Mathematische Logik

Mathematische Logik
De…nition
Eine Aussage ist ein sprachliches oder formelmäßiges Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen, es
sei wahr oder falsch.
Einer Aussage kann man einen Wahrheitswert 1 (wahr) oder 0 (falsch) zuordnen.
Beispiel
Abkürzung
Aussage
Wahrheitswert
P
”7 < 10"
1 (wahr)
Q
”1 + 1 = 3"
0 (falsch)
De…nition
Eine Aussageform enthält Variable. Durch die Belegung der Variablen ergeben sich Aussagen.
Beispiel
Aussageform: P(x) : ”x ist eine gerade Zahl”
Belegung
=)
P (1) :
”1 ist eine gerade Zahl”
(falsch)
Belegung
=)
P (4) : ”4 ist eine gerade Zahl” (wahr)
Aussagen können durch logische Operationen zu neuen Aussagen verknüpft werden.
Beispiele
² ”Wenn jemand mit stark überhöhter Geschwindigkeit fährt und in eine Radarmessung geraten
ist, dann erhält er Punkte in Flensburg.” (o¤ensichtlich wahr)
² ”Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist”
(wahre ’Bauernregel’)
Logische Operationen
Seien P und Q Aussagen:
Bezeichnung:
symbolisch gelesen:
Negation:
P
Konjunktion: P ^ Q
Disjunktion:
P _Q
Implikation:
P )Q
Äquivalenz:
P ,Q
”nicht P ”
"Pund Q"
"und” im Sinne von ”sowohl als auch”
"Poder Q"
”oder” nicht im Sinne von ”entweder oder ”
"aus P folgt Q" ; " wenn P; so Q"
oder ”wenn P; dann Q"
” P genau dann, wenn Q”
oder ” P dann und nur dann, wenn Q”
Logischen Operationen kann man mittels einer Wahrheitstabelle de…nieren.(Versuchen Sie diese
De…nitionen nachzuvollziehen!)
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
P
1
1
0
0
P ^Q P _Q P )Q P ,Q
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
Beispiele
² Sei P = "7 < 10" (wahr), so P = "7 ¸ 10" (falsch)
1
P = "7 < 10" (wahr)
² Seien
Q = "7 = 10" (falsch)
P = "7 < 10" (wahr)
² Seien
Q = "7 = 10" (falsch)
² Seien a; b 2 R :
z.B. für
Belegung:
a=b
)
¡1
| {z= 1}
)
falsch
1| {z
= 2}
falsch
)
¾
, dann gilt: P ^ Q = "7 < 10 und 7 = 10" ist falsch.
¾
, dann gilt: P _ Q = "7 < 10 oder 7 = 10" ist wahr.
a2 = b2
für jede Belegung wahr!
(¡1)2 = 12
| {z }
wahr
wahr
1|2 {z
= 22}
wahr
falsch
Man beachte: Aus Falschem kann Wahres oder Falsches gefolgert werden.
Wenn man aus einer Aussage mit unbekannten Wahrheitswert eine wahre Aussage folgert,
folgt nicht, daß die ursprüngliche Aussage auch wahr ist,d.h. die häu…g anzutre¤ende Schlußweise
((P ) Q) ^ Q) ) P ist falsch
² Wir betrachten die Aussagen P = ”Dreieck ist gleichseitig”, Q = ”Dreieck ist gleichwinklig”.
Dann gilt die wahre Aussage:
P , Q = ”Ein Dreieck ist gleichseitig genau dann, wenn es gleichwinklig ist.”
Sprechweise:
Es gelte P ) Q. Man sagt dann auch
P ist eine hinreichende Bedingung für Q
Q ist eine notwendige Bedingung für P
Beispiele
² Notwendig dafür, daß eine Zahl n 2 N durch 6 teilbar ist, ist ihre Teilbarkeit durch 2:
(P = ”n 2 N durch 6 teilbar”; Q = ”n 2 N durch 2 teilbar”: Es gilt P ) Q).
² Sei y = f (x) di¤erenzierbar in (a; b) : Dann ist f 0 (x0) = 0 eine notwendige Bedingung dafür,
daß in x0 2 (a; b) ein lokales Extremum vorliegt.
Schlußregeln
Beim logischen Schließen werden Schlußregeln angewendet (hier eine kleine Auswahl).
((P ) Q) ^ P ) ) Q
¡
¢
¡
¢
P _Q , P ^Q
¡
¢
¡
¢
P ^Q , P _Q
¡
¢
(P ) Q) , Q ) P
¡
¢
(P ) Q) , P ^ Q
(Abtrennregel)
(De Morgansche Regel)
(De Morgansche Regel)
(Kontraposition)
(Negation der Implikation)
Es handelt sich um sogenannte Tautologien, (Tautologien haben für jede Belegung von P; Q den
Wahrheitswert 1). Bei der Negation von Aussagen werden häu…g Fehler begangen, so daß die
formale Anwendung dieser Schlußregeln sehr nützlich und empfehlenswert ist.
Beispiele
² Die Regel ((P ) Q) ^ P) ) Q benutzt intuitiv jedes Kind.
Wenn die Mutter z.B. sagt: ”Wenn du noch einen Lö¤el von der Suppe ißt, dann darfst du
dein Kompott essen”, so wird der Sprößling mit Bewältigung dieses einen Lö¤els voll Suppe
sofort auf der Freigabe das angekündigten Kompotts bestehen.
² Betrachten wir die logische Struktur der ’Bauernregel’: ”Wenn der Hahn kräht auf dem Mist,
dann ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist”.
Wir setzen:
H¡ ”Hahn kräht auf Mist”, W ¡ ”Wetter ändert sich”
’Bauernregel’: H ) W
_ W} ist somit unabhängig von H immer wahr
| {z
wahr
2
² Betrachten wir weiter die obige wahre Aussage:
”Wenn jemand mit stark überhöhter Geschwindigkeit fährt und in eine Radarmessung geraten ist, dann erhält er Punkte in Flensburg.”
Welche Aussage kann man ableiten, wenn jemand keine Punkte in Flensburg hat? Gehen wir
formal an die Fragestellung heran.
Wir setzen:
G¡ ”mit stark überhöhter Geschwindikeit fahren”
R¡ ”in Radarmessung geraten”, P¡ ”Punkte in Flensburg”
Aussage:
(G ^ R) ) P
Fragestellung:
P ) ???
)
Kontraposition
¡
¢
(G ^ R) ) P
()
P ) (G ^ R)
Es gilt:
=) P ) G _ R
De Morgansche Regel
(G ^ R)
()
G_R
Man kann also ableiten (sinngemäß formuliert):
”Wenn jemand keine Punkte in Flensburg hat, dann ist er nicht
zu schnell gefahren oder nicht geblitzt worden”
² In einer Datenbank sollen alle Personen gefunden werden, die gleichzeitig folgenden Bedingungen genügen:
A = ”Person ist männlich”, B = ”Körpergröße der Person ¸ 180 cm”
Gesucht wird also mit der Bedingung A ^B = ”Person ist männlich und hat eine Körpergröße
¸ 180 cm”.
De Morgansche Regel
Ignoriert werden dann alle Personen mit A ^ B
()
A_B = ”Person ist weiblich
oder Person hat eine Körpergröße < 180 cm”
Quanti…katoren erzeugen aus Aussageformen Aussagen:
8x : P (x) - für alle x (einer Grundgesamtheit) ist P(x) wahr
9x : P (x) - es existiert (mindestens) ein x für das P(x) wahr ist
Beispiele
² 8x 2 R : x2 ¸ 0
(wahre Aussage)
² 9x 2 R : x2 = 2
(wahre Aussage, z.B. x =
² 9x 2 R : x2 + 1 = 0
p
2)
(falsche Aussage)
Die Negation von diesem Aussagentyp wird von vielen Studenten immer wieder gern falsch gemacht.
Man verwende die
De Morganschen Regeln
8x : P(x) () 9x : P(x)
9x : P(x) () 8x : P(x)
Beispiele
² 8x 2 R : x2 ¸ 0 , 9x 2 R : x2 ¸ 0 , 9x 2 R : x2 < 0 (falsche Aussage)
² Man negieren die Aussage:
”Alle Bundestagsabgeordneten stimmen für eine Diätenerhöhung”
Das Ergebnis lautet: ”Es gibt mindestens einen Bundestagsabgeordneten, der nicht für eine
Diätenerhöhung stimmt.”
3