Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
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Kraftvektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Ziele dieser Vorlesung Nach diesem Abschnitt sollten Sie ... die in der Mechanik wichtigen Kräfte kennen. Kräfte als Vektoren auffassen können. Vektoren und Skalare unterscheiden können. © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 2 Kraft Die Kraft wird immer in der Einheit Newton (N) angegeben. Je nach Art der Kraft, berechnet man den Betrag aber auf unterschiedliche Weise: Gewichtskraft → FG = m·g Druckkraft → FD = p·A Zentrifugalkraft → FZ = m·v²/r Reibkraft → FR = µ FN Trägheitskraft → Ft = m·a Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 3 Vektoren und Skalare Vektoren haben einen Angriffspunkt, einen Betrag und eine Richtung. Sie werden durch Pfeile gekennzeichnet, deren Länge dem Betrag entspricht. Quiz Ordnen Sie die Größen in der mittleren Spalte richtig zu: Vektor Temperatur Skalar Geschwindigkeit Masse mech. Spannung Beschleunigung Zeit Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 4 Längsverschiebung Eine Kraft hat einen Angriffspunkt und eine Richtung. Angriffspunkt und Richtung ergeben die Wirklinie der Kraft. Die Länge des Pfeils ist ein Maß für den Betrag (die Größe) der Kraft. Der Kräftemaßstab (KM) gibt den Zusammenhang an, z.B. KM: 1 cm = 50 N Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 5 Längsverschiebung Quiz Was würde passieren, wenn man den Angriffspunkt entlang der Wirklinie verschöbe? Fazit: Kraft-Vektoren Eine Kraft kann längs ihrer Wirklinie beliebig verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung der Kraft ändert (Längs-Verschiebe-Satz) © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 6 Längsverschiebungssatz Der Angriffspunkt einer Kraft bestimmt, wie ein Körper darauf reagiert. Er kann nur verschoben, nur gedreht oder aber verschoben und gedreht werden – je nachdem wo am Körper die Kraft angreift. Eine Ausnahme gibt es: Liegt der Angriffspunkt immer auf derselben „Wirklinie“, bleibt die Reaktion des Körpers dieselbe. Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie verschoben werden. Dadurch ändert sich ihre Wirkung nicht. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 7 Kräfte-Gleichgewicht Quiz Wie könnte man die Kraft so kompensieren, dass die Eisscholle unbewegt bleibt? Fazit: Kraft-Vektoren Ein statischer Zustand entsteht, wenn zu einer Kraft eine Gegenkraft existiert. Beide besitzen dieselbe Wirklinie aber entgegen gesetzten Richtungssinn. Zwei Kräfte, auf die das zutrifft, sind im „Gleichgewicht“. © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 8 Fragen 1) Wie ist die Einheit der Arbeit? Joule (J) 2) Wieviel mm² sind ein dm² ? 10.000 oder 104 mm² sind ein dm² 3) Mit welcher Formel berechnet man die Gewichtskraft einer sich drehenden Welle? FG = mg 4) Was gibt die Wirklinie einer Kraft an? Die Orientierung der Kraft im Raum (noch nicht die Richtung). 5) Welchen Einfluss hat der Angriffspunkt einer Kraft auf die Wirkung einer Kraft? Verschiebung oder Drehung des Körpers, je nach Position des Angriffspunkts. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 9 Fragen 9) Wo ist der Angriffspunkt einer Gewichtskraft? Im Schwerpunkt. 10)Wodurch unterscheiden sich plastische und elastische Verformung voneinander? Die plastische Verformung bleibt, die elastische geht zurück. 11)Was sagt der Längsverschiebungssatz aus? Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie verschoben werden. Ihre Wirkung auf den Körper ändert sich dabei nicht. 12)In welche vier Gruppen kann man Kräfte unterteilen? In Volumen-, Flächen-, Linien- und Einzelkräfte. 13)Zu welcher Gruppe von Kräften gehört die Druckkraft? Zu den Flächenkräften Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 10 Ziele dieser Vorlesung Nach diesem Abschnitt sollten Sie ... eine Kraft in ihre Komponenten zerlegen können. ein Bauteil freimachen können. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 11 Die Komponenten Vektoren lassen sich in zwei zueinander senkrechte Komponenten zerlegen. Beispiel: Aufgabe Die Kraft F kann in die Komponenten Fx und Fy zerlegt werden. Fx und Fy stehen senkrecht aufeinander → Fx ist die cos-Komponente von F Fy → Fy ist die sin-Komponente von F Aufgabe F = 243 N und φ = 50° Wie groß sind die beiden Komponenten von F ? Fx REC ( 243, 50) → Fx = 156,2 N, Fy = 186,1 N Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 12 Die Komponenten Die Zerlegung von Vektoren in zwei zueinander senkrechte Komponenten lässt sich in einem einzigen Schritt mit dem Taschenrechner (TR) durchführen. Polarkoordinaten (POL) Die beiden Angaben F (Betrag) und φ (Winkel) nennt man Polarkoordinaten des Vektors. Fy Die beiden Angaben Fx und Fy sind dagegen die zueinander rechtwinkligen Koordinatengrößen. Der TR wandelt die Polarkoordinaten (→ POL) in die rechtwinkligen (→ REC) um. Rechtwinkl. Koordinaten (REC) Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Fx Folie 13 Die Komponenten Aufgabe Aufgabe Zerlegen Sie die folgenden Vektoren in ihre x-y-Komponenten. F = 243 N und φ = 50° F = 243 N und φ = 250° F = 243 N und φ = - 50° Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 14 Fragen Ein Flugzeug fliegt in Richtung NO mit der Geschwindigkeit von 700 km/h. Wie nennt man diese Koordinaten, mit denen die Geschwindigkeit beschrieben wird? Quiz Polarkoordinaten Ließe sich ein Vektor auch in zwei Komponenten zerlegen, die nicht zueinander senkrecht stehen? Ja. Das ergäbe ein Parallelogramm. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 15 Freimachen Ein Bauteil ist meistens mit anderen Bauteilen zu „Systemen“ zusammen gebaut. Ein „System“ ist z.B. eine Baugruppe oder eine Maschine. Bauteile übertragen untereinander Kräfte. Kräfte können nur an Verbindungsstellen übertragen werden. Verbindungsstellen = Angriffspunkte der Übertragungskräfte. FSeil , FLast und FHaken ersetzen die Bauteile. Diese Ersetzung heißt: „Freimachen“ Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 16 Freimachen Durch das Freimachen erhält man die Wirklinie und den Richtungssinn der Kräfte an den Verbindungsstellen. Ein Träger, der durch die Kraft F belastet wird, ist bei A gelagert und bei B durch ein Seil festgehalten. Wie können Wirklinie und Richtungssinn der am Träger angreifenden Kräfte ermittelt werden ? Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 17 Freimachen Maschinenschlitten Aufgabe Bei einer Werkzeugmaschine belastet der Schlitten das Bett mit der Gewichtskraft FG. Der Schlitten und der obere Teil des Bettes sind freizumachen. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 18 Freimachen Wagen am Seil Aufgabe Ein Wagen auf schiefer Ebene ist freizumachen. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 19 Freimachen Aufgabe Kurbeltrieb Der Kreuzkopf eines Kurbeltriebs wird durch die Kraft F belastet. Kreuzkopf und Schubstange sind getrennt freizumachen. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 20 Freimachen Kugel Aufgabe Die Kugel ist freizumachen. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 21 Freimachen Aufgabe Leiter an der Wand Die Leiter an der Wand ist freizumachen. Berücksichtigen Sie die Gewichtskraft der Leiter und die Reibung an den Berührungsstellen mit der Wand. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 22 Freimachen Leiter auf dem Absatz Aufgabe Die Leiter auf dem Absatz ist freizumachen. Berücksichtigen Sie die Gewichtskraft der Leiter. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 23 Freimachen Aufgabe Fahrradbremse Die Fahrradbremse besteht aus den beiden Teilen I und II. Machen Sie sowohl die gesamte Bremse (links) als auch die beiden Teile frei. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 24 Freimachen Sägebock Aufgabe Machen Sie den Baumstamm (Kreis) als auch die beiden Teile des Sägebocks frei. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 25 Freimachen Aufgabe Stäbe an der Wand Zwei gelenkig miteinander verbundene Stäbe 1 und 2 sind in A und B an einer Wand befestigt und in C durch einen Körper vom Gewicht G belastet. Winkel: α1= 45° und α2= 60°, FG = 200 N. Machen Sie den Punkt C frei. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 26 Fragen Fragen 1) Unter welchem Winkel muss eine Kraft angesetzt werden, die eine ebene Druckfläche ersetzen soll? Unter 90° zur Ebene 2) Wie nennt man allgemein eine solche Kraft? Normalkraft 3) Durch welche Größen werden die umgebenden Bauteile ersetzt? Durch Kräfte oder/und durch Momente. 4) Wovon hängt es ab, wie stark eine Seilkraft durch eine Rolle verändert wird? Eine Seilkraft wird durch eine Rolle nur in ihrer Richtung verändert. Und das hängt vom Umschlingungswinkel ab. 5) Was ist der Unterschied zwischen einer festen und einer losen Rolle? Die lose Rolle hängt nur an einem Seil und beweglich, die feste Rolle ist fixiert. Kraft-Vektoren © Prof. Dr. Remo Ianniello letzte Folie 27
