Schleching 2008 4. Theorie Standard Modell

4. "Theorie": Standard Modell
4.1 Eichinvarianz der QED, und Folgerungen
4.2 Supraleitung und Standard Modell
Schleching 2/2008
Präzisionsphysik mit Neutronen/ 4. Theorie Standard Modell
4.1
Phasenüberg. des Vakuums und der Materie
Übergang
Temperatur
Zeitpunkt
Planck
GUT’s
Inflation
Elektro-schwach
1019 GeV
1016 GeV
?
100 GeV
10−43 s
Ausfrieren der:
Nukleonen (aus quark-gluon Plasma)
Kerne
1 MeV
Atome
10 eV
Galaxien
3K
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Phasenübergänge
des Vakuums
↓
10−12 s
Phasenübergänge
10−12 s ? der Materie
1s
↓
105 a
heute
Präzisionsphysik mit Neutronen/ 4. Theorie Standard Modell
4.2
4.1 Eichinvarianz der QED, und Folgerungen
Maxwell Gln. : Das Photon ist invariant gegen Eichtransformation
Im ψ
Kann auch das Elektron eichinvari ant sein?
Freies Elektron, Wellenfun ktion ψ ( x), mit x  (t , x ) :
2
ψ'
θ ψ Reψ
2
Phasenschub : ψ'  ψ exp(ieθ ) ändert nicht ψ '  ψ
Aber : Globale Symmetrie ist nicht Lorentz - invariant.
Daher : beliebige orts - und zeit - abhängige Phase θ  θ ( x).
U(1)-Transf.
Forderung : lokale Phasenschub - Invarianz,
dh. die WW ist invariant unter Transformation mit beliebigem θ ( x)
 Eichsymme trie.
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4.3
Eichinvarianz der Dirac-Gleichung
Bewegungs - Glei chung ψ ( x) des freien Elektrons aus :
Dirac - Gleichung (     m) ψ  0
4 lineare Differenzial - Gleichunge n für die 4 Spinor - Komponente n ψ ν , mit
ψ
ψ
ψ
ψ
    0 ν  1 ν   2 ν   3 ν
t
x
y
z
mit konstanter Koeffizien ten Matrix γ μ ,
 0 0  i 0


 0  i z   0 0 0 i 
  
z.B.  3  

i

0
 z
  i 0 0 0
 0  i 0 0


Die Dirac - Gleichung alleine ist nicht eichinvariant , denn mit ψ' ( x)  ψ ( x) eieθ ( x )
verändert sich die Dirac - Gleichung, mit (Kettenregel) :
  ψ '  (  ψ )eie  ψ ie (  θ )eieθ , zu :
(γ μ  μ  m) ψ '  (γ μ  μ  m)ψ eieθ  ie ( μ θ )ψe ieθ  0  ie ( μ θ ) ψ ,
dh. ψ' gehorcht nicht mehr der Dirac Gleichung, da (γ μ  μ  m) ψ'  0
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4.4
Folge: Existenz des Photons
Wenn es aber ein eich - invariante s Vektorfeld A gibt : Aμ'  Aμ   μ θ ,
das an das Elektron ankoppelt nach :
D μψ  ( μ  ieAμ ) ψ
(der Skalenfaktor e wird die Ladung des Elektrons) ,
dann wird auch die Dirac - Gleichung für das Elektron eichinvari ant.
Denn mit der kovariante n Ableitung D μ ist :
D  ' ψ'  ( μ  ieAμ' ) ψ eieθ   μ (ψ eieθ )  ie( Aμ   μ θ ) ψ eieθ
 ( μψ ) eieθ  ie( μ θ ) ψ eieθ  ieAμψ eieθ  ie( μ θ ) ψ eieθ
 eieθ ( μ  ieAμ ) ψ  eieθ D μψ
und die Dirac - Gleichung wird eichinvari ant :
dh. mit : (γ μ Dμ  m) ψ  0 wird auch (γ μ D μ '  m) ψ '  eieθ (γ μ D μ  m) ψ  eie  0  0
Mit anderen Worten : Aus dem Eichpostul at für die Dirac - Gleichung ψ' ( x)  ψ ( x) eieθ ( x )
(" die Welt der Elektronen ist invariant gegen beliebigen Phasenschub θ ( x)" )
folgt zwinge nd die Existe nzde s Photone nfelde s Aμ , welches den Maxwell - Gl' gen gehorcht,
Fazit : Freie Elektronen können nicht alleine existieren , sondern nur zusammen mit Photonen.
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4.5
Folge: Erhaltung der elektrischen Ladung …
Laufende Welle im äußeren Potenzial A: ψ =ψ0ei(p−eA)x.
Die Änderung der potentiellen Energie um eΔA führt zum Phasenschub: eieΔA·x
(die freie Wahl der Phase (Eichsymmetrie) bedeutet freie Wahl des Energie-Nullpunktes).
Eichsymmetrie ↔ Ladungserhaltung? Beweis durch Widerspruch:
Annahme:
Es gibt Energieerhaltung und
Eichsymmetrie,
aber keine Ladungserhaltung.
keine Ladungserh.:
Ladung e entstehe bei el.-stat. Potenzial A = (Φ, 0) unter Energieaufwand W;
Ladung gelangt an anderen Ort mit Potenzial Φ' ≠ Φ,
unter Energieaufwand e(Φ −Φ') ≠ 0,
und vergeht dort wieder mit Energiegewinn W'.
Eichinvarianz:
W ist unabhängig von der Phase eΦ, dh. W' = −W.
dh. Energiebilanz:
W −W + e(Φ −Φ') ≠ 0, im Widerspruch zur Energieerhaltung,
dh. mit Eichsymmetrie und Energieerhaltung gibt es auch Ladungserhaltung.
NB: Diese Betrachtung, die auf Wigner zurückgehen soll,
beruht allerdings nicht auf dem Noether-Theorem.
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4.6
… ist Beispiel für Noether Theorem
Kontinuierliche Symmetrie  Erhaltungs satz :
Beispiel : Zeitverschiebungs - Symmetrie  Energie - Erhaltung :
H  T  V  E,
H
ändert sich nicht unter einer beliebigen Zeitverschiebung dt  0 : dH 
dt  0
t
H
genau dann, wenn
 0, dh. wenn die Energieerhalten ist :
E  const.
t
Die Dynamik eines Systems, gegeben durch den Hamiltonia n
Beispiel : Ortsverschiebungs - Symmetrie  Impuls - Erhaltung :
Die Dynamik ändert sich nicht unter Ortsverschiebung dx  0 :
Wegen Hamiltons Gleichung : p  
dH 
H
dx  0
x
H
 0 ist dies genau dann der Fall, wenn p  const.
x
allg. : Noethers Theorem :
" Jede kontinuier liche Symmetrie, die die Lagrange Funktion invariant lässt,
führt zu einem erhaltenen Strom , dessen Zeitkomponent e eine erhaltene Ladung liefert"
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4.7
4.2 Supraleitung und Standard Modell
Wir vergle ichen :
Supe rconductor, Meissner - Ochsenfeld effect :
Gintzburg - Landau Lagrange density
2
B2
2
2
4
2
Ls  Ln 
Dψ s  ½ μ ψ s  ¼ λ ψ s 
 BM
2m *
2 μ0

with covariant derivative D    ie * A
Cooper condensate : m*  2m, e*  2e, ψs  ψ1  iψ 2 ,
mit μ 2  (TC  T )
Standard mode l, Higgs mechanism :
Weinberg - Salam Lagrange density
1
L  (D μΦ ) (D μΦ )  ½ μ 2 (Φ Φ )  ¼ λ(Φ Φ ) 2  WμνWμν  ...
4
1
with covariant derivative D μ   μ  igAμ  τ  ig'Bμ
2
field tensors :
W     A   A  gA  A
B    B   B
<ψ1>
mit μ 2  (TC  T )
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4.8
Supraleiter: 2 Skalen
Zur Erinnerung:
ψs
Vakuum
Supraleiter
Supraleiter hat 2 charakteristische Skalen:
x
1. durch Ordnungsparameter (= supraleitendes Kondensat):
Kohärenzlänge ξ = ħ/μc des Kondensats
2. durch Meissner Effekt (= Verdrängung des Magnetfeldes):
hat daher nur noch eine endliche Reichweite
London Eindringtiefe λL = ħ/(eυc) des Felds B
ξ
B
Vakuum
B0
Supraleiter
x
λL
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4.9
Comparison of coefficients gives:
G.-L.: Uel-mag(1)
order parameter:
super-conducting condensate
ψ = ψ1 + iψ2
W.-S.: SUL(2) x UY(1)
Higgs doublet
Φ1 + i Φ2
Φ=
Φ3 + i Φ4
boson mass generation
by Higgs field:
Meissner effect
mph = e <ψ1>
Higgs mechanism
mW = g < Φ3>
Compton wavelength λ
of interacting boson:
London penetration depth
λL= ħ/(mphc)
range of weak interaction
λW=ħ/(mWc)
Compton wavelength λ
of Higgs:
coherence length
ξ = ħ/(μc)
"coherence length"
λH= ħ/(mHc)
N.B.: die maximale Reichweite einer WW durch virtuellen Austausch
eines Bosons der Masse m, dh. der Ruheenergie E0 = mc2, ist
R = cΔt = ħc/E0 = ħ/mc ≡ λCompton
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4.10
Dasselbe im Detail:
Im Folgenden zeigen wir:
1. das Entstehen von Goldstone Bosonen
anhand der Magnonen-Anregung in einem Ferromagneten im Landau Modell
(spontane Brechung einer globalen Symmetrie)
2. den Higgs-Mechanismus, dh. das Verschwinden des Goldstone Bosons
und die Entstehung der Masse des Eichbosons
anhand eines Supraleiters im Landau-Gintzburg Modell
(spontane Brechung einer lokalen Eichsymmetrie)
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4.11
Landau model of phase transitions
Critical phenomenon:
FM
PM
1930: Landau free energy (-density) of ferromagnet F =F(M),
with magnetization (-density) M = order parameter
↑TC
Taylor-expanded about M = 0:
F = F0(T) + ½μ2 M 2 + ¼λ M 4
λ > 0 to contain system;
μ2 changes sign at T = TC:
μ2 = a (T − TC)
F
T > TC
T < TC
PM
FM
<M>
M
spontaneous breaking of symmetry at T = TC :
Phase transition paramagnetic ↔ ferromagnetic.
My
<Mxy>
θ
Mx
But: F has no local gauge symmetry.
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4.12
kritische Exponenten (mean-field)
Das Minimum der freien Energiedic hte :
F
 a (T  TC ) M  λ M 3  0
M
liegt bei  M   0 für T  TC (PM ), und
bei  M   M 0 (T  TC ) ½ für T  TC (FM ),
mit M 0  a/λ , und dem kritischen Exponenten β  ½.
(Re normalisie rungstheor ie : β  13 ).
β=½
β=⅓
B=0
Mit äußerem Magnetfeld B :
F  F0 (T )  ½ a (T  TC ) M 2  ¼ λ M 4  B  M
F
 a (T  TC ) M  λ M 3  B  0
M
B>0
 M ( B, T ), siehe Bild.
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4.13
weitere kritische Exponenten
Mit diesem
F
 a (T  TC ) M  λ M 3  B
M
erhält man die Magnetische Suszeptibi lität eines Paramagnet en
(T  TC , dh. M  0), für B  0, divergiert für T  TC :
χ
M M F
M


 Curie Weiss Gesetz :
B
F B a(T  TC )
χ  (T  TC )  γ
χ
mit kritischem Exponenten γ  1, und ähnlich für T  TC
(Renormalis ierungsthe orie : γ  1.25).
FM
χ−
PM
χ+
TC
T
F
↔
M
Grund : F ( M ) hat flachen Boden für T  TC : kritische Fluktuatio nen.
Ähnliches Vorgehen für : Entropiedi chte s  
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F
s
, spez. Wärme c  T
, usw .
T
T
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4.14
Lagrangians
Beispiele :
1. Sk alares Feld φ der Masse (bzw. Energielüc ke) μ
(Spin - 0 Boson wie Pion oder Magnon)
hat Lagrange  Dichte : L  ½ (  φ) 2  ½ μ 2φ2
L
L
da Variation  

0
 (  φ) φ
die Klein - Gordon Gleichung ergibt : ( 2μ  μ 2 ) φ  0
(mit p  ( p, iE ) ist p 2  μ 2  0),
2. Spinor Feld ψ der Masse μ
(spin - 1/2 Fermion wi e Elektron)
hat Lagrange - Dichte : L  ψ (γ μ  μ  μ)ψ
da Variation die Dirac - Glg. ergibt : (γ    μ)ψ  0
3. Massives VektorfeldA der Masse μ hat den Massenterm  ½ μ A2
etc.
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4.15
Goldstone Theorem
" Jede spontane Brechung einer kontinuier lichen Symmetrie
erzeugt ein masseloses Teilchen"
(dh. Anregung ohne Energielüc ke)
 Goldstone Boson
Landau - Ferromagnet, ohne B - Feld,
mit ortsabhängiger Magnetisie rung M ( x) :
Zusatzenergie für die Abweichung von der
 2
idealen Magnetisie rung ist  M , dh. :
 2
2
L  ½ M  ½ μ 2 M  ½ λ M
My
<Mxy>
θ
Mx
4
spontane Symmetrie - Brechung :
Lösung für T  TC : rotations - symmetrisch
Lösung für T  TC : zylinder - symmetrisch
Goldstone Mode  Magnon
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4.16
Erzeugung des Goldstone φ im Ferromagnet
 2
2
L  ½ M  ½ μ 2 M  ½ λ M
4
T  TC :
Fluktuatio nen um neues Minimum υ   M  :
Fluktuatio n der Amplitude χ ( x)  M und Fluktuatio n der Phase :
M ( x)  (υ  χ ( x)) ei ( x ) /υ

Kettenregel : ½ M
2
Fluktuatio n χ  υ :
2


2
 ½ χ ei ( x ) /υ  i ( x) /υ (υ  χ ) ei ( x ) /υ

 2
 ½  χ  i
 2

2
2
 ½ χ  ½   ( x )
(wegen a  ib  a 2  b 2 )
2
2
und :
 ½ μ 2 M   ½ μ 2 υ  χ  const.  ½ μ 2 χ
(der in χ lineare Term  ½ μ 2υχ verschwindet im Minimum)
↑
M
<M> = υ
iMy
χ Mx
eingesetzt in L ergibt :
L  const.
 von x unabhängig e Terme
 2
2
 ½ χ  ½ μ 2 χ  " massive" Anregung χ um neuen Grundzusta nd  M   υ längs M
 2
 ½ 
 Goldstone  ohne Massenterm  Magnon ohne Energielücke

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φ
 WW. höherer Ordnung
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4.17
Higgs-Mechanismus im Supraleiter
WW. mit massiven Feldern Aμ ist nicht eichinvariant
Trotzdem: Ginzburg-Landau ist eichinvariant (Dr.-Arbeit Ginzburg ~ 1950),
obwohl beim Meissner Effekt Magnetfeld kurzreichweitig, dh. massiv wird.
Grund:
Higgs-Mechanismus
Wenn ein skalares, eich-invariantes ("Higgs-") Feld ψ
eine spontane Symmetrie-Brechung erleidet,
so kann das Vektorfeld Aμ massiv werden,
ohne dass seine Eichinvarianz verloren geht,
wobei gleichzeitig das zugehörige Goldstone verschwindet.
gezeigt am Beispiel des Ginzburg-Landau Supraleiters :
Cooper Kondensat = ψ:
2
2 
2
4
L
ψ  ie * Aψ  ½ μ 2 ψ  ¼ λ ψ  B 2 / 2 μ0  B  M
2m *
L =
Ekin
− V(x)
− Feldenergie − magn. Energie
Wie gehabt: Fluktuationen von ψ(x) im "Flaschenboden" um <ψ> = υ
ψ ( x)  (υ  χ ( x))e i ( x ) /υ
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iψ2
φ
χ ψ1
4.18
Goldstone φ verschwindet, Vektorpotenzial A massiv:
ψ ( x)  (υ  χ ( x)) ei ( x ) /υ , χ  υ, wird mit Kettenregel :



2
2
ψ  ie * Aψ s  χ  i /υ (υ  χ )  ie * A (υ  χ )

wähle Eichung :
A  A   /(e*υ) :
Mit dieser Eichung (und somit für jede Eichung)
 2
verschwindet der Term  ½( ) des masselosen Goldstones :

2
 χ  (υ  χ ) ie * A
 2
 χ  (υ  χ ) 2 (e * A) 2 ,
mit :
und gleichzeit ig wird das Eichfeld A massiv, unter Beibehaltu ng seiner Eichinvari anz,
mit χ '2  ( 2 /m*) χ :
L  const.
 2
 ½ χ '  ½ μ 2 χ ' 2
 " Higgs" mit Masse μ)
2
 mph
A2
 schweres Photon der Masse mph  e * υ m */
 B 2 / 2 μ0  μ0 B  M  quadratisc he Feldterme
 ...
 Rest WW.
 2
L  ½ χ  ½ χ 2 /ξ 2  A2 /λL2  B 2 / 2 μ0  μ0 B  M  ...
mit Kohärenzlänge ξ  1/μ  Compton We llenlänge des Higgs (  c  1)
und London Eindringti efe λ  1/mph  Compton We llenlänge des schweren Photons A
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4.19