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§24 Affine Koordinatensysteme
Nach den linearen Koordinaten mit dem zugehörigen Koordinatenwechsel nun dasselbe für den affinen Fall.
Zur Erinnerung (vgl. § 7 und § 9):
(24.1) Bemerkung: Ein affiner Raum ist gegeben durch einen
Punktraum A, einen K-Vektorraum V (von Translationen) und einer
Abbildung
g: A V  A ,
so dass für alle P,Q aus A und alle v,w aus V gilt:
1o g(g(P,v),w) = g(P,v+w) (= g(g(P,w),v) ) .
2o Aus g(P,v) = P folgt stets v = 0 .
3o Es gibt einen eindeutig bestimmten Vektor v mit g(P,v) = Q.
Der Punkt g(P,v) wird als P + v geschrieben, v in 3o als t(P,Q) .
Im folgenden sei V stets endlichdimensional.
Folie 1
Kapitel IV, §24
21.01.02 
(24.2) Definition: Ein affines Koordinatensystem (ein Bezugssystem)
für A ist gegeben durch einen Punkt O aus A (Ursprung) zusammen
mit einer geordneten Basis b = (b1, b2, ... ,bn) von V .
Äquivalent: ... durch O zusammen mit weiteren Punkten P1, P2, ... ,
Pn , so dass (t(O,P1),t(O,P2), ... ,t(O,Pn)) eine geordnete Basis ist.
Jeder Punkt P in A hat dann die eindeutige Darstellung

P  O  X b .
Für eine weiteres affines Koordinatensystem, gegeben durch Q aus
A und durch eine Basis d , gilt entsprechend

P  Q  Y d .
Analog zum linearen Fall in § 23 definiert man
n


Z  ZO,b : K  V , X (  X e )  ZO,b ( X)  O  X b .
und erhält die Koordinatentransformation
1
n
n
T : ( ZQ,d )  ZO,b : K  K
zum Wechsel der affinen Koordinatensysteme.
Folie 2
Kapitel IV, §24
(24.3) Satz: Die Transformation T ist von der Form

 
n
n
T( X)  X e  w  B X e , T : K  K ,
kurz: T = B + w .
Dabei ist w durch Q + w = O definiert (also w = T(0) ) und B durch

b  B d .
(24.4) Definition-Satz: Die affine Gruppe Affin(n,K) ist die Gruppe
der Paare (B,w) (die wir in der Form T = B + w mit w aus Kn und B
aus GL(n,K) schreiben) mit der folgenden Multiplikation:
Für S = A + v aus Affin(n,K) ist ST := AB + (v + Aw) .
Dadurch ist tatsächlich eine Gruppe definiert:
Das Assoziativgesetz:
(ST)R = (AB + (v + Aw))(C + x)
= (AB)C + ((v + Aw) + (AB)x)
= A(BC) + (v + A(w + Bx))
= (A + v)(BC + (w + Bx))
Folie 3
= S(TR)
Kapitel IV, §24
Das neutrale Element ist E + 0 ; dabei ist E die (n,n)-Einheitsmatrix
und 0 ist der Nullvektor in Kn .
Die Inverse zu T = B + w ist S := A-1 + (- A-1w) .
Die Schreibweise T = B + w verdeutlicht die Wirkung von T auf Kn :
n
n
T : K  K , T( X)  BX  w .
Affin(n,K) ist daher als Untergruppe der Permutationsgruppe S(Kn)
aufzufassen, und die Abbildungen von Kn nach Kn der Form T = B +
 16.01.02
w aus Affin(n,K) heißen affine Transformationen.
Den Begriff der affinen Transformationen zwischen affinen Räumen
wollen wir im folgenden auf „affine“ Weise definieren. Dazu:
(24.5) Definition-Satz: Es seien n Punkte P1, P2, ... , Pn in einem
affinen Raum A (mit zugehörigem K-Vektorraum V) gegeben.
Es seien außerdem n Skalare sj aus K gegeben, die sich zu 1
aufsummieren.

Dann ist durch Q  s t(Q,P ) für alle Q  A derselbe Punkt in A
Folie 4
Kapitel IV, §24
definiert:


Q  s t(Q,P )  Q  s ( t(Q, Q' )  t(Q' ,P ))
n


 Q  (  s )t(Q, Q' )  s t(Q' ,P ))
 1

 Q  t(Q, Q' )  s t(Q' ,P )

 Q's t(Q' ,P ) .
Dieser Punkt heißt der (affine) Schwerpunkt der Pj mit den

Gewichten sj, und er wird mit s P bezeichnet:


s P : Q  s t(Q,P ) .
(24.6) Definition: Eine bijektive Abbildung f von A nach A heißt
affine Transformation, wenn stets


f (s P )  s f (P )
gilt, wenn f also die Schwerpunktbildung erhält.
Die Menge der affinen Transformationen bildet wieder eine Gruppe,
die affine Gruppe Affin(A) .
Folie 5
Kapitel IV, §24
Im Fall des affinen Raumes A = Kn, V = Kn und g(P,v) = P + v sind
die affinen Transformationen im Sinne von 24.6 stets von der
Form B + w mit B aus GL(n,K) und w aus Kn .
Sei jetzt ein affines Koordinatensystem des n-dimensionalen affinen
Raumes A durch O und b gegeben. Jeder Punkt P aus A hat dann
die eindeutige Darstellung:

P  O  X b .
n


Mit Pn1 : O , sn1 : 1   X und s : X
 1

n1
für   1,2,,n gilt

P  s P   s P , wobei P : O  b .
 1
Die s1, s2, ... , sn, sn+1 heißen die affinen Koordinaten bezüglich des
affinen Koordinatensystems (Bezugssystems) P1,P2, ... ,Pn,O oder
auch die Schwerpunktkoordinaten.
Folie 6
Kapitel IV, §24
(24.7) Satz: Affin(n,K) oder Affin(A) parametrisiert die affinen
Koordinatensysteme.
(24.8) Hauptsatz der affinen Geometrie: A sei affiner Raum über
R der Dimension > 1. Dann sind die affinen Transformationen genau
die Kollineationen.
Dabei ist eine Kollineation eine bijektive
Abbildung f von A nach A, die Geraden in Geraden abbildet:
Für jede Gerade G in A ist auch f(G) eine Gerade in A . (Ohne Beweis)
(24.9) Bemerkung: Die hier betrachteten linearen und affinen
Koordinaten müssen unterschieden werden von den allgemeineren
Koordinaten, die man vielfach in Mathematik und Physik verwendet.
Beispielsweise Polarkoordinaten im zweidimensionalen affinen
Raum A = R2 über R :
cos 
P   a   r 
.
 b   sin 
Unterschied: Die Basis verändert sich mit den Variablen! Und die
Koordinaten beschreiben nicht immer den ganzen Raum! Es
Folie 7
können Singularitäten auftreten!
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