formeln

=
(0≤k≤n)
P(AUB) = P(A)+P(B) für A  B =
P(AUB) = P(A) + P(B) - P( A  B ) für A  B ≠
P(A|B) =
für
, A und B – unabhängig
P(A)=
Ai).P(A/Ai)
P(A1)+…+P(An)=1
,
P(Ak/A)=
Ai Aj=
A=
i j
i
,1
=Ω , A
P( )=1-P(A); A
=
X-Zufallsvariable
FX(x)=P(X x) – Verteilungsfunktion
FX(x)=
x(xi)
f(xi)=P(X=xi)
X-stetige Zufallsvariable
Die Dichtefunktion fx(x):
(1)
(2)fx(x)≥0
x(x)dx=1;
P(a≤X≤b)=F(b)-F(a)
P(a≤X≤b)=
x(x)dx
FX(x)=
fX(x)= FX(x)’
Erwartungswert E(X)=µ
E(X)=
i.fX(xi)
fur diskrete X
fX(xi)=P(X= xi)
EX=
. fX(x)dx fur stetige X
fX(x)-die Dichtefunktion von X
Varianz
VAR(X)=V(X)=
=E(X-E(x))2=E(X2)-(E(x))2
2
VAR(X)=
VAR(X)=
X-diskret
X-stetig
Standartabweichung
=
Eigenschaften des Erwartungswertes
1)E(C)=C
2)E(C.X)=C.E(X)
5)E(X.Y)=E(X).E(Y)
3)E(X+Y)=EX+EY
4)E
=
=
)
X,Y-unabhängig
Eigenschaften der Varianz
1)V(X)≥0
unabhängig
2)V(C)=0, C=const ,3)V(C.X)=
, C=const
4)V(X+Y)=V(X)+V(Y),
Momente um Null
n
E(xk)=  xik . f ( xi )
Diskreten Fall
i 0

E(x )=  x k . f ( xi ) dx
k
Stetigen Fall

Zentralle Momente
E ( X  E ( x)) k =   xi  E ( x)  . f ( xi )
k
Diskreten Fall
i

E(x-E(x)) =  ( x  E ( x)) k . f x ( x)dx
k
Stetigen Fall

=
x

Standartizierte Zufallsvariable
EX
Schiefe von X
E(
) = f(x)
Binominalverteilung Bin(n;p)
P(x=k) = f (x=k) = C nk . p k .(1  p) n  k
 n  n(n  1)( n  2)...( n  k  1)
n!
C nk    

k!
k!(n  k )!
k 
EX=n.p
VAR(X)=n.p.(1-p)
p=P(a)
np+ p−1≤ k0 ≤ np+ p (k0=M0)
Geometrishe Verteilung
P(X=k)=(1-p)k-1.p
1
E(x)= p
1− p
VAR(x)= p 2
X,Y
Poissonverteilung
P(X=k) =
k
k!
e  EX=λ (μ=λ)=VAR(x)
λ=n.p / λ=a.t
Hypergeometrische Verteilung
 M  N  M 
 

k  n  k  C Mk .C Nn kM

P(X=k) =
=
C Nn
N
 
n 
E(X) = n.
M
n( N  n) M  M 
.
.1  
VAR(X) =
N
N 1
N 
N
Gleichverteilung
 1
,a  x  b
b  a 2
ab

f X (x) =  b  a
E(X)=
V(x) =
2
12
0, sonst
Exponentialverteilung:
f X x  
  e   x , x  0,   0
0, sonst
 
1

VAR( X ) 
1
2
Normalverteilung (Gauss-Verteilung):
f X x  
1
  2
e

( x )2
2 2
, x  (, )
   ; VAR X    2
a X  b
a Z  b
Pa  X  b   P




  P


 

 
 
 
Z ~ N 0;1
Tabelle:
Verteilung:
Bin(n;p)
Po(λ)
Hyp(M,N,n)
Erwartungswert:
n p
Varianz:
n  p1  p 

n
G(p)

M
N
n
N 1
1 p
p2
1
p
ab
2
1


U(a,b)
Exp(λ)
N(μ,σ)
 N  n   M 1  M 

N

N
b  a 2
12
1
2
2
Zweidimensionale Zufallsvariablen:
(X, Y)
f XY  xi , y j   PX  xi  Y  y j 
1 f xi , y j   0
2 f xi , y j   1
i
j
Die Dichtefunktion: f XY x, y 
 
  f x, y dxdy  1
  
f x, y   0
Marginale Verteilung:
f X xi    f xi , y j 
j
f Y y j    f xi , y j 
f X x  
 f x, y dy

- diskreter Fall
i

fY  y 

 f x, y dx

X und Y – stochastische unabhängig, wenn:
f (xi, yj) = fx (xi) . fy (yj) – diskret
f (x, y) = fx (x) . fy (y) – stetig
- stetige Funktion
Kovarianz: cov (x, y)
cov  x, y   E [(X – E  x  .  Y – E  y  
cov  x, y   i  j  x i – E  x   .  y j  E  y   . f  x i , y j 
cov  x, y        x – E  x   .  y  E  y   . f  x, y . dxdy
Korrelationskoeffizient von x und y:
s ( x, y ) 
cov( x, y )
wenn s (x,y) = 0 , dann x und y sind unkorreliere
var( x).var( y )
s (x,y) ≠ 0 , dann x und y sind korreliere
Deskriptive Statistik
X: (x1, x2, ..., xn) – Stichprobe
hx (xi) – absolute Häufigkeit von xi
1
f x  x i   .h x  x i  - relative Häufigkeit
n
Fx  x  
 f  x  – statistische Verteilungsfunktion
i:xi  x
i
Statistische Maßzahlen
1 n
x  . xi - das Stichprobemittel
n i 1

1 n
S 
. xi  x
n  1 i 1
2
X


2
- die Stichproben – Varianz

s x  S x2 - die Stichproben – Standardabweichung x   x1 , x 2 ,...., x n - die geordnete Stichprobe zu X








  x n 1
 x– der Stichproben – Median
, falls n - ungerade
x̃
2

 ̃
 1


 2  x n   x n 1 , falls n - gerade 
  2 2  

Sei α  (0,1) und K = [n. α]
 x k 1 , falls n.  N 


x   1

 x k   x k 1 , sonst 
2



– das Stichproben –
- Quantil ( [-0,5] = -1; [3] = 3; [1,2] = 1)
- das untere Quartil
- das obere Quartil
– Quartilabstand
-
-
- Spannweite
Zweidimensionale Daten
Lineare Regression
(X,Y) : ((
-
,Y1), (
,Y2),...(Xn,Yn))
Stichprobe:
y = a + b.x
=
=
–
.
= E(Y)
=
= .
=

1 n
. xi  x
n  1 i 1
;
=

2
= .

1 n
. y i  y
n  1 i 1

2
- Empirischer Korrelationskoeffizient
= E(X)
y= a + bx
=
.
;
=
1 n
 xi ;
n i 1
-
1 n
 yi
n i 1
=
Punkt-Schätzung.Die Momenten Methode.Die Maximum - Likelihood - Methode.
1.Momenten - Methode
Schätzer
Stichprobenmittel
µ - Erwartungswert (EX)
µ̃=x̄
Varianz
x̄
Stichprobenvarianz
VAR(X)
S2 (x)
2.Die Maximum – Likelihood - Methode
n
 f ( x , )
L((x1,x2...xn),Ѳ)=
c
i 1
M= ln L(x1,x2,…xn,Ѳ).
Mmax→Ѳ̃
M̒(Ѳ)=0 , d.h. Ѳ̃
M˝(Ѳ̃)<0 , d.h. max
Konfidenzintervall
P(µu≤µ≤µo)=1-α X~N(µ,σ)
1. σ-unbekannt,
P( x̄ - t.
s
n 1
2.σ-bekannt
n
<0,05
N
   x  t.
s
n 1
)=1-α
µu= x̄ - t.
s
;
n 1
µo= x̄ + t.
n
<0,05
N
P(µu≤µ≤µo)=1-α ;
µu=x̄ - z.

n
µo=x̄ + z.

n
(z aus der Tabelle)
s
n 1
3.σ-unbekannt
n
 0,05
N
P(µu≤µ≤µo)=1-α µu=x̄ - t.
s
n 1
.
N n
;
N
µ0=x̄ + t.
s
n 1
.
N n
N
t , z-aus der Tabelle
Konfidenzintervalle fuer die Varianz
χ ~N(μ,σ) (naeherungsweise)
P( σu2  σ 2  σo2)=1-α, σu2=(n.S2)/ χo2, σo2=(n.S2)/ χu2
χo2= χ2(1- α/2;n-1) , χu2= χ2(1- α;n-1) , χ2 aus Tabele der χ2-verteilung
Statistische Tests
der χ2 -Anpassungstest
Ho:Fx(x)=Fo(x) gegen H1:Fx(x)≠Fo(x)
k
ni  n. pi 2
i 1
n. pi
1) Testgroesse  2  
pi=P(X=xi)
2) Co= χ2(1-α, k-r-1) ,0< α<1
3) χ2 > Co =>Ho abgelehnt.
χ∗2 < Co =>Nullhypothese(Ho) kann nicht abgelehnt werden