(0≤k≤n) P(AUB) = P(A)+P(B) für A = P(AUB) = P(A)+P(B)

(0≤k≤n)
=
P(AUB) = P(A)+P(B)
für A
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A
P(A|B) =
)
=
für A
für
, A und B – unabhängig
P(A)=
Ai).P(A/Ai)
P(A1)+…+P(An)=1
,
P(Ak/A)=
Ai Aj=
A=
i j
i
,1
=Ω , A
P( )=1-P(A); A
=
X-Zufallsvariable
FX(x)=P(X x) – Verteilungsfunktion
FX(x)=
x(xi)
f(xi)=P(X=xi)
X-stetige Zufallsvariable
Die Dichtefunktion fx(x):
(1)
x(x)dx=1;
P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)
P(a≤X≤b)=
x(x)dx
FX(x)=
fX(x)= FX(x)’
Erwartungswert E(X)=µ
E(X)=
i.fX(xi)
fur diskrete X
fX(xi)=P(X= xi)
EX=
. fX(x)dx fur stetige X
(2)fx(x)≥0
fX(x)-die Dichtefunktion von X
Varianz
VAR(X)=V(X)=
=E(X-E(x))2=E(X2)-(E(x))2
2
VAR(X)=
X-diskret
VAR(X)=
X-stetig
Standartabweichung
=
Eigenschaften des Erwartungswertes
1)E(C)=C
2)E(C.X)=C.E(X)
3)E(X+Y)=EX+EY
4)E
=
=
)
5)E(X.Y)=E(X).E(Y)
X,Y-unabhängig
Eigenschaften der Varianz
1)V(X)≥0
2)V(C)=0
3)V(C.X)=
C=const
,
C=const
4)(X+Y)=V(X)+V(Y),
X,Y unabhängig
Momente um Null
Diskreten Fall
Stetigen Fall
E(
E(
)=
)=
dx
Zentralle Momente
Diskreten Fall
=   xi  E ( x )  . f ( xi )
k
i

Stetigen Fall
E(x-E(x))k=  ( x  E ( x)) k . f x ( x)dx

=
x

Standartizierte Zufallsvariable
EX
Schiefe von X
E(
) = f(x)
Binominalverteilung Bin(n;p)
P(x=k) = f (x=k) = C nk . p k .(1  p) n  k
 n  n(n  1)( n  2)...( n  k  1)
n!
C nk    

k!
k!(n  k )!
k 
EX=n.p
VAR(X)=n.p.(1-p)
p=P(a)
Geometrishe Verteilung
P(X=k)=(1-p)k-1.p
1
E(x)= p
1− p
VAR(x)= p 2
Poissonverteilung
P(X=k) =
k
k!
e 
EX=λ (μ=λ)=VAR(x)
Hypergeometrische Verteilung
 M  N  M 
 

k  n  k  C M k .C N  M nk

P(X=k) =
=
n
N
CN
 
n 
E(X) = n.
M
N
VAR(X) =
n( N  n) M  M 
.
.1  
N 1
N 
N
Gleichverteilung
 1
,a  x  b

f X (x) =  b  a
0, sonst
E(X)=
V(x) =
ab
2
b  a 2
12
Exponentialverteilung:
f X x  
 
  e   x , x  0,   0
0, sonst
1

VAR( X ) 
1
2
Normalverteilung (Gauss-Verteilung):
f X x  
1
  2
e

( x )2
2 2
, x  (, )
  
VAR X    2
a X  b
a Z  b
Pa  X  b   P




  P


 

 
 
 
Z ~ N 0;1
Tabelle:
Verteilung:
Bin(n;p)
Po(λ)
Hyp(M,N,n)
G(p)
U(a,b)
Erwartungswert:
n p

n
Varianz:
n  p1  p 

M
N
1
p
ab
2
n
 N  n   M 1  M 
N 1
1 p
p2
b  a 2
12

N

N
Exp(λ)
1
1
N(μ,σ)


2
2
Zweidimensionale Zufallsvariablen:
(X, Y)
f XY  xi , y j   PX  xi  Y  y j 
1 f xi , y j   0
2 f xi , y j   1
i
j
Die Dichtefunktion: f XY x, y 
 
  f x, y dxdy  1
  
f x, y   0
Marginale Verteilung:
f X xi    f xi , y j 
j
f Y y j    f xi , y j 
- diskreter Fall
i
f X x  

 f x, y dy

fY  y 

 f x, y dx

- stetige Funktion
X und Y – stochastische unabhängig, wenn:
f (xi, yj) = fx (xi) . fy (yj) – diskret
f (x, y) = fx (x) . fy (y) – stetig
Kovarianz: cov (x, y)
cov  x, y   E [(X – E  x  .  Y – E  y  
cov  x, y   i  j  x i – E  x   .  y j  E  y   . f  x i , y j 
cov  x, y        x – E  x   .  y  E  y   . f  x, y . dxdy
Korrelationskoeffizient von x und y:
s ( x, y ) 
cov( x, y )
var( x).var( y )
wenn s (x,y) = 0 , dann x und y sind unkorreliere
s (x,y) ≠ 0 , dann x und y sind korreliere
Deskriptive Statistik
X: (x1, x2, ..., xn) – Stichprobe
hx (xi) – absolute Häufigkeit von xi
1
f x  x i   .h x  x i  - relative Häufigkeit
n
Fx  x  
 f  x  – statistische Verteilungsfunktion
i:xi  x
i
Statistische Maßzahlen
1 n
x  . xi - das Stichprobemittel
n i 1

1 n
S 
. xi  x
n  1 i 1
2
X

2
- die Stichproben – Varianz
s x  S x2 - die Stichproben – Standardabweichung


x   x1 , x 2 ,...., x n  - die geordnete Stichprobe zu X








  x n 1

, falls n - ungerade
x̃
 2

 1


 2  x n   x n 1 , falls n - gerade 
  2 2  

x̃– der Stichproben – Median
Sei α  (0,1) und K = [n. α]
 x k 1 , falls n.  N 


x   1

 x k   x k 1 , sonst 
2



– das Stichproben –
- das untere Quartil
- Quantil ( [-0,5] = -1; [3] = 3; [1,2] = 1)
- das obere Quartil
-
-
– Quartilabstand
- Spannweite
Zweidimensionale Daten
Lineare Regression
(X,Y) : ((
-
,Y1), (
,Y2),...(Xn,Yn))
Stichprobe:
y = a + b.x
=
=
–
= E(Y)
=




= .
1 n
. xi  x
n  1 i 1
= .
1 n
. y i  y
n  1 i 1
2
2
.
= E(X)
=
;
=
- Empirischer Korrelationskoeffizient
y= a + bx
=
.
;
1 n
 xi ;
n i 1
=
-
1 n
 yi
n i 1
=
Punkt-Schätzung.Die Momenten Methode.Die Maximum - Likelihood - Methode.
1.Momenten - Methode
Schätzer
Stichprobenmittel
µ - Erwartungswert (EX)
µ̃=x̄
Varianz
VAR(X)
x̄
Stichprobenvarianz
S2 (x)
2.Die Maximum – Likelihood - Methode
n
L((x1,x2...xn),Ѳ)=
 f ( x , )
c
i 1
M= ln L(x1,x2,…xn,Ѳ).
Mmax→Ѳ̃
M̒(Ѳ)=0 , d.h. Ѳ̃
M˝(Ѳ̃)<0 , d.h. max
Konfidenzintervall
P(µu≤µ≤µo)=1-α
1. σ-unbekannt
X~N(µ,σ)
<0,05
P( x̄ - t.
µu= x̄ - t.
s
n 1
   x  t.
s
n 1
s
n 1
)=1-α
s
n 1
µo= x̄ + t.
2.σ-bekannt
P(µu≤µ≤µo)=1-α
µu=x̄ - z.
µo=x̄ + z.
(z aus der Tabelle)
3.σ-unbekannt
≥0,05
P(µu≤µ≤µo)=1-α
µu=x̄ - t.
.
;
µ0=x̄ + t.
.
t , z-aus der Tabelle
Konfidenzintervalle fuer die Varianz
χ ~N(ϻ,σ) (naeherungsweise)
P( σu2  σ 2  σo2)=1-α, σu2=(n.S2)/ χo2, σo2=(n.S2)/ χu2
χo2= χ2(1- α/2;n-1) , χu2= χ2(1- α;n-1) , χ2 aus Tabele der χ2-verteilung
Statistische Tests
der χ2 -Anpassungstest
Ho:Fx(x)=Fo(x) gegen H1:Fx(x)=Fo(x)
1) Testgroesse χ∗2=∑i=1k((ni-n*pi)2/ (n*pi))
pi=P(X=xi)
2)Co= χ2(1- α,k-r-1) ,0< α<1
3) χ∗2 > Co =>Ho abgelehnt.
χ∗2 < Co =>Nullhypothese(Ho) kann nicht abgelehnt werden