Übungsblatt 1 Analysis 1

FK 03 FA hm
Mathematik 2 Analysis im WS
Prof. Dr. Thomas Pöschl
Übungsblatt 1
Aufgabe 1 (Mengen):
a)Gegeben ist die Menge (A  B  not(C))  (A  not(B)  not(C)) = (*)
Vereinfachen Sie (*) möglichst stark durch „Ausmultiplizieren“
(Man verwende u.a. die Distributivgesetze, not bedeutet die Negation).
b)Deuten Sie im Mengendiagramm (Venn Diagramm)
die beiden Klammern in (*) von a) durch verschiedene Schraffur an!
c)Es sei A = {2, 4, 6, 8, 10, ...........}, also die Menge der positiven geraden Zahlen
und B = {0, 5, 10, 15, 20, .......}, also die Menge der durch 5 teilbaren Zahlen
und die Null. Beide Mengen werden als Teilmenge der Grundmenge der ganzen
Zahlen Z betrachtet. Geben Sie in der Form {z1, z2, z3, z4 ,z5, ............} mit
Ziffern z1, z2, z3, z4, z5 (also 5 Ziffern der Ergebnismenge angeben!) folgende
Mengen an:
A\ B
, A B ,
B\A
,
not(A) (Negation)
Aufgabe 2 (Beweismethoden):
Gegeben sei die Summe sn = 1 + q1 + q2 + q3 + q4 +
......
+ qn
a) Berechnen Sie für q = ½ die Summen s0, s1, s2, und s3.
b) Beweisen Sie für q ≠ 1 (direkter Beweis und Induktionsbeweis) :
sn =
qn+1 - 1
------------- .
q - 1
Aufgabe 3 (Intervalle) :
Man gebe die Lösungsmenge der Gleichung (x  R)
x2 – 2x > 4 als Intervall oder Vereinigung von Intervallen an!
Aufgabe 4 (Intervalle) :
Man bestimme alle x 
1
1 x
Aufgabe 5 (Intervalle):
Für welche x R gilt:
R , welche die Ungleichung
1
>
erfüllen.
1 x
1
x2
< x ?
Aufgabe 6 (Intervalle):
Für welche x  R ist die Ungleichung :
1
5 x
< 1+x
erfüllt ?
Aufgabe 7: Konvergiert die Folge:
an =
n5  4n  7
3n5  2n 2  ln(n)
für n =>  ?
Man berechne ggf. den Grenzwert!
Aufgabe 8: Nach wie vielen Jahren hat sich ein Kapital bei jährlich
nachschüssiger Verzinsung (Zinsfuss 5%) verdoppelt?
(Lösung: 15 Jahre gerundet)
Aufgabe 9: (Stetigkeit von Funktionen):
Man gebe für die rationale Funktion
x4  x2  x  1
f(x) =
x2  1
die Menge aller x  R an, wo f(x) stetig ist. Wo sind Pol(e) der Funktion,
wo befinden sich stetig hebbare Definitionslücken? Heben Sie ggf. die
Definitionslücke! Skizzieren Sie den Funktionsgraphen für x є [-2,2] !
Aufgabe 10: (Logarithmus).
Welcher Wert ergibt sich für log 2,.58 (3) , d.h. den Logarithmus von 3
zur Basis 2.58.
( Anleitung: Der Taschenrechner enthält u.a. die Taste log für Logarithmen zur
Basis 10 und liefert
log(3) = 0.477121254 , log(2.58) = 0.411619796)
Aufgabe 11 (Stellenwertsysteme) :
Man schreibe die Zahl 237 als
a) Binärzahl
b) Hexadezimalzahl
Aufgabe 12 (Komplexe Zahlen):
a)Bringen Sie die komplexen Zahlen:
(2 + i)3
---------------------
, (1+i)i3 ,
1 – 2i
i
auf die Normalform a + ib,
(d.h. bestimmen Sie a und b)
b)Skizzieren Sie on der Gaußsche Zahlenebene
als komplexe Zeiger (Vektoren) die
komplexen Zahlen z1 = 1 + 2i , z2 = 2+i , z3 = z1 + z2,
und z4 = z1 * z2. (* bedeutet das Produkt)
c)Geben Sie für –1+i in der Polarform r(cos() + i sin()) und
in der Exponentialform r ei an, d.h. bestimmen Sie
r und  (Eine Skizze ist hier sehr hilfreich!).
d)Welche Teilmenge der komplexen Ebene beschreibt die Gleichung:
|z - i | = |z + i| ?
e)Welche Teilmenge der komplexen Ebene beschreibt die Ungleichung:
|z - 2 |  |z + 1| ?
Aufgabe 13 (Komplexe Zahlen):
Man berechne und skizziere die vierten komplexen Einheitswurzeln
z4 = 1 .
Aufgabe 14 (Komplexe Zahlen):
Im Berech der Zahlsysteme N,Z und R gilt der bekannte Satz:
„Ein Produkt zweier Zahlen ist genau dann Null, wenn wenigstens
einer der beiden Faktoren = 0 ist“,
den wir als bekannt voraussetzen. Weisen Sie durch eine geeignete
Rechnung mit den Rechenregeln für Multiplikation und Addition in
den komplexen Zahlen nach, dass dieser Satz auch für die
komplexen Zahlen gültig ist.
FK 03 FA hm
Blatt 1 Analysis
Prof. Dr. Thomas Pöschl
Lösungen
Aufgabe 1 (Mengen):
a)Gegeben ist die Menge (A  B  not(C))  (A  not(B)  not(C)) = (*)
Vereinfachen Sie (*) möglichst stark durch „Ausmultiplizieren“
(Man verwende u.a. die Distributivgesetze, not bedeutet die Negation).
Lösung : A not(C) ausklammern, dann bleibt (A not(C)) (B not(B)),
die letzte Klammer ist die leere Menge, also bleibt A not(C) als Ergebnis
b)Deuten Sie im Mengendiagramm (Venn Diagramm)
die beiden Klammern in (*) von a) durch verschiedene Schraffur an!
Lösung : Man zeichne einen Kreis für die Grundmenge und darin
3 weitere Kreise mit nichtleeren Schnittmengen untereinander !
c)Es sei A = {2, 4, 6, 8, 10, ...........}, also die Menge der positiven geraden Zahlen
und B = {0, 5, 10, 15, 20, .......}, also die Menge der durch 5 teilbaren Zahlen
und die Null. Beide Mengen werden als Teilmenge der Grundmenge der ganzen
Zahlen Z betrachtet. Geben Sie in der Form {z1, z2, z3, z4 ,z5, ............} mit
Ziffern z1, z2, z3, z4, z5 (also 5 Ziffern der Ergebnismenge angeben!) folgende
Mengen an:
A\ B
, A B ,
Lösung : A \ B
A B
B\A
not(A)
=
=
=
=
B\A
,
not(A) (Negation)
{2, 4, 6, 8, 12, ...........}, alle aus B entfernen
{0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, ...........},
{0, 5, 15, 25, .......}, alle Elemente von A aus B entfernen
{…., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 5, .......} also alle negativen ganzen
Zahlen, die Null und alle ungeraden natürlichen Zahlen.
Achtung: Hier kommt es auf die Grundmenge an !
Aufgabe 2 (Beweismethoden):
Gegeben sei die Summe sn = 1 + q1 + q2 + q3 + q4 +
......
a) Berechnen Sie für q = ½ die Summen s0, s1, s2, und s3.
Lösung : s0 = 1, s1 = 1.5 , s2 = 1.75 , s3 = 1.875
b) Beweisen Sie (direkter Beweis und Induktionsbeweis) :
sn =
qn+1 - 1
------------- .
q - 1
+ qn
Lösung : Für den direkten Beweis multiplizieren wir den Nenner herauf
Die linke Seite ist dann (q-1) sn die rechte ist qn+1 - 1,
man zeigt, dass links dasselbe steht, die Umkehrung (!) der Schlussfolgerungen
ist dann der Beweis. Induktion wie Vorlesung
Aufgabe 3 (Intervalle) :
Man gebe die Lösungsmenge der Gleichung (x  R)
x2 – 2x > 4 als Intervall oder Vereinigung von Intervallen an!
Lösung : Quadratische Ergänzung liefert (x-1) 2 > 5.
Äquivalent ist Betrag(x-1) > Wurzel(5), wir lösen den Betrag auf:
Fall 1: x-1 >0 dann x-1>Wurzel(5), Fall 2 x-1<0 dann 1-x>Wurzel(5):
Es ergibt sich x-1 > Wurzel(5) oder x-1 < -Wurzel(5) (Ungleichheitszeichen
Dreht sich um wegen Multiplikation der Ungleichung mit -1), somit
L = ]- ∞, 1-Wurzel(5)[  ]1+Wurzel(5), ∞[ , Man kann auch die Nullstellen
Der Funktion f(x) = x2 – 2x - 4 untersuchen und geeignete Werte einsetzen!
Aufgabe 4 (Intervalle) :
Man bestimme alle x 
1
1 x
R , welche die Ungleichung
1
>
erfüllen.
1 x
Lösung: Nenner raufmultiplizieren, dabei (formal die 4) Fälle, dass der
jeweilige Nenner positiv oder negativ ist betrachten (weil sich das
Ungleichheitszeichen bei Multiplikation mit negativen Werten umdreht!).
Fall 1:
Voraussetzung sei 1 – x > 0, also 1>x und 1 + x > 0, also x > -1,
dann folgt aus der Ungleichung 1 + x > 1 – x, daraus 2x >0, somit x>0.
Mit den Voraussetzungen bleibt das Lösungsintervall L1 =]0,1[.
Fall 2:
Voraussetzung sei 1 – x < 0, also 1<x und 1 + x > 0, also x > -1,
dann folgt aus der Ungleichung 1 + x < 1 – x, weil sich das
Ungleichheitszeihen jetzt umdreht, daraus 2x <0, somit x<0.
Mit den Voraussetzungen bleibt das Lösungsintervall L2 = leere Menge
Fall 3:
Voraussetzung sei 1 – x < 0, also 1<x und 1 + x < 0, also x< -1,
Das ist nicht möglich, somit kann man sich weitere Rechnungen sparen,
also L3 = leere Menge
Fall 4:
Voraussetzung sei 1 – x > 0, also 1 > x und 1 + x < 0, also x < -1,
dann folgt aus der Ungleichung 1 + x < 1 – x, weil sich das
Ungleichheitszeihen jetzt umdreht, daraus 2x <0, somit x<0.
Mit den Voraussetzungen bleibt das Lösungsintervall L4 = ]- ∞, -1[
Gesamtlösungsmenge L = L1  L4
Aufgabe 5 (Intervalle):
Für welche x R gilt:
1
x2
< x ?
Lösung wie Aufg.4, aber nur 2 Fälle zu betrachten:
Fall 1: x+2 > 0, also x > - 2. Aus der Gleichung folgt -1 < x(x+2) umgeformt (x+1)2>0
Dies ist immer der Fall, außer für x = -1, also zusammen L1 = ]-2,-1[]-1,∞[.
Fall 2: x+2 <0 führt auf (x+1)2<0 , L2 ist daher leer und die Gesamtlösung L = L1.
Man kann auch die Hyperbel y1 =
1
und die Gerade y2 = x betrachten,
x2
die Schnittpunkte bestimmen und die Lösung z.B. in einer Zeichnung die Punkte
finden, wo die Gerade oberhalb der Hyperbel liegt.
Aufgabe 6 (Intervalle):
Für welche x  R ist die Ungleichung :
1
5 x
< 1+x
erfüllt ?
Lösung analog Nr.5 und 3
Fall 1 : 5 – x > 0, also 5>x, dann 1 < (1+x)(5-x) umgerechnet x2 – 4x – 4 < 0 oder
(x - 2)2 < 8 , L1 = ] 2- Wurzel(8), 2 + Wurzel(8)[
Fall 2 : 5 – x < 0, also 5<x, dann folgt analog (x - 2)2 > 8, d.h. x-2> Wurzel(8) oder
x-2 < -Wurzel(8), insgesamt bleibt L2 = ]5, ∞[ .
L = L1  L2
Aufgabe 7: Konvergiert die Folge:
n5  4n  7
an =
3n5  2n 2  ln(n)
für n =>  ?
Man berechne ggf. den Grenzwert!
Lösung 1/3, dazu dividiere man Zähler und Nenner durch n 5.
Aufgabe 8: Nach wie vielen Jahren hat sich ein Kapital bei jährlich
nachschüssiger Verzinsung (Zinsfuss 5%) verdoppelt?
(Lösung: 15 Jahre gerundet)
Lösung: K(1.05)n = 2K n = log(2)/log(1.05) = 14.20669908
Aufgabe 9: (Stetigkeit von Funktionen):
Man gebe für die rationale Funktion
f(x) =
x4  x2  x  1
x2  1
die Menge aller x  R an, wo f(x) stetig ist. Wo sind Pol(e) der Funktion,
wo befinden sich stetig hebbare Definitionslücken? Heben Sie ggf. die
Definitionslücke! Skizzieren Sie den Funktionsgraphen für x є [-2,2] !
Lösung: Nenner Nullstellen +1 und -1 , -1 ist hebbar, da auch Nullstelle
des Zählers, der Faktor wird abdividiert und die Definitionslücke durch den Wert
dieser Funktion an der Stelle -1 behoben. Danach ist f(x) stetig auf R\ {1}.
Aufgabe 10: (Logarithmus).
Welcher Wert ergibt sich für log 2,.58 (3) , d.h. den Logarithmus von 3
zur Basis 2.58.
( Anleitung: Der Taschenrechner enthält u.a. die Taste log für Logarithmen zur
Basis 10 und liefert
log(3) = 0.477121254 , log(2.58) = 0.411619796
Lösung: log 2,.58 (3) = log 10 (3) / log 10 (2.58) = 0.477121254 / 0.411619796 =
= 1.159130971