Fach: Physik

Mechanik
q1_ _ Kap.4
4.0 Inhalt von Kap.4
Stand Mai 2012
4.1 Newton und die Mechanik
4.2 Newton und die Mathematik
4.2.1 Die Momentangeschwindigkeit
4.2.2 Aufgaben
4.3 Herleitung der Zentrifugalkraft
4.1 Newton und die Mechanik
Sir Isaac Newton [aɪzək njutən] (1643 – 1727).
Isaac Newton ist der Verfasser (1687) der „Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica“ ( die mathematischen Grundlagen der
Naturphilosophie ), kurz auch
PRINCIPIA MATHEMATICA
genannt.
Dort beschreibt er mit seinem Gravitationsgesetz die universelle
Gravitation und die Bewegungsgesetze und legte damit den Grundstein
für die klassische Mechanik.
1) Erstes Newtonsches Axiom: Das Trägheitsprinzip („lex prima“)
=============================================================
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen
Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null
ist.
2) Zweites Newtonsches Axiom: Das Aktionsprinzip („lex secunda“)
==============================================================
Das zweite Newtonsche Axiom ist das Grundgesetz der Dynamik:
F = ma
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3) Drittes Newtonsches Axiom: Das Reaktionsprinzip („lex tertia“)
==============================================================
Das dritte Prinzip ist das Wechselwirkungsprinzip:
"actio gleich reactio" oder "Kraft gleich Gegenkraft".
4) Superpositionsprinzip der Kräfte („lex quarta“)
==============================================================
Das "Prinzip der ungestörten Überlagerung", das sog.
Superpositionsprinzip.
Da s,v,a und F Vektoren sind, kann man sie in senkrechte und
waagerechte Komponenten zerlegen und diese dann anschließend wieder
zusammenfassen.
5) Weitere Entdeckungen von Newton in der Mechanik
===================================================
später entwickelte Newton noch die Formeln für die (allgemeine)
Gravitation und für die Zentrifugalkraft, wie wir schon sahen:
F = G m1 m2 /r²
F = mv²/r
Aufgabe 4.1.1
Aus welchen der hier genannten Axiome folgt (oder folgen) nun
a) der Energieerhaltungssatz
b) der Impulserhaltungssatz
c) die Keplerschen Planetenbahnen
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4.2 Newton und die Mathematik
4.2.1 Die Momentangeschwindigkeit
Weiterhin entwickelte Newton die Differentialrechnung, die
gleichzeitig auch von Leibniz entwickelt wurde, was zu einem
heftigen Streit zwischen den beiden führte.
Der Ausgangspunkt war, dass er statt der Durchschnittsgeschwindigkeit
v =∆s/∆t
die Momentangeschwindigkeit berechnen wollte, was man etwa so
schreiben könnte:
v = lim ∆s/∆t
∆t-->0
.
Damit ist die Geschwindigkeit also die Ableitung des Weges nach der
Zeit, wie die folgenden Ausführungen zeigen.
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Ableitung und Momentangeschwindigkeit
Die Definition der Geschwindigkeit ist v = s/t oder genauer
v = s2–s1
t2 –t1
oder v = Δs .
Δt
1. Linearer Fall
Die obige Definition ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn es einen linearen
Zusammenhang zwischen s und t gibt, z.B.
s(t) = 0,5 _m_ t
sec
Die Steigung der Geraden ist genau die Geschwindigkeit, d.h.
m = Δy
Δx
entspricht v = Δs = s2–s1 = 3,5m–2,5m = 1 m = 0,5 m
Δt
t2 –t1
7sec –5sec
2 sec
sec
2. Nicht-linearer Fall
Wie wir im obigen Beispiel gesehen haben, ist die
Geschwindigkeit die Steigung der Geraden, die durch den
Graphen von s(t) gegeben ist. Diese Geschwindigkeit ist
ständig gleich, so wie ja auch die Steigung der Geraden
überall gleich ist. Es ist dann auch nicht nötig, zwischen
Momentangeschwindigkeit und
Durchschnittsgeschwindigkeit zu unterscheiden.
Wenn wir jetzt aber einen nicht-linearen Fall haben, z.B.
s = 5 _m_ t² (freier Fall),
sec²
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so ist der Graph eine Parabel, die natürlich keine einheitliche
Steigung hat. Aus der Mathematik wissen wir aber, dass man
durch die Ableitung jedem Punkt eine (Tangenten-)Steigung
zuordnen kann.
In der Zeichnung ist der Graph von s(t) = 5 m t² dargestellt
sec²
(die s-Achse ist auf ein Fünftel gestaucht).
Aufgabe 4.2.1
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen t1 = 1sec und
t2 = 2sec.
vD = Δs = _____________
Δt
…
Je kleiner man nun dieses Intervall Δt wählt, desto näher kommt die
Durchschnittsgeschwindigkeit an die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt
t2 = 2sec heran. In der folgenden Skizze sieht man die Tangente an der Stelle
t=2sec eingezeichnet. Ihre Steigung ist 20m/sec.
Dies ist zugleich die Momentangeschwindigkeit, d.h.
v (2 sec) = 20 m/sec
Aufgabe 4.2.2
Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 = 1sec.
v( 1 sec) =
…
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3. Ableitungen nach der Zeit
Mathe
Physik
y(x) = 5x²
s (t) = 5 m t²
sec²
(oder
s=1 g t²)
2
y‘(x) = 2·5x = 10x
(t) = 10 m t
sec²
(oder
= g t)
y‘‘(x) = 10
(t) = 10 m
sec²
(oder
=g)
Es gilt natürlich auch:
v(t)
(t)
a(t) =
) = (t).
Wir haben jetzt also mit Hilfe der Differentialrechnung
gezeigt:
s = ½ gt²  v = gt  a = g.
Die Tatsache, dass die Geschwindigkeit die Ableitung des
Weges nach der Zeit ist, drückt man in der Physik
normalerweise so aus:
v=
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4.2.2 Aufgaben
Aufgabe 4.2.3
In den folgenden Teilaufgaben werden fiktive Weg-Zeit-Gesetze s(t) vorgegeben.
Entwickeln Sie daraus jeweils die dazugehörigen Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v(t)
und
das dazugehörige Beschleunigungs-Zeit-Gesetz a(t).
a) s = 0,05 m · t²
v = ____
a= ______
sec²
b) s = 27 m · t²
sec²
v = ____
a= ______
c) s = 7 m · t³
sec3
v = ____
a= ______
(hoch 3)
d) s = 5 m · t4
sec4
v = ____
a= ______
(hoch 4)
Aufgabe 4.2.4
Umgedreht geht es nicht, man kann nicht von a(t) auf v(t) schließen. Zeigen Sie,
dass es für a(t) = 5m/sec² mehrere Lösungen für v(t) gibt. Diese Mehrdeutigkeit
kann man allerdings ausschließen, wenn man davon ausgeht, dass die
Anfangsgeschwindigkeit v(0) = 0 ist.
Aufgabe 4.2.5
In den folgenden Teilaufgaben werden fiktive Beschleunigungs-Zeit-Gesetze a(t)
vorgegeben. Entwickeln Sie daraus jeweils die dazugehörigen Geschwindigkeits-ZeitGesetz v(t) und das dazugehörige Weg-Zeit-Gesetz a(t).
a) a = 10 m ·
v = ____
s = ______
sec²
Anfangsbedingungen v(0) = 0
s(0) = 0
b) a = 10 m ·
v = ____
sec²
Anfangsbedingungen v(0) = 2m/sec
s = ______
c) a = 2 m · t
v = ____
sec3
Anfangsbedingungen v(0) = 2m/sec
s = ______
s(0) = 5m
s(0) = 5m
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4.3 Herleitung der Zentripetalkraft
Die folgende Betrachtung belegt noch einmal, wie wichtig die Idee ist, Δt gegen 0
gehen zu lassen, und zu analysieren, was dann passiert.
[Die folgende Abb. ist aus dem Lehrbuch „Metzler Physik“]
Es gilt also für die Zentripetalbeschleunigung az
az = v²/ r
oder
az = ω² r
und somit für die Zentripetalkraft Fz
Fz = m v²/ r
oder
Fz = m ω² r.
ENDE (der Mechanik)
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