Graph
Werbung
FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Programmieren 2 Future Car Projekt Praktikum 6 - Graphen - Speichern von Graphen - Traversieren von Graphen - Kürzeste Wege Reiner Nitsch [email protected] Darstellung von Graphen als Array von Listen • Grundlagen zu Graphen (siehe Vorlesung Mathematik 1) Array von Adjazenzlisten 1 4 2 5 3 6 Ungerichteter Graph G(V,E) V: Knotenmenge E: Kantenmenge 1 2 4 2 5 4 3 5 6 4 1 2 5 5 4 3 2 6 3 6 1 2 2 5 3 5 6 4 2 Gerichteter Graph 5 4 6 6 1 4 2 5 09.10.2008 3 FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch 4 6 Projekt FutureCar Adjazenzlisten 1 Die mit Knoten 5 direkt verbundenen Nachbarknoten (= Kantenmenge E5 ) Adjazenzlisten erlauben Antwort auf Fragen zu Graphen G wie z.B. • Wieviele Kanten enden an vi? • Welche Nachbarn vj hat vi? • Existiert Kante E=(vi,vj)? O(|Ei|) Gewichteter Graph: Gewicht als zusätzliche Info der Listenelemente Speicherbedarf? proportional zur Anzahl Knoten plus Anzahl Kanten O(|V|+|E|) 2 Darstellung von Graphen mit Adjazenzmatrix Adjazenzmatrix a mit Elementen aij aij = 1 wenn Kante E=(vi,vj) in G enthalten, sonst aij=0 1 2 3 4 5 6 Ungerichteter Graph G(V,E) 1 2 3 4 5 6 Gerichteter Graph G(V,E) 09.10.2008 1 2 3 i 4 5 6 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 0 j 3 4 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 5 0 1 1 1 0 0 6 0 0 1 0 0 1 aij = aji (symmetrisch) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Adjazenzlisten erlauben Antwort auf Fragen zu Graphen G wie z.B. • Wieviele Kanten enden an vi? • Welche Nachbarn vj hat vi? • Existiert Kante E=(vi,vj) mit Zeitkomplexität O(1) Speicherbedarf? O(|V|2) ungünstig wenn G wenige Kanten hat Gewichteter Graph: Gewicht an Stelle von '1' in Matrix eintragen aij ≠ aji (unsymmetrisch) Projekt FutureCar 3 Anwendungsbeispiel - FutureCar-Projekt FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch • Die FutureCar-Anwendung ist ein TestUnit für AutopilotAlgorithmen zur autonomen Steuerung von Fahrzeugen. • Das TestUnit besteht aus einem virtuellen Straßenlabyrinth (FCWelt, s. Abb.) in dem sich viele virtuelle Fahrzeuge (FutureCars) gesteuert durch ihren individuellen Autopiloten unfallfrei bewegen müssen. Allgemeine Vorgaben/Einschränkungen: • Die FCWelt soll auf einem zeichenorientierten Display darstellbar sein. – Dazu muss sie rechteckig und in virtuelle Parzellen (s. Abbildung) unterteilt sein. – Jede Parzelle symbolisiert ein FutureCar, ein Haus oder einen Teil der Straße. – Alle Straßen sind zweispurig und verlaufen senkrecht zueinander. Sie werden begrenzt durch Häuser. – Jedes FutureCar verfügt über einen Scanner, zum Abtasten seiner unmittelbaren Umgebung – Für Navigationsaufgaben ist das Straßennetz in Form von Adjazenzlisten darzustellen. 09.10.2008 Projekt FutureCar 4 Adjazenzliste des Graphen der FutureCar World FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Rasterkarte (Grid) von FC-City # # # # # 1 4 # # # x y 0,0 1,0 2,0 3,0 0,1 1,1 2,1 3,1 0,2 1,2 2,2 3,2 0,3 1,3 2,3 3,3 Rasterkarte von FC-City mit XY-Koordinaten: Jede Parzelle ist ein Knoten 1,1 1,2 2,1 1,1 3,1 2,1 1,2 1,3 2,2 3,2 3,2 3,1 3,2 4,2 2 Adjazenzlisten 5 Graph zur Modellierung der Erreichbarkeitsbeziehungen zwischen den Zellen der Rasterkarte 3 1 1; 1 2; 2 1; 1 1; 3 1; 2 1; 3 2; 1 2; 1 3; 2 2; 3 2; 3 2; 3 1; 4 2; Adjazenzlisten als Textsequenz (ohne Kantengewichte) 09.10.2008 Projekt FutureCar 5 Dateiformat des Graphen FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Rasterkarte (Grid) von FC-City # # # # # 1 # # # x y 0,0 1,0 2,0 3,0 0,1 1,1 2,1 3,1 Rasterkarte von FC-City mit XY-Koordinaten: Jede Parzelle ist ein Knoten 2 0,2 1,2 2,2 3,2 0,3 1,3 2,3 3,3 Graph zur Modellierung der Erreichbarkeitsbeziehungen zwischen den Zellen der Rasterkarte 3 09.10.2008 Projekt FutureCar // Knotenliste (1,1) (1,2) Knoten und Kanten (1,3) im Dateiformat (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) …,… // Kantenliste // <von>;<nach>;<Gewicht>; (1,1);(1,2);1 (1,2);(1,3); (1,3);(2,3);30; (2,1);(1,1);1; (2,2);(3,2);1; (2,3);(2,2);1; (2,3);(1,3);30; (3,1);(2,1);1; (3,1);(3,2);30; (3,2);(3,1);30; …,… 6 Implementierung mit indexbasierten Arrays Location + x,y:int Node FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch 1,1 1,2 2,1 1,1 3,1 2,1 3,2 1,2 2,2 1,3 Graph - nodes:vector<Node> 2,2 2,1 3,2 + Konstruktor +… 3,2 3,1 4,2 + loc 2,2 + pfirst:ListElem* 2,1 + Konstruktor: 1..N 1 3,2 ListElem + loc:Location + pnext:ListElem* Adjazenzlisten Problem Um z.B. auf die Adjazenzliste des Knotens K=(3,1) zuzugreifen, braucht man seinen Index. Diesen findet man in linearen Datentypen (Liste, Array) nur durch lineare Suche nach dem Schlüsselwert (3,1). Lineare Suche hat die Kosten O(N). Idee Wenn man den Index von K direkt aus seinem Schlüsselwert (3,1) berechnen könnte, wäre ein Suchverfahren mit konstanten Kosten, d.h. O(1) gefunden! Vorschläge? 09.10.2008 Projekt FutureCar 7 Traversieren von Graphen FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch • Als Traversieren bezeichnet man das systematische Besuchen aller Knoten und das Durchlaufen jeder Kante eines Graphen. • Algorithmen zum Traversieren eines Graphen dienen als Basis für viele andere grundlegende Algorithmen zur Verarbeitung von Graphen • Man unterscheidet zwischen – Breitentraversierung (breadth-first search, BFS): Die Knoten werden, geordnet nach der "Entfernung" von einem Startknoten, durchlaufen • zuerst alle Knoten mit 1 Kantenlänge Abstand vom Startknoten • danach alle diejenigen Knoten mit Abstand 2, • danach die mit Abstand 3, usw. – Tiefentraversierung (depth-first search, DFS): Dieser Algorithmus erhöht immer zuerst die Distanz vom Startknoten, bevor er in die Breite geht und Nachbarknoten mit gleicher Distanz besucht (meist rekursiv implementiert) • Bereits besuchte Knoten müssen markiert werden, Node weil sich die Algorithmen sonst in den Kreisen des + loc:Location Graphen verlieren. Markierung + adjList + visited:bool + Konstruktor: 09.10.2008 Projekt FutureCar 8 Tiefentraversierung (Rekursiv) FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch • Rekursiver Algorithmus (in Pseudocode), der ausgehend von einem unmarkierten Knoten vi, alle anderen Knoten vj, j!=i eines Graphen G besucht Funktion: traverse-dfs(v) Zweck: Tiefensuche in einem Graphen Parameter v: Knoten bei dem die Suche beginnt PRE: --POST: Alle Knoten, die von v erreichbar sind, sind gefunden. Node - loc:Location - adjList - visited:bool + Konstruktor: procedure traverse-dfs(v) visited(v) := true Markiere v als besucht vnext := adjList[v] Bestimme einen Nachbarknoten von v und nenne diesen vnext WHILE exist(vnext) WHILE(vnext existiert AND NOT visited(vnext) UND noch nicht besucht ist) beginne weitere Tiefensuche bei vnext traverse-dfs(vnext) Wieder zurück, bestimme weiteren Nachbarknoten von v vnext := succ(vnext) und nenne diesen wieder vnext END WHILE END WHILE Pseudocode (verbal) Pseudocode (mnemonisch) 09.10.2008 Projekt FutureCar 9 Beispiel zur (rekursiven) Tiefentraversierung procedure traverse-dfs(v) visited(v) := true vnext := adjList[v] WHILE exist(vnext) AND NOT visited(vnext) traverse-dfs(vnext) vnext := succ(vnext) END WHILE FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Adjazenzlisten von Seite 2 Startknoten 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 1 2 3 4 09.10.2008 2 5 2 4 2 5 4 3 5 6 4 1 2 5 5 4 3 2 6 3 6 1 Komplexität: O(|V|+|E|) 1 1 1 3 6 4 5 6 Projekt FutureCar Alle Knoten und Kanten besucht! 10 Tiefentraversierung (Iterativ) FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch • Iterativer Algorithmus mit einem Stack, der ausgehend von einer unmarkierten Ecke vi, alle anderen Knoten vj, j!=i eines Graphen G besucht PRE: --- POST: Alle Ecken, die von v erreichbar sind, sind markiert. procedure traverse-dfs(v) s := empty-stack visited(v) := true push(s,v) WHILE NOT empty(s) DO { v := top(s) vnext := adjList[v] // s ist ein lokaler Stack // markiere v als besucht // lege v auf den Stack s // hole oberstes Element aus Stack s // hole ersten Nachbarknoten WHILE exist(vnext) AND visited(vnext) DO // schon besucht? vnext := succ(vnext) // Ja! Dann eben den Nächsten END WHILE IF( exist(vnext) ) ) THEN // Noch einen Unbesuchten gefunden? visit(vnext) // diesen besuchen (und bearbeiten), visited(vnext) := true // als "besucht" markieren und push(s,vnext) // Erst mal auf den Stack damit ... ELSE DO pop(s) END IF END WHILE // Erledigt! Alle Nachbarn von v besucht } 09.10.2008 Projekt FutureCar … und hier schon wieder runter! 11 Breitentraversierung FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch • Iterativer Algorithmus, der alle Knoten eines zusammenhängenden Graphen geordnet nach der Entfernung vom Startknoten s durchläuft. – Zuerst werden alle vom Startknoten s über 1 Kante erreichbaren Knoten besucht – Danach alle über mindestens 2 Kanten erreichbaren Knoten, usw. – Entsteht formal aus Tiefentraversierung, wenn man den Stack durch eine Queue ersetzt. PRE: --Post: Alle Knoten, die von s erreichbar sind, sind markiert, also besucht worden procedure bfs_node(s) q := empty-queue // Definition einer leeren lokalen Queue q visited(s) := true // Startknoten s als "besucht" markieren enqueue(q,s) WHILE NOT empty(q) DO v := front(q) // vordersten Knoten in q lesen vnext := adjList[v] // hole ersten Nachbarknoten WHILE exist(vnext) AND visited(vnext) DO // schon besucht? vnext := succ(vnext) // Ja! Dann eben den Nächsten END WHILE IF exist(vnext) THEN // Noch einen Unbesuchten gefunden? visit(vnext) // diesen besuchen (und bearbeiten), visited(vnext) := true // als "besucht" markieren und enqueue(q,vnext) // erst mal in queue einreihen, wo sie bis zur // Bearbeitung ihrer Nachbarknoten warten ELSE DO dequeue(q) // Erledigt! Alle Nachbarn von v mit gleichem END IF // Abstand vom Startknoten wurden besucht. 12 Projekt FutureCar END09.10.2008 WHLE procedure bfs_node(s) q := empty-queue visited(s) := true enqueue(q,s) WHILE NOT empty(q) DO v := front(q) vnext := adj[v] WHILE exist(vnext) AND visited(vnext) DO vnext := succ(vnext) END WHILE IF exist(vnext) THEN visit(vnext) visited(vnext) := true enqueue(q,vnext) ELSE dequeue(q) END IF 2 t: END WHILE Beispiel zur Breitentraversierung FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Adjazenzlisten von Seite 2 1 2 4 2 5 4 3 5 6 4 1 2 5 5 4 3 2 6 3 6 1 Queue 5 4 1 3 6 Startknoten 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 1 2 3 1 2 3 4 09.10.2008 5 6 4 5 6 Projekt FutureCar Jetzt sind alle Knoten mit Distanz "1Kante" zum Startknoten besucht Alle Knoten und Kanten besucht! 13 Kürzeste Wege mittels Breitensuche FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch • Gesucht ist eine Verbindung (Pfad) zwischen 2 Knoten: – Tiefensuche liefert eine entsprechende Kantenfolge, wenn es eine gibt (aber nicht unbedingt die Kürzeste). – Breitensuche liefert garantiert die Kürzeste. • Aufgabe Mit Hilfe eines Breitensuchverfahrens soll der kürzeste Weg in einem ungewichteten Graphen G vom Startpunkt s zum Zielknoten d gefunden werden, der über die geringste Anzahl von Kanten verläuft. Dabei wird der Weg so codiert, dass man ihn hinterher rekonstruieren kann. • Lösung – Die Breitentraversierung durchläuft alle Knoten geordnet nach der Kantendistanz zu s. – Der Vorgängerknoten, von dem ausgehend der Knoten v betreten wird, verbindet somit v auf dem kürzesten Wege mit s (keine Kantengewichte!). – Im Bearbeitungsschritt merkt sich Knoten v daher seinen Vorgängerknoten – Nachdem Knoten d betreten wurde und dieser sich seinen Vorgängerknoten gemerkt hat, ist die Suche beendet. – Der kürzeste Weg, der d mit s verbindet, ergibt sich nun, indem man, beginnend bei d, die Folge der Vorgängerknoten rekonstruiert. – Rückwärts gelesen (std::reverse) ergibt diese Folge den gesuchten kürzesten Weg. 14 09.10.2008 Projekt FutureCar Breitensuche des Knotens d ausgehend vom Startknoten s PRE: POST: FB Informatik 21.12.12 Prof. Dr. R.Nitsch exist(s), exist(d) Alle Knoten, die von v erreichbar sind, sind markiert, also besucht worden FUNCTION bf_search(s,d) t := empty-queue visited(s) := true pred(s) := nil enqueue(t,s) Ergänzungen zum vorherigen Algorithmus sind ROT markiert // Definition einer leeren lokalen Queue // Starknoten v als "besucht" markieren // s kennt seinen Vorgänger noch nicht Verweis auf Vorgängerknoten Node - loc:Location - adjList - pred - visited:bool WHILE NOT empty(t) AND front(t)!=d DO // Abbruch der Suche wenn d besucht + Konstruktor: v := front(t) // vordersten Knoten in t lesen vnext := adj[v] // hole ersten Nachbarknoten WHILE exist(vnext) AND visited(vnext) DO vnext := succ(vnext) // Bereits besuchte Knoten überspringen END WHILE IF vnext != nil THEN // Solange unbesuchte Nachbarknoten zu v existieren visit(vnext) // diese besuchen (und bearbeiten), pred(v_next) := v // Vorgänger merken (besuchen & bearbeiten) visited(vnext) := true // als solche markieren und enqueue(t,vnext) // in queue einfügen, wo sie bis zur Bearbeitung // ihrer Nachbarknoten warten ELSE DO dequeue(t) // entferne vorderstes Element aus t END IF // Alle Nachbarn dieses Knotens sind besucht IF empty(t) THEN { kein Pfad von s nach d } 09.10.2008 Projekt FutureCar 15 Wegesuche in gewichtetem Graphen FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Aufgaben – Von einem Knoten s aus die kürzesten Pfade zu allen anderen Knoten des Graphen finden: Lösung mit single-source shortest path (SSSP) Algorithmen – Für alle Paare von Knoten die kürzesten Pfade finden: Lösung mit all-pair shortest path (APSP) Algorithmen • Kürzeste Wege – im ungewichteten Graph: Pfad mit geringster Kantenzahl – im gewichteten Graph: Pfad mit geringstem Gesamtgewicht • Kürzeste Wege sind nicht eindeutig – wenn 2 Wege das gleiche Gesamtgewicht haben • Kürzeste Wege existieren dann nicht – wenn gar kein Weg zwischen 2 Knoten existiert – falls der Graph Zyklen mit negativem Gesamtgewicht hat (jeder Durchlauf verringert das Gewicht des Pfades. • Wichtige Algorithmen: – Dijkstra-Algorithmus (SSSP): für Graphen mit Kantengewichten 0 – Belman-Ford-Algorithmus: Für Graphen mit negativen Gewichten aber ohne negative Zyklen (= Zyklen mit Kantensumme< 0). 09.10.2008 Projekt FutureCar 16 Dijkstra Algorithmus FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch • Liefert für alle Knoten eines Graphen G die kürzesten Pfade zu einem Startknoten s • Wirkungsweise algorithm dijkstra(G,s) Node – Zusätzlich zu seiner Adjazenzliste erhält Eingabe: Graph G, Startknoten s + loc:Location jeder Knoten v die Angabe FOR EACH Knoten v aus V(G) DO + adjList d2s[v]= • zur minimalen Distanz d2s[v] von v zum + pred pred[v]=nil Startnoten s + d2s:float OD • des Vorgängerknotens pred[v] auf dem d2s[s]=0 // Startknoten erhält höchste Priorität + Konstruktor: kürzesten Weg zum Startknoten PQ:=V – Einfügen aller Knoten in eine Priorityqueue PQ WHILE NOT empty(PQ) DO – Mit jedem Durchlauf wird der Knoten mit vmin = dequeueMin(PQ) der bis dahin geringsten Distanz zu s aus einer // Für vmin ist der kürzeste Weg gefunden PriorityQueue PQ entnommen (vmin ) und FOR EACH vnext OF vmin DO abschließend wie folgt bearbeitet: dneu:=d(vmin)+w(vmin,vnext) • die Distanz dneu der über vmin zu all seinen Nachbarknoten führenden Wege wird ermittelt wobei w(vmin,vnext) das Gewicht der Kante vmin->vnext ist. IF dneu<d(vnext) DO • falls die bisher für vnext notierte Distanz d(vnext):=dneu größer als dneu ist, wird diese pred:=vmin aktualisiert und vmin als neuer FI Vorgängerknoten eingetragen OD 17 09.10.2008 Projekt FutureCarOD Dijkstra-Algorithmus - Eigenschaften FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch • Mit jeder Iteration wird ein kürzester Pfad ermittelt und der jeweilige Zielknoten aus der Priorityqueue entfernt. • Nach |V| Iterationen sind für alle Knoten die kürzesten Pfade zum Startknoten bekannt. 09.10.2008 Projekt FutureCar 18
