STIMMEN ZUR LOGIK - uni

PS Einführung in die formale Logik (Wintersemester 2007/2008)
Handout zur Sitzung vom 22. Januar 2008
Prädikatenlogik der ersten Stufe: Die formalisierte Sprache  (nach B. MATES 21978, 65ff.)
8. Wahrheit von Aussagen in der Sprache 
Eine Aussage  der Sprache  ist wahr oder falsch im Hinblick auf eine Interpretation  von ;
d.h.:  ist dann und nur dann wahr bei der Interpretation , wenn   in eine wahre Aussage der
Metasprache umsetzt;  ist dann und nur dann falsch bei der Interpretation , wenn   in eine
falsche Aussage der Metasprache umsetzt.
Aussagen in der Sprache  (mit Ausnahme der gültigen Aussagen, siehe 6.) sind also nicht in
einem absoluten Sinn wahr oder falsch, sondern nur relativ zur jeweiligen Interpretation!
Beispiel:  =  x (Hx → Gx)
1:
B = die Menge aller Lebewesen
Hx = „x ist ein Wal“
Gx = „x ist ein Säugetier“
 nach 1: „Für alle Lebewesen gilt: Wenn ein Lebewesen ein Wal ist, dann ist es auch ein
Säugetier.“ (w)
2:
B = die Menge aller Lebewesen
Hx = „x ist ein Wal“
Gx = „x ist ein Fisch“
 nach 2: „Für alle Lebewesen gilt: Wenn ein Lebewesen ein Wal ist, dann ist es auch ein Fisch.“
(f)
9. Übersetzung der natürlichen Sprache in die Sprache 
Ratschlag von MATES (S. 97): „… wenn man eine Aussage der natürlichen Sprache in die
künstliche Sprache  übersetzen will, dann frage man sich als erstes, was diese Aussage der
natürlichen Sprache sagt, und dann bemühe man sich, eine Aussage von  zu finden, die relativ zu
einer Standardbeschreibung einer bestimmten Interpretation so weit wie möglich dasselbe besagt.“
Beispiele:
(1)
(2)
Aussage der nat. Sprache:
Jeder Einwohner des Auenlands ist ein Hobbit.
Standardbeschreibung:
Aussage der Sprache :
Für jedes x gilt: Wenn x E ist, dann ist x H.
 x (Ex → Hx)
Einige Hobbits sind mutig.
Es gibt einige x, für die gilt: x ist H und x ist M.
 x (Hx  Mx)
Bei Aussagen vom Typ (2) wäre die Übersetzung „ x (Hx → Mx)“ falsch, denn sie besagt nur
„Für einige x (z.B.: Bewohner Mittelerdes) gilt: „Wenn x ein Hobbit ist, dann ist x auch mutig“.
Diese Aussage enthält keine Behauptung darüber, ob es überhaupt Hobbits gibt, und kann daher
zugleich mit der Aussage „Es gibt keine Hobbits“ wahr sein
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Handout zur Sitzung vom 22. Januar 2008
(3)
Kein Hobbit ist ein Zwerg.
Es trifft nicht zu, dass es einige x gibt, für die gilt: x ist H und x ist Z.
¬  x (Hx  Zx)
oder: Auf alle x trifft zu: Wenn x H ist, dann ist x nicht Z.
 x (Hx → ¬ Zx)
(4)
Saruman ist verschlagener als jeder andere.
Für jedes x gilt: s steht in der Relation V („verschlagener als“) zu x.
 x Vsx
(5)
Es gibt keine größte Primzahl.
Für jedes x gilt: Wenn x P ist, dann gibt es ein y, für das gilt: y ist P und x steht zu y in der
Relation K („kleiner als“).
 x (Px →  y (Py  Kxy)
(6)
Der Geist ist willig, das Fleisch aber nicht.
a ist B und c ist nicht B.
Wg  ¬Wf
(7)
Wenn Aragorn bereit ist, wird Arwen ihn heiraten.
Wenn a B ist, dann steht c zu a in der Relation H.
Ba → Hca
(8)
Wenn Aragorn bereit ist, wird Arwen ihn heiraten, falls nicht jemand Einspruch erhebt.
Wenn a B ist, dann folgt daraus, dass daraus, dass es kein y gibt, das E ist, folgt, dass c zu
a in der Relation H steht.
Ba → (¬ y E y → Hca)
(9)
Wenn niemand Einspruch erhebt, wird Arwen Aragorn heiraten oder Sam wird zum
Bürgermeister gewählt werden.
Wenn es kein x gibt, das E ist, folgt daraus, dass c zu a in der Relation H steht oder dass e
B ist.
¬ x Ex → (Hca  Be)
(10)
Ein Weiser traut niemandem, der ein Freund von Saruman ist.
Für alle x und für alle y gilt: Wenn x W ist und y zu s in der Relation F steht, folgt daraus,
dass x zu y nicht in der Relation T steht.
 x  y (Wx  Fys → ¬ Txy)
(11)
Jeder hat einen Freund, der ihm das Leben retten wird, falls Gandalf nicht Einspruch
erhebt.
Für alle x gilt: Es gibt ein y, für das gilt: y steht zu x in der Relation F und wenn g nicht E
ist, steht y zu x in der Relation L.
 x  y Fyx  (¬ Eg → Lyx)
(12)
Nicht alle Menschen sind tapfer.
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Handout zur Sitzung vom 22. Januar 2008
Nicht für alle x gilt: Wenn x M ist, dann ist x T.
¬  x (Mx → Tx)
ÜBUNGEN:
1. Geben Sie jeweils eine Interpretation an, nach der die folgenden Aussagen der Sprache  wahr
bzw. falsch sind!
a)

=
 x (Hx ↔ Gx)
b)

=
 x  y Ryx
2. Übersetzen Sie die folgenden alltagssprachlichen Aussagen in Aussagen der Sprache  und
geben Sie dabei auch Standardbeschreibung sowie metasprachliche Variablen an!
a)
Morgenstund hat Gold im Mund.
b)
Es trifft nicht zu, dass alle Hobbits nicht mutig sind.
c)
Die Zeit und die Wellen warten auf niemanden.
d)
Es gibt keine kleinste negative Zahl.
e)
Jeder Mensch hat eine Mutter.
f)
Mutters Plätzchen sind die besten
g)
Wenn Aloysius die Logik-Klausur besteht, wird Arabella ihn erhören, falls ihre Mutter
nicht Plätzchen bäckt.
h)
Sooft Arabellas Mutter Plätzchen bäckt, ärgert sich Aloysius.
i)
Geduld ist die Mutter aller Plätzchen.
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