Ph4-1 Einleitung

1. Einleitung
1.1 Atome und ihre Spektren 2
1.2 Wdh.: Ergebnisse Bohr
10
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1.1 Atome und ihre Spektren
Gesetz der konstanten Proportionen (Anfang 19.Jh.):
Erste Hinweise auf Existenz der Atome
(1) 100g Wasser = 11.1g Wasserstoff + 88.9g Sauerstoff:
Gewichtsverhältnis = 1 : 8
Grund: 2H2O = 2H2 + O2 ("Stöchiometrie")
mit Atomgewichten A = 1 für H und A = 16 für O
(2) 2 m3 Wasserdampf aus 2 m3 Wasserstoff und 1 m3 Sauerstoff:
Volumenverhältnis H2 zu O2 = 2 : 1
Grund:
2H2O = 2H2 + 1O2
statistische Mechanik verlangt gleiches Volumen V für gleiche Anzahl von Molekülen
(bei gleichem p, T: V = nRT/p = const. )
(3) 100g Kupferoxid = 79.9 g Kupfer mit A = 64 und 20.1 g Sauerstoff:
Gewichtsverhältnis = 4 : 1
Grund: 2Cu + O2 = 2CuO
mit den Atomgewichten A = 64 für Cu und A = 16 für O
(4) Manganoxid aus:
100 g Mangan
+ 29.1 g Sauerstoff ≡ 1 Teil:
Mn + O2 = MnO2
+ 43.7 g Sauerstoff = 1.5 Teile: 2Mn + 3O2 = 2MnO3
+ 58.4 g Sauerstoff = 2 Teile:
Mn + 2O2 = MnO4
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Atom-Spektroskopie:
früher: Prismen-Spektralapparat
STRAHLEN-QUELLE:
Wasserstoff Gasentladung
ANALYSE-INSTRUMENT:
Prisma
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DETEKTOR:
Photoplatte
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Δλ
Auflösungs-Vermögen
Auflösungsvermögen Prisma (2. Semester): A 
λ
dn
c
Δλ
dλ
λ
Beispiel:
Basislänge c  5 cm;   600 nm:
Dispersion des Brechungsindex n( λ) (Bild) :
dn
0.02
dn

 2 103 cm 1:
Ac
 10 4 ;
dλ 100 nm
dλ
Basislänge c
Dispersion n(λ):
o
Δλ  Aλ  0.06 nm  0.6 A.
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heute: Gitter-Spektralapparat
QUELLE:
Laser
PROBE:
Gas
ANALYSE-INSTR.:
DETEKTOR:
Gitter
CCD-Kamera (1-dim)
λ
AuflösungsvermögenGitter :
 mN ~ 105
Δλ
Anzahl N
Ordnung m = 0 1 2
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3
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Balmer Serie
Balmerserie im
Wasserstoff-Spektrum:
→ 1/λ
↑ "Bandenkopf"
Die Wellenzahl 1/λ gibt die Anzahl der Wellenlängen, die auf 1 cm passen.
Beispiel mm-Radar (  Mikrowellen) λ  2.5 mm: Wellenzahl 1/λ  4 cm1:
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Balmer Formel
Balmer fand 1885 eine empirische Formel für die Wellenzahlen des Wasserstoffspektrums:
1
 1 1 
 R  2  2  , n  3, 4, ...,
λ
2 n 
mit der Rydberg-Konstanten R  109 678 cm 1 (  0.011 nm 1 ).
Die Energie der Photonen im Balmer-Spektrum ist also
hc
 1 1 
hν 
 Ry  2  2  ,
λ
2 n 
mit der Rydberg - Energie
Ry  hcR  2  200 eV nm  0.011 nm 1 , dh.
Ry  13.6 eV.
Der Bandenkopf n   liegt im nahen UV bei hν  ¼Ry  3.4 eV.
(Der für den Menschen sichtbare Bereich der el.-magn. Strahlung
erstreckt sich von 380 bis 780 nm.)
↑
hν = 1/4 -1/9
↑
… ↑
1/4-1/16 … 1/4
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×R
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Wasserstoff Spektren
Wavelength spectrum of Vega, 25.3 light-years
from Earth, illustrating the Balmer series:
Anfang 1900 fand Lyman eine weitere Bande im UV:
1 

h L  Ry 1  2  , n  2,3,...
 n 
UV sichtbar
Observed Lyman spectrum of the white
dwarf G191-B2B (one of the brightest and
best-studied of the hot H-rich white dwarfs):
↑ 13.6 eV
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allg. Wasserstoff Spektrum
Weitere Bande im IR:
Paschen Serie:
1 
1
hνP  Ry  2  2  , m  4, 5, ... λ/nm =
3 m 
sichtbar
UV
Brackett Serie:
1 
 1
hνB  Ry  2  2  , m  5, 6, ...
m 
4
usw.
Allgemeine Formel für Wasserstoff-Spektrum:
1 
 1
hν  Ry  2  2  , n  1, 2, ...
m 
n
m  n  1, n  2, ...
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Energie-Niveaus des Wasserstoffatoms
1 
 1
Deutung des Spektrums hν  Ry  2  2  :
n m 
Die Energiezustände des Atoms sind quantisiert,
bei Lichtemission/Absorption geht das Atom von
einem Zustand m über in einen anderen Zustand n,
mit der Photonen Energie hν  Em  En ,
und mit den quantisierten atomaren Energieniveaus:
Ry
En   2 , n  1, 2, 3, ... , 
n
Ry/16
Ry/9
Ry/4
R
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1.2 Wdh.: Bohrs Modell
Erster Versuch, diesen Befund zu erklären: Das 'halbklassische' Bohr Modell
ist zwar veraltet, leistet aber für erste Abschätzungen gute Dienste.
Bohrs Annahmen:
Annahme 1: Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen um den Kern.
Annahme 2: Der Bahndrehimpuls der Elektronenkreisbahn ist gequantelt:
L = |p×r| = nħ,
n = 1,2,3,...
Dies ist identisch mit der Forderung, dass der Bahnumfang 2πr
n = 3:
ein n-faches der deBroglie Wellenlänge λ = h/p ist:
nλ = 2πr,
dh. dass das Elektron auf seiner Bahn eine stehende Welle bildet:
nλ = nh/p = 2πr, dh. pr = nħ.
Annahme 3: Beim Übergang von der n. Bahn zur m. Bahn wird
Strahlung der Frequenz ν emittiert/absorbiert mit
hν = Em  En.
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hν
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n=3
Bahnradien
n=2
Der Bahnradius r (klassisch eine kontinuierliche Variable)
wird diskretisiert durch die Quantisierung des Drehimpulses,
mit dem Ergebnis:
n=1
rn
Der Radius der n. Bohrschen Bahn ist rn  n 2 a0
mit dem Bohrradius a0  r 1 der ersten Wasserstoff-Bahn (n  1, Z  1)
1
a0 
C  137  C  0.053 nm,
α
1 e2
1
mit der Feinstruktur - Konstante α 

,
4πε0 c 137
und der Compton-Wellenlänge des Elektrons
c 200 eV nm




 4  104 nm.
r1, Z = 10
C
2
2 mc mc
511 keV
n2
Atom mit Kernladungszahl Z : rn  a0 .
Z
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r1 , Z = 1
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6 Naturkonstanten
mit denen alle Formeln aus Physik III bis V berechnet werden können
c  3 108 m/s
[plus, for transition to SI:
e  1.6 1019 C
1
1 e2
α

137 4πε0 c
107 C
ε0 
4 c 2 Vm
m  511 keV/c 2  ½ MeV/c 2
μ0 
mN  1836 m  1 GeV/c 2
k
 1 eV  1.6  1019 J
1
7 Tesla

4
π

10
ε0 c 2
Am
N A  6 1023 molecules/mol]
25 meV
300 K
c  hc /2π  200 eV  nm (  AP)
 200 MeV  fm (  NP)
 0.2 GeV  fm
(  PP)
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Bahngeschwindigkeiten
Mit rn ist auch die Geschwindigkeit diskretisiert ("quantisiert"):
Im Grundzustand des Wasserstoff-Atoms mit n  1, Z  1 ist die
υ
Bahngeschwindigkeit 1  α  1%, dh. nicht-relativistisch.
c
υn Zα

; Probe: Drehimpuls mn rn  nh.
c
n
(N.B.: in der Qu.Mech. taucht nicht die Geschwindigkeit, sondern nur der Impuls auf.)
Allgemein:
Extreme Beispiele:
Transuran Fm, n  1, Z  100 :
r 1  a0 /Z  0.0005 nm  ½ pm,
υ1 /c  Zα  100 α ~1, hoch-relativistisch;
Rydberg-Atom H, n  100, Z  1: r 100  n 2 a0  500 nm  ½  m,
υ100 /c   /n  10 4 nicht relativistisch.
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V r
rn
Ionisations
grenze
Energie-Niveaus
n2
n2
Coulomb Potenzial bei r  rn  a0 
:
Z
 Z mc
1 Ze 2
αZ
 2Z 2 2
E pot n  

c   2 mc  0,
4πε0 rn
rn
n
Z
Kinetische Energie bei   n 
c
n
 2Z 2 2
Ekin n  1 2 mυn2 
mc   1 2 E pot  0,
2n 2
En
Ekin n
Epot n
~ 1/r
Ekin   1 2 E pot ist im Einklang mit dem Virialsatz der Mechanik:
für Potenzial V (r )  r n ist 2 Ekin   n E pot  ,
dh. für n  1:
2 Ekin    E pot .
H-Atom: Z  1: E1   Ry :
und
En  
Ry 
1
2
2
1
2  mc  2
511 keV
 13.6 eV
137 2
r
R/16
R/9
R/4
Ry
,
n2
1 
 1
Eigenfrequenzen   Em  En  Ry  2  2  , n  m,
n m 
in Übereinstimmung mit Balmer.
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R
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reduzierte Masse
Statt Elektronenmasse m muss die
M
reduzierte Masse  
m verwendet werden,
M m
aber selbst für das H-Atom ist die Korrektur minimal:
M /m
1836
 
m 
mm
M /m  1
1837
N.B.: Rydberg-Konstante R bedeutet,
dass sie für M  , dh.   m genommen wird.
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