Wiederholung Mathematik 4

VI.0
A.
Vorbemerkungen
S. 160–161
Bereitstellung von notwendigem Handwerkszeug:
Punktmenge P = {A, B, P, Q . . .},
Geradenmenge G = {a, b, g, h, . . .}
P ∈g
(bedeutet P liegt auf g)
Geraden der Anschauungsebene:
Kollinear, kopunktal
B.
—
C.
—
gk , gm,b
VI.1 Affine Ebenen: Definition und einfache
Beispiele
S. 161–164
A.
Affine Ebene (P, G), festgelegt durch Axiome
(AE 1)
∀ P, Q ∈ P, P 6= Q, ∃1 g ∈ G : P, Q ∈ g.
(Zwei verschiedene Punkte legen genau
eine Gerade fest)
(AE 2)
∀ P ∈ P, g ∈ G ∃1 h ∈ G : h = (P, g).
(Euklidisches Parallelenaxiom)
(AE 3)
P enthält mindestens drei nichtkollineare
Punkte.
Parallelität in affinen Ebenen ist Äquivalenzrelation
Beispiele:
Anschauungsebene, Minimalmodell,
9–Punkte–Modell
|g| ≥ 2 ∀g ∈ G
(Satz 1.3)
B.
Fragen 1, 2, insbesondere 1
C.
Was ist eine affine Ebene?
Erkläre Minimalmodell, 9–Punkte–Modell
Beweise Satz 1.3
Antwort zu Fragen 1 a) – c), 2.
VI.2 Sphärenmodell und Moultonebene
S. 164–166
A.
Weitere Beispiele für affine Ebenen:
Sphärenmodell: Punkte liegen auf einer
Kugeloberfläche ohne den Nordpol“ N ,
”
Geraden sind ebene Schnitte durch N
(Satz 2.1)
Moultonebene: Punkte wie in der Anschauungsebene R2,
Geraden der Anschauungsebene werden
teilweise übernommen, teilweise
ge”
knickt“ (Satz 2.2)
B.
Fragen 3 – 6, insbesondere 5, 6
C.
Erklären der beiden Beispiele
Ähnliche Fragen wie 5, 6
VI.3 Isomorphie und Kollineationen
S. 166–168
A.
Was heißt isomorph?
Allgemein: isomorph = bijektiv + strukturerhaltend
Strukur in affinen Ebenen: Kollineare Lage von
Punkten
Bijektive Abbildungen, die kollineare Lage von
Punkten erhalten, heißen Kollineationen
Beispiele: Translation, Drehung, Spiegelung
Kollineationen erhalten parallele Lage (Satz 3.2)
Affine Ebenen sind isomorph, falls es (mindestens
eine) Kollineation zwischen ihnen gibt
Sphärenmodell und Anschauungsebene sind isomorph, Beweis durch stereographische Projektion
(Satz 3.3)
Moultonebene und Anschauungsebene sind nicht
isomorph (Satz 3.4)
B.
Frage 7
C.
Über (Nicht)isomorphie von Anschauungsebene,
Sphärenmodell, Moultonebene Bescheid wissen
Ähnliche Fragen wie 7
VI.4
A.
Schließungssätze
S. 169–174
Gelten nicht in jeder affinen Ebene
Können zur Klassifizierung dienen
Sätze von Pappus, Desargues,
Scherensätze – jeweils groß und klein
Hängen teilweise voneinander ab:
(P) ⇒ (D) ⇐⇒ (S) ⇒ (d) ⇒ (p) ⇒ (s)
(D) 6⇒ (P),
(d) 6⇒ (D)
Interessante(?) Anwendung von (D)
B.
Fragen 8 – 11, insbesondere 10
C.
Schließungssätze zeichnen können (auch
in Moultonebene)
Einfache Abhängigkeiten beweisen können
(z.B. (d) ⇒ (p))
VI.5
A.
Dilatationen
S. 174–178
Kollineationen, bei denen Gerade und Bildgerade stets parallel sind
Beispiele: Translation, Streckung
Dilatationen sind durch die Bilder zweier
Punkte eindeutig festgelegt
Dilatationen 6= id haben höchstens einen
Fixpunkt
Einteilung der Dilatationen nach Anzahl
der Fixpunkte
Definition Fixgerade
Für Profis: Zusammenhänge mit Schließungssätzen
B.
Fragen 12 – 21, insbesondere 12, 13, 21
C.
Siehe Fragen
Gegeben Punkt und Bildpunkt. Wo liegen
Bilder von weiteren Punkten?
VI.6 Normale euklidische Ebenen S. 178–181
A.
Kennzeichnung der Anschauungsebene gegenüber
anderen affinen Ebenen
(Vergleiche R: Vollständiger angeordneter Körper)
Neue Begriffe:
Strecken {A, B} ∈ P2 mit Relation ≡ kongruent“
”
Kreise
kA(B) = {X ∈ P | {A, X} ≡ {A, B}}
Mittelsenkrechte mA,B = {X ∈ P | {A, X} ≡ {B, X}}
Parallelogramme (A, B, C, D): AB k CD ∦ BC k AD
Affine Ebene (P, G, ≡) heißt normal euklidisch: ⇐⇒
(KS)
|kA(B) ∩ AB| = 2 ∀{A, B} ∈ P2
(PG)
{A, B} ≡ {C, D} ∀(A, B, C, D)
Nicht normal: Moulton, Minimal, 9–Punkte
Aber: Nicht jede normale Ebene ist isomorph zu R2
Neue Begriffe: Tangente, innerer Punkt, Inneres eines Kreises, abgeschlossene Kreisscheibe (Def 6.4)
(P, G, ≡) heißt vollständig euklidisch: ⇐⇒
Normal und zusätzlich (E) und (V) (Def. 6.5)
B.
Fragen 22,23
C.
Was sind Strecken, Kreise, Mittelsenkrechte?
Was ist eine normale Ebene?
Was ist eine vollständige euklidische Ebene?
VI.7
gen
A.
Bewegungen Teil 1: PunktspiegelunS. 181–186
Ab jetzt nur noch normale euklidische Ebenen mit
vernünftiger“ Abstandsmessung
”
Bewegungen sind distanztreue Kollineationen
Punktspiegelung ϕM (Def 7.2)
Jede Punktspiegelung ϕM ist eine Bewegung, genauer eine involutorische Streckung mit einzigem
Fixpunkt M (Satz 7.1)
Wichtige Folgerungen:
∀ A, B ∈ P ∃1 ϕM : A 7→ B
M (s.o.) heißt Mitte der Strecke {A, B}
ϕA ◦ ϕB ist eine Translation
Jede Translation ist Verkettung zweier Punktspiegelungen
ϕA ◦ ϕB ◦ ϕC ist wieder eine Punktspiegelung ϕD
A, B, C (s.o.) nicht kollinear ⇒ (A, B, C, D)
Parallelogramm
B.
Fragen 24 – 29, insbesondere 24, 29
C.
Definition Punktspiegelung
Finde im R2 Abbildungsvorschrift ϕM ((x, y)) bei gegebenem M
Finde Punktspiegelungen zu gegebener Translation
(und umgekehrt)
Suche D mit ϕD = ϕA ◦ ϕB ◦ ϕC
VI.8
A.
Orthogonalität
S. 186–188
Definition orthogonal ohne Winkelbegriff
(Def 8.1)
Orthogonal in Anschauungsebene:
gk ⊥ g0,b
gm,b ⊥ g− 1 ,c für m 6= 0,
m
Bewegungen erhalten ⊥
Zusammenhänge zwischen k und ⊥
Fällen von Loten (Satz 8.4)
Umkreis eines Dreiecks (Satz 8.5)
Höhenschnittpunkt im Dreieck (Satz 8.6)
Thaleskreis (Definition und Eigenschaft)
B.
Fragen 30 – 34, insbesondere 31, 32
C.
Definition orthogonal
Konstruktion Lot (Uni und Schule)
Beweise Satz 8.5, 8.6
Definition Thaleskreis
VI.9 Bewegungen Teil 2: Spiegelungen und
Drehungen
S. 189–195
A.
Geradenspiegelung g̃:
g̃(X) := ϕFX (X)
(Def 9.1)
Eigenschaften von g̃ u.a.:
Involutorische Bewegung, hat g als Fixpunktgerade,
Menge aller Fixgeraden ist {g} ∪ {h ∈ G | h ⊥ g}
Jede Bewegung mit ≥ 2 Fixpunkten ist g̃ oder id
Jede Bewegung mit einem Fixpunkt ist Drehung
Verkettung von Geradenspiegelungen g̃ ◦ h̃ ist
Translation (g k h) oder Drehung (g ∦ h)
Verkettung von drei Geradenspiegelungen ist
Geradenspiegelung (Geraden im Büschel) oder
Gleitspiegelung (sonst)
Charakterisierung aller Bewegungen durch Geradenspiegelungen (Satz 9.8); eigentliche und uneigentliche Bewegungen
B.
Fragen 35 – 38, insbesondere 36, 37, 38
C.
Bestimmung einer gegebenen Bewegung
Untersuche gegebene Kollineation auf Fixpunkte
und Fixgeraden
Finde Geradenspiegelungen zu gegebener Translation oder Drehung
Erklärung der Klassifikation gemäß Satz 9.8
VI.10
A.
Winkel
S. 195–200
Definition Winkel in normalen euklidischen Ebenen
als geordnetes Geradenpaar (Def 10.1)
Spezialfälle Nullwinkel, rechter Winkel
Konforme Winkel (Winkelvergleich, Def 10.2)
Wichtige Eigenschaften:
Abtragbarkeit (Satz 10.2)
Schenkelaustauschsatz (Satz 10.3)
Gleich– bzw. gegensinnige Winkeltreue bei eigentlichen bzw. uneigentlichen Bewegungen
Winkelhalbierende
Berührkreise eines Dreiecks (Satz 10.7)
Kreiswinkelsätze
B.
Fragen 39 – 45
C.
Erklärung Winkel, Bedeutung konform
Abtragbarkeit an konkreten Beispielen durchführen
Erklärung Schenkelaustauschsatz
Eigenschaften und Definition der Berührkreise
VI.11
Eulergerade und Feuerbachkreis in
der Anschauungsebene
S. 201–203
A.
Vorteil der Anschauungsebene: Rechnen
mit Koordinaten
Seitenhalbierende, Schwerpunkt
Kollineare
Lage
von
Schwerpunkt,
Höhenschnittpunkt,
Mittelsenkrechtenschnittpunkt führt zur Eulergeraden (Def
11.2)
Umkreis des Seitenmittendreiecks heißt
Feuerbachkreis (Def 11.3)
oder 9–Punkte–Kreis (Sätze 11.4, 11.5)
Zusammenhang Eulergerade und Feuerbachkreis (Satz 11.6)
B.
Fragen 46 – 51, insbesondere 47, 49
C.
Definition Feuerbachkreis, Eulergerade
Welches sind die 9 Punkte (s.o.)?
Untersuchung von Spezialfällen, bei denen
einige der 9 Punkte zusammenfallen