Negation

Thema: Logik: 2. Teil
Übersicht logische Operationen
Name in der
Logik
Symbol
Negation
(Verneinung)
Umgangssprachlicher Name
¬
Nicht
Konjunktion
^
Und
Disjunktion
v
Oder
Subjunktion
(Implikation)
→
wenn..., dann...
Bijunktion
(Äquivalenz)
↔
genau dann...,
wenn...
Negation (Verneinung)
Definition:
Die Negation einer Aussage A ist diejenige Aussage
¬ A, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist, und die
genau dann falsch ist, wenn A wahr ist.
Schreibweise: ¬ A
Sprechweise: nicht A
Wahrheitstabelle:
A
¬
A
1
0
0
1
1
Bemerkung:
• Sprachlich einfach: Es ist nicht der Fall, dass …
• Achtung: wird an geeigneter Stelle ein „nicht“
eingefügt, muss genau geprüft werden, ob dann
wirklich die Negation der Aussage entsteht
• Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und
falsch sein.
• Die Aussagen A und
wahr sein.
¬
A können nicht gleichzeitig
Konjunktion (Und)
Definition:
Eine Konjunktion ist eine zusammengesetzte Aussage,
die die Wahrheit aller ihrer Teilaussagen behauptet.
Schreibweise: A ∧ B
Sprechweise: A und B
Wahrheitstabelle:
A
B
A
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
∧
B
Die Aussage A ∧ B ist immer dann wahr, wenn sowohl A
als auch B jeweils wahr sind. Andernfalls ist A ∧ B
falsch.
2
Disjunktion (Oder bzw. nichtausschließendes Oder)
Definition:
Eine Disjunktion ist eine zusammengesetzte Aussage,
die behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen
wahr ist.
Schreibweise: A ∨ B
Sprechweise: A oder B
Wahrheitstabelle:
A
B
A
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
∨
B
Die Aussage A ∨ B ist immer dann wahr, wenn
mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist,
bzw. wenn beide Aussagen wahr sind, andernfalls ist
A ∨ B falsch.
Bemerkung:
• Bei Oder muss man unterscheiden zwischen
ausschließendem Oder im Sinne von entweder
oder und dem nichtausschließenden Oder,
welches wir hier behandeln
• In der Literatur wird auch das ausschließende Oder
als Disjunktion bezeichnet, dann heißt das
nichtausschließende Oder Adjunktion
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Subjunktion (Implikation) (wenn… dann)
Definition:
Die Subjunktion A → B ist genau dann falsch, wenn A
wahr und zugleich B falsch ist. In allen anderen Fällen ist
die Subjunktion wahr.
Schreibweise: A → B
Sprechweise: wenn A dann B
Wahrheitstabelle:
A
B
A
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
→
B
Die Aussage A → B ist genau dann falsch, wenn A wahr
und B falsch ist, andernfalls ist A → B wahr.
Eine Subjunktion drückt die hinreichende Bedingung
aus: Sie sagt, dass die Wahrheit der einen Aussage eine
hinreichende Bedingung für die Wahrheit der anderen
Aussage ist.
4
Bemerkung:
• Die Festlegungen zu Schlüssen aus falschen
Aussagen sind auf den ersten Blick nicht so rasch
einzusehen. Hier ist zu bedenken, dass von einer
falschen Aussage ausgehend durch logisch
korrektes Schließen sowohl wahre als auch falsche
Aussagen gewonnen werden können. Deshalb ist
die Aussage „wenn A, dann B“ immer wahr, falls A
falsch ist.
• Wir erinnern uns, dass wir vom Inhalt der Aussagen
absehen (abstrahieren) wollen, es interessiert uns
nur der Wahrheitswert der Aussagen
• Verwenden wir die Sprechweise wenn … dann, so
müssen wir vom umgangssprachlichen Gebrauch
des wenn … dann völlig absehen und diese
Formulierung als eine normierte Redewendung
auffassen. Alternativ müsste man sprechen: A
subjungiert B
Bijunktion (Äquivalenz) (genau dann wenn)
Definition:
Die Bijunktion A ↔ B ist genau dann wahr, wenn A und
B die gleichen Wahrheitswerte haben.
Schreibweise: A ↔ B
Sprechweise: A genau dann wenn B
A genau dann, wenn B
dann und nur dann A, wenn B
5
Wahrheitstabelle:
A
B
A
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
↔
B
Eine Bijunktion drückt die hinreichende und
notwendige Bedingung aus: Sie sagt also, dass eine
Aussage A genau dann zutrifft, wenn eine Aussage B
zutrifft.
Wahrheitswerteverlauf, Tautologie
In einer Wahrheitswertetabelle wird der
Wahrheitswerteverlauf für (mehrere) Variablen
festgehalten.
Ebenso wie für Aussagen können wir auch für
Aussageformen, d.h. für verknüpfte Aussagen, die
Wahrheitswertetabellen betrachten.
Die Tabellen zeigen den Wahrheitswerteverlauf für die
Aussageform.
So kann man beispielsweise überprüfen, ob zwei
Aussageformen logisch gleichwertig sind. Ist dies der
Fall, so erscheinen beim Vergleich der Ausdrücke Zeile
für Zeile die gleichen Wahrheitswerte. Die Ausdrücke
sind dann wahrheitswerteverlaufsgleich.
6
Beispiel:
Vergleiche A
∧
B mit B
∧
A
A
B
A∧B
B∧A
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Die 3. und 4. Spalte sind wahrheitswerteverlaufsgleich.
Definition:
Eine Aussageform heißt allgemeingültig (Tautologie),
wenn sie bei jeder Belegung aller Variablen mit
Wahrheitswerten stets in eine wahre Aussage übergeht.
Beispiele:
Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten:
A
¬
A
A
∨ ¬
1
0
1
0
1
1
A
∨ ¬
A
A
7
Gesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch:
¬ ( A ∧ ¬ A )
A
¬
A
A
∧ ¬
A
¬
(A
∧ ¬
1
0
0
1
0
1
0
1
Gesetz der Identität: A
A
→
A)
A
A
→
1
1
0
1
A
8