Prof. Dr. Remo Ianniello - RFH-Koeln

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Größen und Gleichungen
Größen Einheiten Systematik
Folie
Ziele dieser Vorlesung
Nach diesem Abschnitt sollten Sie ...
 Übliche Größen, Einheiten und
Formelzeichen kennen.
10 x Ergebnise mit Zehnerpotenzen oder
Präfixen ausdrücken können.
 Eine Berechnung systematisch
durchführen können.
 Den Vektor „Kraft“
berechnen können.
µ

𝐹
© Copyright: Der Inhalt dieser Folien
darf - mit Quellenangabe - kopiert und
weiter gegeben werden.
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Folie 2
Formelzeichen
Größen Einheiten Systematik
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Folie
Formelzeichen
µ
10 x
„Größe“
„Einheit“
𝐹
Geschwindigkeit → v = 100 km/h
„Formelzeichen“
Größen Einheiten Systematik
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„Betrag“
Folie 4
Formelzeichen
µ
Schreiben Sie den Druck als Gleichung der anderen Größen.
Quiz
10 x
𝐹
t
m
F
Das ist definitiv zu
umständlich.
Wie lässt sich dieser
Bruch kompakter
darstellen?
Größen Einheiten Systematik
W
P
p
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Folie 5
Formelzeichen
µ
10 x
Sortieren Sie die Begriffe nach
„Größe“ „Formelzeichen“ = „Betrag“
„Einheit“
Quiz
Quiz
=
=
34
𝐹
a
Beschleunigung
28,6
=
Kraft
45,2
=
N
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m
m³
F
3.500
Masse
kg
m/s²
V
Volumen
Folie 6
Formelzeichen
µ
10 x
Quiz
Quiz
Es sind einige Größen gegeben.
Aus welchen anderen Größen setzen sie sich zusammen?
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Kraft
Druck
Arbeit
Leistung
Masse
Dichte
Volumen
Länge
= Weg pro Zeit
= Geschwindigkeit pro Zeit
= Masse mal Beschleunigung
= Kraft pro Fläche
= Kraft mal Weg
= Arbeit pro Zeit
= Basis-Einheit
= Masse pro Volumen
= Länge ³
= Basis-Einheit
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𝐹
Folie 7
Einheit
µ
10 x
Alle Einheiten beruhen auf sieben
Basis-Einheiten, von denen in der
Tabelle sechs aufgelistet sind.
Wie lauten die Basis-Einheiten?
Quiz
Quiz
𝐹
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Folie 8
Einheit
µ
10 x
In welcher Einheit wird die jeweilige Größe gemessen?
Sekunde → s
Kilogramm → kg
Quiz
Quiz
t
m
F
𝐹
Newton → N
W
Joule → J
P
p
Watt → W
Pascal → Pa
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Folie 9
Systematik
µ
10 x
Buchstaben-Quiz
Quiz
Quiz
Zu welchen Buchstaben gehören die Namen auf der rechten Seite ?
Delta
Tau
Alpha
Sigma
Lambda
Beta
Rho
Gamma
Ny
Epsilon
Omega
Phi
Pi
Theta
My
𝐹
Kappa
Tipp: Es gibt Apps, die helfen:
Tags: „flashcards“, „Leitner System“
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Folie 1
0
Quiz
Griech. Buchstaben
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Folie
Quiz
Griech. Buchstaben
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Folie 12
Zehner-Potenzen
Größen Einheiten Systematik
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Folie
Zehner-Potenzen
µ
10 x
Quiz
Quiz
105 (sprich: "zehn hoch fünf") ist eine Potenz mit
der Basis 10 (Zehnerpotenz).
Die 10 wird 5-mal mit sich selbst multipliziert.
5 Nullen
Quiz
Wie lassen sich große Zahlen als
Zehner-Potenzen schreiben ?
1
10
0
1011
108
109
102
104
106
107
𝐹
105
103
100
101
Bsp. 3,4·103 = 3.400
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Folie 14
Zehner-Potenzen
µ
10 x
“ENG” steht für Engineer.
Werte werden in Zehner-Potenzen
dargestellt.
Mit ENG und Shift – ENG lassen sich die
Potenzen in 3er-Schritten verändern.
𝐹
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Folie 15
Zehner-Potenzen
µ
10 x
Für die Beschreibung großer Zahlen verwendet
man gerne Präfixe wie Micro, Mega oder kilo.
Quiz
Quiz
Micro (µ) = 10-6
milli (m) = 10-3
Kilo (k) = 103
Mega (M) = 106
1 Kilogramm = 1 kg = 1.000 Gramm
3 Kilometer = 3 km = 3.000 Meter
4 Megahertz = 4 MHz = 4·106 Hz
2 Microcoulomb = 2 µC = 2·10-6 C
𝐹
Präfixe
a) Wie lassen sich Präfixe (oben) in
Zehner-Potenzen schreiben ?
b) Wie lauten die Exponenten in den
Gleichungen rechts?
Tipp: Zum Lernen können Sie Apps
verwenden, die Lernkarteien entsprechen.
Suchen Sie unter „flashcards“
Größen Einheiten Systematik
3
0,31 Kilo-Ampere (kA) = 0,31·10 A
6
510 Mega-Volt (MV) = 510·10 V
-6
15 Micro-Ampere (µA) = 15·10 A
5
105 MHz = 10,5·10 Hz
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Folie 16
Zahlen und Einheiten
µ
10 x
Aufgabe
Nicht
Nicht erlaubt:
erlaubt:
Zahlenschlangen
Zahlenschlangen wie
wie „6846543
„6846543 m“
m“ ..
Erlaubt:

Tausender-Punkt
Tausender-Punkt →
→ 6.846.543
6.846.543 m
m

Zehner-Potenzen
Zehner-Potenzen 10
10xx →
→ 6,85·10
6,85·1066 m
m

Präfixe
Präfixe wie
wie kilo
kilo (k)
(k) oder
oder milli
milli (m)
(m) →
→ 6.847
6.847 km
km
𝐹
Präfix und 10er-Potenzen
a) Stellen Sie eine Kraft von 5.200 N mit Präfix und mit Zehnerpotenz dar.
b) Formulieren Sie die Masse von 73 t um in kg. Arbeiten Sie mit 10erPotenzen und stellen das Ergebnis mit einem Präfix dar.
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Folie 17
Zahlen und Einheiten
µ
10 x
Aufgabe
Nicht erlaubt:
0,0... Zahlen, wie „0,0034 m“.
𝐹
Erlaubt:

Zehner-Potenzen 10-x → 6,85·10-6 m

Präfixe wie milli (m) oder micro (µ) → 6.847 µm
Quadrate
a) Rechnen Sie die Fläche von 462 mm² in m² um.
b) Wie groß ist eine Fläche von 300 mm² in m² ?
c) Wie viel mm sind 6,3 µm ?
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Folie 18
Zahlen und Einheiten
µ
10 x
Aufgabe
Nicht erlaubt:
Zahlenschlangen wie „6846543 m“ .
0,0... Zahlen, wie „0,0034 m“.
Erlaubt:

Tausender-Punkte
→6.846.543
6.846.543mm
Tausender-Punkt →

Zehner-Potenzen
Zehner-Potenzen 10
10xx →
→ 6,85·10
6,85·1066 m
m

Präfixe
Präfixe wie
wie kilo
kilo (k)
(k) oder
oder milli
milli (m)
(m) →
→ 6.847
6.847 km
km
𝐹
Dritte Dimension
a)Rechnen Sie das Volumen von 46.200 mm³ in m³ um.
b)Wie groß ist eine Fläche von 3.000.000 mm² in m² ?
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Folie 19
Einheiten
µ
Quiz
Prüfen Sie anhand der Formel für …
… den Druck p = F/A, ob F/A die Druck-Einheit Pascal liefert.
… die kinetische Energie W = ½ m·v², ob die rechte Seite die Einheit Joule liefert.
… die Kraft F = m·a, ob die Einheit von m·a gleich der von F ist.
𝐹
Wie viel …
… kg/m³ sind 1 g/cm³ ?
… mm² sind 1 m²
Wie viel MPa sind ein N/mm² ? (1 Pa = 1 N/m²)
Größen Einheiten Systematik
10 x
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Folie 20
Systematik beim
Rechnen
Größen Einheiten Systematik
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Folie
Systematik
µ
Beispiel-Aufgabe
Wie groß ist die Masse m von 300 m Kupferdraht,
dessen Querschnitt 0,785 mm² beträgt?
Die Dichte von Kupfer liegt bei 8,93 g/cm³.
10 x
Ergebnis
2,1 kg
𝐹
Lösungs-Methode
1) Welche Größe ist gesucht?
2) Wie ist ihr Formelzeichen?
3) Welche Formel enthält diese Größe?
4) Stellen Sie diese Formel nach der gesuchten Größe um.
5) Welche Größen sind jetzt noch unbekannt?
6) Für diese Größe weiter mit Schritt 3)
Größen Einheiten Systematik
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Folie 22
Systematik
µ
1) Skizze der Aufgabenstellung machen, Größen dort eintragen.
10 x
2) Welche Größe ist gesucht?
3) Welche Formel enthält die gesuchte Größe?
4) Formel nach der gesuchten Größe auflösen.
𝐹
5) Sind Unbekannte in der Formel?

Wenn ja: Gleichung nummerieren.

Punkte 3. und 4.wiederholen, bis alle Größen bekannt sind.
6) Schrittweise rückwärts Zahlen u. Einheiten einsetzen, ausrechnen.
7) Einheiten o.k.? (kein Mix aus z.B. m und mm, kN und N)
8) Liegt das Ergebnis im Rahmen des Möglichen / Sinnvollen ?
Größen Einheiten Systematik
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Folie 23
Systematik
µ
10 x
Aufgabe
Papierstapel
Im Verpackungsprozess eines PapierHerstellers drückt ein Stempel mit 200 N auf
einen Stapel DIN A 3 Blätter (297mm x 420
mm), die hälftig geschnitten werden sollen.
Der Stapel hat eine Masse von 3,5 kg.
a) Welche Kraft wirkt auf die Unterlage?
b) Welchem Druck ist die Unterlage
ausgesetzt ?
Größen Einheiten Systematik
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Ergebnis
234,3 Na
1.879 Pa
Ergebnis
b
Folie 24
𝐹
Systematik
µ
10 x
Aufgabe
Behälter-Höhe
Welche Innenhöhe in mm muss ein Behälter für
ein Fassungsvermögen von 4.000 Litern
mindestens haben, wenn seine quadratische
Grundfläche 2,5 m² beträgt?
Größen Einheiten Systematik
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Ergebnis
1.600 mm
𝐹
Folie 25
Fragen
Fragen
1. Wie ist die Einheit der Arbeit? Joule (J)
2. Wieviel mm² sind ein dm² ?
10.000 oder 104 mm² sind ein dm²
3. Welche der Größen
in der Tabelle sind Basisgrößen?
5. Es gibt zwei alternative Einheiten,
für die mechanische Spannung. Welche sind das? N / mm² und MPa.
6. Nennen Sie die Vorsilben für 103 , 106 , 10-2, 10-3 und 10-6.
7. Wie werden folgende griechischen Buchstaben ausgesprochen?
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Folie
26
Der Vektor
„Kraft“
Größen Einheiten Systematik
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Folie
Kraft
µ
10 x
Die Kraft wird immer in der Einheit
Newton (N) angegeben. Je nach Art
der Kraft, berechnet man den Betrag
aber auf unterschiedliche Weise.
Kennen Sie die zugehörigen Formeln?
Gewichtskraft
→ FG = m·g
Druckkraft
→ FD = p·A
Zentrifugalkraft
→ FZ = m·v²/r
Reibkraft
→ FR = µ F N
Trägheitskraft
→ Ft = m·a
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𝐹
Folie
28
Gewichts-Kraft
µ
10 x
Drei Eigenschaften: Betrag, Angriffspunkt und Richtung.
Beispiel
Aufgabe
Ein Student wiege 81,55 kg.
a) Wie groß ist der Betrag der Gewichtskraft ?
FG = mg = 81,55 kg 9,81 m/s² = 800 N
𝐹
b) Wo greift die Gewichtskraft an (Angriffspunkt) ?
Im Schwerpunkt.
c) Welche Richtung hat sie ?
Senkrecht nach unten.
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29
Druckkraft
µ
Drei Eigenschaften: Betrag, Angriffspunkt und Richtung.
Beispiel
10 x
Hebebühnen werden mit hydraulischen Pressen betrieben.
Aufgabe
a) Wie groß ist die Fläche, auf die ein Stempel mit 225 N/mm²
drückt, wenn er mit 150 kN einwirkt?
A = F/p = 150103 N / 225 N/mm² = 666,7 mm²
𝐹
b) Wo auf der Pressfläche
greift die Druckkraft in
idealer Weise an?
Im Schwerpunkt
der Pressfläche.
c) Welche Richtung
hat sie ?
Senkrecht zur
Pressfläche.
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Folie
30
Fliehkraft
µ
10 x
Aufgabe
Fliehkraft
Ein 0,8 t schweres Auto fährt
auf einem Autobahnkreuz eine
Schleife mit dem Durchmesser
von 150 m entlang. Seine
Geschwindigkeit liegt bei 50
km/h.
Wie groß ist die Fliehkraft, der
der Fahrer (80 kg) ausgesetzt
ist?
Größen Einheiten Systematik
𝐹
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Folie
31
Reibkraft
µ
10 x
Aufgabe
Reibkraft
Ein 0,8 t schweres Auto fährt auf
einem Autobahnkreuz eine Schleife
mit dem Durchmesser von 150 m
entlang. Seine Geschwindigkeit
liegt bei 50 km/h.
𝐹
Der Reibungskoeffizient zwischen
Straße und Reifen beträgt µ0 = 0,4.
a) Wie groß ist die maximale
Reibkraft, die das Fahrzeug am
Rutschen hindert?
b) Wie groß ist die tatsächlich
auftretende Reibkraft?
Größen Einheiten Systematik
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Folie
32
Arten von Kräften
µ
Quiz
10 x
𝐹
Streckenlast
Einzelkraft
Größen Einheiten Systematik
Flächenkraft
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Volumenkraft
Folie
33
Vektoren und Skalare
µ
10 x
Vektoren haben einen Angriffspunkt, einen Betrag und eine Richtung. Sie
werden durch Pfeile gekennzeichnet, deren Länge dem Betrag entspricht.
Quiz
Ordnen Sie die Größen in der mittleren Spalte richtig zu:
Vektor
Temperatur
𝐹
Skalar
Geschwindigkeit
Masse
mech. Spannung
Beschleunigung
Zeit
Größen Einheiten Systematik
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34
Längsverschiebung
µ
10 x
Eine Kraft hat einen Angriffspunkt und eine Richtung.
Angriffspunkt und Richtung ergeben die Wirklinie der Kraft.
𝐹
Die Länge des Pfeils ist ein Maß für den Betrag (die Größe) der Kraft.
Der Kräftemaßstab (KM) gibt den Zusammenhang an, z.B. KM: 1 cm = 50 N
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35
Längsverschiebung
µ
10 x
Was würde passieren, wenn man den
Angriffspunkt entlang der Wirklinie verschöbe?
Quiz
𝐹
Fazit:
Größen Einheiten Systematik
Eine Kraft kann längs ihrer Wirklinie beliebig
verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung
der Kraft ändert (Längs-Verschiebe-Satz)
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36
Längsverschiebungssatz
µ
10 x
Der Angriffspunkt einer Kraft bestimmt, wie ein Körper darauf reagiert. Er
kann nur verschoben, nur gedreht oder aber verschoben und gedreht
werden – je nachdem wo am Körper die Kraft angreift.
𝐹
Eine Ausnahme gibt es: Liegt der
Angriffspunkt immer auf derselben „Wirklinie“,
bleibt die Reaktion des Körpers dieselbe.
Kräfte dürfen auf ihrer
Wirklinie verschoben
werden. Dadurch ändert
sich ihre Wirkung nicht.
Größen Einheiten Systematik
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37
Kräfte-Gleichgewicht
µ
Wie könnte man die Kraft so kompensieren, dass die Eisscholle unbewegt bleibt?
10 x
Quiz
𝐹
Fazit:
Ein statischer Zustand entsteht, wenn zu einer Kraft eine Gegenkraft existiert.
Beide besitzen dieselbe Wirklinie aber entgegen gesetzten Richtungssinn.
Zwei Kräfte, auf die das zutrifft, sind im „Gleichgewicht“.
Größen Einheiten Systematik
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Folie
38
Fragen
1) Wie ist die Einheit der Arbeit? Joule (J)
2) Wieviel mm² sind ein dm² ? 10.000 oder 104 mm² sind ein dm²
3) Was ist der Unterschied zwischen Kinematik und Dynamik?
In der Kinematik treten keine Kräfte oder Momente auf.
Dort geht es nur um Bewegungsabläufe.
4) Darf ein Bauteil, dessen Belastungen mit Mitteln der Statik
berechnet wird, ein bewegtes Bauteil sein? (z.B. Balken eines
fahrenden Waggons)
Ja, solange es eine konstante Geschwindigkeit hat.
5) Mit welcher Formel berechnet man die Gewichtskraft einer
sich drehenden Welle? FG = mg
6) Was gibt die Wirklinie einer Kraft an?
Die Orientierung der Kraft im Raum (noch nicht die Richtung).
7) Welchen Einfluss hat der Angriffspunkt einer Kraft auf die Wirkung einer Kraft?
Verschiebung oder Drehung des Körpers, je nach Position des Angriffspunkts.
Größen Einheiten Systematik
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Folie
39
Fragen
9) Wo ist der Angriffspunkt einer Gewichtskraft?
Im Schwerpunkt.
10)Wodurch unterscheiden sich plastische und
elastische Verformung voneinander?
Die plastische Verformung bleibt, die elastische geht
zurück.
11)Was sagt der Längsverschiebungssatz aus?
Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie verschoben werden.
Ihre Wirkung auf den Körper ändert sich dabei nicht.
12)In welche vier Gruppen kann man Kräfte unterteilen?
In Volumen-, Flächen-, Linien- und Einzelkräfte.
13)Zu welcher Gruppe von Kräften gehört die Druckkraft?
Zu den Flächenkräften
Größen Einheiten Systematik
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40
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