lecture12

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WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester
12. Vorlesung
Schrödingersche Katze
chaotische Systeme, Dekohärenz
Warum ist unsere Alltagswelt „klassisch“ ?
Klassische vs. quantenmechanische Welt
Gibt es einen „Schnitt“ zwischen der klassischen Welt
und der quantenmechanischen Welt ?
zu Hause …
… bei den wilden Kerlen
Schrödingersche Katze
Schrödingersche Katze befindet sich in einer abgeschlossenen Schachtel
In der Schachtel befindet sich weiters ein radioaktives Atom.
Wenn das Atom zerfällt, wird der Zerfall von einem Geigerzähler detektiert.
Im Fall einer Detektion wird ein Behälter mit einer giftigen Substanz (Zyankalie) geöffnet
und die Katze stirbt.
Schrödingersche Katze
1. Das Atom ist nicht zerfallen
Vor der Detektion:
Atom nicht zerfallen + Katze lebt
Nach der Detektion:
Atom nicht zerfallen + Katze lebt
2. Das Atom ist zerfallen
Vor der Detektion:
Atom zerfallen + Katze lebt
Nach der Detektion:
Atom zerfallen + Katze tot
Schrödingersche Katze
Was passiert, wenn sich das Atom in einer quantenmechanischen Superposition
zwischen „zerfallen“ und „nicht zerfallen“ befindet ?
Vor der Detektion:
Atom in Superpositionszustand + Katze lebt
Nach der Detektion:
(Atom nicht zerfallen ) x ( Katze lebt ) +
(Atom zerfallen ) x ( Katze tot )
Aber : Katzen sind entweder lebendig oder tot !?
Quantenmechanik
Quantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik
Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den
Gesetzen der klassischen Physik ?
A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?
 Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung.
 Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?
Quantenmechanik
Quantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik
Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den
Gesetzen der klassischen Physik ?
A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?
 Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung.
 Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?
A2: Quantenmechanisches Verhalten ist für makroskopische Objekte
extrem unwahrscheinlich !?
Klassische Systeme : regulär vs. chaotisch
Impuls
regulär
Trajektorie im Phasenraum
t>0
t=0
Ort
Beispiel … Harmonischer Oszillator
Impuls
Die Bewegung eines klassischen Objekts
kann durch eine Bahn (Trajektorie) im
Phasenraum (Ort vs. Impuls) dargestellt
werden.
x0
Ort
Klassische Systeme : regulär vs. chaotisch
Impuls
regulär
Trajektorie im Phasenraum
Ungenauigkeit im Endzustand
wächst linear oder polynomial
t=0
Ungenauigkeit im Anfangszustand
Ort
Beispiel … Harmonischer Oszillator
Impuls
Bei einem regulären System nimmt eine
Ungenauigkeit im Anfangszustand
linear oder polynomial im Lauf der Zeit
zu.
x0
Ort
Chaotische Systeme
Impuls
regulär
Impuls
t=0
chaotisch
t=0
Ort
Beispiel … Harmonischer Oszillator
Ort
l … Lyapanov - Exponent
Impuls
Bei einem chaotischen System nimmt eine
Ungenauigkeit im Anfangszustand
exponetiell im Lauf der Zeit zu.
x0
Ort
Chaotische Systeme : Beispiel
Ein Beispiel für eine klassisches chaotisches System ist der getriebene
anharmonische Oszillator
Je nach Wert von h verhält sich das System regulär oder chaotisch
4
-4
3
-3
2
-2
1
-1
Impuls
Impuls
Getriebener Oszillator : h = 0.2 … regulär
0
0
-1
1
-2
2
-3
3
-4
4
-4
-3
-2
-1
0
Ort
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
Ort
1
2
3
Ort
5
0
-5
0
50
100
150
Zeit
Zeit
200
250
300
4
4
-4
3
-3
2
-2
1
-1
Impuls
Impuls
Getriebener Oszillator : h = 0.1 … chaotisch
0
0
-1
1
-2
2
-3
3
-4
4
-4
-3
-1
-2
0
Ort
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
Ort
1
2
3
Ort
5
0
-5
0
50
100
150
Zeit
Zeit
200
250
300
4
Makroskopische chaotische Systeme
Impuls
t=0
Ort
Hyperion
Hyperion (Mond des Saturns) bewegt sich auf einer chaotischen Umlaufbahn.
Es würde ~20 Jahre benötigen, bis er vollständig delokalisiert wäre !!!
Quantenmechanik
Quantenmechanik ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik
Q: Warum gehorcht die Alltagswelt (makroskopische Welt) den
Gesetzen der klassischen Physik ?
A1: Makroskopische Objekte gehorchen nicht den Gesetzen der QM !?
 Entspricht der ursprünglichen Kopenhagener Deutung.
 Aber: Wo ist der Schnitt zwischen klassischer Welt und Quantenwelt ?
A2: Quantenmechanisches Verhalten ist für makroskopische Objekte
extrem unwahrscheinlich !?
A3: Quantensysteme wechselwirken mit ihrer Umgebung … Dekohärenz
Intermezzo : Binomialverteilung
Betrachten wir die N Kugeln, die sich in einer Schachtel bewegen
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich m Kugeln in der linken
und N – m Kugeln in der rechten Hälfte befinden ?
Wahrscheinlichkeit für Konfigurationen
Intermezzo : Binomialverteilung
Die Binomialverteilung liefert Wahrscheinlichkeit, dass sich m Kugeln in der linken
und N – m Kugeln in der rechten Hälfte befinden
Je größer die Zahl der Kugeln, desto schärfer ist die Verteilung
(desto ganauer die Vorhersage) !!!
Die Vorhersage ist deshalb so genau, weil wir nur eine reduzierte Information
über die Verteilung benötigen
Dekohärenz
Gegeben sei die Wellenfunktion für ein System S, das
mit der Umgebung E wechselwirkt ( S und E sind „verschränkt“ )
Umgebung = „Environment“
System
i.A. interessieren wir uns nicht für die (unendlich) vielen Freiheitsgrade der Umgebung E
Dekohärenz : Wenn wir nur an den Eigenschaften des Systems S interessiert sind,
werden die Vorhersagen umso genauer, je größer die Umgebung ist
… das System S verhält sich „klassisch“
Zweiniveausystem : reiner Zustand
Ein reiner Quantenzustand besitzt einen wohldefinierten Spin
Berechnung der Spinkomponenten
Spin hat die Länge Eins :
Zweiniveausystem : „gemischter“ Zustand
Ein reiner Quantenzustand besitzt einen wohldefinierten Spin
Spineinstellung nur mit bestimmter
Wahrscheinlichkeit bekannt
Spin i.A. kleiner als Eins, weil wir seinen Zustand nur mit einer bestimmten
Wahrscheinlichkeit kennen !!!
Zweiniveausystem : verschränkter Zustand
Betrachten wir zwei Zweiniveausysteme S und E, die miteinander verschränkt sind
Wenn wir nur an den Eigenschaften von S interessiert sind, können wir nur sagen,
dass es sich mit Wahrscheinlichkeit cos2q im Zustand „oben“ und
mit Wahrscheinlichkeit sin2q im Zustand „unten“ befindet
… der Spin von S ist i.A. kleiner als Eins !!!
Obwohl sich das Gesamtsystem in einem wohldefinierten Zustand befindet,
sind die Spins der einzelnen Teilchen nicht genau bestimmt !!!
Durch Verschränkung wird Quanteninformation
zwischen Teilchen geteilt !!!
Zweiniveausystem : Einfluß der Umgebung
Betrachten wir ein System S, das mit einer Umgebung E wechselwirkt
(z.B. radioaktives Atom + Katze)
Wir modellieren die Wechselwirkung mit der Umgebung E so, dass E den Zustand ändert,
wenn das System S im unteren Zustand ist (cNOT – Gatter)
Wenn sich vor der Wechselwirkung das System in einem Überlagerungszustand befindet,
kommt es durch die Messung zu einer Verschränkung
Durch die WW mit der Umgebung kommt es zu einem
Verlust der „Quanteneigenschaften“ !!!
Dekohärenz
System wird durch Wechselwirkungen mit der Umgebung mit dieser verschränkt.
Die Quanteneigenschaften des Systems gehen dadurch verloren
E
HWechselwirkung
S
E‘
E‘‘
 Wechselwirkung mit Umgebung ähnlich wie Energiemessung …
System befindet sich bevorzugt in Energie – Eigenzuständen !!!
 Falls Umgebung genügend groß, geht die Quanteinformation
unwiderbringlich verloren („Dekohärenz“)
 Die Interpretation der QM benötigt keine klassischen Messapparate –
eine makroskopische Umgebung, die den Gesetzen der QM gehorcht,
verhält sich gleich wie ein klassischer Messapparat
(Die Schrödingersche Katze ist tot oder lebendig)
Dekohärenz : „Klassische“ Zustände
Eigenzustände der Wechselwirkung mit der Umgebung sind besonders stabil
Durch Wechselwirkung mit der Umgebung werden bestimmte Zustände selektiert, die
besonders stabil sind („Quantum Darwinism“).
Die Eigenschaften dieser Zustände sind in unterschiedlichen Teilen En der Umgebung
(z.B. Photonen, die in unterschiedliche Raumwinkel gestreut werden) gespeichert, und
können von unterschiedlichen Beobachtern ausgelesen werden, ohne dass der Zustand
des Systems S geändert wird.
Diese Zustände bezeichnet man als „klassisch“.
Quantenwelt versus klassische Welt
© W. Zurek
Experimente mit Licht, Ultrahochvakuum, tiefe Temperaturen (mK)
Unsere Alltagswelt ist „klassisch“ !!!
© David Goodsell
Photosynthesekomplex
Biomaschinen sind sehr klassisch …
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