Teil 1 Mathe (Click for download)

Lektion 1
Administration
Vorschau
1. Zahlen
2. Addieren +Subtrahieren
3. Übungen
4. Rechnen mit Klammern
5. Übungen
IBZ / E. Morger / 14.02.2017
Folie 1
Steckbrief
Name:
Wohnort:
Firma:
Beruf:
Morger Ernst
8718 Schänis
Eternit AG
Masch.Ing.HTL
EOQ-Quality S. Manager
Tätigkeiten: Projektleiter Investitionen
Leiter Qualitätsprüfung
Leiter Logistik-Basis-Support
Freizeitaktivitäten
•
•
•
•
•
Schule IBZ
Schulrat Schänis
Snowboarden
Schiessen
3 Söhne
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Folie 2
Vorschau
Teil 1
1. Zahlen
2. Addieren+Subtrahieren
3. Rechnen mit Klammern
4. Multiplizieren und Dividieren
5. Potenzieren und Radizieren
6. Gleichungen ersten Grades
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Folie 3
Vorschau
Teil 2
1. Wahrscheinlichkeit
2. Funktionen
3. Grafische Darstellungen
4. Häufigkeiten
5. Regressionsrechnung
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Folie 4
1. Zahlen
1; 5; 8
Arabische Ziffern
425; 67
Zahlen
Brüche:
Bruchstrich
1 3
;
8 4
12 5
;
8 4
1
8
Zähler (oben)
Nenner (unten)
echte Brüche
unechte Brüche
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Folie 5
1.3 Symbole
Symbole für Zahlen:
Fläche = a x b
Einstein: E = mc2
Druck-Festigkeit = Kraft pro Fläche

F
A
A  a b
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Folie 6
2. Addieren
2.1 Addieren von gleichartigen Zahlen:
Gleichartige Zahlen ( a; 4a; 7a)
Summe
ab c
Summanden
5a-2a-3a = 0
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Folie 7
2. Addieren

In einer Summe darf man die Summanden vertauschen
(a + b) + c = b + ( a + c )

Beim Addieren darf man die Summanden zu Teilsummen
zusammenfassen
a + b + a = 2a + b

gleichartige Zahlen werden addiert, indem man die Beizahlen
addiert
6 a + 2a = (6+2) • a = 8 a
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Folie 8
2. Addieren

gleichartige Zahlen werden addiert, indem man die
Beizahlen addiert
6a
3a
3a
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Folie 9
2. Addieren

2.2 Addieren von ungleichartigen Zahlen:
Ungleichartige Zahlen ( a; 4b; 5c)

In einer Summe lassen sich immer nur gleichartige Summanden
addieren
6a+2a+4c+2c=8a+6c

Viele Summanden werden addiert, indem man gleichartige
Glieder unter einander schreibt und diese addiert.
6a+2a+4c+2c=?
6a+4c
2a+2c
8a+6c
siehe Übung
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Folie 10
3. Subtrahieren

Man subtrahiert gleichartige Zahlen, indem man die Beizahlen
voneinander subtrahiert
5a-2a = (5-2)a=3a

Nur gleichartige Zahlen lassen sich voneinander subtrahieren
5a-2a-3b = 3a-3b
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Folie 11
4. Addieren+Subtrahieren

Sind Vorzeichen und Rechenzeichen gleich, so
wird der absolute Betrag der Zahl addiert
a+(+b) = a+b
a- (-b) = a+b

Sind Vorzeichen und Rechenzeichen ungleich,
so wird der absolute Betrag der Zahl subtrahiert
a+(-b) = a-b
a- (+b) = a-b
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Folie 12
4. Addieren+Subtr. von Zahlen
Aufgabe:
3a+5b-3c+7b-2a-2c
Gleichartige Summanden ordnen
3a+5b-3c+7b-2a-2c
3a -2a +5b +7b -3c-2c
Beizahlen addieren oder subtrahieren.
a+12b –5c
Übung EMo1
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Folie 13
5. Rechnen mit Klammern

Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, so darf man es
weglassen, ohne dass sich die Rechenzeichen in der
Klammer verändern.
a+(b+c-d)=a+b+c-d

Lässt man in einer Summe eine Klammer weg, vor der ein
Minuszeichen steht, so muss man die Rechenzeichen aller
Glieder in der Klammer umkehren.
a-(b+c-d)= a-b-c+d
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Folie 14
5. Rechnen mit Klammern

Sind in einer Summe mehrere Klammern, so löst man
unter Beachtung der Rechenzeichen zunächst die inneren
Klammern auf und dann nacheinander die äusseren
Klammern
A-{b+[c-(d+e)]}
= a-{b+[c-d-e]}
= a-{b+c-d-e}
= a-b-c+d+e
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Folie 15
Lektion 2
1. Hausaufgaben+ Zus‘fassung
2. Multiplizieren Zerlegen (Ausklammern)
3. Dividieren
3a. Grösster gemeinsamer Teiler ggT
3b. Kleinstes gemeinsame Vielf. kgV
2. Brüche
kürzen, erweitern,addieren,
subtrahieren
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Folie 16
6. Multiplizieren

Das Malzeichen zwischen den Faktoren kann man weglassen.
a • b = ab
12 •a •b=12ab

In einem Produkt kann man die Faktoren vertauschen.
b • a • c= a • b • c=abc

Ist ein Faktor Null so ist das ganze Produkt Null
a • 0=0
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Folie 17
6. Multiplizieren

6.2 Multiplizieren von Produkten

Beim Multiplizieren darf man Faktoren vertauschen und zu
Teilprodukten zusammenfassen.
4a • 5b = 20ab
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Folie 18
6. Multiplizieren

6.3 Das Produkt von Zahlen mit positiven Vorzeichen ist
positiv.
a • b= ab

Das Produkt von Zahlen mit negativen Vorzeichen ist
positiv.
-a • -b=

ab
Das Produkt zweier Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen
ist negativ.
a • (-b)=-(ab)
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Folie 19
6. Multiplizieren

6.4 Multiplizieren von Zahlen mit Summen

Man multipliziert eine Zahl mit einer Summe, indem man
jedes Glied der Summe mit der Zahl multipliziert
a • (b + c)
=a•b+a•c
= ab + ac
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Folie 20
6. Multiplizieren

6.4 Multiplizieren von algebraischen Summen

Zwei algebraische Summen werden miteinander
multipliziert, indem man jedes Glied der einen
Summe mit jedem Glied der anderen Summe
multipliziert
(x + y) • (b + c)
= xb + xc + yb + yc
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Folie 21
7. Dividieren (Brüche)

7.1 Division durch Null ist nicht erlaubt!

7.2 Der Quotient zweier Zahlen mit gleichen
Vorzeichen ist positiv, der Quotient zweier
Zahlen mit ungleichen Vorzeichen ist negativ.
- a / b = a / -b = -(a / b)
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Folie 22
7. Brüche, ggT

7.3 Der grösste gemeinsame Teiler (ggT) erhält
man aus dem Produkt der gemeinsamen
Primfaktoren der Zahlen:
2
3
48 2 x 2 x 2 x 2
3
84 2 x 2
3
120 2 x 2 x 2
3
5
7
7
5
ggT 2 x 2 x 3 = 12
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Folie 23
7. Brüche, kgV

7.4 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
erhält man aus dem Produkt der grössten
Anzahl Primfaktoren
9 / 15 / 21
3
9
3x3
15
3
21
3
5
7
5
7
kgV 3 x 3 x 5 x 7 = 315
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Folie 24
7. Brüche, kürzen

7.5 Einen Bruch kürzen heisst, Zähler und Nenner durch
die gleichen Zahl teilen.
Der Wert des Bruches ändert sich durch das Kürzen nicht.
3 a b
3 b c
a
c
Sind bei einem Bruch Zähler und Nenner Summen, so
muss man alle Summanden durch die gleiche Zahl kürzen.
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Folie 25
7. Brüche, erweitern

7.6 Einen Bruch erweitern heisst, Zähler und Nenner mit
der gleichen Zahl multiplizieren.
3•2
5•2
6
10
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Folie 26
7. Brüche

+ und – von Brüchen
7.7 Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert),
indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den
gemeinsamen Nenner beibehält.
3 7 5 3 7 5 5
  

8 8 8
8
8

7.8 Brüche mit ungleichen Nennern muss man vor dem
Addieren und Subtrahieren gleichnamig machen.
5 3 1 10 9 6
1
     1
6 4 2 12 12 12
12
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Folie 27
7. Brüche, multiplizieren

7.9 Bruchzahlen werden multipliziert, indem das Produkt
der Zähler durch das Produkt der Nenner dividiert wird.
2
4
243
8
3

3 

1
3
5
3  5 1
5
5
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Folie 28
Lektion 3
1. Hausaufgaben (kürzen und
erweitern), Zusammenfassung
2. Brüche
multiplizieren, dividieren
3. Textaufgaben
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Folie 29
7. Brüche, dividieren

7.10 Bruchzahlen werden dividiert, indem man vom
2.Bruch den Kehrwert bildet und die Bruchzahlen dann
miteinander multipliziert.
2 4
2
5
25
10
5
:





3 5
3
4
3 4
12
6

7.11 Eine Summe wird durch eine Zahl dividiert, indem
man jeden Summanden durch die Zahl dividiert und die
erhaltenen Quotienten je nach Rechenzeichen addiert oder
subtrahiert.
268
2 6 8
1 3

 

 2 1
4
4 4 4
2 2
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Folie 30
7. Brüche, dividieren

7.12 Eine Zahl darf man durch die einzelnen Summanden
einer Summe nicht dividieren, nur wenn möglich kürzen.
6ax
2  3ax

2ax  12bx  6cx
2x(a  6b  3c )
3a

a  6b  3c

7.13 Dividieren von Summen
(32ab+16ac)÷(4b+2c)=8a
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Folie 31
Hausaufgaben Lektion3
Kap.6.3 (Seite 75) 21, 26
Kap 6.4 (76)
34, 55
Kap 6.5 (77)
25, 33
Kap 7.3 (115)
16
Kap 7.4 (115)
8
Kap 7.8 (120)
37
Kap 7.9 (121)
30
Kap 7.9 (121)
38
Kap 7.13 (123)
14
siehe Aufgabenblatt
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Folie 32
Lektion 4
1. Hausaufgaben
2. Prüfung
3. Potenzieren
addieren, subtrahieren
multiplizieren, dividieren,
potenzieren
4. Textaufgaben
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Folie 33
8. Potenzieren,

8.2 Das Vorzeichen:
Eine Potenz mit negativer Basis ist positiv, wenn der
Exponent eine gerade Zahl ist;
sie ist negativ wenn der Exponent eine ungerade Zahl ist.
-a2 = a2

-a3 = -a3
8.3 Potenzen mit gleichen Exponenten und gleichen Basen
werden addiert , indem man nur ihre Beizahlen addiert und
die Potenz beibehält.
-3a2 + a2 + 4 a2 = 2 a2
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Folie 34
8. Potenzieren,

8.4a Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert,
indem man die Exponenten addiert und die Basis mit der
Summe der Exponenten potenziert..
32 • 34 = 3 6

oder
9 • 81 = 729
8.4b Potenzen mit gleichen Exponenten werden
multipliziert, indem man das Produkt der Basen mit dem
gemeinsamen Exponenten potenziert.
34 • 24 = (3 • 2)4 = 64 = 1296
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Folie 35
8. Potenzieren, dividieren

8.5 Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem
man die Exponenten subtrahiert
am  an = am-n

oder
1 /an-m
Jede Potenz mit dem Exponenten 0 hat den Wert 1
a3  a3 = a3-3 = a0 = 1
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Folie 36
8. Potenzen potenzieren

8.6 Eine Potenz wird potenziert, indem man die
Exponenten multipliziert
n
m
(a )

= am•n
8.7 Eine Summe oder Differenz wird potenziert, indem man
die Potenz in ein Produkt umwandelt.
(a+b)2=(a+b)•(a+b) = a2+2ab+b2
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Folie 37
Lektion 5
1. Rückblick
2. Prüfung besprechen
3. Radizieren
Produkt, Bruch, Potenz, Wurzel,
4. Text-Gleichungen
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Folie 38
Lektion 6
1. Radizieren
Produkt, Bruch, Potenz, Wurzel,
2. Gleichungen
3. Text-Gleichungen
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Folie 39
9. Radizieren

Radizieren = Wurzel ziehen
3

64  4
4
3
 64
9.5 Ein Produkt wird radiziert, indem man jeden Faktor
radiziert.
2
4  16 
2
4  2 16  8
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Folie 40
9. Radizieren

9.6 Ein Bruch wird radiziert, indem man Zähler und Nenner
radiziert
3

64

8
3
64
4

2
3
2
8
9.7 Eine Potenz wird radiziert, indem man die Basis
radiziert und die Wurzel mit dem Exponenten der Basis
potenziert.
n
a
x


n
a

x
Man kann den Wurzelexponenten und den Basisexponenten
kürzen und erweitern.
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Folie 41
9. Radizieren von Wurzeln

9.8 Eine Wurzel wird radiziert, indem man die
Wurzelexponenten multipliziert.
n x
a 
n x
a
Die Wurzelexponenten können vertauscht werden!
4 2
a 
2 4
a
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Folie 42
12. Gleichungen mit einer
Variablen

12.1 Allgemeine Gleichungen sind aufgrund der
Rechengesetze wahre Aussagen.
7+5=12,
2a+5a= 7a
Bei der Bestimmungsgleichung werden für die Variablen
x, y .. Diejenigen Zahlen gesucht, die, an die Stelle der
Variablen gesetzt, zu einer richtigen Aussage führen.
3x - 5 = 25 oder 30x - 7 = 55-x
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Folie 43
12. Gleichungen mit einer
Variablen

Eine Gleichung bleibt eine wahre Aussage, wenn man
beide Seiten in gleicher Weise verändert.
7+5=12 oder 7+5-2=12-2
(7+5)/2=12/2
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Folie 44
12. Gleichungen mit einer
Variablen

Soll eine Zahl auf einer Seite beseitigt werden, so muss
man auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl
addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.
x+5 = 21
x+5-5 = 21 -5
x
= 21 - 5
x
= 16
x
2
7
x
7  27
7
x
1 2  7
1
x  2  7 14
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Folie 45
12. Gleichungen mit einer
Variablen

Eine Gleichung muss immer so lange umgeformt werden,
bis x auf der linken Seite allein mit positivem Vorzeichen
steht.
x = 14
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Folie 46
Wahrscheinlichkeit

Grundregeln der Wahrscheinlichkeit:
1. P ist immer zwischen 0 und 1
2. Eintreffensicherheit
=1
3. Unmöglich
=0
4. Entweder- oder
= Addition
5. Sowohl als auch
= Multiplikation
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Folie 47