Das Dreieck - Mathematik

Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Institut für Mathematik
WS 2005/2006
Seminar zur Geometrie
Dozent: PD. Dr. Epkenhans
Thema: Das Dreieck
(nach Koecher, Krieg (2000): Ebene Geometrie, 2.Auflage, Berlin, Springer-Verlag)
Verfasserinnen:
Julia Grote
Alexandra Noltmann
Matrikel-Nr.: 6236648
Matrikel-Nr.: 6262454
5. Semester
5. Semester
LGG
LGG
[email protected]
[email protected]
Tel.: 02942/6276
Tel.: 05281/10909
§11
Das Dreieck
Unter einem Dreieck soll hier wie in II.3.11 ein geordnetes, nicht kollineares Tripel
a, b, c  E verstanden werden. Die Punkte a, b, c heißen die Eckpunkte oder Ecken des
Dreiecks. Nach dem Drei – Punkte – Kriterium (II.1.6) gilt dann stets a, b, c  0 . Man
zeichnet ein Dreieck meist so, dass die Ecken a, b, c gegensinnig zum Uhrzeigersinn
um einen inneren Punkt laufen. Dies ist genau dann der Fall, wenn a, b, c  0 . Man
nennt die Geraden a  b, b  c, c  a die Seiten und b  a , c  b , a  c die Seitenlängen
des Dreiecks.
1 Der Strahlensatz
1.1 Strahlensatz:
Seien a, a’, b, b’   mit a – p, b – p   linear unabhängig, dann sind äquivalent:
i)
G und G’ sind parallel
ii)
Es gibt ein    mit a’ – p =  * a  p  und b’ – p =  * b  p 
Dann gilt: (  )
a' p
a p

b' p
b p

b'a'
ba
Beweis:
Die Äquivalenz von i) und ii) gilt nach dem Allgemeinen Strahlensatz (s. Kapitel I 7.2).
Durch Umstellen der Gleichung in ii) sind in (  ) alle Quotienten gleich  und können
somit gleichgesetzt werden.
1
Die Kapitelangaben sind hier und im Folgenden aus dem Buch von Koecher, Krieg: Ebene Geometrie
entnommen
2
1.2 Bemerkungen:
-
Der Strahlensatz kann auch als Aussage über ähnliche Dreiecke aufgefasst
werden.
-

 b  c  
 folgt die Äquivalenz des
Mit Hilfe des Geradenmaßes  abc 





c

a


Strahlensatzes zu apa’ = bpb’.
1.3 Schulbezug:
Der Strahlensatz wird in ebenfalls in der Schule in der Jahrgangsstufe 7 behandelt. Er
wird dort jedoch in den 1. und 2. Strahlensatz aufgeteilt, um den Schüler die
Verhältnisse der Strecken zueinander schrittweise zu vermitteln.
2 Geradengleichung
Bekannt: Ga ,u := a  u :   : = a +  u mit a  E, u  0, u  E.
2.1 Definition (Geradengleichung):
Durch H c , := x  E : c, x    für 0  c  E ,    werden ebenfalls Geraden
beschrieben.
2.2 Bemerkung:
- H c , steht senkrecht auf c bzw.  c. c bzw.  c wird daher auch Normale von H c ,
genannt
- H c ,  G a ,u , wenn gilt:
a) u = c  und jedes a  H c , .
b) c  u  und   u  , a .
2.3 Korollar:
Jede Gerade G in E besitzt eine Darstellung G = H c , mit c  E, c  1und   
mit   0 , dann gilt:
-
 ist eindeutig bestimmt.
3
-
mit   0 ist auch c eindeutig bestimmt.
-
mit   0 ist  ceindeutig bestimmt.
2.4 Schnittpunktformeln zweier nicht-paralleler Geraden:
Bekannt (II.1.4 (2)): Ga ,u  Gb,v 
1
b, vu  a, u v 
u, v
Des Weiteren gilt:
H c ,  H d , 


1
c   d  und
c, d 
Ga ,u  H c ,  a 
  a, c
u, c
u
2.5 Schulbezug:
Die Darstellung der Geraden wird in der Sekundarstufe I in vereinfachter Form
eingeführt, erst in der Sekundarstufe II wird diese Darstellung konkretisiert und die
Darstellung in Hesse’scher Normalform behandelt. Die Schnittpunktformeln werden in
dieser Form in der Schule nicht thematisiert, stattdessen werden aber die Schnittpunkte
zweier Geraden in der Sekundarstufe I und II durch Gegenüberstellung in einer
Gleichung arithmetisch berechnet.
3 Abstand eines Punktes von einer Geraden:
3.1 Satz:
Der Abstand d(p,G) des Punktes p   von der Geraden G =H c , mit c   und   
wird im Fußpunkt q  G (  ) des Lotes von p auf G angenommen und es gilt:
d(p, G) = p  q 
c, p  
c
3.2 Satz über die Hesse’sche Normalform:
Schreibt man eine Gerade H c , in Hesse’scher Normalform c, x   mit c = 1
und   0 , dann ist der Abstand eines Punktes p   von H c , gleich c, p   .
4
3.3 Bemerkung:
Der Ursprung 0 hat von der Geraden H c , den Abstand  .
3.5 Schulbezug:
Die Formel zur Berechnung des Abstandes und die Hesse’sche Normalform werden in
dieser Form in der Sekundarstufe II behandelt.
4 Mittelsenkrechte im Dreieck
4.1 Definition:
Sei a, b, c  E ein Dreieck. Die Gerade durch die Seitenmitte, die senkrecht auf a  b
steht, heißt Mittelsenkrechte von a und b, also


1
M a ,b :  x  E : x  a  b , a  b  0  H 1
 G1
.
a b ,  a ²  b ² 
 a  b , a b 
2


2
2
M b ,c und M c ,a analog.
4.2 Satz:
In einem Dreieck a, b, c  E schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt
m : mabc :


1
 b ²  c ² a    c ²  a ² b    a ²  b ² c  .
2a, b, c
5
Beweis:
M a ,b  H
M b ,c  H
M c ,a  H
a b ,
1
 a ² b ² 
2
b c ,
1
 b ² c ² 
2
ca,
1
 c ² a ² 
2
H
a c ,
1
 a ² c ² 
2
 M c ,a
 M a ,c  M b ,c
H
a c ,
1
 a ² c ² 
2
H
b c ,
1
 b ² c ² 
2
1
1
1


   b ²  c ² a  c    a ²  c ² b  c  
a  c, b  c  2
2

( I .5.1)
1

  b ²  c ² a    b ²  c ² c    a ²  c ² b    a ²  c ² c 
2a, b, c 
1
2
2

  b ²  c ² a   a  c b    b ²  c ² c    a ²  c ² c 
2a, b, c 
1

  b ²  c ² a    a ²  c ² b    b ²  c ²  a ²  c ² c 
2a, b, c 
1

  b ²  c ² a    a ²  c ² b    b ²  a ² c 
2a, b, c 
 mabc
( III .2.2 ( 4 ))












m
Analog: M a ,b  M c ,b  mabc und M b ,a  M c ,a  mabc .
(Anders ausgedrückt: Bei zyklischer Vertauschung von a, b, c ändert sich das Ergebnis
von m nicht.) Also ist m der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten im Dreieck.
4.3 Schulbezug:
Das Thema Mittelsenkrechten in einem Dreieck wird in der Sekundarstufe I
geometrisch behandelt und in den meisten Fällen ohne Beweis. In der Sekundarstufe II
wird dieses Thema im Bereich ‚Analytische Geometrie’ wieder aufgegriffen.
6
5 Höhen im Dreieck
5.1 Definition:
Sei a, b, c  E ein Dreieck, dann bezeichnet die Gerade durch a, die senkrecht auf b v c
steht, die Höhe durch a und ist gleich Ga ,u mit u : c  b  , bzw. H c b ,

mit  : c  b, a .
Also ergibt sich für die Höhe durch a: H a : H cb, cb,a .
Analog gilt für die Höhe durch b: H b : H ac, ac,b
und für die Höhe durch c: H c : H ba, ba,c .
5.2 Satz vom Höhenschnittpunkt:
Die Höhen eines Dreiecks a, b, c  E schneiden sich in einem Punkt
h : habc :


1
 a, b  c a   b, c  a b   c, a  b c  .
a, b, c
Beweis:
H a : H c b , c b ,a
H b : H a c , a c ,b
H c : H b  a , b  a ,c
7
Ha  Hb
 H c  b , c  b , a  H a  c , a  c ,b


1


 a  c, b  c  b   c  b, a  a  c 
c  b, a  c
1

 a  c , b  c   a  c , b  b   c  b, a  a   c  b , a  c 
 a  c, c  b
1

   (b  c), a  a    (c  a ), b  b   ( a  c, b  c  b, a )  c 
 a  c,b  c 
1

 b  c , a  a   c  a , b  b    a , b  c , b  c , a  b, a   c 
a  c, b  c
II .1.6 (1)
1

 a, b  c  a   b, c  a  b    c, a  c, b   c 
a, b, c
1

 a , b  c  a   b, c  a  b   c , a  b  c 
a, b, c
 habc











h
Analog H ac, ac,b  H ba, ba,c und H ba, ba,c  H cb, cb,a .
(Anders ausgedrückt: Bei zyklischer Vertauschung von a, b, c ändert sich das Ergebnis
von h nicht). Also ist h der Schnittpunkt der drei Höhen im Dreieck.
5.3 Bemerkung:
Sei a ,b ,c  E ein Dreieck,  : ba ,c a 0     .
Dann ist der Flächeninhalt des Dreiecks a, b, c gegeben durch
 :
1
1
 a, b, c    b  a  c  a  sin  .
2
2
5.4 Schulbezug:
Das Thema Höhen in einem Dreieck wird in der Sekundarstufe I geometrisch behandelt
und in den meisten Fällen der Höhenschnittpunktsatz ohne Behandlung eines Beweises.
In der Sekundarstufe II wird dieses Thema nicht mehr wieder aufgegriffen. Der
Flächeninhalt eines Dreiecks wird in der Schule mit Hilfe der Formel A 
1
g *h
2
berechnet. Hierdurch wird in der Schule die oben genannte Formel vereinfacht und sich
auf den rechten Winkel zwischen Grundfläche und Höhe beschränkt.
8
6. Rechtwinklige Dreiecke:
6.1 Satz:
Sei a, b, c   ein Dreieck. Die Höhe durch c schneide die Gerade a v b im Punkt d.
Dann sind äquivalent:
i) 
a  c ,b  c
ii) a  b
=

2
= bc
2
2
+ ca
2
iii) c  d
2
= a  d * b  d und a  b  a  d  d  b (Höhensatz)
iv) b  c
2
= b  a * b  d und a  c
2
= a  b * a  d (Kathetensatz)
v) Der Flächeninhalt des Dreiecks a, b, c ist
1
* ac * bc
2
vi) Der Höhenschnittpunkt h des Dreiecks a, b, c ist c.
1
vii) Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist m = * a  b  .
2
Beweis:
Seien A : b  c , B : c  a , C : a  b , Q : a  d , P : b  d , H : c  d
und    a c ,b c . Da a, b, d kollinear sind, gilt:
(1) P+Q = C oder P+C = Q oder Q+C = P
Nach Kapitel III 1.4 (Pythagoras für die Teildreiecke b, d, c und a, d, c) gilt:
(2) A2  H 2  P 2 und B 2  H 2  Q 2
(i)  (ii):
Das ist der Satz des Pythagoras für das Dreieck a, b, c.
9
(ii)  (iii):
Es gilt, dass C 2  A 2  B 2 , sowie (1) und (2).
2
2
2 * H 2  P2  Q2  
H

P
H 2  Q2




2
A
B2
( 2)
 A2  B 2
( ii )
 C2
(i )
 P  Q 
2
2 * H 2  P 2  Q 2  P 2  Q 2  2 * PQ

2 * H 2  2PQ
H 2   PQ
Da H 2  0 folgt H 2  PQ und damit auch C  P  Q
(iii)  (iv):
Es gilt, dass H 2  PQ und (2).
( 2)
A2  H 2  P 2
( iii)
 PQ  P 2
 P * Q  P
( iii)
 P *C
( 2)
B2  H 2  Q2
( iii)
 PQ  Q 2
 Q * P  Q
( iii)
 Q *C
(iv)  (ii):
Es gilt, dass A 2  P * C und B 2  Q * C
 A2  B 2  P * C  Q * C
 P  Q * C
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Widerspruchsbeweis:
I
Es sei C  Q  P .
 A 2  B 2  P  Q  * C .
 P  Q * Q  P
 Q2  P2

A2  Q 2  P 2  B 2

A2  Q 2  P 2  H 2  Q 2

A2   P 2  H 2


Nach Voraussetzung ist aber A2  P 2  H 2 , somit ist das ein Widerspruch und es folgt,
dass C  Q  P .
II
Es sei C  P  Q .
 A 2  B 2  P  Q  * C
 P  Q * P  Q
 Q 2  P 2

B 2  Q 2  P 2  A 2

B 2  Q 2  P 2  H 2  P 2

B 2  Q 2  H 2

B2   Q2  H 2




Nach Voraussetzung ist aber B 2  H 2  Q 2 , somit ist das ein Widerspruch und es folgt,
dass C  P  Q .
(1)
C  P  Q
(i)  (v):
Nach (5.2) ist der Flächeninhalt des Dreiecks a, b, c gegeben durch
1
1
*  b  c * c  a  * sin   * A * B * sin 
2
2
Wegen 0     folgt sin   1   

.
2
i)  vi)  vii):
Alle drei Aussagen bedeuten, dass a v b und b v c orthogonal sind.
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6.2 Schulbezug:
Alle genannten Sätze werden in der Schule vor allem in der Sek. I behandelt und in
vereinfachter Form dargestellt. Jeder Satz wird einzeln behandelt (jeweils in einem
rechtwinkligen Dreieck) und die Bezüge zueinander hintereinander vermittelt/
behandelt.
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