Zahlensysteme

Zahlensysteme
Wesen und „Unwesen“
der binären, dezimalen und
hexadezimalen Zahlen
Grundlagen der Zahlensysteme
Mit Ausnahme der römischen und ostasiatischen Zahlenzeichen
basieren die Zahlensysteme auf einem Stellensystem, d.h. jede
Stelle wird durch eine darstellbare Ziffer mit definiertem Wert
dargestellt.
Beispiel:
Dezimalsystem
Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Jede Stelle einer Zahl repräsentiert eine Zehnerpotenz:
1024
1*103
0*102
2*101
4*100
Dezimalzahl-System
Basis:
10
• Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 9
dargestellt.
• Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der
Zehnerpotenz der betreffenden Stelle.
• Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 100.
• Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 101 usw.
• Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 10(n-1).
Dezimalzahl-System
128
Beispiel:
1 * 102
Ziffer
Zehnerpotenz
2 * 101
Ziffer Zehnerpotenz
8 * 100
Ziffer Zehnerpotenz
d.h.: 128 = 8*100 + 2*101 + 1*102
Binärzahl-System
Basis:
2
• Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 1
dargestellt.
• Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der
Zweierpotenz der betreffenden Stelle.
• Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 20.
• Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 21 usw.
• Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 2(n-1).
Binärzahl -System
Beispiel:
1 * 23
1011
0 * 22
Ziffer Zweierpotenz Ziffer Zweierpotenz
1 * 21
1 * 20
Ziffer Zweierpotenz Ziffer Zweierpotenz
d.h.: 1011 = 1*20 + 1*21 + 0*22 + 1*23
= 1 + 2 + 0 + 8 = 11
Hexadezimalzahl-System
Basis:
16
• Jede Stelle einer Dezimalzahl wird durch eine Ziffer von 0 – 9
sowie der Buchstaben A, B, C, D, E und F dargestellt.
• Der Wert ergibt sich aus dem Ziffernwert multipliziert mit der
Sechzehnerpotenz der betreffenden Stelle.
• Die letzte Stelle (rechts = 1. Stelle) beginnt mit der Potenz 160.
• Die 2. Stelle repräsentiert die Potenz 161 usw.
• Die n. Stelle repräsentiert die Potenz 16(n-1).
Hexadezimalzahl -System
8A
Beispiel:
8 * 161
10 * 160
Ziffer 16erpotenz
Ziffer 16erpotenz
d.h.: 8A = 10*160 + 8*161
= 10 + 128 = 138
Vor- und Nachteile
• Mit höherem Basiswert lassen sich die Zahlen in
kürzerer Schreibweise darstellen.
• Beim Hexadezimalsystem müssen die Ziffern des
Dezimalsystems um Buchstaben ergänzt werden.
• Bei gleichem Zahlenwert ist die Darstellung der
Binärzahlen sehr lang.
• Binärzahlen kommen der Arbeitsweise elektronischer Schaltkreise (ein/aus = 1/0) entgegen.
• Mit zweistelligen Hexadezimalzahlen lassen sich
die 256 Zeichen des ASCII-Codes vollständig
darstellen (16*161 = 256).
Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen
Binärzahl
Hex-Zahl
Dezimalzahl
0000 0001
01
1
0000 0010
02
2
0000 0100
04
4
0000 1000
08
8
0001 0000
10
16
0010 0000
20
32
0100 0000
40
64
1000 0000
80
128
0000 0001 0000 0000
01 00
256
0000 0010 0000 0000
02 00
512
0000 0100 0000 0000
04 00
1024
0000 1000 0000 0000
08 00
2048
0001 0000 0000 0000
10 00
4096
0010 0000 0000 0000
20 00
8192
0100 0000 0000 0000
40 00
16384
1000 0000 0000 0000
80 00
32768
Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen
Binärzahl
Hex-Zahl
Dezimalzahl
0000 0001
01
1
0000 0010
02
2
0000 0011
03
3
0000 0100
04
4
0000 0101
05
5
0000 0110
06
6
0000 0111
07
7
0000 1000
08
8
0000 1001
09
9
0000 1010
0A
10
0000 1011
0B
11
0000 1100
0C
12
0000 1111
0F
15
0101 1010
5A
90
1010 0000
A0
160
1111 1111
FF
255
Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen
• Der ASCII-Code von 0-255 lässt sich mit einer 2stelligen Hex-Zahl und einer 8-stelligen Binärzahl
(= 8 Bit bzw. 1 Byte) darstellen.
• Dies entspricht der ursprünglichen „Wort“-Länge
eines DV-Gerätes.
• Bei einer Busbreite von 16, 32 64 oder 128 Bit
lassen sich also mehrere Zeichen gleichzeitig
verarbeiten!
Rechnen mit Binär- und Hex-Zahlen
• Addition
+
0000 1010
0001 0110
0010 0000
Wie im Dezimalsystem beginnt man mit der
kleinsten Stelle ganz rechts. 0+0=0, 0+1=1,
1+1=10.
• Subtraktion
-
0010 0000
0000 1010
0001 0110
Auch hier gelten die gleichen Regeln wie
im Dezimalsystem. 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 01=-1 (Übertrag von 1 auf die nächsthöhere
Stelle).
Umrechnen von Binärzahlen in Hex-Zahlen
Das Umrechnen von Binärzahlen in Hex-Zahlen kann bequem über
Zahlentabellen geschehen, da die höchste zweistellige Hex-Zahl (FF) der
Binärzahl 1111 entspricht.
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F