2 Einführung in die Prinzipien der Quantenmechanik

2 Einführung in die Prinzipien der Quantenmechanik
2.1 Bedeutung von Axiomen (Postulaten)
Axiome (Axiom griechisch für Grundsatz) sind Postulate, die nicht beweisbar sind, mit denen
aber durch logische Folgerungen experimentell nachprüfbare Theorien aufgebaut werden
können. Jede Theorie basiert auf Axiomen.
Beispiele:
1. Newton’sche Axiome der Mechanik
-
Trägheitssatz
Beschleunigungsgesetz
Wechselwirkung: actio <-> reactio
2. Thermodynamik
-
Drei Hauptsätze
3. Geometrie
-
Winkelsumme im Dreieck
Die Axiome der Quantenmechanik beschreiben Phänomene außerhalb der sinnlichen
Wahrnehmung des Menschen (Mikrokosmos), sie sind daher schwer zu akzeptieren. Ihre
Aussagen können aber mit physikalischen und chemischen Messmethoden überprüft
werden, diese Messmethoden stellen eine Erweiterung der sinnlichen Wahrnehmung dar.
Vergleiche hierzu:
Spektralbereich des menschlichen Auges: 400 − 800 𝑛𝑚
Spektralbereich der verschiedenen spektroskopischen Messmethoden. 10 𝑚 − 1 𝑛𝑚
2.2 Postulate der Quantenmechanik
(Alle Postulate werden anschließend am Modell des Teilchen im Kasten verifiziert.)
1. Postulat
Jeder Zustand eines Systems wird vollständig durch eine Wellenfunktion Ψ(𝑟, 𝑡)
beschrieben, die vom Ort 𝑟 und von der Zeit 𝑡 abhängt. Sie enthält die gesamte Information
über das System.
Diese Wellenfunktion muss im gesamten Definitionsbereich
-
stetig,
quadratisch Integrierbar,
15 / 123
-
differenzierbar (keine Pole) und
umkehrbar
sein.
Die Wellenfunktion beschreibt einerseits
a) Zeitabhängige Systeme Ψ 𝑟, 𝑡
Beispielsweise Übergänge zwischen Energieniveaus in der Spektroskopie.
Hier gibt Ψ(𝑟, 𝑡) Antwort auf die Frage, wie sich das Gesamtsystem über die stationären
Zustände Ψ 𝑟 mit der Zeit entwickelt.
b) Zeitunabhängige (stationäre) Systeme Ψ 𝑡
Ψn 𝑟, 𝑡 = Ψ𝑛 𝑟 𝜙𝑛 𝑡
Ψ𝑛 (𝑟): Wellenfunktion für stationären Zustand
𝜙𝑛 𝑡 : Phasenfaktor
Hier gibt Ψ𝑛 𝑟 Antwort auf die Frage, welche Zustände das System einnehmen kann bzw.
prinzipiell aufweist.
2. Postulat
Der Ausdruck |Ψ|2 = Ψ ∗ Ψ entspricht einer Wahrscheinlichkeitsdichte, so dass |Ψ 𝑟 2 |dv die
Wahrscheinlichkeit angibt, das System (Teilchen) im Volumenelement 𝑑𝑣 anzutreffen. Die
Wahrscheinlichkeitsinterpretation stammt von M. Born aufgrund der Analogie zur
Lichtwelle:
Die Intensität der Lichtwelle ist proportional zur Photonenzahl und zum
Amplitudenquadrat, demzufolge ist das Amplitudenquadrat ein Maß für die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Teilchen.
Eindimensionaler
Die Wellenfunktion muss normiert sein:
+∞
Fall:
Ψ 𝑥 ∗ Ψ x dx = 1
−∞
(Das Teilchen muss irgendwo sein)
Die Wahrscheinlichkeit das Teilchen zwischen den Grenzen 𝑎 und 𝑏 anzutreffen lautet also:
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𝑏
𝑎
Ψ 𝑥 ∗ Ψ x dx = Wab
3. Postulat
Jeder Observable 𝑂 (beobachtbare Größe) der klassischen Mechanik ist in der
Quantenmechanik ein linearer hermite’scher Operator 𝑂 zugeordnet. (Operator =
Rechenanweisung)
Für einen hermite’schen Operator 𝑂 gilt:
Ψ x ∗ Oϕdv =
ϕO∗ Ψ ∗ dv
Einer Observablen 𝑂, die als Funktion der Orts- und Impulskoordinaten dargestellt werden
kann, entspricht ein Operator, der durch Ersetzen dieser Größen im klassischen Ausdruck
durch den entsprechenden quantenmechanischen Operator entsteht.
Klassischer Ausdruck
Quantenmechanischer Operator
Ort 𝑥
𝑥=𝑥
Impuls 𝑝𝑥
𝑝𝑥 =
ℏ 𝜕
𝑖 𝜕𝑥
Beispiele:
Geschwindigkeit
𝑣𝑥 =
𝐸𝐾𝑖𝑛 =
𝑝𝑥
ℏ 𝜕
→ 𝑣𝑥 =
𝑚
𝑖𝑚 𝜕𝑥
1
𝑝𝑥 2
1
ℏ2 𝜕 2
𝑚𝑣𝑥 2 =
→ 𝐸𝐾𝑖𝑛 = 𝑇 =
𝑝𝑥 2 = −
2
2𝑚
2𝑚
2𝑚 𝜕𝑥 2
𝐸𝑃𝑜𝑡 = 𝑉 𝑥 → 𝐸𝑃𝑜𝑡 = 𝑉 = 𝑉(𝑥)
Wichtiger Operator: Hamiltonoperator 𝐻 = Energieoperator (Operator für Gesamtenergie in
einer Dimension 𝑥)
Gesamtenergie: 𝐸𝐺𝑒𝑠 = 𝐸𝐾𝑖𝑛 + 𝐸𝑃𝑜𝑡 → 𝐻 = 𝑇 + 𝑉
4. Postulat
Für jede Observable 𝑂 und ihren Operator 𝑂 gibt es eine Eigenwertgleichung in der Form:
𝑂𝜙𝑛 = 𝑜𝑛 𝜙𝑛
17 / 123
Wobei 𝜙𝑛 Eigenfunktionen und 𝑂𝑛 Eigenwerte zu dem Operator 𝑂 sind. Eigenwerte sind alle
Werte, die die Observable einnehmen kann.
Die Schrödingergleichung ist die Eigenwertgleichung für den Energieoperator 𝐻 und ergibt
deshalb alle Energiewerte 𝐸𝑛 des Systems:
𝐻 Ψn = En Ψn
Einsetzen von 𝐻 = 𝑇 + 𝑉 für den eindimensionalen Fall ergibt:
−
ℏ2 𝜕 2
Ψ x + V x Ψ x = EΨ(x)
2𝑚 𝜕𝑥 2
Exkurs: Zeitabhängige Schrödingergleichung
2.3 Teilchen im eindimensionalen Kasten
Für die Bereiche I und III gilt: 𝑉 𝑥 = ∞
Hamiltonoperator: 𝐻 = 𝑇 + 𝑉
Schrödingergleichung:
𝐻 ΨI,III x = EΨI,III x
→ −
→ −
ℏ2 𝜕 2
Ψ
x + V x ΨI,III x = EΨI,III x
2𝑚 𝜕𝑥 2 I,III
ℏ2 𝜕 2
Ψ
x + V x ΨI,III x − EΨI,III x = 0
2𝑚 𝜕𝑥 2 I,III
→ −
ℏ2 𝜕 2
Ψ
x + ΨI,III x V x − E x
2𝑚 𝜕𝑥 2 I,III
→ ΨI,III x =
=0
1 ℏ2 𝜕 2
Ψ
x =0
∞ 2𝑚 𝜕𝑥 2 I,III
→ ΨI,III x
2
=0
18 / 123
Das heißt, dass in den Bereichen I und III kein Teilchen vorkommt. (klassische Vorstellung).
Ist aber 𝑉 𝑥 endlich und 𝐸 < 𝑉(𝑥), kann es zum Tunneleffekt kommen. (Widerspruch zur
klassischen Vorstellung)
Für den Bereich II gilt: 𝑉 𝑥 = 0
→ Schrödingergleichung:
−
ℏ2 𝜕 2
Ψ = EΨII
2𝑚 𝜕𝑥 2 II
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist:
ΨII = A sinΘ + B cosΘ
𝑥
𝐴 und 𝐵 stellen hierbei Konstanten dar, während 𝜃 = 2𝑚𝐸 ℏ
Aus den Randbedingungen folgt:
𝑥=0
lim ΨI = lim ΨII
𝑥→0
𝑥→0
0 = lim(A sin θ + B cos θ) → 𝐵 = 0 → ΨII = A sin θ
𝑥→0
𝑥=𝐿
lim ΨIII = lim ΨII
𝑥→𝐿
𝑥→𝐿
0 = ΨII → sin θ = 0
Daraus folgt für ΨII
ΨII = A sin
nπ
x
L
Normierung:
𝐿
0
1
1
2
2
ΨII∗ ΨII dx = 1 = A2
L
0
sin2
𝑛𝜋
𝑥 𝑑𝑥
𝐿
Mit sin2 𝑎 = − cos 2𝑎 folgt:
1 = 𝐴2
1
2
𝐿
0
1
1 = 𝐴2 𝑥
2
𝑑𝑥 − 𝐴2
1
2
𝐿
cos
0
2𝑛𝜋
𝑥 𝑑𝑥
𝐿
1 𝐿
2𝑛𝜋
𝐿
2
sin
𝑥
0−𝐴
2 2𝑛𝜋
𝐿
𝐿
0
=
1 2
𝐴 𝐿
2
19 / 123
→𝐴=
→ ΨII =
Für 𝑛 = 0 ist Ψn
2
2
𝐿
2
𝑛𝜋
sin
𝑥
𝐿
𝐿
=0
Dies ist ein Widerspruch, da sich das Teilchen im Bereich II aufhalten muss, daher ist der
Wert 𝑛 = 0 verboten!
Für die Energieniveaus erhält man:
𝐸=
𝑛 2 𝑕2
; 𝑛 = 1,2,3 …
8𝑚𝐿2
Der Zustand mit der niedrigsten Energie 𝑛 = 1 besitzt eine endliche Energie, 𝐸1 ≠ 0
(Nullpunktsenergie, nicht klassisch interpretierbar)
Zusammenfassung der Ergebnisse:
𝐸𝑛 =
𝑛 2 𝑕2
; Ψn x =
8𝑚𝐿2
2
nπ
sin
x
L
L
; n = 1,2,3 …
Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Bereich a-b ist für verschiedene Zustände unterschiedlich.
(Widerspruch zur klassischen Vorstellung).
Korrespondenzprinzip:
20 / 123
Für große Quantenzahlen nähert sich das System dem klassischen Verhalten an. Die
klassische Mechanik ist demnach ein Grenzfall der Quantenmechanik.
2.4 Orthogonalität und Normierung / Orthonormierung
a) Normierung
Das zweite Postulat schreibt vor, dass das Teilchen sich irgendwo im System befinden muss.
(Siehe hierfür 2.2) Daher muss die Zustandsfunktion normiert sein, damit sie einen Sinn
ergibt.
+∞
Ψ ∗ x Ψ x dx = 1
−∞
b) Orthogonalität
Zwei Größen wie z.B. Vektoren oder FUnktionen sind zu einander orthogonal, wenn eine
durch die andere nicht darstellbar ist, z.B. die Achsen x, y, z im kartesischen
Koordinatensystem.
So wie man einen n-dimensionalen abstrakten Vektorraum mit n orthogonalen Vektoren
aufbauen kann, kann genauso ein n-dimensionaler abstrakter Funktionenraum aus n
orthogonalen Funktionen aufgebaut werden.
(vergleiche hierzu lineare Unabhöngigkeit <-> Orthogonalität)
c) Orthonormierung
Für orthonormierte Funktionen gilt:
+∞
−∞
Ψi∗ (x)Ψj (x)dx = δij
mit
𝛿𝑖𝑗 =
0 𝑓ü𝑟 𝑖 ≠ 𝑗
1 𝑓ü𝑟 𝑖 = 𝑗
Ψi x : Wellenfunktion für den i-ten Zustand
𝛿𝑖𝑗 : Kronecker-Delta
Die Funktion ist sowohl normiert als auch orthogonal, Eigenfunktionen für nicht entartete
Zustände zu einem hermiteschen Operator sind immer orthogonal zueinander. Bei
entarteten Zuständen führen erst Linearkombinationen zu orthogonalen Eigenfunktionen
(siehe Schmnidt-Orthogonalisierung).
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2.5 Eigenfunktionen
Dioe im vierten Postulat vorgestellte Schrödingergleichung
𝐻 Ψn = En Ψn
ist eine spezielle Eigenwertgleichung für dioe Observable Energie mit Energieoperator 𝐻
(Hamilton-Operator). Ψn somd doe Eigenfunktionen, die zu den Energieeigenwerten 𝐸𝑛
führen. Im allgemeinen gilt für jede physikalische Observable 𝑂 eine Eigenwertgleichung:
𝑂𝜙𝑛 = 𝑜𝑛 𝜙𝑛
𝑂 : Operator für die Observable 𝑂
𝜙𝑛 : Eigenfunktionen
𝑜𝑛 : Eigenwerte für die Observable 𝑂
Mit Hilfe des dritten Postulats stellt man den Operator 𝑂 für die Observable 𝑂 auf und
formuliert dann die Eigenwertgleichung. Die Berechnung der Eigenfunktionen 𝜙𝑛 unter
Berücksichtigung der Randbedingungen führt automatisch zu den Eigenwerten 𝑜𝑛 . Beispiele
für 𝑂 sind Impuls, Dipolmoment, Energie und andere.
2.6 Erwartungswerte
Das 5. Postulat besagt, dass für eine Observable 𝑂 der Erwartungswert sich aus der
Zustandsfunktion Ψ(𝑥, 𝑡) durch:
+∞
<𝑂 >=
Ψ ∗ (x, t) O Ψ(x, t)dx
−∞
ergibt, und für den stationären Fall gilt:
𝐸𝑡
Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑒 −𝑖 ℏ Ψ(𝑥)
𝐸𝑡
𝑒 −𝑖 ℏ = 𝜙(𝑡)
+∞
<𝑂 >=
Ψ ∗ (x) O Ψ(x)dx
−∞
𝜙(𝑡) : Phasenfaktor
Der Erwartungswert ist der quantenmechanische Mittelwert. Zum Beispiel stellte man sich 𝑁
Teilchen in 𝑁 Kästen im gleichen Zustand Ψx (x) mit
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Ψn (x) =
2
nπ
sin
x
L
L
𝐿 : Länge des Kastens
vor. In jedem der Kästen wird der Ort des Teilchens zur selben Zeit gemessen. Wenn man
alle Messwerte 𝑥𝑖 summiert und durch 𝑁 dividiert, ergibt sich der Mittelwert 𝑋. Das 5.
Postulat fordert, dass 𝑋 gleich < 𝑥𝑛 > ist:
𝑋=
𝑁
𝑖=1 𝑥𝑖
+∞
=< 𝑥𝑛 >=
𝑁
−∞
Ψn∗ (x) x Ψn (x)dx
Die Berechnung von < 𝑥 > für den niedrigsten
Zustand
𝑛=1
des
Teilchens
im
eindimensionalen Kasten:
𝑥=𝐿
< 𝑥 >=
𝑥=0
2
→ < 𝑥 >=
𝐿
𝑥=𝐿
𝑥 sin2
𝑥=0
2
π
2
π
sin x 𝑥
sin x dx
L
L
L
L
π
x 𝑑𝑥
L
2
→ < 𝑥 >=
𝐿
𝑥=𝐿
𝑥=0
sin2 𝑡 =
𝑥
2
𝑑𝑥 −
2
𝐿
𝑥=𝐿
𝑥=0
1 1
− 𝑐𝑜𝑠 2𝑡
2 2
𝑥
2𝜋
𝑐𝑜𝑠( 𝑥)𝑑𝑥
2
𝐿
und mit
𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
1
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑥
𝑎
𝑎²
kann das Integral berechnet werden:
< 𝑥 >=
2 𝑥2
𝐿 4
𝑥=𝐿
−
𝑥=0
1 𝐿2
2𝜋
𝐿
2𝜋
𝑐𝑜𝑠
𝑥 +
𝑠𝑖𝑛
𝑥
𝐿 4𝜋 2
𝐿
2𝜋
𝐿
𝑥=𝐿
𝑥=0
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< 𝑥 >=
𝐿²
1 𝐿²
𝐿²
𝐿
−0 −
+0−
=
2𝐿
𝐿 4𝜋²
2
4𝜋²
Als Mittelwert unendlich vieler Messungen ergibt sich für den Zustand 𝑛 = 1 also
< 𝑋 >=
was angesichts von Ψ
2
𝐿
2
sehr vernünftig ist.
Dirac-Notation:
In der Quantenmechanik benutzt man für die Darstellung der Integrale günstigerweise die
Dirac-Schreibweise (sogenannte Bra-Ket-Notation):
+∞
Ψi Ψj =
−∞
+∞
Ψi 𝐻 Ψj =
−∞
Ψi∗ (x) Ψj (x)dx
Ψi∗ x x Ψj x dx = 𝐻𝑖𝑗
𝐻𝑖𝑗 : Matrixelemente
Dabei ist die erste Funktion immer komplex-konjugiert zu nehmen.
2.7 Teilchen im dreidimensionalen Kasten
Da das Modell des Teilchens im eindimensionalen Kasten nicht realistisch ist, ist die
Erweriterung des Modells auf drei Dimensionen notwendig. Dafür muss die
Schrödingergleichung auf drei Dimensionen erweitert werden.
a) Schrödingergleichung für das Teilchen im dreidimensionalen Kasten
Für ein Teilchen mit den Koordinaten 𝑞 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) und Impuls 𝑝𝑞 = 𝑝𝑞 (𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ) lautet der
Impulsoperator:
𝑝𝑞 =
ℏ 𝜕
𝑖 𝜕𝑞
Einsetzen in den Hamilton-Operator führt zu
𝐻 = 𝑇(𝑞) + 𝑉 (𝑞)
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𝐻=
𝐻=−
1
𝑝2 + 𝑝𝑦2 + 𝑝𝑧2 + 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧
2𝑚 𝑥
ℏ² 𝜕²
𝜕²
𝜕²
+
+
+ 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)
2𝑚 𝜕𝑥² 𝜕𝑦² 𝜕𝑧²
und mit
∆= ∇² =
𝜕²
𝜕²
𝜕²
+
+
𝜕𝑥² 𝜕𝑦² 𝜕𝑧²
erhält man
𝐻=−
ℏ²
∆ + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)
2𝑚
Die Schrödingergleichung lautet dann:
𝐻 Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐸 Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧
ℏ2
−
∆ Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑉 Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐸 Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧
2𝑚
b) Lösung der Schrödingergleichung für das Teilchen im dreidimensionalen Kasten
Der Kasten sei ein Würfel mit der Kantenlänge 𝐿, wobei
𝑥
𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 für 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐿
𝑧
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∞ außerhalb des Kastens
Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧)
≠ 0 𝑖𝑚 𝐾𝑎𝑠𝑡𝑒𝑛
= 0 𝑎𝑢ß𝑒𝑟𝑕𝑎𝑙𝑏 𝑑𝑒𝑠 𝐾𝑎𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠
𝑚 : Masse des Teilchens
Die Schrödingergleichung lautet:
−
ℏ2
∆ Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐸 Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧
2𝑚
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Man verwendet zur Lösung einen Produktansatz (mathematische Vereinfachung des
Problems), dieser ist physikalisch richtig im feldfreien Raum, d.h. wenn x, y, z
gleichberechtigt sind:
Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = Ψ 𝑥 Ψ 𝑦 Ψ 𝑧
−
ℏ2 ∂²Ψ 𝑥
∂²Ψ 𝑦
∂²Ψ 𝑧
Ψ 𝑦 Ψ 𝑧 +Ψ 𝑥
Ψ 𝑧 +Ψ 𝑥 Ψ 𝑦
2𝑚 ∂x²
∂y²
∂z²
=𝐸Ψ 𝑥 Ψ 𝑦 Ψ 𝑧
Teilt man diese Gleichung durch Ψ 𝑥 Ψ 𝑦 Ψ 𝑧 , erhält man
−
ℏ2
1 ∂²
1 ∂²
1 ∂²
Ψ 𝑥 +
Ψ 𝑦 +
Ψ 𝑧
2𝑚 Ψ 𝑥 ∂x²
Ψ 𝑦 ∂y²
Ψ 𝑧 ∂z²
=𝐸
𝐸 ist eine konstante Energie, d.h. beim Variieren von 𝑥, 𝑦, 𝑧 muss jeder Summand gleich
einer Konstanten sein, d.h. sie entsprechen den Energiewerten 𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐸𝑧 in 𝑥, 𝑦, 𝑧 Richtung.
Sie sind unabhängig von einander, daher kann diese Gleichung in drei voneinander
unabhängige Gleichungen separiert werden. Die Gleichungen und die dazu gehörigen
Zustandsfunktionen und Eigenwerte lauten:
−
ℏ2 ∂²Ψ 𝑥
2𝑚
∂x²
= 𝐸𝑥 Ψ 𝑥
Ψ 𝑥 =
2
nx π
sin
x
Lx
Lx
𝐸𝑥 =
𝑛𝑥2 𝑕²
8𝑚𝐿2𝑥
−
ℏ2 ∂²Ψ 𝑦
2𝑚
∂y²
= 𝐸𝑦 Ψ 𝑦
Ψ 𝑦 =
ny π
2
sin
y
Ly
Ly
𝐸𝑦 =
𝑛𝑦2 𝑕²
8𝑚𝐿2𝑦
−
ℏ2 ∂²Ψ 𝑧
2𝑚
∂z²
= 𝐸𝑧 Ψ 𝑧
Ψ 𝑧 =
2
nz π
sin
z
Lz
Lz
𝐸𝑧 =
𝑛𝑧2 𝑕²
8𝑚𝐿2𝑧
Diese Gleichungen sind jeweils analog zum eindimensionalen Problem, so dass die Lösungen
für Energie und Eigenfunktionen von dort übernommen werden können. Für die gesamte
Wellenfunktion gilt so:
Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
ny π
8
nx π
nz π
sin
x sin
y sin
z
L3
L
L
L
Für die Gesamtenergie gilt:
𝐸𝐺𝑒𝑠 = 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐸𝑧 = (𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦2 + 𝑛𝑧2 )
𝑕2
8𝑚𝐿2
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mit
nx , ny , nz = 1, 2, 3, …
𝑛𝑖 : 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑧𝑎𝑕𝑙
Man erhält in der Lösung immer genau so viele Quantenzahlen, wie das System
Freiheitsgrade besitzt, in diesem Fall drei: nx , ny , nz . Da es sich hier ferner um einen Würfel
handelt (Lx = Ly = Lz = L) handelt, tritt Entartung auf. So gibt es mehrere Eigenfunktionen
zum gleichem Eigenwert.
Die ersten Energieniveaus des Würfels:
c) Entartung
Aus dem Energie-Schema sieht man, daß zum Beispiel der Zustand (2,1,1) dreifach entartet
ist. Es existieren also drei Eigenfunktionen Ψ2,1,1 , Ψ1,2,1 und Ψ1,1,2 zum gleichen Energiewert
E2,1,1 = E1,2,1 = E1,1,2 .
d) Aufhebung der Entartung
i) Wenn die Längen des Würfels verändert werden, spalten die entarteten Energieniveaus
auf, so dass die Entartung aufgehoben wird.
Wenn 𝐿𝑥 = 𝐿𝑦 < 𝐿𝑧 ergibt sich mit
𝐸=
𝑛𝑥2 𝑛𝑦2 𝑛𝑧2 𝑕2
+
+
𝐿2𝑥 𝐿2𝑦 𝐿2𝑧 8𝑚
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eine Absenkung für 𝐸1,1,2 aber eine Anhebung für 𝐸2,1,1 und 𝐸1,2,1 . Ferner erhält man für
𝐿𝑥 ≠ 𝐿𝑦 ≠ 𝐿𝑧 drei verschiedene Energieniveaus. Die Symmetrie des Kastens beeinflusst also
die Lage der Energieniveaus. Durch Deformation des Würfels wird die Entartung
aufgehoben.
ii) Aufhebung der Entartung bei Metallionen als Zentralatom bei anorganischen Komplexen
Anorganische Komplexe entstehen durch die bindende Wechselwirkung von Liganden mit
einem Zentralatom. Dabei wird die Kugelsymmetrie des Elektronensystems und des
Zentralatoms gestört. Das widerum führt zur Aufhebung der Entartung, z.B. die 3d-Niveaus
des freien Fe3+-Ions sind fünffach entartet, aber im oktaedrischen [Fe(CN)6] 3--Komplex ist die
Entartung folgendermaßen aufgehoben. (Siehe Kristallfeldtheorie)
Exkurs: Ergänzende Vorstellung zur Unschärferelation.
Die Heisenberg'sche Unschärferelation lautet:
Δ𝑥Δ𝑝 ≥
1
ℏ
2
Da
Teilchen
Wellencharakter
haben,
kann
man
Δ𝑥
mit
Hilfe
der
Aufenthaltswahrscheinlichkeit Ψ ∗ Ψ darstellen. Diese Funktion kann durch Überlagerung von
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mehreren Wellen unterschiedlicher Wellenlänge 𝜆𝑖 dargestellt werden. (Sinus- und CosinusFunktionen mit Maximum der Amplitude bei L)
∞
𝑓 𝑥 =
∞
𝐴𝑚 cos 𝑚𝑥 +
𝑚 =0
𝑚 = 𝑘𝑚 =
2𝜋
𝜆𝑚
𝐵𝑛 sin 𝑛𝑥
𝑛=0
𝑛 = 𝑘𝑛 =
2𝜋
𝜆𝑛
Je genauer die Ortsangabe ist, also je kleiner Δ𝑥, desto mehr Wellen mit unterschiedlicher
𝑕
Wellenlänge 𝜆𝑖 müssen überlagert werden. Da nach De Broglie 𝜆 = 𝑝 gilt, kann man
schreiben 𝑝𝑛,𝑚 =
𝑕
𝜆 𝑚 ,𝑛
. Demzufolge gibt es eine große Impulsunschärfe:
Δ𝑝 = 0; 𝜆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (nur eine Wellenlänge); Δ𝑥 = ∞
Δx = 0; unendlich viele Wellenlängen; Δp = ∞ (d.h. Ψ ∗ Ψ entspricht einer DiracDeltafunktion)
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