit
gc . Was kann man über die Punkte A1 , A2 , B1 , B2 , C1 und C2 sagen? (Wir zeichnen noch
den Umkreis.)
Zeichnung 5: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und die Trägergeraden ga , gb und
gc der Dreiecksseiten. Wir wählen einen Punkt P . Wir zeichnen ℓ(A, P ) und wählen einen
beliebigen Punkt A1 auf dieser Gerade. Wir zeichnen ℓ(B, P ) und wählen einen beliebigen
Punkt B1 auf dieser Gerade. Wir zeichnen ℓ(C, P ) und wählen einen beliebigen Punkt C1 auf
dieser Gerade. Weiters sei ka der Kreis durch die Punkte P , B1 und C1 , sei kb der Kreis durch
die Punkte P , A1 und C1 und kc der Kreis durch die Punkte P , A1 und B1 . Wir zeichnen die
Schnittpunkte von ka mit ga , die Schnittpunkte von kb mit gb und die Schnittpunkte von kc
mit gc . Was kann man über diese sechs Schnittpunkte sagen?
Zeichnung 6: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und die Trägergeraden ga , gb und
gc der Dreiecksseiten. Wir wählen einen Punkt P . Wir zeichnen ℓ(A, P ) und die Senkrechte
ha durch A auf ℓ(A, P ). Wir zeichnen ℓ(B, P ) und die Senkrechte hb durch B auf ℓ(B, P ). Wir
zeichnen ℓ(C, P ) und die Senkrechte hc durch C auf ℓ(C, P ). Sei A1 der Schnittpunkt von hb
und hc und ka der Kreis mit Mittelpunkt A1 durch den Punkt P . Sei B1 der Schnittpunkt von
ha und hc und kb der Kreis mit Mittelpunkt B1 durch den Punkt P . Sei C1 der Schnittpunkt
von ha und hb und kc der Kreis mit Mittelpunkt C1 durch den Punkt P . Wir zeichnen die
Schnittpunkte von ka mit ga , die Schnittpunkte von kb mit gb und die Schnittpunkte von kc
mit gc . Was kann man über diese sechs Schnittpunkte sagen?
12. Pascal und Brianchon
Zeichnung 1: Wir wählen fünf Punkte A, B, C, D und E und zeichnen den Kegelschnitt
durch diese fünf Punkte.
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 wählen wir einen sechsten Punkt F auf dem Kegelschnitt. Wir
zeichnen die sechs Geraden ℓ(A, B), ℓ(B, C), ℓ(C, D), ℓ(D, E), ℓ(E, F ) und ℓ(F, A) und bilden
die Schnittpunkte der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(D, E), der Geraden ℓ(B, C) und ℓ(E, F ), und
der Geraden ℓ(C, D) und ℓ(F, A). Was kann man über diese drei Schnittpunkte sagen?
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir die vier Geraden ℓ(A, B), ℓ(B, C), ℓ(C, D) und
ℓ(D, A) und bilden den Schnittpunkt der Geraden ℓ(A, B) und ℓ(C, D) und den der Geraden
ℓ(B, C) und ℓ(D, A). Wir zeichnen die Tangenten an den Kegelschnitt in den Punkten A, B,
C und D und bilden den Schnittpunkt der Tangenten in A und in C und den der Tangenten
in B und in D. Was kann man über diese vier Schnittpunkte sagen?
Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Geraden ℓ(A, B), ℓ(B, C) und ℓ(C, A) und die
Tangenten an den Kegelschnitt in den Punkten A, B und C. Wir bilden den Schnittpunkt der
Gerade ℓ(A, B) mit der Tangenten in C, den der Gerade ℓ(B, C) mit der Tangenten in A und
den der Gerade ℓ(C, A) mit der Tangenten in B. Was kann man über die Schnittpunkte sagen?
Zeichnung 5: In Zeichnung 1 wählen wir einen sechsten Punkt F auf dem Kegelschnitt. Wir
zeichnen die Tangenten tA , tB , tC , tD , tE und tF in diesen sechs Punkten an den Kegelschnitt.
Seien G, H, I, J, K und L der Reihe nach die Schnittpunkte von tA und tB , von tB und tC ,
von tC und tD , von tD und tE , von tE und tF und von tF und tA . Schließlich zeichnen wir
noch die Geraden ℓ(G, J), ℓ(H, K) und ℓ(I, L). Was kann man über diese drei Geraden sagen?
Zeichnung 6: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Tangenten tA , tB , tC und tD in diesen vier
Punkten an den Kegelschnitt. Seien G, H, I und J der Reihe nach die Schnittpunkte von tA
und tB , von tB und tC , von tC und tD und von tD und tA . Wir zeichnen die Geraden ℓ(A, C),
ℓ(B, D), ℓ(G, I) und ℓ(H, J).
Zeichnung 7: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Tangenten tA , tB und tC in diesen drei Punkten
an den Kegelschnitt. Seien G, H und I der Reihe nach die Schnittpunkte von tA und tB , von
tB und tC und von tC und tA . Wir zeichnen die Geraden ℓ(A, H), ℓ(B, I) und ℓ(C, G).
13. Umkreis
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und dessen Umkreis. Wir wählen
einen beliebigen Punkt P . Sei D der Schnittpunkt ̸= A der Gerade ℓ(A, P ) mit dem Umkreis,
sei E der Schnittpunkt ̸= B der Gerade ℓ(B, P ) mit dem Umkreis und sei F der Schnittpunkt
̸= C der Gerade ℓ(C, P ) mit dem Umkreis. Wir zeichnen das Dreieck △ DEF
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Tangenten an den Umkreis in den Punkten
D, E und F . Der Schnittpunkt der Tangenten durch E und F sei U , der Schnittpunkt der
Tangenten durch D und F sei V und der Schnittpunkt der Tangenten durch D und E sei W .
Wir zeichnen die Geraden ℓ(D, U ), ℓ(E, V ) und ℓ(F, W ). (Das sind die Geraden von den Ecken
zu den Berührpunkten des Inkreises im Dreieck △ U V W - Gergonnepunkt)
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Fußpunkt R des Lots von P auf ℓ(B, C), den
Fußpunkt S des Lots von P auf ℓ(A, C) und den Fußpunkt T des Lots von P auf ℓ(A, B). Wir
zeichnen das Dreieck △ RST . Wir bestimmen die Winkel der Dreiecke △ RST und △ DEF .
14. Eulergeraden
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC, den Höhenschnittpunkt H, den
Umkreismittelpunkt U und den Inkreismittelpunkt I. Wir zeichnen die Eulergerade ℓ(U, H).
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schwerpunkt Sa und den Umkreismittelpunkt
Ua des Dreiecks △ BCH. Wir zeichnen den Schwerpunkt Sb und den Umkreismittelpunkt
Ub des Dreiecks △ ACH. Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt Sc und den Umkreismittelpunkt Uc des Dreiecks △ ABH. Wir zeichnen die Geraden ℓ(Sa , Ua ), ℓ(Sb , Ub ) und ℓ(Sc , Uc ).
Wir zeichnen den Mittelpunkt der Strecke U H.
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Schwerpunkt Sa und den Umkreismittelpunkt
Ua des Dreiecks △ BCI. Wir zeichnen den Schwerpunkt Sb und den Umkreismittelpunkt Ub des
Dreiecks △ ACI. Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt Sc und den Umkreismittelpunkt
Uc des Dreiecks △ ABI. Wir zeichnen die Geraden ℓ(Sa , Ua ), ℓ(Sb , Ub ) und ℓ(Sc , Uc ). Wir
zeichnen den Umkreis des Dreiecks △ ABC.
Zeichnung 4: In Zeichnung 1 schneiden wir die Eulergerade mit den Seiten des Dreiecks.
Sei D ihr Schnittpunkt mit ℓ(B, C), E ihr Schnittpunkt mit ℓ(A, C) und F ihr Schnittpunkt
mit ℓ(A, B). Wir zeichnen den Schwerpunkt Sa und den Umkreismittelpunkt Ua des Dreiecks
△ AEF . Wir zeichnen den Schwerpunkt Sb und den Umkreismittelpunkt Ub des Dreiecks
△ BDF . Schließlich zeichnen wir den Schwerpunkt Sc und den Umkreismittelpunkt Uc des
Dreiecks △ CDE. Wir zeichnen die Geraden ℓ(Sa , Ua ), ℓ(Sb , Ub ) und ℓ(Sc , Uc ). Sei P der
Schnittpunkt von ℓ(Sb , Ub ) und ℓ(Sc , Uc ). Sei Q der Schnittpunkt von ℓ(Sa , Ua ) und ℓ(Sc , Uc ).
Sei R der Schnittpunkt von ℓ(Sa , Ua ) und ℓ(Sb , Ub ). Wir zeichnen die Geraden ℓ(A, P ), ℓ(B, Q)
und ℓ(C, R).
15. Geraden und Kreise
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC, die drei Höhen, den Höhenschnittpunkt H und die Fußpunkte Ha und Hb der Höhen durch A und B. Wir zeichnen den Umkreis
und seinen Mittelpunkt U , den Kreis durch H, C und Ha und seinen Mittelpunkt K und den
Schnittpunkt P ̸= C dieser beiden Kreise. Schließlich zeichnen wir den Mittelpunkt M der
Seite AB und den Punkt D, den man durch Spiegelung von H an der Seite AB erhält.
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Gerade durch A und B, die durch Ha und Hb
und die durch C und P . Weiters zeichnen wir den Kreis durch D, M und C.
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 spiegeln wir H am Punkt M und erhalten den Punkt E. Wir
zeichnen die Gerade durch E und C. Ihr Schnittpunkt mit der Gerade durch A und B sei R.
Wir zeichnen die Gerade durch Ha und Hb . Ihr Schnittpunkt mit der Höhe durch C sei S.
Schließlich zeichnen wir (grün) die Strecken EP , RS und U K.
16. Inkreise (Thebault)
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC und dessen Umkreis u. Wir zeichnen den Umkreismittelpunkt U und bestimmen den Umkreisradius r. Sei g die Gerade durch
A und B. Wir zeichnen eine Parallele l zu g, die Abstand r von g hat und auf derselben Seite
von g liegt wie C. Wir zeichnen die Parabel mit Brennpunkt U und Leitlinie l. Kreise, die
die Gerade g und den Umkreis berühren, haben ihren Mittelpunkt auf dieser Parabel, oder auf
der, die man erhält, wenn man die Gerade l auf der anderen Seite von g zeichnet.
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir den Inkreis und bestimmen den Inkreisradius r0 .
Wir zeichnen die Höhe h durch C und die beiden Winkelsymmetralen der Geraden g und h.
Ihre Schnittpunkte mit der Parabel p, die auf derselben Seite von g liegen wie C, seien M1
und M2 . Wir zeichnen die Kreise k1 und k2 , die M1 und M2 als Mittelpunkte haben und g
berühren. (Sie berühren auch h und u.) Wir bestimmen die Radien r1 und r2 der Kreise k1
und k2 . Welche Gleichung besteht zwischen r1 , r2 und r0 ?
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 wählen wir einen Punkt P auf g und zeichnen die Gerade h
durch C und P . Wir zeichnen die beiden Winkelsymmetralen der Geraden g und h. Ihre
Schnittpunkte mit der Parabel p, die auf derselben Seite von g liegen wie C, seien M1 und M2 .
Wir zeichnen die Kreise k1 und k2 , die M1 und M2 als Mittelpunkte haben und g berühren.
(Sie berühren auch h und u.) Die Berührpunkte der Kreise k1 und k2 mit g nennen wir G1 und
G2 . Wir zeichnen die Winkelsymmetralen des Dreiecks △ ABC und dessen Inkreismittelpunkt
I. Was kann man über die Punkte M1 , M2 und I sagen?
Zeichnung 4: In Zeichnung 3 zeichnen wir die Berührpunkte H1 und H2 der Kreise k1 und
k2 mit h und die Berührpunkte K1 und K2 der Kreise k1 und k2 mit dem Umkreis u. Wir
zeichnen die Geraden ℓ(G1 , H1 ) und ℓ(G2 , H2 ). Weiters zeichnen wir die Geraden ℓ(G1 , K1 )
und ℓ(G2 , K2 ) und deren Schnittpunkt.
Zeichnung 5: In Zeichnung 3 zeichnen wir den Inkreis des Dreiecks △ ABC und die Parallelen
zu h durch G1 und G2 .
17. Quadrate auf Dreieckseiten (Vecten)
Zeichnung 1: Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck △ ABC. Auf die Seite AB setzen wir außen
das Quadrat ABCb Ca (Ca über A und Cb über B). Auf die Seite BC setzen wir außen das
Quadrat BCAc Ab (Ab über B und Ac über C). Auf die Seite CA setzen wir außen das Quadrat
CABa Bc (Bc über C und Ba über A). Sei Ua der Schnittpunkt von ℓ(A, B) und ℓ(C, Ca ) und
Vb der von ℓ(A, B) und ℓ(C, Cb ). Sei Ub der Schnittpunkt von ℓ(B, C) und ℓ(A, Ab ) und Vc der
von ℓ(B, C) und ℓ(A, Ac ). Sei Uc der Schnittpunkt von ℓ(C, A) und ℓ(B, Bc ) und Va der von
ℓ(C, A) und ℓ(B, Ba ).
Zeichnung 2: In Zeichnung 1 zeichnen wir ℓ(Ua , Va ), ℓ(Uc , Vb ), ℓ(Ub , Vb ), ℓ(Ua , Vc ), ℓ(Uc , Vc )
und ℓ(Ub , Va ). Was kann man über diese Geraden sagen?
Zeichnung 3: In Zeichnung 1 zeichnen wir △ Ua Ub Uc und △ Va Vb Vc und vergleichen deren
Flächen.
Zeichnung 4: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Mittelpunkte Ma , Mb und Mc der Dreieckseiten
BC, AC und AB. Weiters zeichnen wir die Mittelpunkte Na , Nb und Nc der Strecken Ua Va ,
Ub Vb und Uc Vc . Schließlich zeichnen wir die Geraden ℓ(Ma , Na ), ℓ(Mb , Nb ) und ℓ(Mc , Nc ).
Zeichnung 5: In Zeichnung 1 zeichnen wir die Mittelpunkte Na , Nb und Nc der Strecken
Ua Va , Ub Vb und Uc Vc . Weiters zeichnen wir die Mittelpunkte La , Lb und Lc der Strecken Ub Vc ,
Uc Va und Ua Vb . Schließlich zeichnen wir die Geraden ℓ(Na , La ), ℓ(Nb , Lb ) und ℓ(Nc , Lc ).