Sinus und Kosinus – Wikipedia

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Sinus und Kosinus
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Sinus, Kosinus und Cosinus sind Weiterleitungen auf diesen Artikel. Zu weiteren
Bedeutungen siehe Sinus (Begriffsklärung), Kosinus (Begriffsklärung) und Cosinus
(Begriffsklärung).
Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische
Funktionen. Vor Tangens und Kotangens, Sekans und Kosekans bilden sie die wichtigsten
trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für
Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der
Analysis sind sie wichtig.
Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als aus
Sinus- und Kosinuswellen zusammengesetzt beschreiben, sodass die Funktionen auch in der
Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.
Graphen der Sinusfunktion (rot) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind 2πperiodisch und nehmen Werte von −1 bis 1 an.
Inhaltsverzeichnis




1 Herkunft des Namens
2 Geometrische Definition
o 2.1 Definition am rechtwinkligen Dreieck
o 2.2 Definition am Einheitskreis
3 Analytische Definition
o 3.1 Motivation durch Taylorreihen
o 3.2 Reihenentwicklung in der Analysis
o 3.3 Beziehung zur Exponentialfunktion
o 3.4 Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge
o 3.5 Definition als Lösung einer Funktionalgleichung
o 3.6 Produktentwicklung
4 Wertebereich und spezielle Funktionswerte
o 4.1 Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus
o
o
o
o
o
o











4.2 Verlauf des Sinus in den vier Quadranten
4.3 Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten
4.4 Komplexes Argument
4.5 Wichtige Funktionswerte
4.6 Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte
4.7 Fixpunkte
5 Berechnung
6 Umkehrfunktion
7 Zusammenhang mit dem Skalarprodukt
8 Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt
9 Additionstheoreme
10 Ableitung und Integration von Sinus und Kosinus
o 10.1 Ableitung
o 10.2 Stammfunktion
11 Anwendungen
o 11.1 Geometrische Anwendungen
o 11.2 Fourierreihen
o 11.3 Physikalische Anwendungen
o 11.4 Elektrotechnische Anwendungen
12 Siehe auch
13 Literatur
14 Weblinks
15 Einzelnachweise
Herkunft des Namens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die lateinische Bezeichnung „Sinus“ „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen
Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175[1] als Übersetzung der arabischen Bezeichnung „gaib
oder jiba“ (‫„ )ج يب‬Tasche, Kleiderfalte“, selbst entlehnt von Sanskrit „jiva“ „Bogensehne“
indischer Mathematiker.
Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus complementi sinus, also Sinus des
Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen
trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler
Regiomontanus erstellt wurden.[2]
Geometrische Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Definition am rechtwinkligen Dreieck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dreieck mit einem rechten Winkel in C. (Benennung von An- und Gegenkathete unter der
Annahme, dass α der betrachtete Winkel ist.)
Alle ebenen, zueinander ähnlichen Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche
Längenverhältnisse der Seiten.
Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen.
Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die Maße
von Winkeln und die Längen von Seiten berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im
rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.
Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur abhängig vom Maß
der beiden spitzen Winkel. Da aber das Maß eines dieser Winkel das Maß des anderen Winkels
bereits festlegt (die Winkelsumme der beiden spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck beträgt
stets 90°), hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur vom Maß eines der
beiden spitzen Winkel ab.
Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie
folgt definiert:
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem
Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).
Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel
des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.
Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abb.) gilt hier:
rechtwinkliges Dreieck ABC
Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks bezeichnet (denn sie liegt dem größten
Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), bestehen die Ungleichungen
und
.
Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide
Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β und die Gegenkathete
von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt
und
Da im rechtwinkligen Dreieck
gilt, folgt
und
.
Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus als Sinus des
Komplementärwinkels.
Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung („trigonometrischer Pythagoras“)
ableiten:
.
Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad
definiert. Für beliebige Winkel wird der Wert der Sinus-Funktion als y-Koordinate und der der
Kosinus-Funktion als x-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis (siehe unten) benutzt. Hier ist
es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als Argument zu
bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die komplexe
Exponentialfunktion (siehe unten).
Definition am Einheitskreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Definition des Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis im ersten Quadranten
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0
bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt
auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt
-Achse einen Winkel
Achse und der Punkt
. Der Ortsvektor von
ein. Der Koordinatenursprung
schließt mit der
, der Punkt
auf der
bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt
. Die Ankathete des Winkels
die Länge
mit den Koordinaten
bezeichnet die Strecke zwischen
und
und hat
. Damit gilt:
.
Die Gegenkathete des Winkels
ist die Strecke zwischen
und
und hat die Länge
. Somit ist:
.
Daraus folgt durch den Strahlensatz die Definition des Tangens:
Dieser entspricht der Strecke von
Die
bis
in der Zeichnung rechts.
-Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises entspricht also
dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der
-Achse, während die
Koordinate dem Kosinus des Winkels entspricht. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten
hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.
Die Umkehrung der Sinus-/Kosinusfunktion ist nicht eindeutig. Zu jeder Zahl
zwischen −1
und 1 (
) gibt es schon zwischen 0° und 360° (
) immer genau zwei Winkel.
Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:
Punktsymmetrien:
-
und
,
Achsensymmetrien:
und
.
Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.
Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen
Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine
beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine
Drehbewegung ‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch
sowie
,
wobei
eine beliebige Ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu
bzw.
(sin) und zu
(sin) bzw.
Symmetriezentren für beide Funktionen.
(cos)
(cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und
Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels
beginnend bei der
-Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird in der
Bogenlänge gemessen. Hier entspricht dem der Winkel
der Bogenlänge
:
Analytische Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Graph der Sinusfunktion x→sinx
Graph der Kosinusfunktion x→cosx
Die geometrischen Überlegungen zum Sinus und Kosinus sind eher heuristischer Natur. Sinus
und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden; dieser formalere
Zugang spielt auch in der Analysis eine Rolle. Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die
Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion
aufgefasst sind holomorph und surjektiv.
Motivation durch Taylorreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
zusammen mit den ersten Taylorpolynomen
Diese Animation illustriert die Definition der Sinusfunktion durch eine Reihe. Je höher die Zahl
ist, desto mehr Summanden werden in der Reihendefinition verwendet. So ist bei
neben der Sinusfunktion zusätzlich das kubische Polynom
eingezeichnet.
Durch den Übergang vom Winkelmaß zum Bogenmaß können Sinus und Cosinus als Funktionen
von
nach
erklärt werden. Es kann nachgewiesen werden, dass sie beliebig oft
differenzierbar sind. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:
.
Die Wahl des Bogenmaßes führt dazu, dass hier die Werte
ergebenden Taylorreihen stellen die Funktionen
und
auftreten. Die sich daraus
dar, das heißt:
Reihenentwicklung in der Analysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der Analysis geht man von einer Reihenentwicklung aus und leitet umgekehrt daraus alles her,
indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen Potenzreihen erklärt werden. Mit
dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl
absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren.
Diese unendlichen Reihen verallgemeinern die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen
auf komplexe Argumente. Auch
wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern
beispielsweise über die cos-Reihe und die Beziehung
als das Doppelte der kleinsten
positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Damit ist eine präzise analytische Definition
von
gegeben.
Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen
Berechnung lassen sich daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und den
-Wert bis auf den Bereich
bis
reduzieren. Danach sind für eine geforderte
Genauigkeit nur noch wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der
Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z. B. hat im Intervall
einen relativen Fehler von
unter 0,05 %. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser so genannten Taylorpolynome
grafisch dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben. Zu beachten
ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische
Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich
Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.[3]
Beziehung zur Exponentialfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Realteil von
ist
und der Imaginärteil ist
.
Die trigonometrischen Funktionen sind eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie
folgende Rechnung zeigt:
Dabei wurde verwendet
sowie
Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion
Somit ergibt sich die sogenannte Eulerformel
.
Für eine reelle Zahl
ist also
der Realteil und
der Imaginärteil der komplexen Zahl
.
Durch Ersetzung von
durch
ergibt sich:
.
Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen
auflösen. Es folgt:
und
.
Diese Gleichung gilt nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen.
Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch
Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.
Ausgehend von dieser Definition lassen sich viele Eigenschaften, wie zum Beispiel die
Additionstheoreme des Sinus und Kosinus, nachweisen.
Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge[Bearbeiten | Quelltext
bearbeiten]
Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da
die Differenzierbarkeit durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben
ist. Die Eulerformel ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich
die Reihen für
und
ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben
gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion
, die das Intervall
abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn
Real- bzw. Imaginärteil von
Koordinatenachsen.
Neben
und
auf die Kreislinie
sind nichts weiter als der
, das heißt die Projektion dieses Punktes auf die
gibt es auch andere sinnvolle Parametrisierungen des Einheitskreises, etwa
Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die Länge dieser Kurve
wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich als
Wie leicht zu zeigen ist, ist
ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da
die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von
ist;
wird bei dieser Vorgangsweise analytisch als Supremum von
definiert.
Die Funktion
ist auch differenzierbar:
.
Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die
Umkehrfunktion
gleich
gilt
.
Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion
Komponente von
lassen sich nun Sinus und Kosinus als
- und
-
analytisch definieren:
sowie
.
Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge
werden die geometrischen Begriffe sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im
didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt
wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.
Definition als Lösung einer Funktionalgleichung[Bearbeiten | Quelltext
bearbeiten]
Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu
definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar
stetiger Funktionen
, das für alle
die Gleichungen
und
erfüllt. Die Lösung
definiert dann den Sinus, die Lösung
den Kosinus. Um
Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der
Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass
eine ungerade Funktion,
eine gerade Funktion,
und
ist. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus in 0 vorausgesetzt;
wird in weiterer Folge analytisch als das doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des
Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von Leopold Vietoris[4] und berechnet die
Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger,
auf geeignete
Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis
eingeschriebenen
-Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser
Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man
dann beispielsweise
,
, und
für alle
.
Unter den gewählten Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung
relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch
die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise durch
die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen
Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung nachweisen und tatsächlich lösen.
Produktentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
ist dabei im Bogenmaß anzugeben.
Wertebereich und spezielle Funktionswerte[Bearbeiten |
Quelltext bearbeiten]
Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(Gradmaß)
(Bogenmaß)
(„trigonometrischer Pythagoras“)
Insbesondere folgt daraus
Argumente
annehmen.
und
. Diese Ungleichungen gelten aber nur für reelle
; für komplexe Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte
Verlauf des Sinus in den vier Quadranten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:
Quadrant Gradmaß Bogenmaß Bildmenge Monotonie Konvexität
0
1.
Quadrant
0
positiv:
steigend
konkav
1
2.
Quadrant
positiv:
Maximum
fallend
konkav
Nullstelle,
Wendepunkt
0
3.
Quadrant
negativ:
Punkttyp
Nullstelle,
Wendepunkt
fallend
konvex
Minimum
4.
Quadrant
negativ:
steigend
konvex
Für Argumente außerhalb dieses Bereiches ergibt sich der Wert des Sinus daraus, dass der Sinus
periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h.
etc. .
. Außerdem gilt
,
,
Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Kosinus stellt einen um 90° (bzw. π/2 rad) phasenverschobenen Sinus dar und es gilt
.
In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:
Quadrant Gradmaß Bogenmaß Bildmenge Monotonie Konvexität
0
1.
Quadrant
1
positiv:
Maximum
fallend
konkav
Nullstelle,
Wendepunkt
0
2.
Quadrant
Punkttyp
negativ:
fallend
konvex
Minimum
3.
Quadrant
negativ:
steigend
konvex
Nullstelle,
Wendepunkt
4.
Quadrant
positiv:
steigend
konkav
Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – so wie der des
Sinus – periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) bestimmen, d. h.
.
Komplexes Argument[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Graph der komplexen Sinusfunktion
. Außerdem gilt
Graph der komplexen Kosinusfunktion
Farbfunktion, die für die beiden obigen Bilder verwendet wurde.
Für komplexe Argumente
gilt
und
,
wie aus den Additionstheoremen und den Zusammenhängen
Hyperbelfunktionen ersichtlich ist.
sowie
Während der reelle Sinus (Kosinus) stets auf Werte aus dem Intervall
Sinus und Kosinus auf
mit den
beschränkt ist, sind
unbeschränkt; dies folgt aus dem Satz von Liouville. Sinus und
Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte
annehmen.
Zum Beispiel ist
Für reelle
nimmt
diesen Wert aber nie an.
In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die
Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen
ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild,
das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und
Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in
-Richtung vorliegt (nicht
aber in
-Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um
auseinander hervorgehen.
Wichtige Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode
(entspricht im Gradmaß
) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den
Bereich
(entspricht dem Bereich
bis
) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses
Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang
bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog
Hierbei bezeichnet
eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigsten
Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen auf. Weitere Funktionswerte können
auf einer im Abschnitt Weblinks aufgeführten Seite gefunden werden.
Winkel
(Grad)
Bogenmaß
Sinus
Kosinus
Beweisskizzen:

, da das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann
gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt
.

, da das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt
an der x-Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die Gegenkathete
(Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.

, da für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen
für den Cosinus nach Pythagoras gilt
.
Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext
bearbeiten]
Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung ergibt
sich
.
Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie
beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über
und
, woraus folgt
.
Aus
und
lassen sich dann z. B.
und dann rekursiv auch alle
,
ermitteln.
Generell gilt, dass
und
genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und
Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel
insbesondere also wenn
ist, wobei
von
,
ist
mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist,
von der Gestalt
und die
für
Fermatsche Primzahlen sind.[5] In obigem Beispiel
und der Nenner gleich
Fixpunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Fixpunkt der Kosinusfunktion
Die Fixpunktgleichung
besitzt
als einzige reelle Lösung.
Die Gleichung
hat als einzige reelle Lösung
(Folge A003957 in OEIS).
Die Lösung dieser Fixpunktgleichung wurde bereits 1748 von Leonhard Euler untersucht.[6] Sie
ist ein einfaches Beispiel für einen nichttrivialen global attraktiven Fixpunkt, das heißt die
Fixpunktiteration
konvergiert für jeden Startwert
gegen die Lösung. Mit dem Satz von
Lindemann-Weierstraß kann nachgewiesen werden, dass es sich dabei um eine transzendente
Zahl handelt. Diese mathematische Konstante wird im englischen Sprachraum auch als Dottie
number bezeichnet und mit dem armenischen Buchstaben ա (Ayb) abgekürzt.[7]
Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zur Berechnung von Sinus und Cosinus gibt es mehrere Verfahren. Die Wahl des
Berechnungsverfahrens richtet sich nach Kriterien wie Genauigkeit, Geschwindigkeit der
Berechnung und Leistungsfähigkeit der verwendeten Hardware wie zum Beispiel
Mikrocontroller:





Tabellierung aller benötigten Funktionswerte
Tabellierung von Funktionswerten zusammen mit Interpolationsverfahren
Berechnung mit dem CORDIC-Algorithmus
Verwendung der Taylor-Reihe
schnelle, aber grob genäherte Abschätzung mit Hilfe der Zwölftel-Regel
Die Tabellierung aller Werte ist angezeigt bei geschwindigkeitskritischen Echtzeitsystemen,
wenn diese nur eine recht kleine Winkelauflösung benötigen. CORDIC ist i.d.R. effizienter
umsetzbar als die Taylor-Reihe und zudem besser konditioniert.
Umkehrfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
→ Hauptartikel: Arkussinus und Arkuskosinus
Da sich zu einem gegebenen Wert
ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten
und zu einem gegebenen Wert
ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten
konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen
Umkehrfunktionen besitzen. Die Umkehrfunktionen
werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert
nicht nur als Winkel, sondern auch als Länge eines Kreisbogens (Arcus bedeutet Bogen)
interpretieren lässt.
In der Analysis ist die Verwendung des Bogenmaßes erforderlich, da die Winkelfunktionen dort
für das Bogenmaß definiert sind. Die Sinusfunktion
und die Kosinusfunktion
sind auf den angegebenen Definitionsbereichen streng monoton, surjektiv und daher invertierbar.
Die Umkehrfunktionen sind
Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen
Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die
Analogie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen nützlich.
Zusammenhang mit dem Skalarprodukt[Bearbeiten |
Quelltext bearbeiten]
Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Standardskalarprodukt zweier Vektoren
und
:
das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des
eingeschlossenen Winkels. In endlichdimensionalen Räumen lässt sich diese Beziehung aus dem
Kosinussatz ableiten. In abstrakten Skalarprodukträumen wird über diese Beziehung der Winkel
zwischen Vektoren definiert.
Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt[Bearbeiten |
Quelltext bearbeiten]
→ Hauptartikel: Kreuzprodukt
Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren
und
:
Additionstheoreme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
→ Hauptartikel: Additionstheoreme (Trigonometrie)
Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen lauten
Ableitung und Integration von Sinus und
Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wird
Aus
im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion[8]
und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:
und daraus schließlich auch alle höheren Ableitungen von Sinus und Kosinus
Wird der Winkel
in Grad gemessen, so kommt nach der Kettenregel bei jeder Ableitung ein
Faktor
dazu, also beispielsweise
. Um diese störenden Faktoren zu vermeiden, wird in
der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben.
Stammfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus
und Kosinus im Bogenmaß:
Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Geometrische Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Skizze zum Beispiel
Mit der Definition des Sinus können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die
Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von
gegebener Länge
und Winkel
im Dreieck ABC bei
:
Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz.
Fourierreihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Im Hilbertraum
der auf dem Intervall
bezüglich des Lebesgue-Maßes quadratisch
integrierbaren Funktionen bilden die Funktionen
ein vollständiges Orthogonalsystem, das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich
alle Funktionen
als Fourierreihe
darstellen, wobei die Funktionenfolge
in der L2-Norm gegen
konvergiert.
Physikalische Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der Physik werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen
verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihen beliebige
periodische Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe
Fourieranalyse.
Elektrotechnische Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Leistungszeigerdiagramm und Phasenverschiebungswinkel bei sinusförmigen Spannungen und
Strömen in der komplexen Ebene
In der Elektrotechnik sind häufig elektrische Stromstärke I und Spannung U sinusförmig. Wenn
sie sich um einen Phasenverschiebungswinkel φ unterscheiden, dann unterscheidet sich die aus
Stromstärke und Spannung gebildete Scheinleistung S von der Wirkleistung P.
Bei nicht sinusförmigen Größen (z. B. bei einem Netzteil mit herkömmlichem
Brückengleichrichter am Eingang) entstehen Oberschwingungen, bei denen sich kein
einheitlicher Phasenverschiebungswinkel angeben lässt. Dann lässt sich zwar noch ein
Leistungsfaktor angeben
dieser Leistungsfaktor λ darf aber mit cos φ nicht verwechselt werden.
Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]



Kreis- und Hyperbelfunktionen
Formelsammlung Trigonometrie
Sinuston
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]



I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. B. G.
Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.
Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. AulaVerlag, Wiesbaden 1989.
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1. 6. Auflage. Teubner, 1989.
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Sinus und Kosinus – Lern- und Lehrmaterialien
Wikiversity: Sinus und Kosinus – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und
wissenschaftlicher Austausch
Wiktionary: Kosinus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Sinus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen


Interaktive Animation zur Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
Weitere Funktionswerte von Joachim Mohr
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
1. ↑ J. Ruska: Zur Geschichte des „Sinus“. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik.
Teubner, Leipzig 1895. S. 126ff. Auch online zugänglich: Digitalisierungszentrum der
Universität Göttingen
2. ↑ Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden
höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3209-00159-6. S. 207.
3. ↑ Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover
Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4 (4.3.96–4.3.99)
4. ↑ Leopold Vietoris: Vom Grenzwert
. In: Elemente der Mathematik. Band 12, 1957
5. ↑ Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144167-8, S. 85.
6. ↑ Leonhard Euler: Introductio in analysin infinitorum. Band 2. Marc Michel Bousquet,
Lausanne 1748, S. 306–308.
7. ↑ Eric W. Weisstein: Dottie number. In: MathWorld (englisch).
8. ↑ Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der
Sinusfunktion
Trigonometrische Funktion
Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans
Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und
Arkuskosekans
Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens
Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus
Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und
Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus
Abgerufen von
„https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Sinus_und_Kosinus&oldid=164103154“
Kategorie:

Trigonometrische Funktion
Wartungskategorie:

Wikipedia:Wikidata P2812 fehlt
Navigationsmenü
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