Wellenpakete

Teilchen-Welle Dualismus,
Wellenpakete und das
Unschärfeprinzip
E  
p  k 
h

Zuordnung einer Wellenfunktion
( 1dimensional, nicht relativistisch)
i ( kx t )
( x, t )  Ae
Einführung von Operatoren
Eop  i / t

i  ( x, t )  E ( x, t )
t

pop  i
x

 i  ( x, t )  p ( x, t )
x
Wir basteln uns ein Wellenpaket!
 ( x, t )  (2)
1 / 2

e
i ( px x  E ( px )t ) / 
( p x )dp x

( p x )
ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px
Fouriertransformation
Für t=0
 ( x)  (2)

1/ 2
e
i ( px x ) / 
( p x )dp x

Wellenfunktion im Ortsraum
( p)  (2)
1 / 2

e
i ( px x ) / 

Wellenfunktion im Impulsraum
 ( x)dx
Gauß‘sches Wellenpaket
 ( px )  e
( px  po ) / 
2
2
 Breite des Wellenpakets , Dpx /2
Fouriertransformation
( x)  (2)
1/ 2
e
ip0 x /   2 x2 / 2  2
e
Dx  4 / 
Dp  2
Je breiter die Impulsverteilung,
desto schmaler die Ortsverteilung
und umgekehrt
DxDp  8
Heisenberg‘sche Unschärfe :
DxDp  
Ebenso:
DEDt  
Zeitabhängigkeit der Wellenpakete!
 ( x, t )  (2)
1 / 2

e
i ( px x  E ( px )t ) / 
( p x )dp x

( p x )
ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px
Phasenfaktor:  ( px )  px x  E ( px )t
 / px p  p
Werte des Integrals groß für
x
E ( px ) / px p  p
x
o
o
0
 vg
Gruppengeschwindigkeit vg
E ( p0 )  (k0 )
v ph 

p0
k0
Phasengeschwindigkeit
Dispersion, Zerlaufen des Wellenpakets
Taylorentwicklung
 ( k ) k k
0
2



2
  (k0 )  (k  k0 )( ) k k0  1 / 2(k  k0 ) ( 2 ) k k0
k
k
Wellenpakete
x
Wellenpaket bewegt sich mit v0 = po/m und zerfliesst
Wellenpakete im zweiatomigen Molekül
V(R)
Idealisiert: Harmonischer Oszillator
Überlagerung von äquidistanten
Eigenzuständen DE  
R
Breite des Wellenpakets oszilliert
V( R)
R
Elektronenbeugung am Doppelspalt
Welcher Weg Experiment
Interferenzen im Streulicht zweier Ionen
Laserkühlung von zwei Hg Ionen

D1
z
Falle
D2
Laser beam
Analog zum Young‘schen Doppelspalt Experiment
Spalte ersetzt durch zwei Ionen
NIST,Boulder D. Wineland, 1993
Interferenz im Streulicht zweier
Ionen
Ionenabstand:
5.4mm
4.3mm
3.7mm
Welcher Weg Experiment
m
½
-½
½
-½
6p
6s
Ion1
Ion2
6p
6s


m
½
-½
½
½
=



s
Ion1
Ion2


Itano et al, Phys.Rev. A 1998
s
Welcher Weg Experiment
Interferenzen im Streulicht zweier Ionen

D1
z
Falle
Polarisationssensitive
Detektion
D2
Laser beam
Eichmann et al, Phys.Rev.Lett. 1993
NIST,Boulder D. Wineland
Polarisationssensitive Fluoreszenzlichtmessung
)
s)
Keine Welcher-Weg
Information :
Interferenz
Welcher-Weg Information
kodiert in inneren
Zuständen des Ions:
keine Interferenz
Linearer Chirp
Lichtpuls
kein “Chirp”
dispersives
Medium
Lichtpuls
mit negativem “Chirp”
Zeitliche Ordnung der Frequenzkomponenten im Laserpuls
Chirp
Crab nebula
6000 Lichtjahre entfernt
Radiopulse
Staelin und Reifenstein 1968
Chirp
Brehm’s Tierleben
Der Kanarienvogel
Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit
Zuordnung einer Wellenfunktion
( 1dimensional, nicht relativistisch)
i ( kx t )
( x, t )  Ae
Einführung von Operatoren
Eop  i / t

i  ( x, t )  E ( x, t )
t

pop  i
x

 i  ( x, t )  p ( x, t )
x
Zugehörige Wellengleichung
(Schrödingergleichung für ein freies Teilchen)

 
i  ( x, t )  
 ( x, t )
2
t
2m x
2
1 dim




2
i  (r , t )  
  (r , t )
t
2m
2
3dim
2
(1 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(x,t)
Hamiltonoperator:
 
H  T V  
 V ( x, t )
2
2m x
2
2
Kinetische und potentielle Energie

 
i  ( x, t )  (
 V ( x, t )) ( x, t )
2
t
2m x
2
2
(3 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(r,t)



i  (r , t )  H (r , t )
t





2
i  ( r , t )  ( 
  V (r , t )) (r , t )
t
2m
2
Das ist fast schon alles!
Statistische Interpretation der Wellenfunktion
M. Born 1926
"for his fundamental research in quantum mechanics,
especially for his statistical interpretation of the
wavefunction Nobel prize 1954
Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten <A>
d
d

*
 A    Adr
dt
dt
=
d


* A
* 
 A   (
A  
 A
)dr
dt
t
t
t
*
d A
1

*

    ( AH  HA)dr
dt t
i
*
Hermetizität
Für einen reellen Erwartungswert gilt:


*
  Fdr   ( F ) dr
*
Falls A nicht explizit von der Zeit abhängt gilt
mit
d
1
 A    A, H  
dt
i
 A, H   AH  HA Definition: Kommutator
Alle Operatoren, die mit H vertauschen (kommutieren),d.h. wenn
der Kommutator null ist, sind Erhaltungsgrößen
Schrödingergleichung ist linear, erlaubt Superposition
Zeitunabhängige Schrödingergleichung
Falls das Potential nicht explizit zeitabhängig ist, gibt es stationäre
Lösungen der Form:

 (i /  ) Et
(r , t )  E (r )e


HE (r )  EE (r )
Energieeigenzustände
Es kann mehrere Energieeigenwerte mit den dazu gehörigen
Eigenfunktionen zu einem Hamiltonoperator geben.
Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren,
so spricht man von Entartung.
Hn  an n


 n (r )n (r )   nn'
*
Kronecker Symbol
Eigenfunktionen sind orthogonal
Entwicklung nach vollständigem Orthonormalsystem


 (r , t )   cn (t )n (r )
n
Pn (t ) | cn (t ) |
Cn Wahrscheinlichkeitsamplituden
Messung des Eigenwertes an
2
Dirac Schreibweise
  
 f | g   f * (r )g (r )dr
Damit schreibt sich die Projektion


 n (r ) (r , t )  cn' (t )
als
 n ' |  
Matrixelement

 
 f | A | g   f (r )Ag (r )dr
*
Kommutierende Observablen
Kommutieren zwei Observable A und B,
dann existiert ein kompletter Satz von Eigenfunktionen zu A und B.
Falls [A,B] ungleich null, dann können beide Observablen nicht
gleichzeitig scharf gemessen werden.
Beispiel: Ort und Impuls
[ x, px ]  i
Kompletter Satz von kommutierenden Observablen ist die größte
Anzahl kommutierender Observablen für ein Problem.
Eindimensionale Beispiele
Kastenpotential
V(x)=0 für |x|<a
V(x)=unendlich für x<-a und x>a
für |x|<a
 

 ( x)  E ( x)
2
2m x
2
2
Mit Randbedingungen folgt:
Lösungen
n
n ( x)  1 / a cos
x
2a
n
n ( x)  1 / a sin
x
2a
n=1,3,5...
n=2,4,6...
Eigenwerte
  n
En   k / 2 m 
2
2m L
2
2
2
2
2
n
Bemerkungen
Nullpunktsenergie von null verschieden
Gerade und ungerade Funktionen
Paritätsoperator
P  1
n=1,2,3..
Eindimensionaler harmonischer Oszillator
1 2 1
V ( x)  kx  mx 2
2
2
Bedeutung in der Physik
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Molekülzustände,
Gittervibrationen, Näherung in der Umgebung eines Minimums
W ( x ) x a
2
W
1

W
 W (a)  ( x  a)
|a  ( x  a ) 2
|a ...
2
x
2
x
W
( x  a)
|a  0 im Minimum
x
2 2
1 2

 ( x)  kx  ( x)  E ( x)
2
2m x
2
m
  x  

und
2E


k

m
  ( )
2
 (   ) ( )  0
2

2
Ansatz:
 ( )  e
 2 / 2
H n ( )
Hn Hermite-Polynome
folgen aus einem Potenzreihenansatz
Lösungen´nur für
= 2n+1

h( )   am m
m 0
Eigenwerte
Eigenfunktionen
1
En   (n  )
2
n ( x)  N n e
x 2 / 2
H n (x)
Ist die Grundzustandsenergie verträglich mit dem Unschärfeprinzip?
Antwort folgt
Drehimpuls
klassisch
  
Lrp
umsetzen in q.m. Ausdruck, kartesische ->sphärische Koordinaten
Operatoren

Lz  i

2


1 2 
2 1
L   
(sin  )  2
2
sin





sin






Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz : L präzediert , daher keine Erhaltungsgröße
L2 und Lz vertauschen mit H: Erhaltungsgrößen
Eigenwerte l(l+1) und m (magnetische Hauptquantenzahl, Werte von m: -l,l+1,...l-1,l)
Kugelflächenfunktionen Ym ( , )
Zentralpotentiale

r | r |
Potential V( r )
2 2
H 
  V (r )
2m
2  1  2 
1


1
2 
H 
(r
) 2
(sin  )  2 2
 V (r )
2
2

2m  r r
r r sin  
 r sin   
2
 1  2 
L 
H 
(
r
)

 V (r )
2
2 2

2m  r r
r  r 
2
2
H , L   H , Lz   0
Simultane Eigenfunktionen zu H, L2,Lz
Separation
Em (r , , )  RE (r )Ym ( , )
Radialgleichung
 2  1  2 

(  1) 
 2m  r 2 r (r r )  r 2 )  V (r ) RE , (r )  ERE , (r )


mit
uE , (r )  rRE , (r )
  2  2 (  1) 2

 2m r 2  2mr 2  V (r )u E , (r )  Eu E , (r )


Veff(r)