Einführung in die Aussagenlogik

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Einführung Aussagenlogik
Denition 1. Eine Aussage ist ein Aussagesatz, der entweder wahr oder falsch
ist.
Welche der folgenden Sätze ist eine Aussage?
• 3+4=7
• 2*3=9
• Angela Merkel ist Kanzlerin
• Stillgestanden!
• Wer möchte noch ein Bier?
• Ich liebe Dich.
• Ich habe Schmerzen
• Das Sonnensystem hat 8 Planeten
• Heino singt gut.
• 3+4=7 und 2*3=9
• Wenn es regnet, werden die Straÿen nass.
• Wenn Hamburg Paris wäre, wäre der Michel die Notre Dame.
• Morgen scheint die Sonne den ganzen Tag.
• Die Lottozahlen am 7.12.2013 sind 3, 9, 14, 17, 39, 41 mit Superzahl 7
• Dieser Satz ist falsch.
• Die Welt ist vor 5 Minuten entstanden. (Bertrand Russel)
• Paradoxie des Todesurteils.
Wir beschäftigen uns hier nur mit der klassischen zweiwertigen Logik. Es gibt
auch Logiken mit 3, 4 oder mehr Wahrheitswerten. Der dritte Wahrheitswert
kann z.B. als unbestimmt interpretiert werden.
Elementare Aussagen werden durch Aussagensymbole oder Variablen dargestellt,
zusammengesetzte Aussagen durch Aussageformen. In diesen werden alle elementaren Aussagen durch Variabeln ersetzt, aber die logischen Verknüpfungen
wie oder, und, nicht usw. bleiben erhalten.
Es regnet oder es ist kalt.
Sei A = 'Es regnet' und B = 'Es ist kalt'. Dann hat der obige Satz die Form
A oder B.
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EINFÜHRUNG AUSSAGENLOGIK
Formal: A ∨ B
Man kann die Verknüpfung ∨ formal und exakt durch eine Wahrheitswertafel
beschreiben:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
f
Disjunktion, Konjunktion, Subjunktion (Implikation) und Äquivalenz:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
Disjunktion
Konjunktion
Subjunktion
Äquivalenz
A∨B
A∧B
A→B
A↔B
w
w
w
f
w
f
f
f
w
f
w
w
w
f
f
w
Die Negation hängt nur von einer Variablen ab:
A
w
f
Negation
¬A
f
w
Etwas problematisch ist die Subjunktion (Implikation). Wenn der Vordersatz
(Antezedens) wahr ist, ist die Subjunktion nur richtig, wenn der Nachsatz (Konsequens) auch wahr ist. Wenn der Vordersatz aber falsch ist, dann ist die Subjunktion immer richtig.
Es gilt also:
• 'Wenn 3=3, dann ist der Mond ein Trabant der Erde' ist wahr
• 'Wenn 3=3, dann gehörte Mick Jagger zu den Beatles' ist falsch
• 'Wenn 3=4, dann ist 10 zweistellig' ist wahr
• 'Wenn 3=4, dann ist 7 zweistellig' ist wahr
Bei diesen Beispielen stört vielleicht auch, dass der vordere und hintere Satz oft
keinen Zusammenhang aufweisen. Es handelt sich also bei dieser Implikation
nicht um einen kausalen oder inhaltlichen Zusammenhang.
In der Aussagenlogik hängt der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage nur vom Wahrheitswert der elementaren Aussagen ab, nicht von ihrem Inhalt.
Ferner kann durch 'wenn ... dann' eine hinreichende, eine notwendige oder eine
hinreichende und notwendige Bedingung ausgedrückt werden.
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• Wenn x Primzahl ist, dann ist x eine natürliche Zahl. (hinreichend)
Nur wenn x ungerade ist, ist x eine Primzahl gröÿer als 3. (notwendig)
Genau dann, wenn x nur durch sich und die 1 teilbar ist und gröÿer als 1,
ist x eine Primzahl. (hinreichend und notwendig)
• Wenn eine Person John Lennon ist, dann ist sie Mitglied der Beatles ge-
wesen. (hinreichend)
Nur wenn jemand Mitglied der Beatles war, kann es sich um John Lennon
handeln. (notwendig)
Genau dann ist jemand Ringo Star, wenn er Drummer bei den Beatles
war. (hinreichend und notwendig)
• Wenn etwas Wasser ist, dann ist es eine Flüssigkeit. (hinreichend)
Nur wenn etwas üssig ist, kann es sich um Wasser handeln. (notwendig)
Etwas ist Wasser genau dann, wenn es sich um H2 O handelt. (hinreichend
und notwendig)
Man kann in vielen Fällen diese Sätze aussagenlogisch ausdrücken:
• Hinreichende Bedingung (Wenn A, dann B): A → B
• Notwendige Bedingung (Nur wenn A, dann B): B → A
• Hinreichende und notwendige Bedingung (Genau wenn A, dann B): A ↔
B
Auch die Disjunktion (oder) ist missverständlich. In der Umgangssprache kann
mit oder das einschlieÿende oder, aber auch das ausschlieÿende oder gemeint
sein. Oft geht aus dem Zusammenhang hervor, was gemeint ist.
Einschlieÿendes oder: x ist kleiner als 10 oder ungerade.
Ausschlieÿendes oder: x ist gerade oder ungerade.
Die Konjunktion kann ebenfalls missverständlich sein. 'Bernd und Britta sind
verheiratet' kann bedeuten, dass Bernd und Britta miteinander verheiratet sind,
aber auch dass beide verheiratet sind, aber mit jeweils anderen Personen.
Beispiele:
1) Satz der Identität: A=A.
A
w
f
A↔A
w
w
2) Satz vom verbotenen Widerspruch: ¬(A ∧ ¬A).
A
w
f
¬A
f
w
A ∧ ¬A
f
f
¬(A ∧ ¬A)
w
w
3
1
EINFÜHRUNG AUSSAGENLOGIK
3) Satz vom ausgeschlossenen Dritten: (A ∨ ¬A).
A
w
f
¬A
f
w
A ∨ ¬A)
w
w
4) (A → B) = (¬A ∨ B).
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
(A → B)
w
f
w
w
¬A
f
f
w
w
(¬A ∨ B)
(A → B) = (¬A ∨ B)
w
f
w
w
w
w
w
w
In diesen Beweisen zeigt sich, dass der zusammengesetzte Satz immer wahr
ist, egal welche Wahrheitswerte die elementaren Teilsätze annehmen.
Denition 2. Eine Aussageform heiÿt
• allgemeingültig (oder Tautologie), wenn sie als Wahrheitswert nur wahr
annimmt
• erfüllbar, wenn sie als Wahrheitswert wenigstens einmal wahr annimmt
• unerfüllbar (oder Kontradiktion), wenn sie als Wahrheitswert nur falsch
annimmt
Man kann auch direkt unter der Aussageform die Wahrheitswerte schreiben:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
(B
w
f
w
f
∧
w
f
w
f
(A → B))
w
f
w
w
→
w
w
f
w
A
w
w
f
f
Hier sieht man, dass die Aussageform (B ∧(A → B)) → A nicht allgemeingültig
ist.
Das kann man auch durch ein Gegenbeispiel begründen:
Aus 3=3 und (wenn 2=3 dann 3=3) folgt insgesamt, dass 2=3 gilt.
Wichtige allgemeingültige Aussageformen:
• A ∨ ¬A (Satz vom ausgeschlossenen Dritten)
• ¬(A ∧ ¬A) (Satz vom verbotenen Widerspruch)
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• A ∨ B ist äquivalent zu B ∨ A (Kommutativität der Disjunktion)
• A ∧ B ist äquivalent zu B ∧ A (Kommutativität der Konjunktion)
• A ∨ (B ∨ C) ist äquivalent zu (A ∨ B) ∨ C (Assoziativität)
• A ∧ (B ∧ C) ist äquivalent zu (A ∧ B) ∧ C (Assoziativität)
• A ∧ (B ∨ C) ist äquivalent zu (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (Distributivität)
• A ∨ (B ∧ C) ist äquivalent zu (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (Distributivität)
• ¬(A ∨ B) ist äquivalent zu ¬A ∧ ¬B (Satz von de Morgan)
• ¬(A ∧ B) ist äquivalent zu ¬A ∨ ¬B (Satz von de Morgan)
• A → B ist äquivalent zu ¬A ∨ B (Umformung Subsumtion)
• A ∧ A ist äquivalent zu A (Idempotenzgesetz)
• A ∨ A ist äquivalent zu A (Idempotenzgesetz)
• Aus A ∧ (A → B) folgt B (modus ponens)
• Aus ¬B ∧ (A → B) folgt ¬A (modus tollens)
Beispiele aus Wirtschaftsmathematik (aus Karl Schick; Wirtschaftsmathematik
im Grundstudium; Band 1; UTB Schöningh; Paderborn/München/Wien/Zürich
1982):
Die Gewinne gehen nicht zurück.
Wenn die Kosten steigen, gehen die Gewinne zurück.
Also: Die Kosten steigen nicht.
Es nähert sich ein Zug.
Wenn die Schranken geschlossen sind, nähert sich ein Zug.
Also: Die Schranken sind geschlossen.
Die Preise steigen.
Wenn die Preise steigen, dann fordern die Gewerkschaften höhere Löhne.
Es werden keine höheren Löhne gefordert oder die Kosten steigen.
Also: Die Kosten steigen.
Tafel aller Junktoren:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
1
w
w
w
w
2
w
w
w
f
3
w
w
f
w
4
w
w
f
f
5
w
f
w
w
6
w
f
w
f
7
w
f
f
w
8
w
f
f
f
9
f
w
w
w
10
f
w
w
f
11
f
w
f
w
12
f
w
f
f
13
f
f
w
w
14
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f
w
f
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f
f
w
Frage: Wieviele Zeilen hat eine Wahrheitstafel mit n Aussagevariablen? Und
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f
f
f
f
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EINFÜHRUNG AUSSAGENLOGIK
wieviele Junktoren für n Variablen sind möglich?
Beispiel:
Dame oder Tiger (aus Raymund Smullyan: Dame oder Tiger; Fischer; 1986):
Raum1:
Zumindest in einem
dieser Räume ist
eine Dame
Raum2:
Im anderen Raum bendet
sich ein Tiger
Es sind entweder beide Schilder richtig oder falsch.
Deniere D1='Dame ist in Raum 1'
D2='Dame ist in Raum 2'
T1='Tiger ist in Raum 1'
T2='Tiger ist in Raum 2'
Hieraus folgt [(D1 oder D2) und T1] oder [nicht (D1 oder D2) und nicht T1]
Die Aussage T1 ist äquivalent zu ¬D1. Damit folgt:
[(D1 ∨ D2) ∧ ¬D1] ∨ [¬(D1 ∨ D2) ∧ D1]
D1
w
w
f
f
D2
w
f
w
f
D1 ∨ D2
w
w
w
f
¬D1
f
f
w
w
(D1 ∨ D2) ∧ ¬D1
f
f
w
f
¬(D1 ∨ D2)
f
f
f
w
¬(D1 ∨ D2) ∧ D1
f
f
f
f
Der Gefangene muÿ den Raum 2 wählen, denn dort bendet sich die Dame.
Weiteres Rätsel:
Es könnte sein,
• dass Tiger hinter beiden Türen
• oder Damen hinter beiden Türen,
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gesamt
f
f
w
f
• oder möglicherweise auch hinter der einen Türe eine Dame und hinter der
anderen ein Tiger wäre.
Raum1:
In diesem Raum ist eine Dame,
und in dem
anderen ist ein Tiger
Raum2:
In einem dieser Räume ist eine Dame,
und in einem dieser Räume ist ein Tiger.
Ein Schild ist richtig und eines falsch. Wie sollte sich der Gefangene entscheiden?
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