Konstante C - User web pages on web

Geozentrisches Weltbild
Einteilung der hellsten Sterne
in Tierkreiszeichen (Antike)
Der Himmel gehört den
Göttern. Dies führt auf
natürliche Weise zu einer
geozentrischen Sicht.
Die Erde ruht im Zentrum
des Universums, Planeten,
Mond und Sonne kreisen
darum herum.
Heliozentrisches Weltbild
Die Sonne ruht im Zentrum
und die Planeten kreisen
darum herum.
Tag und Nacht läßt sich
durch die Eigenrotation der
Erde erklären.
Hätte die Sonne einen
Durchmesser von 1,4m,
dann wäre der
Erddurchmesser 1,2cm und
der Bahnradius 150m.
Keplersche Gesetze
Die Bahnen der Planeten sind
Ellipsen, in einem der beiden
Brennpunkte steht die Sonne.
(a,b Halbachsen der Ellipse)
Planeten bewegen sich in
Sonnennähe schneller als in
entfernteren Bogenstücken.
(gleiche Flächen)
Die Quadrate der
Umlaufdauern verhalten sich
wie die dritten Potenzen der
großen Halbachsen.
Keplersche Gesetze
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in
deren einem Brennpunkt die Sonne steht
2. Ein von der Sonne zum Planeten gezogener
Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen.
T12 r13
 3  C  konst
2
T2 r2
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier
Planeten verhalten sich wie die dritten
Potenzen der großen Halbachsen der
Bahnellipsen.
Zentralgestirn Sonne
Berechnung der Konstante C (3. Keplersche Gesetz) für unser Sonnensystem
7

3
,
15

10
s
Umlaufzeit für die Erde T=365 Tage
Bahnradius= 1,50 1011 m




2
2
T
3,15 10 s
s
19
C 3 

2
,
94

10
3
3
11
r
m
1,50 10 m
2   r
Berechnung der Bahngeschwindigkeit: v 
T
2
T
2
3

C

T

r
C
3
r
2
7
2   r 2   r
2 
v


T
r C
r3 C
Zentralgestirn Erde
Berechnung der Konstante C für das
Zentralgestirn Erde.
Umlaufdauer des Mondes
T=27,32 Tage= 2,36 106 s
Bahnradius des Mondes
r  384,42 106 m


2
2
T
2,36 10 s
s
14
C 3 

9
,
80

10
3
3
6
r
m
384,42 10 m
2

6

Gravitationsgesetze
Fallbewegung auf der Erde
hat gleiche Ursache wie die
Kreisbewegung des Mondes
um die Erde (Newton)
Newton’s Gravitationsgesetz
Die Gravitationsdrehwaage
mißt die Konstante f in
Newton’s Gravitationsgesetz
Gravitationskonstante
Annahme: Planeten bewegen sich auf Kreisbahnen
m  v2
Fr 
 m  2  r
r
Mit Hilfe von   2   / T und dem 3. Keplerschen Gestz gilt:
4  2  m  r 4  2  m  r 4  2  m
Fr 


2
3
T
C r
C r2
Nach dem Gestz von ‘actio gleich reactio’ wechselwirkt der Planet mit dem
Zentralgestirn M
 21030 kg .Ziehen sich zwei Körper mit der Kraft F an:
Sonne
2
3
4  M  m
M m
11 m
mit f  6,67 10
F
 f
2
2
kg  s 2
CM r
r
Der Abstand r zwischen zwei Körpern wird vom Mittelpunkt zu Mittelpunkt
gemessen
Masse der Erde
Auf einen Körper, der sich auf der Erde befindet, wirkt die Gewichtskraft
G  m  g Dies entspricht der Kraft im Gravitationsgesetz
ME m
G  F  m g  f
rE2
Nach Kürzen und Auflösen nach ME


2
m
6
9,81 2  6,37 10 m
g  rE2
24
s
ME 


6

10
kg
3
f
11 m
6,67 10
kg  s 2
Künstliche Satelliten
Bewegt sich ein Satellit mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn um die
Erde so ist die Gewichtskraft G gleich der Anziehungskraft F
ME m
G  F  m g  f
rE2
Diese Gleichung gilt für den speziellen Fall, daß sich der Körper auf der
Erdoberfläche befindet. Der Wert der Fallbeschleunigung g wird aber von der Höhe
über der Erde abhängig sein. Sei rS der Radius der Satellitenbahn um den
Erdmittelpunkt, so gilt:
f M
gh 
E
rS2
2
r
Setzt man f  M E  g  rE2 so erhält man g h  g E2
rS
Für die Bahngeschwindigkeit
des Satelliten gilt:
m  v2
m  gh 
 v  g h  rS
rS
Fragen zur Planetenbewegung
1.
2.
3.
4.
5.
In welcher Zeit umkreist ein künstlicher Satellit in 500km Höhe die Erde?
(Umlaufdauer des Mondes TM=27,32d, Bahnradius des Mondes
rM=384420km, Erdradius=6370km)
In welcher Entfernung von der Erdoberfläche wiegt ein Körper der Masse
m=2kg nur noch die Hälfte?
In welchem Abstand von der Erdoberfläche wird ein Körper von Erde und
Mond gleichstark angezogen (Masse mE=5,97*1024kg, mM=7,36*1022kg,
Bahnradius rM=380 000km)?
In welchem Abstand von der Erdoberfläche umkreist ein ‘geostationärer’
Satellit die Erde, also ein Satellit der über einem immer gleichen Punkt der
Erde steht?
Ein Astronaut hat sich d=1,20m von seiner kugelförmigen Raumstation
entfernt (Radius der Raumstation rR=15m, Masse der Station mR=3*106kg).
Wie lange dauert es, bis er nur durch die Gravitationskraft wieder an der
Station angekommenist (die Gravitationskraft soll dabei als konstant
angesehen werden)?