Übungsblatt 1 Analysis 1 Loesungen

FK 03 FA hm
Analysis Mathematik
Prof. Dr. Thomas Pöschl
Lösungen
Aufgabe 1 (Mengen):
a)Gegeben ist die Menge (A  B  not(C))  (A  not(B)  not(C)) = (*)
Vereinfachen Sie (*) möglichst stark durch „Ausmultiplizieren“
(Man verwende u.a. die Distributivgesetze, not bedeutet die Negation).
Lösung : A not(C) ausklammern, dann bleibt (A not(C)) (B not(B)),
die letzte Klammer ist die leere Menge, also bleibt A not(C) als Ergebnis
b)Deuten Sie im Mengendiagramm (Venn Diagramm)
die beiden Klammern in (*) von a) durch verschiedene Schraffur an!
Lösung : Man zeichne einen Kreis für die Grundmenge und darin
3 weitere Kreise mit nichtleeren Schnittmengen untereinander !
c)Es sei A = {2, 4, 6, 8, 10, ...........}, also die Menge der positiven geraden Zahlen
und B = {0, 5, 10, 15, 20, .......}, also die Menge der durch 5 teilbaren Zahlen
und die Null. Beide Mengen werden als Teilmenge der Grundmenge der ganzen
Zahlen Z betrachtet. Geben Sie in der Form {z1, z2, z3, z4 ,z5, ............} mit
Ziffern z1, z2, z3, z4, z5 (also 5 Ziffern der Ergebnismenge angeben!) folgende
Mengen an:
A\ B
, A B ,
Lösung : A \ B
A B
B\A
not(A)
=
=
=
=
B\A
,
not(A) (Negation)
{2, 4, 6, 8, 12, ...........}, alle aus B entfernen
{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, ...........},
{0, 5, 15, 25, .......}, alle Elemente von A aus B entfernen
{…., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 5, .......} also alle negativen ganzen
Zahlen, die Null und alle ungeraden natürlichen Zahlen.
Achtung: Hier kommt es auf die Grundmenge an !
Aufgabe 2 (Beweismethoden):
Gegeben sei die Summe sn = 1 + q1 + q2 + q3 + q4 +
......
a) Berechnen Sie für q = ½ die Summen s0, s1, s2, und s3.
Lösung : s0 = 1, s1 = 1.5 , s2 = 1.75 , s3 = 1.875
b) Beweisen Sie (direkter Beweis und Induktionsbeweis) :
sn =
qn+1 - 1
------------- .
q - 1
+ qn
Lösung : Für den direkten Beweis multiplizieren wir den Nenner herauf
Die linke Seite ist dann (q-1) sn die rechte ist qn+1 - 1,
man zeigt, dass links dasselbe steht, die Umkehrung (!) der Schlussfolgerungen
ist dann der Beweis. Induktion wie Vorlesung
Aufgabe 3 (Intervalle) :
Man gebe die Lösungsmenge der Gleichung (x  R)
x2 – 2x > 4 als Intervall oder Vereinigung von Intervallen an!
Lösung : Quadratische Ergänzung liefert (x-1) 2 > 5.
Äquivalent ist Betrag(x-1) > Wurzel(5), wir lösen den Betrag auf:
Fall 1: x-1 >0 dann x-1>Wurzel(5), Fall 2 x-1<0 dann 1-x>Wurzel(5):
Es ergibt sich x-1 > Wurzel(5) oder x-1 < -Wurzel(5) (Ungleichheitszeichen
Dreht sich um wegen Multiplikation der Ungleichung mit -1), somit
L = ]- ∞, 1-Wurzel(5)[  ]1+Wurzel(5), ∞[ , Man kann auch die Nullstellen
Der Funktion f(x) = x2 – 2x - 4 untersuchen und geeignete Werte einsetzen!
Aufgabe 4 (Intervalle) :
Man bestimme alle x 
1
1 x
R , welche die Ungleichung
1
>
erfüllen.
1 x
Lösung: Nenner raufmultiplizieren, dabei (formal die 4) Fälle, dass der
jeweilige Nenner positiv oder negativ ist betrachten (weil sich das
Ungleichheitszeichen bei Multiplikation mit negativen Werten umdreht!).
Fall 1:
Voraussetzung sei 1 – x > 0, also 1>x und 1 + x > 0, also x > -1,
dann folgt aus der Ungleichung 1 + x > 1 – x, daraus 2x >0, somit x>0.
Mit den Voraussetzungen bleibt das Lösungsintervall L1 =]0,1[.
Fall 2:
Voraussetzung sei 1 – x < 0, also 1<x und 1 + x > 0, also x > -1,
dann folgt aus der Ungleichung 1 + x < 1 – x, weil sich das
Ungleichheitszeihen jetzt umdreht, daraus 2x <0, somit x<0.
Mit den Voraussetzungen bleibt das Lösungsintervall L2 = leere Menge
Fall 3:
Voraussetzung sei 1 – x < 0, also 1<x und 1 + x < 0, also x< -1,
Das ist nicht möglich, somit kann man sich weitere Rechnungen sparen,
also L3 = leere Menge
Fall 4:
Voraussetzung sei 1 – x > 0, also 1 > x und 1 + x < 0, also x < -1,
dann folgt aus der Ungleichung 1 + x < 1 – x, weil sich das
Ungleichheitszeihen jetzt umdreht, daraus 2x <0, somit x<0.
Mit den Voraussetzungen bleibt das Lösungsintervall L4 = ]- ∞, -1[
Gesamtlösungsmenge L = L1  L4
Aufgabe 5 (Intervalle):
Für welche x R gilt:
1
x2
< x ?
Lösung wie Aufg.4, aber nur 2 Fälle zu betrachten:
Fall 1: x+2 > 0, also x > - 2. Aus der Gleichung folgt -1 < x(x+2) umgeformt (x+1)2>0
Dies ist immer der Fall, außer für x = -1, also zusammen L1 = ]-2,-1[]-1,∞[.
Fall 2: x+2 <0 führt auf (x+1)2<0 , L2 ist daher leer und die Gesamtlösung L = L1.
Man kann auch die Hyperbel y1 =
1
und die Gerade y2 = x betrachten,
x2
die Schnittpunkte bestimmen und die Lösung z.B. in einer Zeichnung die Punkte
finden, wo die Gerade oberhalb der Hyperbel liegt.
Aufgabe 6 (Intervalle):
Für welche x  R ist die Ungleichung :
1
5 x
< 1+x
erfüllt ?
Lösung analog Nr.5 und 3
Fall 1 : 5 – x > 0, also 5>x, dann 1 < (1+x)(5-x) umgerechnet x2 – 4x – 4 < 0 oder
(x - 2)2 < 8 , L1 = ] 2- Wurzel(8), 2 + Wurzel(8)[
Fall 2 : 5 – x < 0, also 5<x, dann folgt analog (x - 2)2 > 8, d.h. x-2> Wurzel(8) oder
x-2 < -Wurzel(8), insgesamt bleibt L2 = ]5, ∞[ .
L = L1  L2
Aufgabe 7: Konvergiert die Folge:
n5  4n  7
an =
3n5  2n 2  ln(n)
für n =>  ?
Man berechne ggf. den Grenzwert!
Lösung 1/3, dazu dividiere man Zähler und Nenner durch n 5.
Aufgabe 8: Nach wie vielen Jahren hat sich ein Kapital bei jährlich
nachschüssiger Verzinsung (Zinsfuss 5%) verdoppelt?
(Lösung: 15 Jahre gerundet)
Lösung: K(1.05)n = 2K n = log(2)/log(1.05) = 14.20669908
Aufgabe 9: (Stetigkeit von Funktionen):
Man gebe für die rationale Funktion
x4  x2  x  1
f(x) =
x2  1
die Menge aller x  R an, wo f(x) stetig ist. Wo sind Pol(e) der Funktion,
wo befinden sich stetig hebbare Definitionslücken? Heben Sie ggf. die
Definitionslücke! Skizzieren Sie den Funktionsgraphen für x є [-2,2] !
Lösung: Nenner Nullstellen +1 und -1 , -1 ist hebbar, da auch Nullstelle
des Zählers, der Faktor wird abdividiert und die Definitionslücke durch den Wert
dieser Funktion an der Stelle -1 behoben. Danach ist f(x) stetig auf R\ {1}.
Aufgabe 10: (Logarithmus).
Welcher Wert ergibt sich für log 2,.58 (3) , d.h. den Logarithmus von 3
zur Basis 2.58.
( Anleitung: Der Taschenrechner enthält u.a. die Taste log für Logarithmen zur
Basis 10 und liefert
log(3) = 0.477121254 , log(2.58) = 0.411619796
Lösung: log 2,.58 (3) = log 10 (3) / log 10 (2.58) = 0.477121254 / 0.411619796 =
= 1.159130971