Cantormenge

Cantormenge
Bei der Konstruktion der Cantormenge C beginnen wir mit dem Intervall C1  0,1 und entnehmen nach Drittelung das mittlere offene Intervall 13 , 23  . Es verbleiben das erste und das
dritte abgeschlossene Intervall als Menge C 2  0, 13   23 ,1. Dies führen wir ad infinitum fort
und erhalten auf diese Weise eine Folge von Mengen C n nIN mit C1  C2   . Der
Durchschnitt all dieser Mengen
C
C
n
nIN
heißt Cantormenge. Formal gehen wir wie folgt vor: Wir definieren induktiv die verbleibenden Intervalle.
1)
I 0,1  0,1
2)
Sind im n-ten Schritt die 2 n Intervalle I n ,1 , I n , 2 ,, I n , 2n schon definiert, so erhält man durch Entfernen der 2 n offenen mittleren Drittel die 2 n 1 abgeschlossenen Intervalle
I n 1,1 , I n 1, 2 ,, I n 1, 2n 1 .
2n
Mit C n   I n ,k stellt dann der Durchschnitt C 
k 1
C
n
die Cantormenge dar – auch Can-
nIN
torsches Diskontinuum genannt.
Bemerkung 1 (Eigenschaften der Cantormenge)
Die Cantormenge ist eine abgeschlossene Menge vom Maß Null und nicht abzählbar.
Als Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist C offenbar wieder abgeschlossen. Betrachten
wir nun die Summe der Länge der entfernten Intervalle beim n-ten Schritt, die ja nach Konstruktion disjunkt sind.
2n
2n
k 1
k 1
C n   I n ,k   13    23 
n
n
1
Nach n Schritten sind somit insgesamt aus 0,1 Intervalle mit einer Gesamtlänge von
i
2 n 1  2 
2

  



3 i 0  3 
i 1  3 
n
i geometrische

Re ihe
2 1   23 
2

 1  
1
3 1 3
3
n
n
n
entfernt worden, so daß die verbleibende Menge 0,1\  C i noch eine Länge von
i 1
 23 n
hat.
Mit wachsendem n strebt dieser Wert aber der Null zu.
Daß die Menge C nicht abzählbar ist, ergibt sich aus folgender Tatsache: Jedes x  C besitzt
eine triadische Entwicklung
x
x
nIN
n
 3 n ,
wobei die triadischen Ziffern x n  0, 2 sind. Ein Punkt der Cantormenge läßt sich somit als
eine Folge von 0 und 2 darstellen.
Statt eines Beweises mag folgende Anmerkung zur triadischen Entwicklung der Cantorpunkte
genügen, wo wir einige tatsächlich „zu Fuß“ ausrechnen wollen.
Anmerkung: Die Randpunkte der Intervalle I n ,k gehören zur Cantormenge und besitzen eine
Darstellung mit der Periode 0 oder 2. Betrachten wir dazu beispielsweise die
beiden Randpunkte von I 0 ,1 , so ist
1  2

3 k 2 3k
und damit
1
 0,0222 
3
1
2
2
 k
3 k 1 3
und damit
2
 0,2000  .
3
sowie
Jedoch umfaßt die Cantormenge mehr Punkte aus 0,1 als nur die Randpunkte
der Intervalle I n ,k . Nehmen wir dazu als Beispiel x  14 .
J(3,1)
J(2,1)
J(3,2)
J(1,1)
1
4
2
J(3,3)
J(2,2)
J(3,4)
Bezeichnen wir mit Jn, k  die offenen Intervalle – J1,1  13 , 23  , so gibt es
kein offenes Intervall, daß 14 „wegwischt“. Vielmehr kann man fest stellen,
daß es bei jedem Schritt ein letztes offenes Intervall gibt, für das 14 obere
Schranke ist, und ein erstes offenes Intervall, für das 14 untere Schranke ist. Für
jede natürliche Zahl k sind dies die offenen Intervalle



J 2k  1, 23  2 2 k 3  1
und



J 2k , 13  2 2 k 1  1
Für J1,1 , J3,2 , J5,6 , .... ist also 14 untere Schranke und für J2,1 , J4,3 ,
J6,11 , .... obere Schranke. Für k   strebt der rechte Randpunkt von



J 2k , 13  2 2 k 1  1

gegen
1
4
, so daß
1
4
 92  812     322 k und damit
k 1
1
4
 0,020202 .
Jeder Punkt x  0,1 mit der Darstellung
x

nIN
xn
3n
( x n  0, 2)
läßt sich also offenbar nicht von den offenen Intervallen „wegwischen“. Demnach ist
x


C    nn x n  0, 2 .
nIN 3

Abschließend wollen wir auf diesem Blatt noch kurz die Dimension der Cantormenge ansprechen, die als Nullmenge kein Intervall ausfüllt, aber überabzählbar ist. Sie ist ein besonders
einfaches Beispiel für ein sogenanntes Fraktal. Weitere bekannte Fraktale sind etwa Kochsche
Kurve, Sierpinski-Teppich, Sierpinski-Dreieck, Mengerschwamm, Mandelbrotmenge oder
Juliamenge.
Betrachten wir hierzu die Streckung von geometrischen Figuren (Figuren werden in ähnliche
Figuren durch Streckung der Seiten übergeführt) und ihre Auswirkungen auf Länge, Fläche
und Volumen. Bezeichnet k den Streckfaktor, so ist uns aus der Geometrie die nachfolgende
Tabelle wohl bekannt.
DIMENSION
Vor der Streckung
Nach der Streckung
Streckenlänge
L
kL
Quadratfläche
F
k2  F
Würfelvolumen
V
k3  V
3
Offenbar entsteht dabei die neue Länge (die neue Fläche, das neue Volumen) durch Multiplikation mit einer Potenz des Streckfaktors k, wobei der Exponent die Dimension darstellt.
Fraktale – wie die Cantormenge – verhalten sich aber nach Streckung nicht wie die „herkömmlichen“ geometrischen Figuren. Strecken wir etwa das Einheitsintervall 0,1 mit dem
Faktor k = 3, so ergibt sich die neue Länge aus dem Dreifachen der Länge des Einheitsintervalls. Strecken wir dagegen die Cantormenge mit dem Faktor k = 3, so sind ihre Punkte nur in
den beiden Intervallen 0,1 und 2, 3 . Wir benötigen also zur Darstellung der „gestreckten
Cantormenge“ genau zweimal die „alte Cantormenge“. Bezeichnet nun H ein Maß für die
Cantormenge, so gilt offenbar: H3  C  2  HC
Wir versuchen daher in Anlehnung an die obige Tabelle folgenden nahe liegenden Ansatz:
H3  C  3d  HC  2  HC  3d  HC  2  3d  d 
log 2
log3
 0,63
Demnach hat die Cantormenge eine gebrochene Dimension
Anmerkung: Die Suche nach der gebrochenen Dimension solcher Fraktale kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Im Falle der Selbstähnlichkeit kann man diese
nach der oben beschriebenen Art ermitteln und spricht von Ähnlichkeitsdimension. Es ist
d
log A
,
log k
wobei A die Anzahl der „alten Figuren“ ist, die bei einer Streckung mit dem
Faktor k benötigt werden.
Beispiel 1
(Dimension der Kochschen Kurve)
Die Dimension der Kochschen Kurve ist
log 4
log 3
.
Eine Streckung der Kochschen Kurve mit dem Faktor k = 3 hat zur Folge, daß wir 4 alte Figuren benötigen, um die gestreckte Kochsche Kurve wieder zu erhalten.
Es ist daher d 
log 4
log3
 1,26 .
4