Vorlesung Experimentalphysik II am 18
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1 Vorlesung Experimentalphysik I am 1.2.1999 und 2.2.1999 J. Ihringer 6.1.2 Das elektrische Feld Die Coulomb Kraft ist die einzige auf eine ruhende elektrische Ladung wirkende Kraft. Analog zum Schwerefeld, das als Schwerkraft auf eine Masse wirkt, spricht man vom elektrischen Feld, das als Coulomb Kraft auf die Ladung wirkt. Auf bewegte elektrische Ladungen üben Magnetfelder eine weitere Kraft aus, die Lorentz Kraft. 6.1.2.1 Die elektrische Feldstärke Die elektrische Feldstärke gibt den Betrag und die Richtung der an einem Ort wirkenden Kraft auf eine Einheitsladung. Die analoge Größe aus der Mechanik ist die Schwerkraft auf die Einheitsmasse: Sie ist vom Betrag der Schwerebeschleunigung g und weist in Richtung der anziehenden Masse. Die Ursache für das Feld ist eine Ladung, die in der Abbildung als q 2 symbolisch in einen Kasten gezeichnet ist. Aus einem einzelnen Wert der Feldstärke kann Ort und Betrag der Ladung q 2 aber nicht ermittelt werden. Im mechanischen Bild: Mißt man die Schwerkraft, dann bleibt ohne weiteres Wissen unklar, ob man sich auf der Erde oder irgendwo im Kosmos in der Nähe irgendeiner anziehenden Masse befindet. Mißt man aber die elektrischen Feldstärken an mehreren Punkten im Raum, dann kann man Ort und Betrag der Ladung lokalisieren: Dazu dient der Satz von Gauß Ostrogradski. Formel F E q Einheit Anmerkung N 1 C Elektrische Feldstärke: Kraft auf eine elektrische Ladung vom Betrag 1 F E q1 q q2 Die Richtung der elektrischen Feldstärke ist die der Kraft auf eine positive Ladung (Definition) Tabelle 1 Definition der Feldstärke. Rot: positive, grün negative Ladung. Der Kasten mit der negativen Ladung dient nur zur Erzeugung des Feldes. 2 6.1.2.2 Feldlinien Die Coulomb Kraft an einem Ort ist eine gerichtete, vektorielle Größe. Feldlinien zeigen an jedem Ort deren Richtung an. Versuch 1 Feldlinien zwischen unterschiedlich geladenen Leitern: In eine flache Wanne mit Öl und Grieskörnern werden zweidimensionale Objekte eingebracht und mit der Influenzmaschine aufgeladen. Die Grießkörner ordnen sich in Ketten entlang den Feldlinien und machen diese so sichtbar. Die Objekte sind Modelle für: Plattenkondensator, Platte und Punktladung, 2 Punktladungen, Ring und Punktladung außen. Man erkennt: Feldlinien enden senkrecht auf Oberflächen elektrischer Leiter. Die beweglichen Ladungsträger verschieben sich, bis die tangentialen Komponenten verschwinden. Je nach der Geometrie der Objekte liegen die Feldlinien unterschiedlich dicht. An den Spitzen von Leitern ist ihre Dichte besonders hoch. (Blitzableiter). Das Innere eines von einem Leiter umgebenden Hohlraums ist frei von Ladung (Faraday Käfig). Gleichnamige Ladungen suchen größten Abstand voneinander, deshalb wandern sie auf die Außenseite des Leiters. Besonders wichtig sind die folgenden Anordnungen: Schematischer Feldverlauf Anordnung Plattenkondensator. Zwischen den Platten ist das Feld homogen: Die Feldstärke ist konstant und die Feldlinien verlaufen parallel. Außerhalb der Platten gibt es das Streufeld. Feldfrei im Innern! Faradayscher Käfig. In einem geschlossenen, leitenden Käfig ist die elektrische Feldstärke null. Tabelle 2 Die Feldlinien sind nur schematisch angedeutet: Der ganze Außenraum ist mit Feldlinien zwischen den unterschiedlich geladenen Leitern erfüllt und alle Feldlinien münden senkrecht auf die Leiter ein. Rot: positive Ladung, grün: negative Ladung. Ein Faradayscher Käfig ist ein mit einem Drahtgitter umgebener Raum. Sein Inneres bleibt ohne Ladung, auch wenn die Anordnung beliebig hoch aufgeladen wird. Faraday setzte sich mit einem Elektrometer in einen Drahtkäfig und wies dessen Ladungsfreiheit im Inneren nach. Sehr eindrucksvoll ist der Versuch mit dem Faradayschen Käfig in der Abteilung für 3 Starkstromtechnik des Deutschen Museums in München: An einem Kran hängt ein Käfig, in den ein kräftiger Blitz von einigen 100 kV einschlägt, begleitet von einem gewaltigen Donnerschlag. Im Käfig sitzt ein Mitarbeiter des Museums, der dieses nach dem Blitzschlag unversehrt verläßt. Versuch 2 Ein Drahtkäfig mit Elektrometer steht auf einer leitenden Platte mit Elektrometer im Inneren des Käfigs. Beide sind zur Erde isoliert. Wird die Anordnung aufgeladen, dann zeigt das Elektrometer im Inneren die Ladungsfreiheit. Wird der Käfig aber abgenommen, dann gehört das Elektrometer im Innenraum zur Oberfläche, auf die sich die Ladung von der Bodenplatte verteilt: Es zeigt jetzt die Ladung an. Abbildung 1 Zum Versuch mit dem Faradaykäfig Versuch 3 Man versucht, aus dem Inneren eines geladenen Topfes mit einer Kugel Ladung auf ein weiteres, davon entferntes Elektrometer zu bringen. Das mißlingt, weil das Innere frei von Ladung und Feld ist. Von Außen geht es problemlos, am meisten Ladung sitzt besten an den Spitzen des Elektrometers. Abbildung 2 Versuch: Ladungstransport von einem Faradaykäfig 6.1.3 Der elektrische Fluß Die elektrische Feldstärke wird durch elektrische Ladungen erzeugt, sowie die Gravitationskraft durch Massen erzeugt wird. Mit dem Begriff des elektrischen Flusses und dem Satz von Gauß Ostrogradski kann aus der Messung der Feldstärken an mehreren Orten, z. B. an der Oberfläche des in Tabelle 1 gezeichneten Kastens, die Ladung lokalisiert und deren Betrag bestimmt werden. 4 Zur quantitativen Formulierung der Feldliniendichte wird eine skalare Größe, der elektrische Fluß definiert, in Analogie zur Volumenstromstärke für die Strömung einer Flüssigkeit. Der elektrische Fluß ist das Produkt aus einer Fläche A und der dort lokal senkrecht zur Fläche vorhandenen Komponente E der Feldstärke E , entsprechend dem Produkt Fläche A mal lokaler Fließgeschwindigkeit v bei der Flüssigkeit. Beliebige Feldstärken in beliebigen Richtungen Konstante Feldstärke E senkrecht zu A Geometrie: Fläche A Elektrischer Fluß E dA A E A Tabelle 3 Der elektrische Fluß 6.1.3.1 Der Satz von Gauß Ostrogradski Mit dem elektrische Fluß wird im Satz von Gauß Ostrogradski die Dichte der Feldlinien mit der Ladung verknüpft: Bei Integration über eine geschlossene Fläche zeigt der Fluß die „Bilanz“ der Feldlinien. Ist diese ungleich Null, dann befinden sich im umschlossenen Volumen Quellen oder Senken der Feldlinien, also positive oder negative Ladungen. Q>0 Q=0 Geometrie: Satz von Gauß Ostrogradski: Der Fluß aus einem Volumen zeigt die darin befindliche Ladung E dA 0 A Q E dA A 0 Mit dem Satz von Gauß Ostrogradski kann die Feldstärke quantitativ als Funktion der Ladung formuliert werden. Dazu wird der Fluß, als Funktion der Feldstärke, aus der Geometrie der Anordnung bestimmt. Nach Gauß Ostrogradski zeigt der Fluß aus einem Volumen unmittelbar die darin befindliche Ladung. Dieses Verfahren wird hier auf eine Punktladung und den Plattenkondensator angewandt. 5 6.1.3.2 Feldstärke einer Punktladung Die Feldstärke außerhalb einer geladenen Kugel ist gleich der einer in deren Mitte befindlichen Punktladung. Formel Erläuterung Feldstärke E , Flächenelement dA und Punktladung Q : E Q E dA 0 Oberfläche der Kugel dA Q E 4 r 2 E Q Folgt, weil die Feldstärke überall gleich ist und senkrecht zur Oberfläche steht 0 Q 4 0 r Feldstärke einer Punktladung, sie fällt mit 1 / r 2 ab 2 Tabelle 4 Herleitung der Feldstärke einer Punktladung 6.1.3.3 Feldstärke und Ladung im Plattenkondensator Im Plattenkondensator ist die Ladung homogen verteilt und die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht zur Ebene der Platten. Zur Berechnung des von der Ladung auf einer Platte erzeugten elektrischen Flusses legt man einen Zylinder beliebiger Größe um die Platte, mit Achse parallel zu den Feldlinien. Flächenladungsdi chte Fläche A Feldstärke E Abbildung 3 Volumina zur Berechnung des Flusses aus der negativ geladenen Platte eines Plattenkondensators 6 Das Ergebnis ist vom Querschnitt A des Zylinders unabhängig, wenn man die im Zylinder liegende Ladung Q mit Hilfe der Flächenladungsdichte formuliert. Das Resultat der Rechnung zeigt, daß die Feldstärke einer Platte proportional zur Ladungsdichte ist. Formel Q A Flächenladungsdichte E dA Zylinder E dA Deckel Anmerkung E dA Deckel E dA Mantel Boden E dA 2EA 2 E A Boden Q Die Zylinderachse liegt parallel zu den Feldlinien, deshalb gilt auf der Mantelfläche dAE , dieses Integral ist also Null, es bleiben die Anteile von Deckel und Boden Nach Gauß Ostrogradski zeigt der Fluß die eingeschlossene Ladung 0 2 EA E dA Elektrischer Fluß durch einen Zylinder Q 0 Q E 2 A 0 2 0 Beide Ausdrücke für gleichgesetzt: Die Feldstärke ist konstant und proportional zur Ladungsdichte Tabelle 5 Feldstärke des Plattenkondensators in Abhängigkeit von der Ladung 6.1.4 Elektrisches Potential Analog zur Mechanik wird jedem Punkt im Raum kann eine skalare Größe, sein elektrostatisches Potential , zugeordnet. Das Potential eines Ortes ist die Arbeit, die man verrichten muß, um eine Ladung vom Betrag 1 aus unendlicher Entfernung zu diesem Ort zu bringen. Umgekehrt kann man aus dem Potentialverlauf (r ) die vektorielle Feldstärke E errechnen. Diese Definition ist nur deshalb eindeutig, weil das elektrostatische Feld, wie das Gravitationsfeld, „konservativ“ ist: Die Überführungsarbeit ist unabhängig vom Weg. Äquivalent dazu ist die Aussage, daß auf geschlossenen Wegen keine Arbeit zu leisten oder zu gewinnen ist: Wegen der Wegunabhängigkeit kann man jeden Rundweg durch einen „unendlichen kleinen“ Weg ersetzen, d.h. man bleibt an Ort und Stelle. Im letzteren Fall wird offensichtlich keine Arbeit geleistet, also auch auf allen anderen Wegen. Je nach Lage der Feldlinien kann zwar auf manchen Teilstücken Arbeit zu leisten sein, diese wird aber auf anderen wieder gewonnen. Potentiale und ihre Gradienten sind an Landkarten mit Höhenlinien gut zu veranschaulichen. Orte auf gleicher Höhenlinie sind Orte gleichen Gravitationspotentials. Wanderungen zwischen Orten auf unterschiedlichen Höhenlinien erfordern mit Blick auf das Gravitationspotential nur die Arbeit W m g h zur Überwindung der Höhendifferenz h , unabhängig vom gewählten Weg. Besuche von Orten auf gleicher Höhe oder Rundwege kosten überhaupt keine Arbeit. Die Gradienten an jedem Ort zeigen die Richtung der größten Steigung: Fließendes Wasser folgt ihnen. Man erkennt diese Eigenschaft auch an den Bächen 7 im Kartenausschnitt: Sie verlaufen (fast) senkrecht zu den Höhenlinien. In völliger Analogie dazu verhält sich das elektrische Potential und die Richtung der Feldstärke. Letztere ist die Flußrichtung für die Ladungen. Elektrisches Potential el Überführungsarbeit Ladung Potential: el (r) E dr Mechanisches Potential, Gravitationspotential G Masse r r G (r) F dr Kraft E (r ) 1-dim. d el dr F (r ) E( x ) grad el 3-dim. Die Änderung der Potentiale zwischen zwei Punkten ist vom Weg unabhängig 2 F ( x ) grad G el 2 el1 E ds 1 2 pot 2 pot 1 F ds 1 Orte auf dem gleichen Leiter, z.B. auf einer Platte eines Kondensators Beispiele für Orte gleichen Potentials d G dr Orte auf der gleichen Höhenlinie pot1 el 1 pot 2 el 2 Tabelle 6 Elektrisches- und Gravitationspotential. Die Überführungsarbeit und die Kraft beziehen sich auf jeweils eine Einheit der Ladung bzw. der Masse. Ist die Feldstärke konstant, wie im Plattenkondensator, und die Gravitationskraft konstant, wie auf der Erdoberfläche, dann ändern sich die Potentiale mit der Entfernung von einer Platte bzw. der Zunahme der Höhe: Speziell: Konstante Feldstärke Konstante Gravitationskraft Feldstärke mal Weg in Richtung Gravitationskonstante mal der Feldstärke Höhenunterschied Änderung des Potentials el 2 el 1 E x pot 2 pot 1 g h 8 6.1.4.1 Die elektrische Spannung Die elektrische Spannung U ist die Überführungsarbeit einer Ladung vom Betrag 1 von einem Punkt zu einem anderen. Sie ist also gleich der Differenz zwischen den Potentialen beider Punkte. Formel Einheit U 12 el 2 el1 E ds Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten ist die elektrische Spannung 2 1V 1 Beispiel: Feldlinien, konstantes E el 1 el 2 Plattenkondensator x 0 Weil die Feldstärke konstant ist, gilt für das Potential bei x : Überführungsarbeit zwischen den beiden Platten Elektrische Spannung zwischen den Platten d el 2 elx E x W12 q el 2 el1 q E d W12 q U12 q E d U12 E d Tabelle 7 Potential, Feldstärke, Spannung und Vergleich zur Mechanik Das Potential eines Punktes ist als Überführungsarbeit einer Ladung von Betrag 1 aus unendlicher Entfernung bis zum Punkt definiert. Leiter sind Orte gleichen Potentials: Die beweglichen Ladungsträger folgen den Feldstärken, die bei Potentialdifferenzen auftreten und gleichen diese damit aus. Die Karte zeigt Höhenlinien als Beispiele für Äquipotentiallinien. Bäche z. B. folgen den Gradienten der Schwerkraft entlang der Oberfläche. Daß im Feld tatsächlich Arbeit verrichtet wird, erkennt man mit der Elektronenkanone: Versuch 4 Eine leitende Kugel wird von der Platte eines Kondensators aufgeladen und schießt dann durch den Feld erfüllten Raum In den folgenden Versuchen werden mit der Flammensonde die Potentialverläufe für unterschiedliche Aufbauten vermessen. . Die Flammensonde vermeidet die Aufladung der Sonde, Ladungen werden durch die Flamme abgeführt. 9 Versuch 5 Potentialverlauf zwischen den Platten eines Kondensators Versuch 6 Potentialverlauf im Inneren und Äußeren eines Faradaykäfigs Versuch 7 Potentialverlauf außerhalb einer geladenen Kugel. Die Feldstärke außerhalb einer geladenen Kugel ist gleich der einer Punktladung. Aus der Anwendung des Satzes von Gauß Ostrogradski folgt 6.1.5 Die Kapazität Es ist offensichtlich, daß die Spannungen von den Ladungen abhängen, weil Letzere die Quellen der Feldlinien sind. In beliebigen Anordnungen von Leitern ist die Ladung zur Spannung proportional. Formel C Q U Einheit 1F 1 Nm V2 Kapazität C Der Wert der Proportionalitätskonstanten C richtet sich nach der Geometrie der Anordnung. Für die geladene Kugel und den Plattenkondensator folgt: Punktladung Plattenkondensator Fläche A Geometrie Abstand d Abstand r Feldstärke E E Q 4 0 r E 2 r (r ) E ( s )ds Potential , Spannung U r (r ) Q 4 0 s 2 Q 4 0 r Leitende Kugel mit Radius R in „unendlicher“ Entfernung: Kapazität C C Q 4o R ( R) Tabelle 8 Kapazität einer Kugel und eines Plattenkondensators 2 0 A d U (r ) E ( s)ds 0 ds Q U C Q 2 0 A d Q 0 A U d 10 Versuch 8 Mit Kugeln unterschiedlichen Durchmessers transportiert man Ladungen von einer Hochspannungsquelle in einen Topf am Elektrometer. Die größte Kugel transportiert am meisten Ladung. Versuch 9 Die Platten eines geladenen Kondensators werden auseinandergezogen. Dadurch sinkt die Kapazität, die Spannung steigt. 6.1.5.1 Parallel- und Serienschaltung von Kondensatoren Werden Kondensatoren parallel geschaltet, dann liegt über allen Kondensatoren die gleiche Spannung, es addieren sich aber die Ladungen. Bei hintereinander („in Serie“) geschalteten Kondensatoren trägt jeder Kondensator die gleiche Ladung, dagegen addieren sich die Spannungen über den einzelnen Kondensatoren zur Gesamtspannung. Schaltung Parallel Hintereinander Gleiche Größe in allen Kondensatoren: U ges U 1 U 2 Qges Q1 Q2 Erhaltung: Q ges Q1 Q2 U ges U 1 U 2 Nach Division durch die gleiche Spannung bzw. Ladung folgt: U ges C ges U 1 C1 U 2 C 2 Gesamtkapazität C ges C1 C 2 Schema Q ges C ges Q1 Q2 C1 C 2 1 1 1 C ges C1 C 2 Tabelle 9 Schaltungen von Kondensatoren Versuch 10 Zunächst wird ein Kondensator auf und über eine Glühbirne entladen. Die Helligkeit des Aufleuchtens ist ein qualitatives Maß für die abfließende Ladung. Jetzt lädt man zwei hintereinander geschaltete Kondensatoren auf: Bei Entladung brennt die Birne schwächer. Der Versuch wird mit den beiden Kondensatoren parallel geschaltet wiederholt: Die Birne brennt am hellsten. 6.1.5.2 Die Kraft zwischen den Platten eines Kondensators Auf die Ladungen ½Q einer Platte eines Plattenkondensators wirkt durch das Feld E der anderen Platte eine Kraft, die ein Maß für die anliegende Spannung ist. 11 Formel 1 QE 2 Q C U U E d A C 0 d 0 A U 2 F 2d2 F Anmerkung Kraft auf die Ladungen einer Platte Gilt für den Plattenkondensator, eingesetzt folgt: Die Kraft auf die Platten eines Kondensators ist proportional zum Quadrat der Spannung Tabelle 10 Herleitung der Kraft auf die Platten eines Kondensators Torsionskraft Verstellung Schutzringkon densator Abbildung 4 Kirchhoffsche Waage. Das Gewicht der Kondensatorplatte ist austariert. Mit der Torsionsfeder wird die Kraft durch das Feld auf die geerdete Platte ausgeglichen, damit der Abstand im Kondensator konstant bleibt. Der geerdete Schutzring fängt das Streufeld ab. Versuch 11 Kirchhoffsche Potentialwaage. An der Waage „Herr Gugels Meisterstück“ hängt ein Ausschnitt einer Platte eines Kondensators. Der Kondensator wird mit voller und halbierter Spannung aufgeladen, die rücktreibende Kraft der Waage über einen Torsionsmechanismus nachgestellt, so daß die Platte jeweils in gleichem Abstand zur benachbarten bleibt. Bei halber Spannung geht die Kraft auf ¼ ihres Wertes bei voller Spannung zurück. Wird die Kraft überschritten, dann hebt die Platte nach oben ab: Der geringfügig größere Abstand verringert die Kraft auf die Platten. 6.1.6 Elektrische Feldenergie Beim Laden eines Kondensators muß elektrische Ladung entgegen der auf den Platten entstehenden Spannung auf die Platten transportiert werden. Zur Berechnung die Energie eines geladenen Kondensators geht man von der Spannung aus, die unmittelbar die Arbeit pro Ladung angibt. Weil sich mit zunehmender Ladung auch die Spannung ändert, stellt man die Arbeit als Integral der von der Ladung abhängigen Spannung nach der Ladung dar. 12 Formel dW U (Q) dQ Q U (Q ) C Q dW dQ C Q q 1 Q2 1 W dq C U 2 C 2 C 2 0 1 Q U 2 A C 0 d U Ed 0 A d 2 E2 1 2 W C U 2 2d V A d W 0 E2 V 2 Anmerkung Zuwachs der Energie bei Zunahme der Ladung, daraus folgt nach Integration: W Energie des geladenen Plattenkondensators Volumen des Kondensators Die Energiedichte im Plattenkondensator ist zum Quadrat der Feldstärke proportional Tabelle 11 Energie des geladenen Kondensators Versuch 12 Elektrostatisches Pendel: Eine Kugel „löffelt“ die Ladung in kleinen Portionen von einer Platte zur anderen: Man sieht die Abnahme der Spannung.
