Theoretische Elektrodynamik - AGeS - Die Skript

Theoretische Elektrodynamik
(Kompendium)
Herausgegeben von
Jeffrey Kelling
Felix Lemke
Stefan Majewsky
Stand: 23. Oktober 2008
1
Inhaltsverzeichnis
Elektrodynamik im Vakuum
Grundgrößen
Maxwellgleichungen im Vakuum
Ausgewählte Folgerungen
Erhaltungssätze
3
3
3
3
3
Elektromagnetische Potentiale, Mathematische Hilfsmittel
Elektromagnetische Potentiale
Eichtransformationen
Greensche Funktion
Bestimmung von Vektorfeldern
4
4
4
4
4
Elektrostatik
Punktladung
Elektrischer Dipol
Elektrischer Quadrupol
Allgemeine ruhende Ladungsverteilung
5
5
5
5
5
Magnetostatik
Stromfaden
Magnetischer Dipol
Allgemeine ruhende Stromverteilung
6
6
6
6
Relativistische Elektrodynamik
Operatoren
Grundgrößen und -gleichungen
Relativistische Mechanik
Transformation von Feldern
Matrixdarstellungen
7
7
7
7
7
7
Zeitabhängige elektromagnetische Felder
Retardierte Potentiale
Multipolentwicklung eines Strahlungsfeldes
Liénard-Wiechert-Potentiale
8
8
8
8
Elektrodynamik in Materie
Materialgrößen
Maxwellgleichungen in Materie
Wichtige Folgerungen
Grenzbedingungen
9
9
9
9
9
Stromkreise
Bauteilparameter
Sätze für Stromkreise
Kapazität
10
10
10
10
AGeS-Kompendium
Elektrodynamik im Vakuum
Seite 3
Im gesamten Kompendium wird das Gauss’sche Maßsystem verwendet.
Grundgrößen
• Ladungsdichte %(~r, t) und Stromdichte ~(~r, t) = % · ~v
~ r, t) und B(~
~ r, t)
• elektrisches und magnetisches Feld: E(~
´
³
~ , Kraftdichte: ~k = % · E
~+
~ =q E
~ + 1 · ~v × B
• Lorentz-Kraft: K
c
~
· ~j × B
1
c
Maxwellgleichungen im Vakuum
.
~
~ = −1 · ∂B
rot E
c
∂t
~
div E = 4π · %
..
~ = 1 · ∂ E~ +
rot B
c
∂t
..
~ =0
div B
.
Faradaysches Induktionsgesetz
..
Gaußsches Durchflutungsgesetz
4π
c
·~
Durchflutungsgesetz von Oersted und Ampère
Ausschluss magnetischer Monopole
Ausgewählte Folgerungen
• Kontinuitätsgleichung:
∂%
∂t
+ div~ = 0
• in einer Leiterschleife induzierte Spannung: Uind = − 1c ·
d
dt
s
~ df~ =
B
S
³
H
C(S)
~+
E
1
c
~
· ~v × B
´
d~r
Erhaltungssätze
• Energiebilanz:
• Impulsbilanz:
d
dt
d
dt
t
V
w dV +
t
V
(~pmech +~pelm ) =
~ dV = −
~ · E
P
~ei ·
i,k
´
t ³
• Drehimpulsbilanz: V ~r × ~k dV +
d
dt
t
v
∂
V ∂xk
S(V )
~ df~
S
Tik dV =
t ³
~r ×
V
P
~ei ·
i,k
~
S
c2
´
dV =
v
v
S(V )
³
´ v
~ =
~t df
T
·
~
e
·
d
f
ik
k
S(V )
S(V )
¡
¢
~r × ~t df
Hierbei sind:
• w=
~ 2 +B
~2
E
8π
die Energiedichte des elektrischen und magnetischen Feldes
~ ×B
~ der Poynting-Vektor
·E
t
d
• ~pmech mit dt
~pmech = V ~k dV der mechanische Impuls
t
~ dV der elektromagnetische Impuls
• ~pelm = c12 · V S
~=
• S
c
4π
↔
• T der Maxwellsche Spannungstensor mit den Komponenten Tik =
• ~t =
1
4π
1
4π ·
³
~ 2 + Bi Bk − 1 δik B
~2
Ei Ek − 12 δik E
2
h
³
´
³
´
i
~· E
~ · ~ef − 1 E
~ 2 · ~ef + B
~· B
~ · ~ef − 1 B
~ 2 · ~ef mit dem Flächennormaleneinheitsvektor ~ef
· E
2
2
Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet.
´
AGeS-Kompendium
Elektromagnetische Potentiale, Mathematische Hilfsmittel
Seite 4
Elektromagnetische Potentiale
~ r, t) und skalares ( elektrostatisches“) Potential ϕ(~r, t)
• Vektorpotential A(~
”
~ = rot A
~
• magnetisches Feld: B
~ = − grad ϕ −
• elektrisches Feld: E
1
c
·
~
∂A
∂t
Eichtransformationen
~0 = A
~ + grad Λ(~r, t)
• transformiertes Vektorpotential: A
• transformiertes Skalarpotential: ϕ0 = ϕ −
1
c
·
∂
∂t Λ(~r, t)
Die Potentiale müssen den folgenden Bedingungen genügen:
³
´
~
~ + 1 · ∂ ϕ = − 4π ·~
~ − 12 · ∂ 2 A
−
grad
div
A
∆A
2
c
∂t
c
∂t
c
~ = −4π%
∆ϕ + 1 · ∂ div A
c
∂t
~ 0 , ϕ0 mit Eichbedingung: div A
~0 +
• Lorenz-Eichung: A
1
c
·
∂ 0
∂t ϕ
=0
~ 0 , ϕ0 mit Eichbedingung: div A
~0 = 0
• Coulomb-Eichung: A
Lorenz-Eichung
∆Λ −
1
c2
Eichfunktion
³
∂2
~+
· ∂t
div A
2 Λ = −
1
c
Potentiale
4π
∂ 2 ~0
0
~
∆A − c12 · ∂t

2 A = − c ·~
∂2 0
1
0
∆ϕ − c2 · ∂t2 ϕ = −4π%
´
∂
· ∂t
ϕ
~0 −
∆A
~
∆Λ = − div A
Coulomb-Eichung
1
c2
·
∂2
∂t2
~ 0 − 1 · grad ∂ ϕ0 = − 4π ·~
A
c
∂t
c
∆ϕ0 = −4π%
Greensche Funktion
• Problem: Suche Ψ in L(x1 , . . . , xn ) · Ψ(x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) mit dem Differentialoperator
L(x1 , . . . , xn ) = a +
n
X
ai ·
i=1
n
X
∂
∂2
+
+ ...
aij ·
∂(xi − xq,i ) i,j=1
∂(xi − xq,i )∂(xj − xq,j )
• Greensche Funktion:
1
G(x1 , . . . , xn ) = G0 (x1 , . . . , xn ) +
·
(2π)n
Z∞
Z∞
dk1 · · ·
−∞
−∞
P
ei· l kl xl
P
P
dkn ·
a + i · l al · kl − l,m alm · kl km + . . .
Hierbei löst G0 (x1 , . . . , xn ) die Differentialgleichung L · G0 = 0.
• Lösung:
Z∞
Ψ(x1 , . . . , xn ) = Ψ0 (x1 , . . . , xn ) +
dx01
Z∞
···
−∞
dx0n · G(x1 − x01 , . . . , xn − x0n ) · f (x01 , . . . , x0n )
−∞
Hierbei löst Ψ0 (x1 , . . . , xn ) die Differentialgleichung L · Ψ0 = 0.
Bestimmung von Vektorfeldern
• Problem: Suche F~ (~r) für gegebenes div F~ (~r) und rot F~ (~r).
• Lösung:
1 y 3 0 div F~ (~r0 ) · (~r −~r0 ) + rot F~ (~r0 ) × (~r −~r0 )
·
d r ·
F~ (~r) = F~hom (~r) +
¯
¯
4π
¯~r −~r0 ¯3
Hierbei berücksichtigt die homogene Lösung F~hom (~r) mit div F~hom (~r) = 0 und rot F~hom (~r) = 0 eventuelle
Rand- und Anfangsbedingungen.
Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet.
AGeS-Kompendium
Elektrostatik
Seite 5
Punktladung
Situation: einzelne Punktladung q am Ort ~rq
• Potential: ϕ(~r) =
q
|~r−~r q |
~ r) =
• elektrisches Feld: E(~
q·(~r−~r q )
|~r−~r q |3
• mehrere Punktladungen → Coulomb-Wechselwirkung: Ww =
1
2
·
P
α6=β
qα ·qβ
|~r α −~r β |
Elektrischer Dipol
Situation: Anordnung zweier entgegengesetzer gleichgroßer Punktladungen −q (am Ort ~rd ) und +q (am
Ort ~rd + ~a); Übergang zu q → ∞ und |~a| → 0 derart, dass das Dipolmoment ~p = q · ~a konstant bleibt
• Ladungsverteilung: %(~r) =
lim
q→∞, ~
a→0
q · [δ(~r − (~rd +~a)) − δ(~r −~rd )] = −~p · gradr δ(~r −~rd )
r−~r d )
= ~p·(~
|~r−~r |3
• Potential: ϕ(~r) = −~p · gradr
1
|~r−~r d |
~ r) = 3 ·
• elektrisches Feld: E(~
[~p·(~r−~r d )]·(~r−~r d )
|~r−~r d |5
d
−
~p
|~r−~r d |3
P
• mehrere Dipole → Dipoldichte: P~ (~r) = α ~pα · δ(~r −~rα )
t
t
P~ (~r) dV =
%(~r) ·~r dV
• (Gesamt)Dipolmoment: ~p =
Elektrischer Quadrupol
Situation: Anordnung zweier entgegengesetzt ausgerichteter Dipole −~p (am Ort ~rq ) und ~p (am Ort ~rq +~d);
Übergang zu |~p| → ∞ und |~d| → 0 derart, dass die Komp. des Q.momentes qij = di · pj konstant bleiben
t
• Quadrupolmoment: qij = 21 ·
%(~r) · xi · xj dV
h
i
3
t
P
2
%(~r) · 3xi · xj − |~r −~rq | · δij dV
• Quadrupoltensor: Qij = 3 · qij − δij ·
qll = 12
l=1
↔
Beachte: Quadrupolmoment und -tensor sind symmetrisch, Spur von Q verschwindet
h
i P
2
• Ladungsverteilung: %(~r) = −~p · gradr δ(~r − (~rq + ~d)) − gradr δ(~r −~rq ) =
qij · ∂x∂i ∂xj δ(~r −~rq )
i,j
h
i P
P
3(xi −xq,i )·(xj −xq,j )
δij
(xi −xq,i )·(xj −xq,j )
• Potential: ϕ(~r) = qij ·
−
=
Q
·
ij
|~r−~r |5
|~r−~r |3
|~r−~r |5
q
i,j
q
i,j
q
Allgemeine ruhende Ladungsverteilung
•
•
•
•
•
t
0
r )
d3 r0 · |~%(~
r−~r 0 | + ϕhom (~r)
t 3 0 %(~r0 )·(~r−~r0 )
~ hom (~r)
~ r) =
elektrisches Feld: E(~
d r · |~r−~r0 |3 + E
~R
r2
~ · d~r = q · [ϕ(~r2 ) − ϕ(~r1 )] für eine Probeladung q von ~r1 nach ~r2
Verschiebungsarbeit: A = − K
~r 1
t
Wechselwirkungsenergie im el. Feld: Wel = 21 · V %(~r) · ϕ(~r) dV (ϕ des Felderzeugers, % der Probe)
t
~ =
~ r) d3 r
Kraft: K
%(~r) · E(~
t
~ =
~ r) d3 r
Drehmoment um Koordinatenursprung: M
~r × %(~r) · E(~
• Potential: ϕ(~r) =
Multipolentwicklung einer Ladungsverteilung um ~r = 0 für weit entfernten Betrachter
P Qij ·xi xj
r
• Potential: ϕ(~r) = rq + ~p·~
(bei Abbruch nach der 1/r3 -Ordnung)
r3 +
r5
i,j
¯
¯
P
2
~ = q · E(~
~ r = 0) + (~p · gradr ) E
~ ¯¯
~ ¯¯
~ ändere sich über % nur langsam)
(E
• Kraft: K
+ qij · ∂x∂i ∂xj E
~r=0
~r=0
i,j
¯
~ = p × E(~
~ r = 0) + 2 · P ~ei · qij · ∂ × E
~ ¯¯
• Drehmoment: M
∂xj
i,j
~r=0
• Gesamtladung q wie üblich, Dipol- und Quadrupolmoment wie oben über Ladungsverteilung definiert
Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet.
AGeS-Kompendium
Magnetostatik
Seite 6
Stromfaden
•
•
•
•
•
•
Situation: Entlang eines geschlossenen Weges ϕ (umschließend die Fläche S) fließt ein Strom I, welcher
in allen Querschnitten des Leiters tangential zur Bewegungsrichtung gleich ist.
H d~r0
s
1
~ r) = I ·
= − Ic · S df~0 × gradr |~r−~
Potential: A(~
c
r0 |
ϕ |~r−~r 0 |
H
0
0
d~
r
×(~
r−~
r
)
~ r) = I ·
magnetisches Feld: B(~
c
ϕ
|~r−~r 0 |3
P
magnetischer Fluss im Faden α durch Feld anderer Fäden: Φα = c · Iβ · Lαβ mit β 6= α
β
P Iα ·Iβ
P
1
Wechselwirkung mehrerer Stromfäden: Wmagn =
·
L
=
Φα · Iα
αβ
2
2c ·
α
α6=β
H
H
d~r ·d~r
Induktionskoeffizienten: Lαβ = c12 · ϕα ϕβ |~rαα−~rββ|
H H d~rβ ×[d~rα ×(~rβ −~rα )]
H
I ·I H
~r −~r
β
~ β←α = Iα ·I
= − αc2 β · ϕ1 ϕ2 |~r β−~r α|3 d~rα d~rβ
Kraft durch den Faden α auf β: K
c2 · ϕ1 ϕ2
|~r −~r |3
β
α
β
α
Magnetischer Dipol
Situation: Stromfaden
wie oben am Ort ~rm ; Übergang zu S → 0 und I → ∞ derart, dass das magnetische
s
Moment m
~ = Ic · S df~ konstant bleibt
~ r) = −~
• Potential: A(~
m × gradr
~ r) = 3 ·
• magnetisches Feld: B(~
1
|~r−~r m |
=m
~ ×
~r−~r m
|~r−~r m |3
[(~r−~r m )·~
m]·(~r−~r m )
|~r−~r m |5
−
m
~
|~r−~r m |3
~ (~r) = P m
• mehrere Dipole → Dipoldichte: M
~ α · δ(~r −~rα )
α P
t 3
~ (~r) = m
• Gesamtdipolmoment: m
~ =
d r·M
~α
tα 3 0
~ r) = −
~ (~r0 ) × gradr 1 0
• Potential einer Dipolverteilung: A(~
d r ·M
~r−~r
P
~
~
• Stromdichte einer Dipolverteilung: j(~r) = c · rot M (~r) = c · m
~ α × grad δ(~r −~rα )
α
h
i
P
~ α )·(~r αβ ·m
~ β)
~ β (~rα ) = P 13 · 3 · (~rαβ ·m
• Wechselw.energie einer Dipolv.: Wm = 12 ·
−
m
~
·
m
~
m
~α·B
2
α
β
2·r
r
α6=β
α6=β
αβ
αβ
Allgemeine ruhende Stromverteilung
~ r) =
• Potential: A(~
1
c
·
t
d3 r0 ·
~(~r 0 )
|~r−~r 0 |
~ hom (~r)
+A
t
0
0
)×(~r−~r )
~ hom (~r)
d3 r0 · ~(~r|~r−~
+B
r 0 |3
t
1
~ r) dV (A
~ des Felderzeugers, ~ der Probe)
• Wechselwirkungsenergie im magn. Feld: Wmagn = 2c
· V ~(~r) · A(~
t
~ =
~ r) d3 r
• Kraft: K
~(~r) × B(~
h
i
t
~ =
~ r) d3 r
• Drehmoment um Koordinatenursprung: M
~r × ~(~r) × B(~
~ r) =
• magnetisches Feld: B(~
1
c
·
Multipolentwicklung einer Stromverteilung um ~r = 0 für weit entfernten Betrachter
£
¤
t
1
• Dipolmoment der Stromverteilung: m
~ = 2c
· V d3 r0 · ~r0 ×~(~r0 )
~ r) = m
• Potential: A(~
~ ×
~r
r3
(bei Abbruch nach der 1/r3 -Ordnung)
~ r) = 3 ·
• magnetisches Feld: B(~
h
i
~ = grad B(~
~ r) · m
• Kraft: K
~
(~r·m)·~
~ r
r5
−
m
~
r3
~r=0
~ =m
~ r = 0)
• Drehmoment um Koordinatenursprung: M
~ × B(~
Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet.
AGeS-Kompendium
Relativistische Elektrodynamik
Seite 7
Operatoren
• Viererdivergenz-Operator: ∂µ =
d
dxµ
• D’Alembert-Operator: ¤ = ∂ ν ∂ν =
und ∂ µ =
1
c2
·
d2
dt2
d
dxµ
−∆
Grundgrößen und -gleichungen
Vierervektor der Stromdichte
Kontravariante Größe
J µ = (c · %,~)
Kovariante Größe
Jµ = (c · %, −~)
Viererpotential
~
Φµ = (ϕ, A)
~
Φµ = (ϕ, −A)
Feldstärketensor
F
νµ
µ
ν
ν
=∂ Φ −∂ Φ
µ
Fνµ = ∂µ Φν − ∂ν Φµ
• Kontinuitätsgleichung: ∂µ J µ = 0
• Bestimmungsgleichung für das Potential: ¤Φµ =
4π µ
c J
• homogene Maxwellgleichungen: ∂λ Fνµ + ∂ν Fµλ + ∂µ Fλν = 0
• inhomogene Maxwellgleichungen: ∂µ F νµ =
4π ν
c J
Relativistische Mechanik
Viererkraftdichte
Viererkraft
Energie-Impuls-Tensor
• Bewegungsgleichung: m0 ·
• Viererkraftdichte: f ν =
1
c
duµ
dτ
Kontravariante Größe
Kovariante Größe
³
´
³
´
f µ = ~vc · ~k, ~k
fµ = ~vc · ~k, −~k
³
´
³
´
~ K
~
~ −K
~
F µ = γ · ~vc · K,
F µ = γ · ~vc · K,
³
´
1
T νµ = 4π
· gλσ · F σν · F λµ − 14 · g µν · Fλσ · F λσ
= F µ mit Eigenzeit dτ =
dt
γ
und Vierergeschwindigkeit uµ = γ · (c, ~v )
· Jµ · F µν = ∂µ T νµ (liefert Energiebilanz für ν = 0)
Transformation von Feldern
Das Bezugssystem Σ0 bewege sich gegen das Bezugssystem Σ mit ~v .
~0 = E
~ k und B
~0 = B
~k
• Transformation von Feldkomponenten parallel zu ~v : E
k
k
³
´
³
~ 0 = γ· E
~ ⊥ + ~v × B
~ und B
~ 0 = γ· B
~⊥ −
• Transformation von Feldkomponenten senkrecht zu ~v : E
⊥
⊥
c
~
v
c
Matrixdarstellungen

F µν
0
−Ex
= 
−Ey
−Ez

Fµν
0
Ex
= 
Ey
Ez
Ex
0
−Bz
By
−Ex
0
−Bz
By
Ey
Bz
0
−Bx
−Ey
Bz
0
−Bx

Ez
−By 

Bx 
0

−Ez
−By 

Bx 
0
− 1c · Sx
Txx
Tyx
Tzx

T µν
=
−w
− 1 · Sx
 1c
− · Sy
c
− 1c · Sz

Tµν
=
−w
 1 · Sx
 1c
 · Sy
c
1
c · Sz
1
c
· Sx
Txx
Tyx
Tzx
1
c
− 1c · Sy
Txy
Tyy
Tzy
· Sy
Txy
Tyy
Tzy

− 1c · Sz
Txz 

Tyz 
Tzz
1
c

· Sz
Txz 

Tyz 
Tzz
Die Größen in den Matrizen sind alle wie auf den vorhergehenden Seiten.
Die Verwendung dieses Kompendiums für Klausuren und andere Prüfungen ist nicht gestattet.
~
×E
´
AGeS-Kompendium
Zeitabhängige elektromagnetische Felder
Seite 8
Retardierte Potentiale
• skalares Potential: ϕ(~r, t) =
~ r, t) =
• Vektorpotential: A(~
t
t
d3 r0
d3 r0
„
«
|~r−~r0 |
% ~r 0 ,t− c
|~r−~r 0 |
„
«
|~r−~r0 |
~ ~r 0 ,t− c
|~r−~r 0 |
Multipolentwicklung eines Strahlungsfeldes
Gegeben sei eine lokalisierte Strom- und Ladungsverteilung um ~r = 0 mit weit entferntem Beobachter.
h ³
´i
↔
˙
• Skalarpotential: ϕ(~r, t) = − div 1r · ~p(t0 ) + m(t
~ 0 ) × ~er + 1c · q (t0 ) · ~er + const.(~r)
~ r, t) =
• Vektorpotential: A(~
1
cr
~ r, t) =
• magnetisches Feld: B(~
~ r, t) =
• elektrisches Feld: E(~
³
· ~p˙(t0 ) + m(t
~˙ 0 ) × ~er +
1
c2 r
1
c2 r
·
1
c
↔
¨
· q (t0 ) · ~er
´
mit t0 = t −
·³
´
~p¨(t0 ) × ~er × ~er + ~er × m(t
~¨ 0 ) +
·
³
´
· ~p¨(t0 ) × ~er + m(t
~¨ 0 ) × ~er × ~er +
1
3c
1
3c
r
c
µ...
¶
¸
↔
· Q(t0 ) · ~er × ~er × ~er
µ...
¶¸
↔
0
· Q(t ) · ~er × ~er
~ = ~er × B
~ und B
~ =E
~ × ~er
• Zusammenhang zwischen den Feldern: E
Liénard-Wiechert-Potentiale
Eine Punktladung q bewege sich auf der Bahnkurve ~rq (t) mit der Geschwindigkeit ~vq (t) =
~ 0 )|
|R(t
~
werden die Abkürzungen R(t)
= ~r −~rq (t) und t0 = t − c verwendet.
• Potentiale: ϕ(~r, t) =
q
~ 0 )|− 1 ·R(t
~ 0 )·~
vq (t0 )
|R(t
c
~ r, t) =
und A(~
d
dt~r q (t).
q·~
vq (t0 )
0
~
~ 0 )·~
c·|R(t )|−R(t
vq (t0 )
¯
h¯
i−3
0
~ 0)
~ 0 )¯¯ − ~vq (t ) · R(t
~ r, t) und E(~
~ r, t) = q · ¯¯R(t
~ 0)
~ r, t) = R(t
×
E(~
·
• Felder: B(~
~ 0
c
·³
µ|R(t )|
¶
·µ
¶
¸¸
´
~ 0 )|
~ 0 )|
~
vq (t0 )·|R(t
~
vq (t0 )·|R(t
~
vq (t0 )2
1
0
0
0
0
˙
~
~
~
· 1 − c2
· R(t ) −
+ c2 · R(t ) × R(t ) −
× ~vq (t )
c
c
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Es
AGeS-Kompendium
Elektrodynamik in Materie
Seite 9
Materialgrößen
↔
~ mit elektrischer Suszeptibilität ↔
• Polarisation: P~ = χ e · E
χe
↔
↔
~ =E
~ + 4π · P~ = ↔
~ mit Dielektrizitätskonstante ↔
• dielektrische Verschiebung: D
ε ·E
ε = 1 + 4π · χ e
~ = ↔
~ mit magnetischer Suszeptibilität ↔
• Magnetisierung: M
χm · H
χm
↔
↔
~ mit B
~ =H
~ + 4π · M
~ = ↔
~ mit Permeabilität ↔
• Magnetfeld: H
µ ·H
µ = 1 + 4π · χ m
↔
↔
~ (nicht für Supraleiter)
• Leitfähigkeit: σ mit ~ = σ · E
Maxwellgleichungen in Materie
.
~ = − 1 · ∂ B~
rot E
c
∂t
~ = 4π · %
div D
..
~
~ = 1 · ∂D
rot H
c
∂t +
.
.
~ =0
div B
.
Faradaysches Induktionsgesetz
..
Gaußsches Durchflutungsgesetz
4π
c
·~
Durchflutungsgesetz von Oersted und Ampère
Ausschluss magnetischer Monopole
Wichtige Folgerungen
• Dispersionsrelation für Wellen: ω =
√c
ε·µ
~
· |k|
~ = − grad φ mit φ = −
• Feld eines Permanentmagneten: H
~+
• Energiebilanz: div S
∂
∂t
R∞
−∞
~
0
M (~r )
d3 r0 div|~r−~
r0 | =
v
~
S(V )
0
M (~r )
df~0 · |~
r−~r 0 | −
R
V
~2
(wel + wmagn ) = −σ · E
Hierbei sind
~=
• S
c
4π
• wel =
~ ×H
~ der Poynting-Vektor
·E
ε
8π
• wmagn =
~ 2 die elektrische Feldenergie
·E
µ
8π
~ 2 die magnetische Feldenergie
·H
Grenzbedingungen
An der Grenzfläche (Flächennormale ~n, beliebige Tangente ~t) zwischen zwei Materialien gilt:
³
´
~2 −D
~ 1 = 4π · %F – Die Normalkomponenten des D-Feldes
~
• ~n · D
sind unstetig.
³
´
~2 − E
~ 1 = 0 – Die Tangentialkomponenten des E-Feldes
~
• ~t · E
sind stetig.
³
´
~2 − B
~ 1 = 0 – Die Normalkomponenten des B-Feldes
~
• ~n · B
sind stetig.
³
´
~2 − H
~1 =
• ~t · H
4π
c
~
0
M (~r )
d3 r0 div|~r−~
r0 |
~
·~F · ~t – Die Tangentialkomponenten des H-Feldes
sind unstetig.
Hierbei sind %F und ~F die Flächenladungs- bzw. Flächenstromdichte auf der Oberfläche.
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AGeS-Kompendium
Stromkreise
Seite 10
Bauteilparameter
• Widerstand eines Leiters: R =
l
σ·A
(Länge l, Querschnitt A)
R + (e)
~ d~r (Integral der eingeprägten Kraft der Quelle)
• elektromotorische Kraft einer Stromquelle: ε = − E
³
´
↔
~ +E
~ (e)
• Ohmsches Gesetz bei Anwesenheit von Stromquellen: ~ = σ · E
Sätze für Stromkreise
Ein Stromkreisnetzwerk enthalte nur Stromquellen und Widerstände.
P
• Knotensatz:
I=0
P
P
• Maschensatz:
R·I =
ε
P
P
• Energiesatz:
R · I2 = ε · I
Kapazität
• Kapazität eines Leiters: C =
Q
ϕ0
(ϕ0 auf der Leiteroberfläche)
P
• Kapazitätskoeffizienten eines Systems von Leitern: Qα = β Cαβ · ϕβ
• Kapazität eines Kondensators: C = ϕ1 Q
−ϕ2 (Q auf einem der beiden Leiter, ϕi auf den Leiteroberflächen)
P
• elektrische Energie: Wel = 12 · α,β Cαβ · ϕα · ϕβ
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